Matematica parte ii

DIRECCIÓNNACIONAL
GERENCIAACADÉMICA
Estudios
Generales
Matemática P.T.
Parte 02
CÓDIGO: 89001296
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

ESTUDIOS GENERALES-NIVELPROFESIONALTÉCNICO 2
MATEMÁTICAP.T.PARTE02
AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO
CICLO: ESTUDIOS GENERALES
MANUAL: MATEMÁTICA BÁSICA PROFESIONAL
TÉCNICO. PARTE 02
Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo
de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento
continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito
referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 02.
Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los
responsables de su difusiónyaplicación oportuna.
DOCUMENTO APROBADO POR EL
GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI
N° de Páginas:….............222.…...........…..
Firma:………………………………….…….
Lic. Jorge Chávez Escobar
Fecha:…………………………...……….

MATEMÁTICA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 5
MATEMÁTICAP.T.PARTE02
INDICE
UNIDAD11.MagnitudesProporcionales..............................................................6
UNIDAD12.Regla de Tres.....................................................................................25
UNIDAD13.Porcentaje..........................................................................................39
UNIDAD14.Angulos..............................................................................................75
UNIDAD15.Paralelas............................................................................................97
UNIDAD16.Circunferencia y Circulo.................................................................115
UNIDAD17.Polígonos..........................................................................................130
UNIDAD18.Perímetro.........................................................................................162
UNIDAD19.Superficie yvolumen.......................................................................185

MATEMÁTICA
UNIDAD 11
MAGNITUDES PROPORCIONALES

MATEMÁTICA
11.1. MAGNITUD.
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede
sermedido.
11.2. CANTIDAD.
Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor
numérico y unidad.
MAGNITUD CANTIDAD
Tiempo 60 h
Longitud 15 m
Temperatura 35º C
Masa 40 kg
11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.
11.3.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES( D.P. ó ).
Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en
el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de
abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.
GASOLINA
(GALONES)
PRECIO
(S/.)
1 8,00
2 16,00
5 40,00
10 80,00
15 120,00
30 240,00

MATEMÁTICA
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. …………pero, si se colan15
galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual
a S/. …………..
Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles)
aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo
sentido.Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los
valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o
disminuyen en la misma proporción.
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:
Número de libros y costo total.
Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de
libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo
total será menor.
Además,se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es
CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).
25,0
4
1
 25,0
16
4
 25,0
96
24
 25,0
12
3

Entonces se puede escribir:
25,0
12
3
96
24
16
4
4
1

Interpretación geométrica.

MATEMÁTICA
Conclusión.
Si:
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el
cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante.
III. La función de proporcionalidad directa será:
F(X) = Kx K: pendiente (constante)
11.3.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES( I.PÓ
1
 ).
Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al
aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores
correspondientesen la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma
proporción.
Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo
empleado en recorrer una misma distancia:
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la
velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)
es siempre el mismo.
90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180
VELOCIDAD TIEMPO
90 km/h 2 horas
60 km/h 3 horas
45 km/h 4 horas
36 km/h 5 horas

MATEMÁTICA
x
K
)x(F 
Se puede finalmente concluir que:
Interpretación Geométrica:
Conclusión.
Si: B"I.P.""A"    BdevalorxAdevalor  Constante
Importante:
I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.
II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores
correspondientes, resulta una constante.
III. La función de proporcionalidad inversa será:
K: constante
PROPIEDADES:
I. Si :
AD.P.B  BD.P. C  AD.P.C
II. Si:
A I.P.B  A D.P. 1
B

MATEMÁTICA
tetanCons
dificultadxobra
h/dxdíasNºxeficienciaxobrerosºN

o:
A D.P. B  A I.P. 1
B
III. Si: A D.P. B ( C es constante)
A D.P. C ( B es constante)
A K
B x C
IV. Si: A I.P. B ( C es constante)
A I.P. C ( B es constante)
A x B x C = K

MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el
valor que toma B, cuando A = 34.
Resolución:
Se debe plantear:
2
2
1
1
B
A
B
A

x
34
3
51
 X = 2
2. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución:
Se debe plantear:
5
3
85
5124
10

b
a
 a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46

MATEMÁTICA
Días I.P. Rapidez
3. La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B
es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.
Resolución:
Se debe plantear:
2211 BABA  x4166   x = 36
4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente
proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a
65 Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material,
si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?
Resolución:
k
área
distanciaprecio

)(
))((
, ( k = constante )
Entonces:
2s
(120).)(
s
(65).000)180( x
  x = 195 000
5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en
12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.
Resolución:
Sea R rapidez: RA = 3 RB
(Días) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores:
( RA + RB ) x 12 = RAxX
( 3RB + RB ) x 12 = 3 RBxX
4 RBx 12 = 3 RB xX
Simplificando: X = 16

MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE REFUERZO
Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de
números directa o inversamente proporcionales:
a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1
Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240
b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18
Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108
Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales.
1. Observar los ejercicios siguientes y responder:
Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4
Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100
¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”?
2. Completar:
Valor de magnitud A : 7 3 5 9
Valor de magnitud B : 28 12 ….. …..
¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?
3. En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos
magnitudesdirecta o inversamente proporcionales. Completar conforme el
caso:
a) Valor de magnitud y : 10 25 2 …. 5
Valor de magnitud z : 20 8 …. 4 ….
b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7
Valor de magnitud y : 6 9 …. …. …. …. …. ….

MATEMÁTICA
c) Valor de magnitud A : …. …. 7 …. …. …. …. ….
Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15
d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 …...
Valor de magnitud R : 4 …. 3 …. 240
Corregir respuestas:
1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40
Rpta.: inversamente proporcional.
2. 5 9
20 36
Rpta. directamente proporcional
3. a) 2 50 5
100 4 40
b) 3 72 1,5 207 270 21
c) 4 8 7 20 2 1,6 9
d) 4 24 3 0,5 0,1
11.4. REPARTO PROPORCIONAL.
Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números
llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente
proporcional.
11.4.1. TIPOS DE REPARTO.
A. REPARTO SIMPLE DIRECTO:Cuando las partes a obtener son
proporcionales a los índices.

MATEMÁTICA
Ejemplo:Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.
Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar
400, entonces:
2 k + 3 k + 5 k = 400
K ( 2 + 3 + 5 ) = 400  K = 40
Suma de índices
Constante de reparto
Ahora, damos lo que le toca a cada uno:
2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200
Método Práctico:
PARTESD.P.
A 2k
400 B 3k + k = 400 = 40
10
C 5k
10k
Luego:
A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5(40) = 200
Observación:
Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número
positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.
Ejemplo:
Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5 ; 3 ; 3
6 8 4
Resolución:
Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces
buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello

MATEMÁTICA
10
47
470
K 
es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los
índices.
MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24
PARTES D.P.
A :
6
5
x = 20 k
470 B :
8
3
x = 9 k
C :
4
3
x = 18 k
47 k
Luego las partes serán:A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10)
B. REPARTO INVERSO.
Recordando que:
( “A” IP “B” ) ( “A” DP “1” )
B
Inversamente Directamente
Proporcional Proporcional
 Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a
ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas
de los índices:
Ejemplo:
Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de
6 ; 9 y 12.
24
24
24

MATEMÁTICA
Resolución:
Partes I.P. D.P.
A: 6 1 x36 = 6 k
6
390 B: 9 1 x 36 = 4 k k = 390 = 30
9 13
C: 12 1 x36 = 3 k
12 13 k
Las partes serán:
A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90
C. REPARTO COMPUESTO.
Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios
grupos de índices.
Recordar:
Si: “A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).
EJEMPLO:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a
los números 4, 6 y 9.
Resolución:
MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P. I.P. D.P.
A : 3 4 13 x1= 3x 36 = 27k
4 4 4
2 225 B : 5 6 1 5 x1 = 5x 36 = 30k k = 2225 = 25
6 6 6 89
C : 8 9 18 x1 = 8x 36 = 32k
9 9 9 89k
Las partes son:
A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800

MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
6. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8
Resolución:
Partes D.P.
A : 3 3 k
32 B : 5 5 k k = 32 = 2
16
C : 8 8 k
16 k
Las partes son:
A = ……………… B = …………………. C = …………………
Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16.
7. Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4.
Resolución:
Partes D.P.
A : …. ….
63 B : . … …. k …… = ……
C : …. ….. ……
Luego los valores son: A = ………….…., B = ……………, C = ………………
Comparar respuestas:
6) A = 3 ( 2 ) = 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO
Primero : Se convierte la relación I.P. a D.P.
Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican.
Tercero : Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.

