Este documento trata sobre la estática de vigas. Explica que las vigas resisten fuerzas laterales y que es necesario determinar las fuerzas internas para mantener el equilibrio. Describe los tres tipos de fuerzas internas en una viga - fuerza axial, cortante y momento flector - y cómo calcular sus magnitudes. También define los diferentes tipos de apoyos y cargas, y explica cómo usar el método de secciones para determinar las fuerzas internas en cualquier sección de una viga.
1. Se analiza una viga estáticamente indeterminada apoyada-empotrada bajo una carga puntual. Tiene tres reacciones desconocidas y solo dos ecuaciones de equilibrio, por lo que es necesario usar el método de la doble integración.
2. Se resuelve un problema de una viga continua con tres claros, obteniendo las reacciones verticales, momentos y diagramas de cortante y momento.
3. Se analiza una viga empotrada en ambos extremos con carga triangular, para hallar sus reacciones y momentos flexionantes
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
Fuerzas Normal, Cortante Y Momento FlexionantePaolo Castillo
El documento explica cómo determinar las cargas internas (fuerza normal, cortante y momento flexionante) que actúan en un punto específico de un miembro estructural. Define cada carga interna y describe el procedimiento de análisis utilizando el método de las secciones, diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Como ejemplo, pide determinar las cargas internas en dos puntos de una viga en voladizo.
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigasMely Mely
Este documento presenta un estudio teórico y práctico sobre el cálculo de vigas. Se explican conceptos como fuerza cortante, momento flector y sus relaciones con las cargas externas. Se describen diferentes tipos de vigas como isostáticas e hiperestáticas. También se analizan temas como las tensiones internas en vigas, los métodos para calcular deformaciones y la resolución de vigas estáticamente indeterminadas. Finalmente, se incluyen problemas resueltos sobre fuerzas internas, esfuerzos, deformaciones y vigas hiperest
El documento describe los conceptos básicos de las vigas, incluyendo las fuerzas internas que actúan en ellas como fuerzas cortantes y momentos flectores. Explica que una viga soporta cargas a través de la resistencia a la flexión y el corte, y que su predimensionamiento requiere determinar las dimensiones necesarias para resistir estas fuerzas internas. También presenta fórmulas y diagramas para calcular fuerzas cortantes y momentos flectores a lo largo de una viga.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
El documento describe el predimensionado de vigas. Explica cómo determinar las fuerzas internas (fuerza cortante y momento flector) y cómo se relacionan con las cargas. También cubre los métodos para predimensionar vigas por resistencia, incluyendo el cálculo del esfuerzo máximo y la sección requerida para vigas de acero y concreto armado.
La torsión ocurre cuando dos fuerzas paralelas y opuestas provocan la deformación de una estructura hacia estas cargas. La torsión se caracteriza por la rotación de secciones transversales alrededor del eje, manteniendo su forma original. La deformación angular depende del momento torsor aplicado, el módulo de corte del material y el momento polar de inercia de la sección transversal.
1. Se analiza una viga estáticamente indeterminada apoyada-empotrada bajo una carga puntual. Tiene tres reacciones desconocidas y solo dos ecuaciones de equilibrio, por lo que es necesario usar el método de la doble integración.
2. Se resuelve un problema de una viga continua con tres claros, obteniendo las reacciones verticales, momentos y diagramas de cortante y momento.
3. Se analiza una viga empotrada en ambos extremos con carga triangular, para hallar sus reacciones y momentos flexionantes
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
Fuerzas Normal, Cortante Y Momento FlexionantePaolo Castillo
El documento explica cómo determinar las cargas internas (fuerza normal, cortante y momento flexionante) que actúan en un punto específico de un miembro estructural. Define cada carga interna y describe el procedimiento de análisis utilizando el método de las secciones, diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Como ejemplo, pide determinar las cargas internas en dos puntos de una viga en voladizo.
Teoria y practica_de_resistencia_de_materiales-_vigasMely Mely
Este documento presenta un estudio teórico y práctico sobre el cálculo de vigas. Se explican conceptos como fuerza cortante, momento flector y sus relaciones con las cargas externas. Se describen diferentes tipos de vigas como isostáticas e hiperestáticas. También se analizan temas como las tensiones internas en vigas, los métodos para calcular deformaciones y la resolución de vigas estáticamente indeterminadas. Finalmente, se incluyen problemas resueltos sobre fuerzas internas, esfuerzos, deformaciones y vigas hiperest
El documento describe los conceptos básicos de las vigas, incluyendo las fuerzas internas que actúan en ellas como fuerzas cortantes y momentos flectores. Explica que una viga soporta cargas a través de la resistencia a la flexión y el corte, y que su predimensionamiento requiere determinar las dimensiones necesarias para resistir estas fuerzas internas. También presenta fórmulas y diagramas para calcular fuerzas cortantes y momentos flectores a lo largo de una viga.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
El documento describe el predimensionado de vigas. Explica cómo determinar las fuerzas internas (fuerza cortante y momento flector) y cómo se relacionan con las cargas. También cubre los métodos para predimensionar vigas por resistencia, incluyendo el cálculo del esfuerzo máximo y la sección requerida para vigas de acero y concreto armado.
