1. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DE LAMBERT EN
ELECTRÓNICA
García Sánchez, Francisco J. Ortiz-Conde, Adelmo
Malobabic, Slavica
Resumen: Se presenta una revisión del uso de la función de Lambert en aplicaciones de electrónica.
Primeramente se describe brevemente su definición y se mencionan algunas de sus propiedades.
Seguidamente se ofrecen ejemplos de cómo aplicar esta función en la solución de algunas ecuaciones
transcendentales que involucran exponenciales. Las aplicaciones de esta función a la electrónica se
ilustran mediante ejemplos relativos a la solución de problemas de dispositivos bipolares de juntura,
modelado de celdas solares bajo iluminación, y modelos de dispositivos MOSFET.
Palabras clave: Función de Lambert/ Junturas no ideales/ Celdas solares/ MOSFETs sin dopaje.
APPLICATIONS OF LAMBERT’S
FUNCTION IN ELECTRONICS
Abstract: A revision of the use of Lambert’s function in electronics applications is presented. Firstly,
its definition is briefly described and some of its properties are mentioned. Next, examples are
worked out of how to apply this function to the solution of some transcendental equations which
contain exponentials. Applications of this function to electronics are illustrated through examples
dealing with the solution of problems such as bipolar junction devices, modelling of illuminated
solar cells, and MOSFET device modelling.
Keywords: Lambert Function/ Non Ideal Junctions/ Solar Cells/ Undoped MOSFETs.
I. INTRODUCCIÓN.
Una gran variedad de problemas en la ciencia y la tecnología
están descritos por ecuaciones transcendentales que requieren ya
sea de soluciones numéricas iterativas o bien de soluciones
analíticas aproximadas. La posibilidad de obtener soluciones
analíticas exactas de estas ecuaciones ofrece grandes ventajas
desde varios puntos de vista. Una solución analítica describe el
comportamiento de la variable de forma general, a diferencia de
los resultados numéricos que dependen de las condiciones iniciales.
La solución analítica ayuda en el entendimiento intuitivo del
problema, facilita la deducción de su comportamiento cuando los
parámetros del problema varían, y simplifica el estudio de las
perturbaciones. También puede contribuir en la unificación de
fenómenos diferentes, y hace que el fenómeno en sí sea más
manejable y fácil de entender. En general una solución analítica
se puede diferenciar e integrar analíticamente, lo que permite
estudiar la variabilidad del fenómeno.
Aunque ciertamente las soluciones numéricas iterativas pueden
proveer soluciones tan exactas como se requiera, la solución
analítica, por no presentar problemas de convergencia, produce
resultados exactos de manera computacionalmente eficiente. Al
eliminar la necesidad de iteraciones numéricas, la solución analítica
posibilita la evaluación rápida de numerosos casos repetitivos,
lo que es de fundamental importancia en situaciones de simulación
circuital, donde un modelo se ha de utilizar miles, si no millones,
de veces. Aún en los casos en que se decida utilizar iteración
numérica, las soluciones analíticas pueden ser útiles para proveer
valores iniciales de las soluciones, facilitando así los cálculos
iterativos complicados, dependientes del tiempo o
multidimensionales.
Volumen 10, Número 40,septiembre2006. pp 161-164
198
Manuscrito finalizado en Caracas el 2006/01/11, recibido el 2006/02/23, en su forma final (aceptado) el 2006/06/13. Los autores desempeñan sus actividades en el
Dpto. de Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Apartado Postal 89000, Caracas 1080, Venezuela, telef-58-212-9064010, fax 58-212-9064025. Los Dres.
Francisco J. García Sánchez y Adelmo Ortiz-Conde son Profesores Titulares, correos electrónicos fgarcia@ieee.org y ortizc@ieee.org respectivamente. La Ing.
Slavica Malobabic es Estudiante de Maestría, correo electrónico smalobabic@gmail.com.
