Se define brevemente el concepto de Transformada de Laplace, se ejemplifica y se aplica en el caso de amortiguación automotriz. Se muestran códigos para su simulación gráfica.

1. Irma Noemí No
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GUIA DE MATEMÁTICA
Consigna
La problemática de la amortiguación en los automotores eléctricos es un amplio campo de
estudio, algunas marcas (como Audi) generan continuas soluciones para aprovechar la energía
producida por cada movimiento del sistema. La modelización matemática que corresponde al
sistema dinámico de amortiguación se basa en ecuaciones diferenciales dependientes de la
variable tiempo, trabajadas mediante la transformada de Laplace. El modelo completo es:
Extraído de López Nuñez (2012, pag. 23)
Para introducirlos en la temática, se pide:
1- Realizar una breve investigación del uso de la transformada de Laplace en sistemas
dinámicos (mencionando la fuente).
2- Hallar la función transferencia y utilizar el programa matlab para generar una
simulación del comportamiento del sistema de amortiguación básico que se muestra a
continuación (con condiciones iniciales nulas), y los datos correspondientes a cada
equipo:
Extraído de Gutiérrez (2011, pág. 2)

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Equipo M
(masa)
B (constante
amortiguador)
K
(constante
muelle)
F(t)
Perturbación
Mecánica
1 20 60 1350 Saliente = 3
2 20 60 135 Bache = -2
3 100 20 80 Saliente = 2
4 100 20 80 Bache = -3
5 10 20 80 Saliente = 4
6 80 10 20 Saliente = 4
Industrial
1 50 20 60 Bache = -4
2 100 80 600 Saliente = 2
3 70 120 100 Bache = -2
4 80 20 80 Saliente = 1
5 15 30 120 Bache = -3
6 15 30 80 Bache = -1
Observaciones: z(t) es la salida del sistema llamada y(t) en muchos textos. Los valores de la
tabla son valores ficticios, no se corresponden con ningún ensayo realizado.
Fuentes citadas:
López Nuñez, M.M, (2012) “Modelación de un amortiguador magneto-reológico” Tesis de
Maestría, Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, México.
Gutiérrez J.M. (2011) “Utilización de la transformada de Laplace para obtener la función
transferencia de la amortiguación de un automóvil”, artículo disponible en
https://es.slideshare.net/MonicaEurideceSalazar/aplicacion-de-laplace-en-un-automovil
Ayuda para la resolución:
La transformada de Laplace posee una amplia aplicación en el campo de la ingeniería,
permitiendo el pasaje de operaciones de cálculo a operaciones algebraicas, simplificando de
este modo el tratamiento de un proceso matemático orientado a la búsqueda de soluciones
funcionales. Es de suma utilidad en problemas en los cuales la fuerza impulsora (mecánica o
eléctrica) presenta discontinuidades, es impulsiva o es periódica (pero no con la regularidad
del seno y coseno).
Los pasos a seguir en una resolución “a mano” son:
1. Identificar las leyes físicas involucradas para la modelización matemática del problema,
dando origen a una ecuación diferencial (en nuestro caso ordinaria con la variable
independiente tiempo).
2. Aplicación de la transformada de Laplace para construir una ecuación algebraica,
asociada (llamada ecuación subsidiaria, con variable independiente s).
3. Resolución de la ecuación algebraica.

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4. Aplicación de la transformada inversa de Laplace para obtener la solución del
problema original.
Para ello, daremos una breve introducción a la temática.
Definiciones y propiedades:
Ilustración -1- Kreyszig, pag. 300
Observar que la función original depende de la variable “t”, mientras que la nueva función
llamada Transformada de Laplace depende de la variable “s”.
Ilustración -2 - Kreyszig, pag. 300
Existen tablas de las transformadas de Laplace de funciones elementales, que sumadas a
propiedades de la transformada, generan un conjunto muy amplio de transformadas
disponibles. También se utiliza la tabla mencionada para utilizar el concepto de transformada
inversa de Laplace.