MATEMÁTICA
DP
7) : 2 2 k
…. : 3 3 k + k = 63 = 7
: 4 4 k 9
9 k
Las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7 ) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28
Resolver:
8. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus
trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del
semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4
faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?
9. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.
¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa
mezcla?
Corregir:
8)
Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60
A : 3 1x 60 = 20 k
3
470 B : 5 1x 60 = 12 k + k = 470 = 10
5 47
C : 4 1x 60 = 15 k
4 47 k
Las partes serán:
A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150
9)
DP
: 5 5 k
40 : 3 3 k + k = 40 = 4
: 2 2 k 10
10 k

MATEMÁTICA
Las partes son:
A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre
B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño
C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que:
3
A es I.P. a B. Si cuando
A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2.
A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228
2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera
360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que
pesa 324 Kg? (1 año = 365 días)
A) 28a, 294 d B) 27a, 280d C) 27a, 294d D) 28a, 292d E) 30a..
3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura
que se compra. Si para pintar 200 m2
se necesitan 25 galones. ¿Qué área
se pintará con 15 galones?
A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120
4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son
D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la
reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12
horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas
más?
A) 480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485
5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de
esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75
dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en
2 horas 30 minutos?
A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000

MATEMÁTICA
6. Repartir 22 270 inversamente proporcional a 5(n + 2)
; 5(n + 4)
; 5(n + 5)
. Dar
como respuesta la menor de las 3 partes.
A) 140 B) 150 C) 160 D) 170 E) 180
7. Repartir “N” directamente proporcional a los números 32 ; 72 ; 162
obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N”
más 578. Hallar “N”.
A) 5491 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800
8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus
edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades,
el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el
valor de “n”.
A) 13 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17
9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los
números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte
menor?
A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800
10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. ;;; 8
3
3
1
7
3
0,5;
indicar una de las cantidades.
A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
REPARTOS PROPORCIONALES.
En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser
proporcionales a ciertos números dados.
1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes
proporcionales asus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han
correspondido S/. 184, ¿cuánto sellevará cada uno de los otros dos que
tienen 15 y 12 años, respectivamente?
2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.
3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha
de pesar5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres
partes de oro, tres deplata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de
cada metal?
4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y
36000 m2,respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?
5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un
doceavo corresponde alos sueldos de los directivos, tres doceavos a los
sueldos de los técnicos y ochodoceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad
corresponde a cada grupo?
6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se
necesitan35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la
misma clase que mide0,95 m de ancho y 120 m de largo?
7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el
mismotiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540
litros?

MATEMÁTICA
8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las
traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las
segundas dan 2600vueltas?
9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño
y 15 g deníquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han
invertido 84 kg decobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel
empleadas?

MATEMÁTICA
UNIDAD 12
REGLA DE TRES

MATEMÁTICA
CONCEPTO.
Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en
calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes
y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.
12.1. REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).
Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen
tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:
R3S DIRECTA.
Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales (D.P).
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la
incógnita “X”.
Se plantea así:
MAGNITUD A MAGNITUD B
Supuesto: a c ……………………. 
Pregunta: b X
(D)
Como son magnitudes directamente proporcionales se está
indicando por (D) y aplicando la definición se tiene:
x
b

c
a
Despejando la incógnita “X”
a
bc
x 

MATEMÁTICA
REGLAS PRÁCTICAS.
REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de   se efectúa:
cbXa .. 
a
bc
x 
REGLA 2°. Del planteado   la incógnita “X” es igual al valor que está sobre él,
multiplicado por la fracción
a
b
.
X = c.
a
b
EJEMPLO (1):
Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las
primeras?
RESOLUCIÓN.
Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el
costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor
y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:
Cantidad Limas Costo (s/.)
Supuesto: 3 144
Pregunta: 7 X
(D)
Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:
336
3
7
.144x  soles
OBSERVACIÓN:
Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la
segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente
proporcionales.
Se coloca de manera diferente como
se indica en el planteo  

MATEMÁTICA
EJEMPLO (2):
Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12
revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto
respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:
Nº REVISTAS Costo (s/.)
Supuesto: 5 X
Pregunta: 12 X + 28
(D)
En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se
multiplica en “aspa”:
5 (X + 28) = 12X
5X + 140 = 12X
140 = 7X
X = 20
R3S INVERSA.
Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a
incógnita “X” se plantean:
MAGNITUD A MAGNITUD B
Supuesto: a c …………… 
Pregunta: b X
(I)
Por definición de magnitudes inversamente proporcionales
acbx .. 
b
a
cx .

MATEMÁTICA
REGLAS PRÁCTICAS:
 REGLA Nº 1.Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser
iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.
 REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra
sobre ella multiplicado por la fracción
b
a
; es decir, se copia Igual como está en
el planteo.
b
a
cX .
EJEMPLO 3:
¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8
horas?
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número
dealbañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a
mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de
albañiles mayor tiempo, por lo cual se plantea:
N albañiles Tiempo
(horas)
Supuesto: 1 8
Pregunta: 2 t
( I )
Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:
horas4
2
1
.8t 
EJEMPLO 4:
Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto
pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.
Se copia Igual como está en el
planteo  

MATEMÁTICA
RESOLUCIÓN.
Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor
velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.
VELOCIDAD TIEMPO
Supuesto: 90 X
Pregunta: 120 X - 2
(I)
En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:
90(x) = 120 (x – 2)
3x = 4x – 8
8 x
NOTA:
 En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).
 En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o
multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).
 Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden
dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.
12.2. REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).
Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.
MÉTODO DE SOLUCIÓN.
Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas
prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a
seguir los siguientes pasos:
1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema.

MATEMÁTICA
2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma
magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las
mismas unidades.
3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila
(pregunta) los demás incluido la incógnita.
4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,
indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es
inversamente proporcional con (I).
5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella
por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se
coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.
EJEMPLO (5).
Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho
21m3
de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3
de la misma obra
de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12
días de 8 h/d.
RESOLUCIÓN.
X%
=60%.
%48
5
3
.
14
21
.
9
8
.
16
12
.
6
8

NOTA:
 Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el
rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola
magnitud que sería el rendimiento total.
 Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se
multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.
RENDIMIENTO Nº OBREROS Nº
DIAS
H / D OBRA DIFICULTAD
Supuesto 60% 8 12 8 14 5
Pregunta X% 6 16 9 21 3
(I) (I) (I) (D) (D)
Igual Igual Igual Diferente Diferente

MATEMÁTICA
 Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican
y se
reemplazan por la magnitud obra.
%48
10
9
.
3
2
%.80%  X
PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I
Resolver los siguientes problemas:
1) 18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20.¿Cuánto cuestan 5 tornillos?
2) Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?
3) Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo
realizan en un día?
4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a
la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?
5) Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m
cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.
6) Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200
revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de
720 mm de diámetro?
7) Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto
puede recorrer con 40 litros en el tanque?
RENDIMIENTO TOTAL TIEMPO OBRA
60 % • 8 12. 8 <> 2 14..5 <> 10
x % • 6 16..9 <> 3 21..3 <> 9
(I) (D)

MATEMÁTICA
8) Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de
marcha en km/h?
9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.
¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224
revoluciones?
10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se
necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m?
11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto
estaño es necesario para 122 kg de bronce?
12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches
roblonan 2 obreros en 4 horas?

MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II.
1) Para recorrer 44 km, una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de
igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km?
A) 44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30
2) Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres
aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el
trabajo?
A) 30 B) 26 C) 32 D) 25 E) 40
3) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.
¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?
A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días
4) Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9
dm de arista. Después de 320 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo
de 36 dm de arista se habrá construido?
A) 2
1 B) 4
1 C) 5
1 D) 6
1 E) 3
1
5) Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días ¿Cuántos
obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las 10
3
partes de ese tiempo?
A) 14 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18
6) En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros
de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga
29 gramos de azúcar?
A) 8 l B) 9 l C) 10 l D) 11 l E) 20 l

MATEMÁTICA
7) Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3
obreros.¿Cuántos días se retrasará la obra?
A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15
8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar
un trabajo.¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias
para hacer el mismo trabajo?
A)8 B) 18 C) 24 D) 32 E) 34
9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un
cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior?
A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560
10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas
diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes
del plazo.¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta
que se aumento 1 hora de trabajo diario?
A)8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan
su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra.
A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 17
12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en
5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir
800 metros de carretera con 80 obreros doblemente eficientes que los
anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por
día?
A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

MATEMÁTICA
13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál
sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las
ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg.
A) S/. 91,81 B) S/. 8,91 C) S/. 8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29
14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento
abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el
trabajo los obreros que quedan?
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 %
ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una
hora antes?
A) 100% B) 15% C) 20% D) 25 E) 40%
16) Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4.
¿Cuánto demorará en dar las 8?
A) 15s B) 1Os C) 16s D)12s E) 14s
17) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.
¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?
A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días
18) Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de
trigo en 40 días, después de 10 días de trabajo se retiran 5 hombres y 5
mujeres. Determinar con cuántos días de retraso se termina la cosecha si el
trabajo que realiza un hombre equivale al de 2 mujeres.
A) 18 B) 15 C) l2 D) l0 E) 9
19) A y B hacen un trabajo normalmente en 18 y 24 días respectivamente. El
primero aumenta su rendimiento en 20 % y el segundo en 50 %. Si trabajan
juntos, ¿en cuántos días harían el trabajo (aproximadamente)?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