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235

2. Existe una clase de ecuaciones transcendentales, las del tipo
lineal exponencial, que son muy comunes en ciertos circuitos
electrónicos y en el modelado de dispositivos semiconductores.
La función de Lambert (W) [1] permite obtener soluciones
cerradas y explícitas a estas ecuaciones transcendentales [2,3].
En este trabajo se presentará una revisión de la utilidad de la
función de Lambert, empezando por una breve descripción de
sus propiedades, seguida de algunos ejemplos de soluciones a
ecuaciones transcendentales, así como aplicaciones típicas a
problemas de electrónica. Las aplicaciones de esta función a la
electrónica se ilustran mediante ejemplos relativos a la solución
de problemas de junturas no ideales con resistencias parásitas
en serie y en shunt, características corriente voltaje de dispositivos
fotovoltaicos bajo iluminación, y modelos de dispositivos
MOSFET.
I. DESARROLLO
1. La función de Lambert
La función de Lambert tiene sus orígenes en el trabajo de J.
Lambert en el año 1758. Más tarde, en 1779, fue considerada
por Euler cuando estudió la ecuación trascendental de Lambert.
Fue denominada “W” después del trabajo hecho por E. M. Wright
en 1959 [4]. Desde entonces ha venido siendo utilizada
esporádicamente en algunas aplicaciones, pero en años recientes
la cantidad y diversidad de aplicaciones en las que se ha usado
esta función ha ido incrementándose considerablemente. Hasta
la fecha se ha usado W en aplicaciones generales tales como
ciertos problemas de física [5], electromagnetismo [6], mecánica
estadística clásica [7], movimiento de proyectiles [8], generación
de ruido gausiano [9,10], solución de exponenciales infinitos
[11], solución de la ecuación de Schrödinger [12], etc. En el área
de la electrónica se ha empleado W en resolver problemas de
diodos con resistencias en serie y en paralelo [13,14], circuitos
con transistores bipolares [15], celdas solares [16-18], modelado
del fenómeno de ruptura en óxidos delgados [19], diseño de
consumo mínimo en circuitos [20], y modelado de transistores
de efecto de campo metal-óxido-semiconductor (MOSFETs)
[21-26].
La función de Lambert es una función elementalmente implícita,
es decir, está definida de forma implícita usando funciones
elementales. Formalmente W se define para cualquier z compleja
como una función (compleja y de valores múltiples) que es la
solución a la ecuación trascendental quizás más simple que exista,
la ecuación lineal exponencial, representada por:
En la Figura 1.a se muestra z como el producto de W(z) por el
exponencial de W(z) en función de W(z). Intercambiando los ejes
se obtiene la función de Lambert W(z) en función de z que se
muestra en la figura 1.b.
Para argumentos reales x, es real si . Usando la
definición de la función de Lambert se puede
decir que si , entonces , o lo que es lo mismo,
Observando la Figura 1.b se puede ver que para valores del
argumento x<0 existen o bien dos soluciones ( ) o
ninguna ( ). Para valores reales de W los valores del
argumento están limitados a . W tiene dos ramas reales: la rama
principal y la rama negativa [27]. La rama principal W0 está
definida como:
y la rama negativa W−1 está definida como:
Una de las características que hace atractivo el uso de expresiones
basadas en la función de Lambert es que es analíticamente
diferenciable e integrable. La primera y segunda derivadas están
dadas por
Figura 1. (a) z = W exp(W) en función de W (línea continua),
mostrando también las funciones exp(W) y W (líneas
quebradas), (b) W en función de z, mostrando la rama
principal (línea continua) y la rama negativa (línea quebrada).