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Ilustración-3 - Kreyszig, pag. 303
Propiedad de linealidad:
Ilustración -4 Kreyszig, pag. 302
Transformada de Laplace de la derivada de orden n de una función f(t):
Ilustración-5 Kreyszig, pag. 308
Los valores f(0), f´(0), …..., f(n-1)
(0) se llaman condiciones iniciales del problema.

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A continuación un ejemplo de solución de e.d. segundo orden con condiciones iniciales nulas
con Transformada de Laplace:
Para hallar y(t) debemos aplicar la transformada inversa de Laplace, basándonos en la tabla
dada y en las propiedades de linealidad, por lo tanto, debemos escribir Y(s) como suma de
Fracciones Simples.
Con Matlab:

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¿Qué es la función transferencia?
Suponiendo que la ecuación diferencial planteada responde a la modelización de un sistema
lineal e invariante en el tiempo (LTI), la función transferencia se define como el cociente entre
la transformada de Laplace de la salida del sistema y la transformada de Laplace de la entrada,
en condiciones iniciales nulas.1
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
La salida Y(s) provocada por el impulso X(s) sobre un sistema inicialmente inerte se puede
calcular entonces como: 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠)
La perturbación de entrada X(s) también suele notarse como U(s).
En general se esquematiza de la siguiente manera:
Entrada Salida
X(s) Y(s)=G(s).X(s)
Impulso manipulable Variable medible
En el ejemplo manuscrito anterior:
𝑦´´ − 𝑦 = 𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0 ; 𝑦´(0) = 0
El impulso es la función x(t)=t, cuya transformada de Laplace es 𝑋(𝑠) = y la función
transferencia es: 𝐺(𝑠) =
En futuros cursos de control podrán ampliar conceptos con la introducción de conceptos como
traslaciones, funciones escalón, ceros y polos de la función transferencia, estados de
inestabilidad del sistema, etc.
Bibliografía (definiciones y teoremas)
Ver archivo de tablas y síntesis de conceptos del tema de Transformada de Laplace en
el directorio del aula virtual.
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https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_transferencia
G(s)
Función
transferencia

7. Irma Noemí No
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En nuestro caso: La ecuación diferencial que responde a la modelización del problema es una
ecuación diferencial de segundo orden con condiciones iniciales nulas.
La entrada o perturbación es una fuerza f(t) (en nuestro caso constante) generada por la
existencia de un escalón (lomada (saliente) ó depresión (bache) dependiendo de los datos de
cada equipo).
El desplazamiento z(t) representa la función salida (anteriormente mencionada como y(t)).
Existen numerosa bibliografía y recursos en internet que abordan la temática del sistema
masa-resorte que pueden consultar (citando la fuente en sus trabajos).
Para el planteo de la ecuación diferencial del problema, se recurre a la segunda ley de Newton.
Ilustración-6 – Gutiérrez 2011, pág. 3
Luego se aplican los conceptos definidos anteriormente sobre la transformada de Laplace para
producir la función transferencia y la digitalización de la solución.
Códigos de ayuda:
Con m=1; b=2,4 y k=9, con un bache de -3
Código 1
num = 1;
den = [1 2.4 9];
escalon = -3;
Gs = tf(num,den);
Gs2= Gs*escalon;
[y t] = step(Gs2); % genera en y la función salida aplicando ilaplace
figure(1)
plot(t,y,'r--')
title('funcion salida')
figure(2)
step(Gs2)% grafica la función transferencia * el input escalón
hold on;
plot(t,y, 'r--')

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Código 1
Código 2
num=1;
den=[1 2.4 9];
escalon=-3;
Gs=tf(num,den);
Gs2=Gs*escalon;
syms s;
f=-3/(s^3+2.4*s^2+9*s)
y=ilaplace(f)
ezplot(y,[0,5])
title('Función salida')
hold on;
%otra forma de graficar la función salida
t=linspace(0,5,1000);
[y2 t2]=step(Gs2,t);
plot(t2,y2,'r--')

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Código 2
Con Simulink
(K representa 1/m)
Explicación construcción en simulink sistema amortiguado (masa-resorte):
https://www.youtube.com/watch?v=MHh5mFvBUjI