MATEMÁTICA
20) Para pintar una casa, 1ero se pasa la primera mano, luego el acabado. Hugo
y Carlos se disponen a pintar una casa a las 6:00 a.m. Carlos el encargado
del acabado espera que Hugo pinte durante 3 horas aduciendo que él lo
hace en 2 horas lo que hasta ese momento Hugo ha hecho. Si terminaron
simultáneamente el trabajo a qué hora fue.
A) l p.m B) 2 p.m C) 3p.m D) 4p.m E) 5 p.m
21) Un grupo de 15 máquinas pueden completar un trabajo en 24 días.
¿Cuántas máquinas adicionales, cuya eficiencia es el 60 % de los anteriores
se necesitan si el trabajo aumenta en un 80 %, pero se sigue teniendo 24
días para completarlo?
A) 20 B)5 C)40 D)25 E)36
22) En cuántos días se atrasara una obra si faltando 10 días los obreros bajan
su rendimiento en un 25%. La jornada diaria es de 9 horas
A) 3d 3h B) 11d 3h C) 13d 3h D)15d E) 16d 4h
23) Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta
cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si le dieran 6 máquinas
más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola
máquina?
A) 36 B)42 C)48 D)30 E)33
24) Una obra puede ser hecha por 24 obreros en 21días .¿Cuántos obreros
hay que añadir para que la obra se termine en 12 días ?
A) 14 B)15 C)16 D)17 E)18
25) Si 36 obreros cavan 1800 metros de una zanja diaria .¿Cuál será el
avance diario cuando se ausenten 18 obreros?
A)70 m B)809 m C)900 m D)600 m E)100 m

MATEMÁTICA
26) Dos ruedas cuyos diámetros , son 13m y 20,8m están movidas por una
correa , cuando la menor da 208 revoluciones .¿Cuántas revoluciones da
la mayor?
A ) 137 B)137,2 C)130 D)133,7 E)135
27) 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días .Después de 8 días de
trabajo se retiran 5 obreros .¿Con cuántos días de retraso se entregará
la obra?
A )15 B)30 C)16 D)18 E)20
28) Johana es el doble de rápida que Esmeralda y ésta es el triple de rápida
que Rossmery .Si entre las tres pueden terminar una obra en 16 días
.¿En cuántos días Esmeralda con Rossmery harán la misma tarea?
A) 22 B) 30 C) 15 D) 40 E) 64

MATEMÁTICA
UNIDAD 13
PORCENTAJE E INTERÉS SIMPLE

MATEMÁTICA
13.1. PORCENTAJE.
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una
fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado
utilizando el signo porcentaje %.
20 Por Ciento =
100
20
= 20 x
100
1
= 20 %
100
1
% 
13.2. TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO.
Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción
con denominador 100; por ejemplo:
a) 20% =
100
20
=
5
1
b) 60% =
100
60
=
5
3
c) 2,4% =2,4
100
1
 =
100
1
10
24
 =
125
3
d) 0,002% =
100
1
1000
2
 =
50000
1
e)
17
12
% =
100
1
17
12
 =
425
3
13.3. TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE.
Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número
por 100 %.
Ejemplos:
a) 1 <> 1 x 100%= 100 %
b) 3 <>3 x 100% = 300 %
c) 0,25 <> 0,25 x 100% = 25 %
d)
5
3
<>
5
3
x 100% = 60 %

MATEMÁTICA
e)
5
4
2 <>
5
14
x 100%= 280 %
13.4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA MISMA
CANTIDAD.
Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad.
Ejemplos I:
a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A
b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B
c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B- 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B
Ejemplos II:
a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad
b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad
c) “C” menos su 40% = 60% “C”
13.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Problemas I:
a) Hallar el 30% de 6000.
Solución:
Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la
operación de la multiplicación.
30% de 6000 = 
100
30
6000 = 180

MATEMÁTICA
b) Hallar el 0,4% de 50000
Solución:
0,4% de 50000 = 
100
1
10
4
50000 = 200
c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104
Solución:
3% del 20% del 5% de 6 x104
= 
100
5
100
20
100
3
6104
=18
d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?
e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:
1a. 10% de 2860 1b. 10% de 1280 1c. 50% de 4970
2a. 10% de 3060 2b. 10% de 1340 2c. 10% de 50
3a. 50% de 2710 3b. 10% de 2400 3c. 50% de 1060
4a. 10% de 3440 4b. 50% de 1520 4c. 50% de 1470
5a. 50% de 2500 5b. 50% de 1600 5c. 10% de 3860
6a. 50% de 1370 6b. 10% de 4940 6c. 10% de 100
f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura.
a. 25% de la figura (
25 1
25%
100 4
  )
b. 100% de la figura (100% )   

MATEMÁTICA
c. 80% de la figura (80% )   
d. 50% de la figura (50% )   
e. 60% de la figura (60% )   
Problemas II:
a) ¿20% de qué número es 70?
Solución:
20% de que número es 70
20%.N = 70  
100
20
N = 70N = 350
b) ¿4 es el 0,25% de qué número?
Solución:
0,25%.N = 4  
100
1
100
25
N = 4 N = 1600
c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el
dinero que tengo?
Solución:
Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.
130%.T = 260  
100
130
T = 260T = 200
d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6
soles. ¿Cuál es el precio real del libro?

MATEMÁTICA
Solución:
El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.
60%.L = 6  
100
60
L = 6 L = 10
e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la
fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuánto fue la
Fortuna?
Solución:
Problemas III:
a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4?
Solución:
En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”,
significa igual.
x% . 80 = 4  
100
x
80 = 4 x = 5Rpta: 5%
b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por
ciento de los operarios no son mujeres?
Solución:
El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas
¿Qué porcentaje de 460 es 345?
X%.(460) = 345  
100
x
460 = 345x = 75 Rpta 75%
c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada?
Solución:
Si preguntan qué porcentaje representa la parte
sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción
está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir
como porcentaje.
k

MATEMÁTICA
Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se convertirá en porcentaje.
A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.
Recordar:
“La diagonal de un paralelogramo divide a este
en dos triángulos de igual superficie.”
Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto
de uno de los lados con los extremos del lado opuesto
se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del
paralelogramo.”
Ahora se va a analizar por partes la figura:
Resumiendo:
Total = 64k; No sombreado = 36k; Sombreado = 64k – 36k = 24k
Fracción sombreada =
total
sombreado
=
k64
k24
=
8
3
Porcentaje sombreado = 
8
3
100% = 37,5%
d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36?
e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?
S
SS
S
S
Área total: 2S
El rectángulo contiene
32k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
inferior derecho será 16k,
El rectángulo contiene
18k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
superior 9k,
Trabajando en forma
similar las otras partes,
observamos que la parte
no sombreada es 36k
16k
9k
9k 2k
9k16k

MATEMÁTICA
f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte
sombreada de la no sombreada?:
-
PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA.
Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales
según muestra los gráficos siguientes:
Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente:
PV = Precio de Venta.
PC = Precio de Compra o Precio de Costo
G = Ganancia
P = Pérdida
PV = PC + G
PV = PC - P
$ 100.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
$ 120.00
Rossmery vende
el TV a $ 120.00
PC: Precio de costo Pv: Precio de venta
Ganancia de $ 20.00
$ 100.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
$ 70.00
Rossmery vende
el TV a $ 70.00
PC Pv
Pérdida de $ 30.00

MATEMÁTICA
De lo cual se deduce que:
Si hubiera sido un aumento entonces:
Problemas:
a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para
ganar el 15% sobre el precio de compra?
Solución:
PV = PC + G
PV = 120 + 15%.(120)
PV = 120 + 15%.(120)
PV =S/ 138
b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le
hicieron un descuento del 25%?
Solución:
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
120 = PF - 25%. PF
120 =75%. PF
120 =
100
75
PFPF = 160
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
$ 100.00
Rossmery desea vender un vestido y lo
exhibe en su tienda a $ 100.00
$ 40.00
Rossmery vende el vestido
a $ 40.00
PF: Precio Fijado o Precio de Lista Pv: Precio de Venta
Rossmery realiza un
Descuento de $ 60.00
PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento
Datos:
Pc = 120
Pv= ?
G = 15%.Pc
Datos:
Pv = 120
PF= ?
Descuento = 25%.PF

MATEMÁTICA
c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y la
ganancia es el 8% del precio de venta?
d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el 25%
del precio de costo. Hallar el precio de costo.
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS.
Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o
aumentos en forma sucesiva.
Por ejemplo:
Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%,
25% y 30% del precio inicial del auto:
En el 1º descuento es del 20% de $8000,
por lo tanto el nuevo precio será:
PFINAL = 80%(8000)
El 2º descuento es de 25% de 80%(8000)
entonces el nuevo precio será:
PFINAL = 75%.80%(8000)
El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será:
PFINAL = 70%.75%.80%(8000)= $ 3360
Entonces el descuento único fue de: $8000 - $ 3360 = $ 4640
¿Qué % es el descuento único?
X%.8000 = 4640