236
Volumen 10, Número 40, septiembre 2006. pp 235-243
W = zez
zW )(
)( (1)
(2)
,
(3)
(4)
(5)
(6)

3. La integral indefinida de la función de Lambert es
La función de Lambert se puede representar mediante expansiones
en series [28]. Por ejemplo la serie alrededor de z=0 es:
Igualmente existen representaciones asintóticas de W. La asíntota
para z grande es
Existe disponible software numérico libre bien comprobado,
con precisión numérica arbitraria, para las dos ramas reales de
W. Por ejemplo, el Algoritmo 443 publicado en 1973 [29]. Más
recientemente, en 1995, se publicó también el Algoritmo 743
de la base de datos TOMS de la librería pública Netlib ( software,
escrito en FORTRAN, computa ambas ramas reales de W con
la precisión disponible en la plataforma utilizada [31]. También
existen aproximaciones eficientes [32]. Varios paquetes
matemáticos simbólicos tales como: Maple®, Macsyma® y
Mathematica® contienen rutinas optimizadas para el cálculo y
manipulación de la función de Lambert, incluyendo su integración
y diferenciación. En el paquete Mathematica®. la función de
Lambert se denomina con el nombre de función “ProdutLog”.
Varias aproximaciones incorporan esquemas iterativos para
computar W con una precisión predefinida y usan aproximaciones
a tramos para generar suposiciones iniciales [33].
2. Ejemplos de soluciones usando W
A continuación se presentaran algunos ejemplos que ilustran el
procedimiento para resolver ecuaciones que contienen productos
y cocientes de variables y sus exponenciales o logaritmos. No
pretende esto ser una descripción exhaustiva de todos los casos
en los que es posible usar W, sino que la intención es indicar la
mecánica general del procedimiento a seguir.
Ejemplo 1
Ecuación:
,
Rescribir la ecuación (15) tomado exponenciales:
Multiplicar por x:
Aplicar W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte izquierda:
Solución:
Ejemplo 2
Ecuación:
Rescribir la ecuación (16):
Aplicar W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte derecha:
Solución:
Ejemplo 3
Ecuación:
Rescribir la ecuación (21):
Aplicar a W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte izquierda:
Solución:
La función de Wright
Se define como función de Wright [4,34] la solución a la ecuación
(21), que se representa como
,
donde • (omega) es la función de Wright. Comparando las
ecuaciones (25) y (26) se puede establecer la equivalencia entre
la función de Wright y la función de Lambert:
237
García., F., Ortiz-Conde, A., Malobabic, S., Aplicaciones de la función de lambert en electrónica
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(18)
( ) )ln()ln(
)ln(
yeyW
y
−=−
−
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

4. Ejemplo 4
Ecuación:
Primer procedimiento:
Rescribir la ecuación (28):
Aplicar W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte izquierda:
Solución:
Segundo procedimiento:
Rescribir la ecuación (28):
Reagrupar:
Aplicar W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte derecha:
Solución:
Identidad:
Igualando las dos soluciones del ejemplo 5 se obtiene:
Lo que también se puede expresar en términos de la función de
Wrigt:
Por tanto, en general se cumple la identidad:
Ejemplo 5
Ecuación:
Rescribir la ecuación (41):
Aplicar W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte izquierda:
Solución:
La función “glog”:
La función glog [35] es la solución a la ecuación (41) que se
representa como
Comparando las ecuaciones (60) y (61) se puede establecer la
equivalencia entre la función de glog y la función de Lambert:
Ejemplo 6
Ecuación:
Tomar la raíz cuadrada:
Dividir entre 2:
Aplicar a W a ambos lados:
Usar definición de W en la parte izquierda:
Solución:
Otras ecuaciones tales como , , , etc., pueden resolverse también
usando la función de Lambert.
3. Aplicaciones
Se presentarán ahora varias aplicaciones típicas de la función
de Lambert en la solución de diversos problemas de electrónica.
Aunque no se cubrirán todas las posibilidades, se mostrarán
238
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(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)

5. 239
García., F., Ortiz-Conde, A., Malobabic, S., Aplicaciones de la función de lambert en electrónica
algunas que demuestran la solución explícita de circuitos típicos
que comúnmente tienen que resolverse mediante aproximaciones
o expresiones aproximadas, mientras que otras aplicaciones que
se describen pertenecen al ámbito del modelado de dispositivos
electrónicos.
