El vídeo tutorial enseña a calcular la integral de la función f(x) = (1 - x^2)e^(-x) utilizando el método de integración por partes, determinando su primitiva que pasa por el punto (-1,0). Se desglosan los pasos para resolver la integral, que involucra varias aplicaciones del método, y se llega a la solución final. La primitiva resultante es f(x) = e^(-x)(x^2 + 2x + 1) + k, donde se determina k igual a 0 para satisfacer la condición del punto dado.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular una integral utilizando el método de integración por partes.
• Calcular la primitiva de una función que pasa por un punto determinado.

2. ENUNCIADO
Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑒−𝑥. Determina la primitiva de f cuya
gráfica pasa por el punto (-1,0)
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL

3. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Tenemos que realizar la integral:
1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Esta integral se resuelve utilizando el método de integración por partes.
Llamaremos 𝑢 = 1 − 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥
Por lo tanto tenemos que:
1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 1 − 𝑥2 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥
𝑣 = −𝑒−𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
= − 1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 − 2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥

4. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Nos ha aparecido la integral
2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Que realizaremos también por partes. Para no ir arrastrando toda la expresión completa, la realizaremos aparte.
2𝑥𝑒−𝑥
𝑑𝑥 =
𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
𝑣 = −𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 = −2𝑥𝑒−𝑥
− −2𝑒−𝑥
𝑑𝑥
Por lo tanto:
2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑒−𝑥 − 2𝑒−𝑥

5. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
En consecuencia:
1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = − 1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 − 2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = − 1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 − −2𝑥𝑒−𝑥 − 2𝑒−𝑥
Por lo tanto tenemos que:
1 − 𝑥2
𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = − 1 − 𝑥2
𝑒−𝑥
+ 2x𝑒−𝑥
+ 2𝑒−𝑥
+ 𝐾
Sacando factor común tenemos:
1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 2 + 𝐾 = 𝑒−𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝐾

6. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Por lo tanto las primitivas de la función 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑒−𝑥 son de la forma:
𝐹 𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝐾
Si queremos que pase por el punto −1,0 , impondremos que 𝐹 −1 = 0
Por lo tanto tenemos que:
𝐹 −1 = 0 𝑒−(−1)
(−1)2
+2 −1 + 1 + 𝐾 = 0 𝐾 = 0
En consecuencia la primitiva buscada es:
𝐹 𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 1
FIN