100
X
8000 = 4640 X = 58% (Descuento único)
Problemas:
a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único
de?
Solución:
Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente
manera:
$ 8000.00
Rossmery desea compra un
auto cuyo precio de Lista es $
8000.00
PF

MATEMÁTICA
PINICIAL = 100%
PFINAL = 80%.100% Después de 1º descuento del 20%
PFINAL = 60%.80%.100% Después de 2º descuento del 40%
PFINAL = 
100
80
100
60
100%
PFINAL = 48% Descuento único = 100% - 48% = 52%
b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de?
Solución:
PINICIAL = 100%
PFINAL = 120%.100% Después de 1º aumento del 20%
PFINAL = 130%.120%.100% Después de 2º aumento del 30%
PFINAL = 
100
120
100
130
100%
PFINAL = 156% Aumento único = 156% - 100% = 56%
c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2 descuentos
sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta?
d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego de
los descuentos sucesivos de 20% y 15%?
VARIACIONES PORCENTUALES.
Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor
original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.
Problemas:
a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se
incremento en un 20% y su altura en un 50%?
Solución:
Método I:
Área Inicial = B.h<> 100%
B
h

MATEMÁTICA
La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un 50%
Área Final = 120%B.150%h =
100
150
100
120
 B.h
Área Final = 1,8.B.h
Aplicando regla de tres simple:
Bh 100%
1,8 Bh X
X = 100%.
Bh
Bh1,8
= 180%
El aumento de área en porcentaje fue de: 180%
Método II:
Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes
figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se
anularían.
AINICIAL = 100%
AFINAL = 120% .150% = 
100
120
150% = 180%
El aumento de Área = 180% - 100% = 80%
b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha
disminuido en un 40%. ¿En qué porcentaje ha variado su área?
Solución:
AINICIAL = 100%
AFINAL = 110% .60% = 
100
110
60% = 66%
El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%
120% B
150% h
+20% +50%
+10% -40%

MATEMÁTICA
c) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en
un 30%?
Solución:
Área del círculo es 2
.r = r.r  , la dimensión de longitud “radio” se multiplica
dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante ,
se cancela.
AINICIAL = 100%
AFINAL = 130% .130% = 
100
130
130% = 169%
El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%
d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la
mitad. ¿Cuánto % varía su área?
Solución:
3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en
un 50%
AINICIAL = 100%
AFINAL = 160% .50% = 
100
160
50% = 80%
El Área disminuye en: 100% - 80% = 20%
e) El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En qué porcentaje varia su
volumen?
Solución:
Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que
realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, porque la magnitud física de
volumen es L3
.
+30% +30%
+60% -50%

MATEMÁTICA
VINICIAL = 100%
VFINAL = 80% .80% .80% = 
100
80
100
80
80% = 51,2%
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
RESOLVER:
f) ¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta
en un 10 % y su base disminuye en un 10%?
g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En qué porcentaje debe de
aumentar la altura para que su área aumente en un 25%
h) Si el largo de un prisma rectangulardisminuye en un 20% y su ancho
aumenta en un 10%, ¿En qué porcentaje debe de variar su altura, para que
su volumen no varíe?
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)
1. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2
de una plancha de metal, la plancha
de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2
, Calcular el recorte en %.
2. Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué
tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20
dólares?
3. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga
820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?
4. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la
elaboraciónpierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
5. El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo sido
aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
-20% -20%-20%

MATEMÁTICA
6. En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22%
de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
7. Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las
proporciones de cobre y cinc en %.
8. 60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de
Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II).
1. Determinar el 3% de 600 piezas.
Solución:
Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres
directa.
En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se
debe calcular, luego, corresponderá x.
PIEZAS POR CIENTO
600.......................100%
X ....................... 3%
2. ¿Cuál será élnumero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?
Solución:
El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el
total de piezas).
3 .......
100 x

600 100
.............. ....
3 100
x piezas
x
    
POR CIENTO PIEZAS
3% ...........................18
100% ............................X
___________ ....................x piezas 

MATEMÁTICA
3. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento
obtuvo de descuento?
Solución:
José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:
Rpta. 20 %
4. Calcular el 8% de 320 octavos.
Solución:
8% de 320
.% 320 8
.............
100 100
B
p

  
5. ¿Qué por ciento es 5 de 30?
Solución:
5 es de 30
100. .............
% .............
p
B
  
6. Determinar:
a. 4% de 10
b. 25% de 80
c. 2,5% de 3
d. 10% de 480
VALOR PIEZAS
1 880 ...........................100%
1 440 ............................X
___________ 80%x  
100% ..................% ....................% 
Total = 320
Tasa = 8
Porcentaje = ¿
Total = 30
Porcentaje = 5
Tasa = ¿

MATEMÁTICA
7. Escribir en forma de porcentaje:
a. 0,75 _________________
b. 0,4 _________________
c.
2
_________________
5

d.
1
_________________
10

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III):
1. Hallar el 0,05% de 4 200.
A) 0,12 B) 0,021 C) 2,1 D) 2,01
2. Hallar los 3/5% de 6000.
A) 1640 B) 1620 C) 162 D) 16,2 E) 36
3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770?
A) 30% B) 60% C) 64 % D) 44% E) 80%
4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que
aumentar el nuevo precio para obtener el original?
A) 40% B) 50% C) 30% D) 66 3
2 % E) 60%
5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 14 7
2 %?
A)
6
1
n B)
6
5
n C)
6
7
n D)
3
1
n E)
7
6
n
6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el
20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de paseo?
A) 30% B) 32 2
1 % C) 35% D) 32% E) 20 2
1 %
7. Para unapuerta se necesitaron 1,86 m2
de chapa, la chapa perdida por
recortes fue de 0,2 m2
, Calcular el recorte en %.

MATEMÁTICA
8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor círculo
posible. Calcule el resto de recorte en %
9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto por
ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20?
10.Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga
S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?
11.Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde
la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
12.El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido aumentado a
S/. 3160,00.Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
13.En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de
todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
14.Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25 minutos,
con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de tiempo en por
ciento?
15.Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36%
alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2
. ¿Qué resistencia a la tracción
tenía el acero antes del refinado?
16.Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las
proporciones de cobre y cinc en %.
17.60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb;
el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
18.Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad.
¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV):
1. Calcular los siguientes porcentajes:
a. 20 % de 240;
b. 5 % de 900;
c. 60 % de 1240;
d. 40 % de 12000;
e. 8 % del 40 % de 160000;
f. 5 % del 30 % de 400000;
g. 10 % del 50 % de 60000;
h. 250 % de 840000.
2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el
tanto por ciento de ausencias?
3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión
municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?
4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las
camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital?
5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos
habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?
6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según el
porcentaje indicado:
a. 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %.
b. 8500 litros, si aumentan el 27 %.
c. 360000 personas, si aumenta el 3 %.
d. 2300 discos, si aumentan el 150 %.
e. 546 alumnos, si aumentan el 4 %.
f. 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %.
7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5.
¿Cuánto valía antes de la subida?
8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y tiene
321,6 hm3
. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias?

MATEMÁTICA
9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha costado
S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?
10.Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,
¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/.
100.
11.En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si
compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar?
12.Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las
ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV?
13.Un equipo de música vale en una tienda S/. 739 + 12 % de IGV, y en otra, S/.
800 incluido el IGV. ¿Dónde te conviene comprarlo?
14.Calcula el interés simple anual en los siguientes casos:
a) S/. 72000 al 9 % en 3 años y 6 meses.
b) S/. 144000 al 8 % en 5 años.
c) S/. 96000 al 11 % en 18 meses.
d) S/. 324000 al 12 % en 27 meses.
e) S/. 150000 al 10 % en 1000 días.
f) S/. 750000 al 9 % en 4 años y 6 meses.
15.¿Cuánto tiempo hay que tener colocados S/. 1000 al 5% anual para que se
conviertan en 1500 ?
Encuentra el capital que depositado al 7,5% ha producido unos intereses de
S/. 250 en 2 años

MATEMÁTICA
13.6. INTERÉS SIMPLE.
Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un
tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto
beneficio económico llamado interés.
La fórmula más conocida de interés simple es:
 El Interés, es también conocido como Ganancia, Beneficio, Renta, que
produce el capital del préstamo durante cierto tiempo.
 El Capital, conocido también como capital inicial, capital primitivo, capital
original. Suma de dinero que su poseedor impone o presta a determinadas
condiciones para obtener ganancia.
 La tasa de Interés, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene
como ganancia en un período de tiempo.
 El Monto, es también conocido como nuevo capital, capital originado, capital
final, capital generado. El monto es la suma de capital y interés que genera
este en cierto período.
Para el uso de la Fórmula, es importante tener en cuenta que la tasa de interés (i)
y el tiempo (T), deben estar en la misma unidad de medida del tiempo.
Si la tasa de interés y el Tiempo no están en las mismas unidades de medida,
entonces una de ella se tendrá que convertir en la misma unidad de medida que
la otra. Para hacer conversión, por cada grada se tendrá que multiplicar o dividir
según sea el caso, como se muestra en el grafico “escalera”.
Donde:
I = Interés
C = Capital
i = Tasa de interés
T = Tiempo
M = Monto
I = C.i.T
M = C + I