3.1 Ruptura irreversible en óxidos de compuerta ultra
delgados
La continua miniaturización de los dispositivos MOS (Metal
Óxido Semiconductor) implica una disminución del margen de
confiabilidad de la capacidad aislante de los óxidos de la
compuerta que los componen. Ante la posibilidad de que ocurra
ruptura eléctrica en óxidos muy delgados, se plantea la necesidad
de modelar la corriente que atraviesa el óxido después de su
ruptura irreversible. Una representación compacta de esa corriente
post ruptura, que es adecuada para la simulación en circuitos,
viene dada por el siguiente modelo [19]:
donde I0, • y RDB son parámetros que caracterizan el fenómeno
de ruptura irreversible en una primera aproximación. Esta
ecuación equivale a una juntura PN con una resistencia en serie.
Rescribiendo la ecuación anterior,
Multiplicando ambos lados por y agrupando los
términos:
Si ahora se aplica W a ambos lados y se usa la definición de W
en la parte izquierda de la ecuación, se tiene que
Resolviendo resulta la corriente de post ruptura a través del
óxido:
3.2 Juntura no ideal
El caso anterior representa el ejemplo más sencillo de una
juntura no ideal. Sin embargo, en muchos casos ese modelo
resulta ser insuficiente para caracterizar una juntura real. En la
Figura 2 se presenta un modelo circuital genérico de una juntura
no ideal, incluyendo sus elementos parásitos más comunes: una
conductancia en paralelo que representa la fuga a través de la
juntura propiamente dicha (Gp1), una resistencia en serie que da
cuenta de la caída de potencial desde la juntura hasta los contactos
(Rs), y una segunda conductancia en paralelo que representa la
posibilidad de fuga en la periferia del dispositivo (Gp2).
Figura 2. Modelo circuital genérico de una juntura no ideal
incluyendo las resistencias en serie y las conductancias en
paralelo parásitas.
La ecuación de la corriente que correspondiente a esta
configuración es:
donde I0, es la corriente de saturación inversa del diodo, n es el
factor de idealidad que caracteriza la calidad de la juntura, vth
es el voltaje térmico =kT/q, k la constante de Boltzmann, T la
temperatura absoluta, y q la carga electrónica. Nótese que esta
ecuación no tiene la forma de una función explícita de una
variable en función de la otra y la única manera de resolverla
exactamente es mediante iteración numérica. Sin embargo,
utilizando la función de Lambert es posible hallar soluciones
explícitas de esta ecuación. Siguiendo un procedimiento similar
al del ejemplo anterior, la solución de la corriente en función
del voltaje resulta ser [13]:
También es posible resolver el voltaje en función de la corriente:
donde:
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)

6. Estas soluciones explícitas permiten el estudio directo de las
características corriente voltaje de junturas no ideales (diodos
reales) y facilitan la extracción de los parámetros intrínsecos y
extrínsecos de sus modelos [17].
3.3 Celdas solares
Un caso ligeramente más complicado ocurre cuando se intenta
modelar celdas solares bajo condiciones de iluminación. En la
Figura 3 se muestra un modelo circuital de un dispositivo
fotovoltaico genérico iluminado (celda solar), que incluye la
juntura (n, Io), una fuente de corriente fotogenerada (Iph), y la
resistencia en serie (Rs) y conductancia en paralelo (Gp) parásitas.
La ecuación que describe esta la corriente de la celda es:
De nuevo esta ecuación es implícita, pero usando W, se puede
hallar la solución explícita para la corriente:
y para el voltaje es:
La naturaleza explícita de estas soluciones permite calcular
inmediatamente la corriente de cortocircuito y el voltaje a circuito
abierto. Así mismo, es posible hallar explícitamente el punto de
potencia máxima calculando la derivada del producto IV. Estas
soluciones también facilitan la extracción de los parámetros del
modelo de la celda solar a partir de datos experimentales, como
se verá a continuación.