MATEMÁTICA
Ejemplos:
1. Convertir 3 bimestres a quincenas: 3  4 = 12 quincenas; “se
multiplica por 4, porque un bimestre tiene 4 quincenas.”
2. Convertir 7 meses a años: 7  12 = 7/12 año; “se divide entre 12,
porque un año tiene 12 meses.”
Ejemplos:
1. Convertir la tasa de interés de 6% anual a tasa trimestral:
6%  4 = 1,5% trimestral;
“se divide entre 4, porque un año tiene 4 trimestres.”
2. Convertir la tasa de interés de 0,2% diario a tasa mensual:
0,2%  30 = 6% mensual;
“se multiplica por 30, porque un mes tiene 30 días.”
Año
Semestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
TIEMPO
2
3
2
2
15
Cuando se desciende la
escalera, se multiplica
Año
Semestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
TIEMPO
 2
 3
 2
 2
 15
Cuando se asciende la
escalera, se divide
Año
Semestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
Tasa de Interés (i)
2
3
2
2
15
Cuando se desciende la
escalera, se divide
Año
Semestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
 2
 3
 2
 2
 15
Cuando se asciende la
escalera, se multiplica
Tasa de Interés ( i)

MATEMÁTICA
Problemas:
Pedro depositó $ 4500 en el Banco de Crédito a una tasa mensual del 3%.
¿Cuánto ha ganado en 4 meses?
a) $620 b) 480 c) 540 d) 370 e) 360
Solución:
Se observa que la tasa de interés está en meses y el
tiempo también está en meses, entonces se puede
aplicar la fórmula:
I = C.i.T
I = 4500(3%).(4)
I = 4500 
100
3
4 = S/ 540
Respuesta: En 4 meses ha ganado S/ 540 y su nuevo capital o Monto
será:
4500 + 540 = S/. 5040
Un Capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de $ 800 en 4
meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 9% semestral en 8
meses?
a) $150 b) 160 c) 420 d) 480 e) 550
Solución:
Hallando el capital “C”.
I = C.i.T
800 = C.(5%).(4)
800 = C 
100
5
4 C = S/. 4000
Ahora, se calcula el interés que producirá el capital de S/ 4000 a una tasa de 9%
semestral, durante 8 meses. “la tasa de interés semestral se convertirá en tasa de
interés mensual”.
Datos:
C = S/ 4500
i = 3% mensual
T = 4 meses
Datos:
C = ?
i = 5% mensual
I = 800
T = 4 meses

MATEMÁTICA
I = C.i.T
I = 4000.(
6
9
%).8 = 4000 
100
1
6
9
8
I = S/ 480
El precio de una moto es $ 2600; si Pablo tiene sólo $ 2400 ¿Qué tiempo deberá
depositar este dinero a una tasa del 4% anual para que pueda comprar la moto?
Suponer que la moto no cambia de precio.
a) 2a b) 2a 1m c) 1a 8m d) 1a 6m e) 3a 1m
Solución:
El precio de la moto S/. 2600, es el capital final que se debe tener para `poder
comprar la moto, “capital final o también llamado Monto”.
El interés que se debe de ganar es: S/ 2600 – S/ 2400 = S/ 200
“El tiempo que se calculará será en meses porque es la menor unidad de medida
del tiempo que se muestran en las alternativas.”
I = C.i.T
200 = 2400.(
12
4
%).T
200 = 2400
100
1
12
4
 .T
T = 25 meses = 2 años 1 mes
OBSERVACION.- El interés que genera un capital es proporcional al tiempo;
siempre que la tasa de interés permanezca constante.
Datos:
C = 4000
i = 9% semestral =
6
9
% mensual.
T = 8 meses
I = ?
Datos:
C = S/ 2400
i = 4% anual =
12
4
% mensual.
T = T meses
I = S/ 200

MATEMÁTICA
Reglas Prácticas:
También se tiene que:
100
t.%.c
I 
1200
t.%.c
I 
36000
t.%.c
I 
Nota:
Recordar la forma de realizar el cambio de tasa anual a otros períodos menores.
 Averiguar cuántos períodos menores hay en el período mayor. Por ejemplo en
año hay 6 bimestres, entonces dividir la tasa anual entre 6 y listo, se tiene la
tasa bimestral.
 Ahora al revés, se quiere la tasa anual y sólo se tiene la tasa trimestral, en un
año hay cuatro trimestres, se multiplica por cuatro, ya se tiene la tasa anual.
Tasa anual Período N° períodos al año Tasa del período
40% anual 1 40% anual
40% semestral 2 20% semestral
40% trimestral 4 10% trimestral
40% bimestral 6 6,67% bimestral
40% mensual 12 3,33% mensual
Ejemplo:
Qué interés origina S/ 7200,00, al 2% trimestral en 5 meses?
Solución:
C = 7200 ; Tasa = 8% anual
1200
t.%.c
I   240
1200
587200


I  240I
Donde:
C : Capital
%=i = tasa de interés
I= Interés
Nota: La tasa de interés o
porcentaje, siempre debe estar en
tasa ANUAL
t : años
t : meses
t : dìas
36000
1200

MATEMÁTICA
Se deposita en un banco $ 2500 a una tasa quincenal del 0,6% ¿Qué interés
habrá producido en 5 quincenas?
a) $75 b) 150 c) 45 d) 60 e) 90
¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en
$ 6500 a los 2 años?
a) $4000 b) 5000 c) 7000 d) 2000 e) 3000
Si en interés producido por un capital en 8 meses equivale a un cuarto de capital.
¿Cuál es la tasa de interés anual a la cual fue depositada?
) 42,5% b) 32,5% c) 35% d) 37,5% e) 40%
Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y el resto al 2,5% trimestral. Si al
cabo de 2 años los intereses son $ 6240, hallar el capital original.
a) $24000 b) 30000 c) 36000 d) 42000 e) 50000
Un capital se impone al 5% mensual, ¿En qué tiempo se quintuplicará?
a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m
EJEMPLOS DE PORCENTAJE: Completar convenientemente:
FRACCIÓN A PORCENTAJE.
Escribir
1
5
en forma de porcentaje.
Solución:
1
5 100
x
 ,
100 1
............
5
x

 
Sustituyendo x en la razón
100
x
,se tiene el porcentaje
20
100
ó 20 %
Escribir
3
4
en forma de porcentaje.
PORCENTAJE A FRACCIÓN.
Escribir 30% en forma de fracción irreductible.

MATEMÁTICA
Solución:
30 3
30%
100 10
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE PORCENTAJE:
Completar los espacios en blanco.
Determinar el 3% de 600 piezas.
Solución:
Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de
tres directa.
En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que
se debe calcular, luego, corresponderá x.
PIEZAS POR CIENTO
600.......................100%
X ....................... 3%
¿Cuál será el número de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?
Solución:
El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es
el total de piezas).
3 .......
100 x

José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo de
descuento?
Solución:
600 100
.............. ....
3 100
x piezas
x
    
POR CIENTO PIEZAS
3% ...........................18
100% ............................X
___________ ....................x piezas 
VALOR PIEZAS
1 880 ...........................100%
1 440 ............................X ___________ 80%x  

MATEMÁTICA
José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:
Rpta. 20 %
TANTO POR CIENTO MÁS.
Un libro que cuesta S/. 25,00 va a aumentar de precio el 20 %. ¿Cuál será el
nuevo precio?
Solución:
El precio del objeto antes del aumento es representado por el 100 %, después del
aumento, será representado por 100 % + 20 % = 120 %
Se puede entonces plantear el problema:
....... 25.00 ............... .................
..................
120 ...........
x
x

    
Rpta. S/. 30
TANTO POR CIENTO MENOS.
Un corte de tela fue comprado con un descuento del 15% del costo a S/. 170
¿Cuál es el valor real de ese corte?
Solución:
El precio de corte era representado por 100%, después del descuento estará
representado por 100% -15%, o sea 85%.
........ ........ ............... .................
..................
........ ........ ...........
x

    
Rpta.: S/. 200
100% ..................% ....................% 
100% ____________ .............
120% ____________ X
100% ____________ X
85% ____________ 170.00

MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE PORCENTAJE.
a. Calcular el 8% de 320 octavos.
Solución:
8% de 320
.% 320 8
.............
100 100
B
p

  
b. ¿Qué por ciento es 5 de 30?
Solución:
5 es de 30
100. .............
% .............
p
B
  
c. 18 alumnos representan el 60% de un turno. ¿Cuántos tienen ese turno?
Solución:
18 alumnos es el 60%
............... ..................
.
............... ..............
p    ...............
Total = 320
Tasa = 8
Porcentaje = ¿
Total = 30
Porcentaje = 5
Tasa = ¿
Porcentaje = 18
Tasa = 60
Total = ¿

MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE REPASO.
1. Completar observando el ejemplo:
Ejemplo:
4 80
80%
5 100
 
a.
1 ......
..........%
2 100
  b.
3 ......
..........%
4 100
 
2. Completar los ítems observando el ejemplo:
Ejemplo:
70
0,70 70%
100
 
a. 0.25 = ............ = .............% b. 0.01 = .............. = ..............
4. Un objeto fue comprado con el 20% de descuento, así costo S/. 480. ¿Cuál
era su precio inicial?
5. Determinar:
a. 4% de 10
b. 25% de 80
c. 2,5% de 3
d. 10% de 480
.
6. Una pieza de 36,5 Kg debe contener cobre, estaño y zinc. ¿Cuánto de cada
metal será necesario, si la mezcla debe contener 96% de cobre, 3% de
estaño y 1% de zinc?
7. ¿Cuántos Kg de cobre y plomo serán necesarios para obtener 60 Kg de una
mezcla de dos metales que contenga el 70% de Cobre y el resto de plomo?
8. Un tornero recibe un salario de S/. 9 por hora y el 25% más de sobre las
horas extras. Siendo su horario normal de trabajo de 8 horas y sabiendo
que en 5 días ha trabajado 52 horas, se pregunta ¿Cuánto recibirá?
9. Escribir en forma de porcentaje:
a. 0,75 _________________
b. 0,4 _________________
c.
2
_________________
5


MATEMÁTICA
EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJE:
1. Los aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un único aumento de:
A) 63% B) 43%C) 42,8% D) 40% E) 48%
Solución:
Calculando el primer aumento: 100% + 10% =110%
El segundo aumento: 100% + 30% =130% A=130%(110%) = 143%
Luego, el aumento es 43 %
2. Si la base de un triángulo, disminuye en su 20% y su altura disminuye 30%,
el área en qué porcentaje disminuye.
A) 56% B) 44% C) 54% D) 24%E) 76%
Solución:
Calculando el primer descuento: 100% - 20% = 80%
el segundo descuento: 100% - 30% =70%
Luego, el área final es 80%x70% = 56 %del área inicial,
disminuyó en 44%.
3. Si “a” aumenta en su 10%, ¿en qué porcentaje aumenta “a2
”?
A) 10% B) 42%C) 21% D) 100%E) 20%
Solución:
Área inicial: 100%
Área final: 110% x 110% =121%, el área aumentó en 21%,
4. El área de un cuadrado es 100 m2
. Si sus lados disminuyen en 6 m, ¿En qué
porcentaje disminuye su área?
A) 16% B) 36%C) 44% D) 84% E) 64%
Solución: Área inicial: 10 x 10 = 100
Área final: 4 x 4 = 16 el área disminuyó 84%.

MATEMÁTICA
5. Si las aristas de un cubo aumentan su triple, ¿En qué porcentaje aumenta su
volumen?
A) 2700% B) 6400% C) 1600% D) 2600% E) 6300%
Solución:
Volumen inicial: a x a x a = a3
Volumen final: 4a x 4a x 4a = 64 a3
el área aumentó 6300%
6. ¿Qué porcentaje de “a” es (a + 0,05a)?
A) 105% B) 50%C) 125% D) 150% E) 250%
Solución:
Se calcula(1a + 0,05a)/ a x100%= 105%
7. ¿"a" es el n% de qué número?
A)
a
n100
B)
n100
a
C)
100
an
D)
n
a100
E)
a100
n
Solución:
a= n% x luego despejando x =
n
a100
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE:
8. Calcular el capital que en 4 años prestado al 8% de interés anual, ha
producido S/. 22 de interés.
A) S/. 50 B) S/. 70 C) S/. 60 D) S/. 120 E) S/. 240
Solución:
Datos:
I = S/. 22,4
r = 8% anual
t = 4 años
Usando la fórmula tenemos:
100
.
I
C
r t

Capital: 100 22, 40
4 8
c



; donde C =

MATEMÁTICA
9. ¿A qué tasa anual se debe prestar un capital de S/. 120 para que al término de
3 meses produzca S/. 2,88?
A) 13 B) 8 C) 4,5 D) 7,1 E) 9,6
Solución:
Datos: I = S/. 2,88 c = S/. 120,00 t = 3 meses =
3 1
12 4
a a
Usando la fórmula se tiene:
100
.
I
r
C t

100.2,88
1
120.
4
r 
donde r =
10. Calcular por cuánto tiempo se debe prestar, a una tasa de 0,5% mensual, un
capital de S/. 800 para obtener S/. 280 de interés.
A) 5 a10 m B) 3a10 m C) 7 a8 m D) 9 a4 m E) 35 meses
Solución:
Datos: c = S/. 800,00 I = S/. 280,00 r = 0,5 x 12m = 6% al año
100
.
I
t
C r

Tiempo:
100.280
800.6
t 
Donde
5
5
6
t  a = ........años y .......meses
11. Calcular el interés producido por un capital de S/. 20 000 colocados a una
tasa de 12% anual, durante 3 años.
A) S/. 2500 B) S/. 3000 C) S/. 6000 D) S/. 7200 E) S/. 4000

MATEMÁTICA
Solución:
Datos:
c = S/. 20 000 r = 12% anual t = 3 años
. .
100
C r t
I 
20000.12.3
100
I  Luego I = S/. …………………….
12. ¿Qué tiempo debe estar prestado un capital de S/. 8 500 al 3% trimestral
para producir S/. 1 360 de interés?
A) 12 m. B) 16 m. C) 18 m. D) 9 m. E) 20 m.
Solución:
La tasa 3% trimestral se pasa a anual, 3% x 4 trimestres = 12% anual
Usando la fórmula de meses
. .
1200
C r m
I  y despejando el tiempo
m:
1200 1360
16
12 8500
x
t meses
x
 
13. ¿A qué tasa anual debe ser colocado un capital para que a los 8 meses
produzca un interés equivalente a los 7/50 del capital?
A) 27 B) 35 C) 14 D) 21 E) 36
Solución:
Se sabe que:
7
50
I C reemplazando
. . 7
1200 50
C r m
C
Se puede eliminar el capital y despejar la tasa anual, donde m = 8 meses
.8 7
1200 50
r
 despejando, la tasa es r = 21 % anual

MATEMÁTICA
14. Jorge y Luis ahorran juntos. El primero deposita S/. 600 y el segundo S/. 800
a una tasa 10% mensual y el 10% bimestral respectivamente. ¿Dentro de
cuánto tiempo tendrán el mismo monto?
A) 17 m. B) 12 m. C) 13 m. D) 8 m. E) 10 m.
Solución:
Calculando las tasas anuales:
Jorge 10% x 12 meses = 120% anual
Luis 10% x 6 bimestres = 60% anual,
como los montos ganados deben ser iguales
1 2M M
1 2
1 2
. .
(1 ) (1 )
100 100
r t r t
C C  
120. 60.
600(1 ) 800(1 )
100 100
t t
  
600 720. 800 480.t t  
y despejando el tiempo t es 10/12 años = 10 meses
15. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se
convierta en S/. 6 500 en 2 años?
A) S/. 4000 B) S/. 5000 C) S/. 7000D) S/. 2000 E) S/. 3000
Solución:
Como se convierte, entonces es monto
.
(1 )
100
r t
M C 
Reemplazando:
15 2
6500 (1 )
100
x
C 
Y despejando el capital C = 5000 soles

MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE:
Resolver aplicando las fórmulas.
1. Calcular por cuánto tiempo se prestará, a una tasa de 7% anual, un capital
de S/. 800, para obtener S/. 280 de interés.
2. Calcular el capital que en 3 años rindió S/. 270 al 5% anual.
3. ¿A qué tasa se deben colocar S/. 850, durante 2 años, para que rindan
S/.51?
4. ¿A qué tasa anual fue prestado un capital de S/. 12 000 que en 9 meses
rindió S/. 450 de interés?.
En la práctica las fórmulas son preparadas para facilitar los cálculos, así:
Para t en meses m :
. .
1200
C r m
I  y tasa r anual
Para t en días d :
. .
36000
C r d
I  y tasa r anual
Resolver:
5. a. ¿Qué interés producirán S/. 12 000 prestados al 5% anual, al final de 9
meses?
b. ¿Qué interés produce en 20 días a una tasa de 6% anual, un capital de
S/. 150 000?

MATEMÁTICA
UNIDAD 14
ÁNGULO

MATEMÁTICA
Postulados:
 La línea recta posee dos sentidos.
 La línea recta se extiende
indefinidamente en ambos
sentidos.
 Dos puntos determinan una recta
 Por un punto pasan infinitas
rectas.
14.1 DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA.
RECTA.
Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.
Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.
A
B
r
Así, la recta puede ser representada de dos maneras:
- Con una letra minúscula: r, s,t,….
- Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….
Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta:
s
D E F G
C t H
u
Recta …………..o CD recta t, o……….. recta ……… o ………..
RAYO.
Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los
sentidos.
La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la
figura.
Notación: OA
SEMIRRECTA.
Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no
considera el origen.
Gráficamente: Notación: OA

MATEMÁTICA
14.2. ÁNGULO.
 Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen común.
 Parte común a dos semiplanos.
 Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.
 Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo
origen.
 
Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura
● A
lado
ángulo cóncavo     ángulo convexo
O abertura
Lado ● B
180º << 360º
14.2.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN.
S: sistema sexagesimal
C: sistema centesimal
R: sistema radial
S C R
360º 400g
2 
En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´= 60”
90º /2

MATEMÁTICA
II I
180º 360º  2
o
III IV
270º  3/2
14.2.2 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
A) TRANSPORTADOR.
B) GONIÓMETRO.
C) FALSA ESCUADRA.

MATEMÁTICA
θ
D) ESCUADRA.
14.2.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
I. De acuerdo a su medidas.
A) Ángulo agudo.
0º < m< 90º
B) Ángulo recto.
m = 90º 
C) Ángulo obtuso.
B 
90º < m< 180º
O C
D) Ángulo llano o lineal.

m = 180º
A O B
E) Ángulo convexo.
0º <θ < 180º
F) Ángulo no convexo (ó cóncavo).
180º <θ < 360º θ


MATEMÁTICA
II. De acuerdo a la posición de sus lados.
A) ÁNGULOS ADYACENTES.
Son dos ángulos que tienen un lado común.
B) ÁNGULOS CONSECUTIVOS.
Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro.
C) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados
del otro: m = m
III. De acuerdo a la suma de sus medidas.
A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
 +  = 90º
C ()= 90º – 
n = par: C CCCCC () = 
n = 6
n = impar: C CCCC () = C ()
n = 5



O
A
B C
D



MATEMÁTICA
B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
 +  = 180º S ()= 180º – 
n = par: S SSS () =  n = 4
n = impar: S SSSS () = S ()
n = 5
C) ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.
 +  = 360º
R ()= 360º – 
n = par: R RRRRR () = 
n = 6
n = impar: R RR () = R ()
n = 3




MATEMÁTICA
14.2.4 OPERACIONES CON ÁNGULOS.
Adición.
Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades
de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya
se vio esto anteriormente.
Observar la operación siguiente.
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con
segundo, minuto con ................... y grado con ...............
En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar
las relaciones existentes entre ellas.
En la suma del lado, hay 81’,
esto es un grado
y veintiún minutos (1° 21’).
Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53°
21’.
Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’
por 60’, que dará como cociente el número de grados
y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:
32° 17’30” +
19° 13’15”
51° 30’45”
1° 81’| 60
17° 36’ + 21’ 1°
35° 45’
52° 81’
53° 21’
17° 36’ +
35° 45’
52° 81’
1 grado (°) = 60 minutos (‘)
1 Minuto (‘) = 60 Segundos (“)

MATEMÁTICA
Observar además estos otros ejemplos:
35° 16’ + 17’42” +
45° 45’ 20’41”
80° 61’ 37’83”
81° 1’ 38’23”
EJERCICIOS DE ADICIÓN:
1. Sumar las siguientes medidas angulares:
a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................
b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = .....................
c. 21’30” + 2° 13’40” = ..................................
d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................
2. Calcular la medida del ángulo x:
 a = 27° 25’
 b = 16° 13’
 x = a +  b = ...........
3. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
a = 42°
b = 36°
c = 19°
 y = ................= ...........
RESPUESTAS:
1. a) 34° 55’ b) 141° c) 2° 35’10” d) 12° 45’10”
2. 43° 38’
3. 97°

MATEMÁTICA
Sustracción.
En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo
corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea
necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar:
¿Cuándo es posible hacer una resta?
Sólo es posible efectuar la resta cuando
las magnitudes:
Del minuendo son mayores o iguales que
las del Sustraendo.
Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo?
De 5’ no se puede restar 16’
Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera:
Se pide prestado 1° a los 74°. El mi -
nuendo, pasará entonces
A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado
que de los 74° fue
Retirado 1° quedando entonces 73°, este
1° fue transformado
En minutos(1° = 60’= y después, sumado
a los 5’ existentes
60’ + 5’ = 65’
Así fue posible la resta.
Observar con atención los ejemplos y completar.
EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS:
a) b) c)
13° 16’ -- 35° 25’ -- 12’16” --
8° 27’ 17° 35’9’40”
_________ _________ ____________
4° 49’ ................ 2’36”
49° 20’ -
20° 14’
29° 6’
74° 5’ -
18° 16’
?
El ángulo 73° 65’
es igual a 74° 5’
73° 65’ -
18° 16’
55° 49’

MATEMÁTICA
d) e) f)
10’25” -- 12° 15’18” -- 20° 10’35” --
8’45” 9° 20’25” 18° 15’30”
_________ ___________ ____________
………… 2° 54’53” ………….
Respuestas a los Ejemplos:
b) 17° 50’ c) 11’76” d) 9’85” - 1’40” f) 19° 70’ - 1° 55’5”
EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN:
1. Calcular la medida del ángulo x:
 x = ..........
2. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
 a = 35°
 b = 10° 15”
 y =  a -  b
3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?
 a = 35° 25’
b = 90° -  a

MATEMÁTICA
4. Restar las siguientes medidas angulares:
a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................
b. 53° - 19° 45’ = .................
c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................
d. 20’18” - 15’30” = ...............
e. 28° 16’30” - 17° 40’18” = .......
f. 47° 48’ 23° 55’10” = ...........
g. 45° - 12’29” = ...............
h. 36’ - 18’30” = ....................
i. 56° 17” - 5° 10’10” = ...............
5. Efectuar:
18° 36’ - 15° 42’37” + 3° 55’
Multiplicación.
Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar por ese
número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si
alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, se
transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
X 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"

MATEMÁTICA
6. Realizar los siguientes productos:
a. 56º 20' 40" * 2
b. 37º 42' 15" * 4
c. 125º 15' 30" * 2
d. 24º 50' 40" * 3
e. 33º 33' 33" * 3
f. 17º 43' 34" * 2
División.
Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número.
Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a
los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en
segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir
segundos.
7. Realizar las siguientes divisiones:
a. 56º 20' 40" : 5
b. 37º 42' 15" : 4
c. 125º 15' 30" : 5
d. 25º 50' 40" : 6
e. 33º 33' 33" : 2
f. 17º 43' 24" : 12

MATEMÁTICA
ÁNGULOS CONGRUENTES ().
Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida.
A B P R
30º 30º
mABC m PQR
C Q
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos
ángulos de igual medida o congruentes.
OM : Bisectriz
14.3 TEOREMAS RELATIVO A LOS ÁNGULOS.
1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un
Angulo de 45º
2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º
3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
PROBLEMAS RESUELTOS.
1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.
2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la
mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.

 
45º
Teorema 1



Teorema 2




Teorema 3

MATEMÁTICA
3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del
ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices
del ángulo MRA y ERN.
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular
la medida del ángulo menor.
5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la
medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m AOC = 80º
y m BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
7. En la figura, calcular el ángulo AOB.
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que m
AOB=20º, m BOD = m DOE y m COE = m BOC + m BOD = 90º.
Calcule m AOC.
9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y
EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.

MATEMÁTICA
10. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de
modo que:
5432
DECDBCAB
 y AE = 42 cm. Calcular CD.
Resolución de los Problemas:
1.
La ecuación será: º120
3
1
2
1
CSxx 
 )º120º180(º90
3
1
2
1
 xx º5x
2.
Del enunciado se tiene:
X =  

3
3
1
2
2 SC 





. . . ( I )
Donde : *  Medida del ángulo en mención
* x Valor de la Razón Aritmética
En ( I) : x =  

3180
3
1
2
902 






x = 180° -  - 60° +  x = 120º
3.
Dato:
AREmDROm  3
xx 3 
x2 
según el gráfico :  9022 x
 90)(2 x
 90)2(2 xx
 905x ; º18X

MATEMÁTICA
4. Sea “x” el ángulo menor:
5
3
º180

x
x
03º67º5,67 x
5.
Sea m AOX = θ
m AOB + m AOC = 90º
(θ + α ) + (θ – α ) = 90º
θ = 45º
6.
Se pide: α + β + θ = ?
Como:
2α + β = 80º
2θ + β = 60º
Al sumar y simplificar:
α + β + θ = 70º
7.
Sea m AOB = X
Del gráfico, por ángulo de una vuelta:
m DOB + m BOD = 360º
( 210º - X ) + 190º = 360º
X = 40º
α
α

MATEMÁTICA
8.
Piden m AOC = ?
Sean m BOC = α
m BOD = θ
Del enunciado
α + θ = 90º ....... ( 1 )
Se Observa
2θ = 90º + α .........( 2 )
Sumando ( 1) y ( 2)
2θ + θ = 180º
Θ = 60º y α = 30º
m AOC = 50º
9.
Tomando los ángulos en forma conveniente
( X - 2α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º
α = 72º
10.
14 X = 42
X = 3
Se pide:
CD = 12
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I).
1. Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para:
a) un pentágono regularb) un hexágono regular, c) un octógono regular.
20º