Figura 3. Modelo circuital genérico de una celda solar
iluminada.
3.4 Extracción de parámetros de modelos de celdas solares
Las técnicas comunes de extracción de parámetros del modelo
de la celda solar usando los datos I-V medidos bajo iluminación
usualmente incluyen la optimización numérica del error cuadrático
en el eje vertical (corriente) o en el eje horizontal (voltaje). La
utilización de soluciones explícitas de la corriente y el voltaje
facilitan enormemente estos cálculos. Otros métodos están basados
en el uso de funciones auxiliares y otros operadores. Aquí se
presentará otro método basado en integración, por ser más
inmune a los errores de medición debido a su naturaleza de
filtro pasa bajo y porque produce resultados algebraicos de fácil
manejo computacional [18]. El procedimiento ilustra la utilidad
que ofrece la posibilidad de integrar la función de Lambert.
Se define primeramente una función llamada Co-Contenido CC
(I,V) de la siguiente manera:
donde es la corriente de la celda en condiciones de cortocircuito
(V=0). Sustituyendo la solución para la corriente dada por la
ecuación (67) en la ecuación de CC e integrando con respecto
a V resulta una larga expresión que contiene términos con la
función de Lambert y las variables I y V. Reemplazando los
términos que contienen la función de Lambert de V, usando la
ecuación (68) y después de manipulación y simplificación se
obtiene la siguiente ecuación algebraica:
donde los cinco coeficientes son funciones de los parámetros del
modelo. La extracción se hace calculando la función CC, definida
por la ecuación (69), a partir de los datos experimentalmente
medidos. Seguidamente se procede a ajustar esta función de CC
a los datos experimentales medidos mediante la ecuación
algebraica (70). Este proceso de ajuste bidimensional produce
los valores de los coeficientes de la ecuación (70), de los que se
calculan los parámetros del modelo de la siguiente manera:
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(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)

7. 241
García., F., Ortiz-Conde, A., Malobabic, S., Aplicaciones de la función de lambert en electrónica
3.5 Fuente de corriente Widlar
La función de Lambert también es útil en la solución de problemas
de circuitos electrónicos con transistores bipolares de juntura.
Para ilustrar su utilidad se presentará el caso de la fuente de
corriente de Widlar [15] cuyo diagrama circuital básico se
muestra en la Figura 4.
En esta fuente de corriente el transistor Q1 está conectado en
configuración de diodo. Se pretende establecer I2 a partir de los
valores de I1 y R2. La ecuación que describe al circuito es:
Figura 4. La fuente de Widlar
Si ahora se aplica la función de Lambert a ambos lados se tiene:
pero se sabe que
luego, finalmente la corriente I2 viene dada en forma explícita
por
3.6 Modelado de dispositivos MOSFET
La descripción del potencial electrostático en la superficie del
canal, en función de los voltajes en los terminales de los
transistores de efecto de campo tipo metal óxido semiconductor
(MOSFETs), resulta de principal importancia en la elaboración
de los modelos matemáticos que deben representar a estos
dispositivos en simulaciones circuitales. En dispositivos
convencionales, en los que el cuerpo del canal se encuentra
significativamente dopado, la naturaleza de la ecuación que
relaciona el voltaje de la compuerta con el potencial superficial
no permite plantear una solución analítica explícita del potencial
superficial, por lo que debe calcularse mediante iteración
numérica o usando soluciones analíticas aproximadas o de
validez limitada regionalmente. Los MOSFETs modernos son
cada día más de cuerpo ultra delgado que no se encuentra
significativamente dopado, es decir es intrínseco [21]. En esas
condiciones la ecuación que relaciona el voltaje de la compuerta
con el potencial superficial se reduce a una ecuación lineal
exponencial como las anteriormente descritas.