MATEMÁTICA
2. Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.
3. La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.
4. La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia
entre los tornillos.
5. Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste
se requiere el ángulo en decimales.
6. Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal
ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.
7. Convertir en:
a) Grados: 240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425
b) Minutos: 360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86
c) Segundos: 314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15
e) Sumar: 14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32

MATEMÁTICA
8. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1.
Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.
A) 80º B) 90º C) 65º D) 100º E) 60º
9. En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo
C, si AB = BE = EC
A) 72º B) 30º C) 36º D) 40º E) 80º
10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo
mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de
la suma de las medidas de dichos ángulos.
A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 20º
11. En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b).
A) 80º B) 85º C) 90º D) 100º E) 120º
x a
4
5
y 6
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.
Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los
ángulos HAC y ACF.
A) 125º B) 80º C) 135º D) 140º E) 120º

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de
otro ángulo que mide 105º.
A) 120º B) 125º C) 140º D) 130º E) 135º
2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a
2/5 de su suplemento.
A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º
3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5.
¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?
A) 95º B) 100º C) 105º D) 110º E) 105º
4. Hallar la medida de un ángulo es “X”, el suplemento del complemento del
triple de mX es igual al complemento de X aumentado en 20º. Calcular
mX.
A) 3º B) 4º C) 5º D) 6º E) 7º
5. En los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD se cumple que:
mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.
A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 25º
6. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza
el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.
A) 42º B) 20º C) 10º D) 21º E) 25º
7. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º.
Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos
BOC y AOC.
A) 22º B) 20º C) 18º D) 25º E) 26º
8. Hallar G:
G = 2 (35º 32’55” – 24º 48’40”)
5
A) 5º 12’45” B) 4º 17’42” C) 4º 12’ 32”D) 4º 7’32” E) 6º 27’42”

MATEMÁTICA
9. Efectuar: 98º 45´+ 77º 42´
5 6
A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 32º 42’ D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”
10.El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo.
A) Obtuso B) Congruente C) Llano D) Nulo E) De un giro
11. Restar: (2º 3´12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” )
a) 7º 19´ 8” b) 8º 41´ 8” c) 2º 41´ 2” d) 9º 19´ 8” e) 7º 31´ 4”
12.Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ son
las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY.
Si: mAOB – mBOC = . Hallar mBOZ
a) /2 b) /3 c) /4 d) /8 e) 2/3
13. Transformar /6 a grados sexagesimales:
a) 10º b) 20º c) 30º d) 45º e) 50º
14. Efectuar:E = 4 ( 24º 48´ 40”) + 6 ( 25º 32´ 45”)
a) 246º 38´ 42”
b) 248º 04´ 30”
c) 246º 38´ 42”
d) 252º 31´ 10”
e) 252º 21´ 48”

MATEMÁTICA
UNIDAD 15
ANGULOS DE RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA SECANTE

MATEMÁTICA
15.1.CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA
PARALELAS Y UNA SECANTE.
Considerar dos rectas paralelas r y s:
La región comprendida entre “r” y “s”
será llamada región interna y las
otras, regiones externas.
Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.
Observar que la secante forma con las
rectas paralelas:
Cuatro ángulos AGUDOS iguales.
Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.
De estos ocho ángulos,
- Cuatro son INTERNOS pues pertenecen
a la región interna. Ej:a,  b,  c, d
- Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen
a la región externa. Ej: e,  f,  g,  h
Región externa
Región interna
Región externa
obtuso
obtuso
agudo
agudo
obtuso
obtuso
agudo
agudo
c
a b
d
e
f h
g

MATEMÁTICA
I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS..
Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej.:
 a y  .......
 c y ........
Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos
obtusos)
 ....... =  b .......... =  d
II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej:
e y  .......  g y ........
Dos ángulos alternos externos son iguales
 ....... =  f  .......... =  h
e
f
g
h

MATEMÁTICA
III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.
Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y
situados en el mismo lado de la secante.
Dos ángulos correspondientes son iguales.
e y  b
 a y  ........
 ....... y  d
 ........ y  ........
IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS.
Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
e
b

MATEMÁTICA
Ej:
 a y  d ........ y ........
Dos ángulos conjugados internos suman 180°.
a + d = 180°  c + b = .........
V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
Ej.:
g y  f  ........ y  h
Dos ángulos conjugados externos suman 180°.
 g +  f = 180°  ....... +  ....... = 180°
EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
1. Observar la figura y completar:

MATEMÁTICA
Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos
f. Los ángulos internos son: (........................................................)
g. Los ángulos externos son: (........................................................)
h. Los pares de ángulos correspondientes son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
i. Los pares de ángulos alternos internos son:
(.................................) y (...........................)
j. Los pares de ángulos alternos externos son:
(.................................) y (...........................)
k. Los pares de ángulos opuestos por el vértice son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
l. Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos
externos que también lo sean:
Ángulos internos (.................................)
Ángulos externos (.................................)
2. Observar también la figura del lado y determinar los ángulos:
a = .................................
 b = .................................
c = .................................
3. Determinar el valor de x:
 x = .................................  x = .................................

MATEMÁTICA
4. En la figura siguiente, responder:
¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?
......................................................
¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?
......................................................
5. Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.
Alternos internos  B y  H ,  C y  E
Alternos externos
Correspondientes
Conjugados internos
Conjugados externos
Opuestos por el vértice
6. Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador,
observando el dibujo.
 1 = .............32°....................
 2 = ......................................
 3 = ......................................
 4 = ......................................
7. Dar nombres a los pares de rectas representados abajo:
Rectas .................................................

MATEMÁTICA
Rectas .................................................
Rectas .................................................
8. Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:
a = .............130°........... e = .....................
b = ..............................  f = ......................
 c = ................................  g = .....................
d = .................................. h = ......................
9. Completar observando la figura
Si  b = 70° , entonces  r = .............
Si  c = 65° , entonces  p = .............
Si  s = 65° , entonces  a = .............
Si q = 80° , entonces d = .............
Si a = 20° , entonces p = .............
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS:
1. a) 8
b) ( 1,  4,  6, 7)
c) ( 2, 3, 5,8)
d) (2, 6) ; ( 1,5) ; ( 8,  4) ; (3,7)
e) (4,  6) y ( 1,7)
f) (3, 5) y ( 2,8)
g) (1,  3) ; ( 2, 4) ; ( 6, 8) ; (5, 7)
h) ( 6, 7) y ( 5,8)

MATEMÁTICA
2.  a = 50°  b = 130°  c = 50°
3. x = 150°  x = 60°
4. 30° 150°
5.
Alternos internos  B y  H , C y  E
Alternos externos  D y  F ,  A y  G
Correspondientes
D y  H , C y  G,  Ay  E ,
B y  F
Conjugados internos  E y  B ,  C y  H
Conjugados externos  A y  F , D y  G
Opuestos por el vértice
 B y  D , A y  C, E y  G,
 F y  H
6. 2 = 148°  3 = 32°  4 = 148°
7. Paralelas – perpendiculares - concurrentes
8.  b = 50° d = 50°  f = 50°  h = 50°
 c = 130° e = 130° g = 130°
9.  f = 70°  a = 65°  q = 160°
 p = 65°  d = 80°
15.2. PROPIEDADES AUXILIARES.
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS:
Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.
Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.
  180   





MATEMÁTICA
ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:
Si dos ángulos tienen sus lados perpendiculares: o son igualesó son
suplementarios.
  180   
OTRAS PROPIEDADES:
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR:
Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un
triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base
no igual es el segmento AG.

m
n


m + n = +  + 




 +  +  +  = 180º


m
n
 + = m + n

MATEMÁTICA
TEOREMA DE THALES:
Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos
mutuamente proporcionales.
Si se aplica a un trapecio ADFC:
Se cumple que:
AB DE
BC EF

THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO:
Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser
paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:
Se cumple que:
EF
AE
BC
AB

EJERCICIOS RESUELTOS DE:
ÁNGULOS Y PARALELAS.

MATEMÁTICA
1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47”
A) 18°40” B) 35°12’ C) 27°5’7”
D) 23°10’ E) 13°
Solución: 355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”
2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45”
A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’
D) 63° 2’4” E) 62°2’9”
Solución: 310°10’45” 5 = 62°2’9”
3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”
A) 3°9’51” B) 4°12’30” C) 7°10’
D) 7°34’ E) 5°17’
Solución: 14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”
4. Hallar el triple de 192°45’55”
A) 170°24’ B) 250°15” C) 218°17’45”
D) 279°23’ E) 335°20’15”
Solución: 192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”
5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide
el ángulo conjugado del doble del ángulo menor?
A) 18° B) 35° C) 90° D) 23° E) 13°
Solución:
Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego  = 45°
Luego 2 = 90° y su conjugado es 90°
6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el
suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor.
A) 37° B) 44° C) 124°10’ D) 45° E) 39°

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