Considérese un dispositivo de cuerpo intrínseco genérico de
espesor tsi. La ecuación para canal n es
donde VG es el voltaje en la compuerta, VFB el voltaje de banda-
plana, el potencial superficial, k la constante de Boltzmann, T
la temperatura absoluta, ni la densidad intrínseca de portadores,
•s la permitividad del semiconductor, Co la capacitancia del
óxido, •=1/vth=q/kT el inverso del voltaje térmico, V el voltaje
a lo largo del canal (=0 en el surtidor, =VD en el drenador), y
el potencial en el medio trasversal del canal. Considerando
valores de potencial superficial , la ecuación tiene la
siguiente solución explícita en base a la función de Lambert:
donde VGF=VG-VFB y tox y •ox son el espesor y la permitividad
del óxido, respectivamente.
Para espesores tsi del cuerpo del semiconductor muy grandes,
tiende a cero y el término sin(•) tiende a uno, con lo que la
ecuación del el potencial superficial se reduce a
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)

8. Esta forma cerrada y explícita de expresar el potencial superficial
facilita enormemente el planteamiento de modelos de MOSFETs
modernos tipo SOI (semiconductor-óxido-aislante) de cuerpo
ultra delgado, en los que el cuerpo del semiconductor no está
dopado, tanto los de una compuerta como los de compuertas
múltiples [25]. También permite obtener expresiones analíticas
explícitas de la carga, la transconductancia, el voltaje de umbral,
etc. [23,26].
4. Comparación de los tiempos de cómputo
Como ya se ha dicho, la utilización de la función de Lambert,
además de brindar una alternativa atractiva para la solución
explícita exacta de ciertas ecuaciones del tipo lineal exponencial,
ofrece la posibilidad de mejorar significativamente la eficiencia
computacional, en comparación a las soluciones numéricas
iterativas. Para visualizar esta ventaja computacional, es
conveniente comparar los tiempos de cálculo requeridos, usando
soluciones basadas en la función de Lambert con los de soluciones
analíticas aproximadas y soluciones numéricas iterativas. Para
esto se usará el caso del modelo de una juntura no ideal con una
resistencia en serie y una conductancia en paralelo, calculadas
a diez dígitos significativos en una misma plataforma
computacional, usando el programa Maple®.
La Figura 5 muestra que la solución explícita exacta, basada en
la función de Lambert, requiere tiempos de CPU sólo ligeramente
superiores a los de una solución analítica aproximada, que por
ende es inexacta y limitada en su alcance. Se ve que la solución
basada en la función de Lambert es casi dos órdenes de magnitud
más eficiente computacionalmente que la solución exacta mediante
iteración numérica.
Figura 5. Comparación de tiempos de cómputo de parámetros
del modelo de una juntura no ideal para solución iterativa,
exacta y aproximada
III. CONCLUSIONES
1. El uso de la función de Lambert provee soluciones explícitas
analíticas y elimina la necesidad de iteraciones numéricas en
problemas que incluyan ecuaciones implícitas lineales
exponenciales.
2. Las soluciones explícitas basadas en la función de Lambert
hacen que el fenómeno que se está describiendo sea más
manejable y fácil de entender.
3. Estas soluciones explícitas se pueden evaluar y manipular
fácilmente, lo que permite resolver rápidamente numerosos
casos repetidos, y facilita el estudio de las perturbaciones.
4. La posibilidad de integración y diferenciación analítica de la
función de Lambert abre el camino para elaborar modelos de
variabilidad del fenómeno descrito.
5. Adicionalmente, estas expresiones explícitas pueden usarse
para obtener suposiciones iniciales para cálculos complicados,
iterativos, dependientes del tiempo, o multi dimensionales.
6. Finalmente, la utilidad de la función de Lambert se ve potenciada
en la actualidad por la disponibilidad de paquetes
computacionales simbólicos de uso común, tales como
Macsyma®, Mathematica®, Maple®, etc., que ya contienen
rutinas optimizadas para calcular y manipular la función de
Lambert.
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