La torsión ocurre cuando dos fuerzas paralelas y opuestas provocan la deformación de una estructura hacia estas cargas. La torsión se caracteriza por la rotación de secciones transversales alrededor del eje, manteniendo su forma original. La deformación angular depende del momento torsor aplicado, el módulo de corte del material y el momento polar de inercia de la sección transversal.
Este documento presenta varios conceptos fundamentales relacionados con el análisis estructural. Define fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes. Explica los diferentes tipos de apoyos, nudos y soportes que se pueden encontrar en una estructura. También describe métodos como el trabajo virtual para calcular desplazamientos en estructuras sometidas a cargas.
Este documento describe las fuerzas internas que actúan en las vigas, incluidas las fuerzas normales, cortantes y momentos flexionantes. Explica los diferentes tipos de vigas que se usan en la construcción, como vigas soportadas, de voladizo y continuas. También presenta ejemplos numéricos para calcular las fuerzas internas en puntos específicos de una viga y resume las aplicaciones prácticas de los conceptos discutidos.
1) El documento describe la ecuación diferencial de la elástica para determinar la curva de deflexión de una viga bajo carga. 2) Se explican métodos como el de doble integración para calcular las deflexiones en cualquier punto de la viga. 3) Los diagramas de momento, corte y carga son herramientas gráficas importantes para el análisis estructural.
Este documento trata sobre la deflexión en vigas. Explica que la deflexión depende del diseño y materiales de la viga, y cómo afecta la flexibilidad y rigidez. Describe dos métodos para calcular la deflexión: el método de doble integración y el método de área de momento. El método de doble integración usa ecuaciones diferenciales e integrales para determinar la deflexión en cualquier punto, mientras que el método de área de momento usa áreas bajo la curva de momento para calcular deflexiones en p
Este documento describe las vigas como elementos estructurales que soportan y transmiten cargas. Explica que las vigas trabajan principalmente a flexión y tienen diferentes tipos de apoyo y cargas que actúan sobre ellas. También describe diferentes clases de vigas y métodos para calcular las reacciones en los apoyos.
Este documento describe las fuerzas internas y los tipos de vigas. Explica que las fuerzas internas transmiten fuerzas de partícula a partícula dentro de un cuerpo debido a fuerzas externas. Describe los tipos principales de fuerzas internas como fuerzas axiales, cortantes y momentos. También describe diferentes tipos de vigas como vigas simples, con voladizo y sus características estáticas. Explica cómo calcular las fuerzas internas y diagramas de fuerzas internas para vigas con diferentes configuraciones y cargas.
1. El documento habla sobre el equilibrio de cuerpos, definido como cuando una fuerza resultante es nula o cuando un cuerpo está en reposo o movimiento uniforme.
2. Explica que un diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y que las ecuaciones de equilibrio establecen que la suma de fuerzas y momentos en cada eje debe ser cero.
3. Describe los tipos básicos de apoyos en vigas, como rodillos, articulaciones y empotramientos, y cómo
Resistencia ii 1er corte 10pct - robin gomez 9799075Robin Gomez Peña
Este documento trata sobre la deformación unitaria en vigas. Explica conceptos como vigas isostáticas e hiperestáticas y los métodos para analizar las deformaciones en vigas hiperestáticas. También cubre temas como las relaciones entre carga, corte y momento flector, y cómo construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante mediante un método gráfico. Por último, analiza los esfuerzos cortantes en vigas y cómo calcularlos.
Tipos de Vigas, Cargas Aplicadas y Apoyos con sus respectivas reacciones; Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes; Ecuación Diferencial de Deflexión en Vigas; Método de Doble Integración
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecuaAlvaro P-Ch
Este documento presenta el problema de calcular la deflexión de una viga de granito de 1 metro de largo usando la transformada de Laplace. La viga está empotrada en un extremo e inclinada en el otro, y está sujeta a una carga de 48EI Newtons en la primera mitad. El documento explica conceptos como vigas, deflexión, función escalón unitario y transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial de cuarta orden que describe la deflexión de la viga.
Este documento describe cómo construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para vigas. Explica las relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flexionante, y cómo usar estas relaciones para trazar los diagramas. También detalla el procedimiento de análisis paso a paso, incluyendo determinar reacciones en los soportes, trazar el diagrama de fuerza cortante y luego el diagrama de momento flexionante. Finalmente, propone un ejercicio para practicar la construcción de estos diagramas.
El documento presenta varios ejemplos y ejercicios relacionados con el análisis de estructuras estáticamente determinadas, incluyendo el cálculo de reacciones, fuerzas internas, diagramas de cortante y momento flector. Los ejemplos cubren temas como determinar deformaciones, módulo de elasticidad, reacciones, fuerzas internas en vigas y marcos, y construir diagramas de cortante y momento.
1) El documento trata sobre la inestabilidad elástica en estructuras, en particular el fenómeno del pandeo.
2) Se introduce el concepto de viga columna y se analiza el comportamiento de una viga columna idealizada sometida a compresión axial y flexión.
3) Se deduce la expresión para la carga crítica o de pandeo de Euler para este tipo de elementos estructurales.
El principio de Saint-Venant establece que a una distancia suficiente de la aplicación de una carga, las tensiones, deformaciones y desplazamientos no dependen de la distribución exacta de la carga, sino solo de la fuerza resultante y el momento resultante. Esto permite aproximar sistemas complejos de cargas por una única fuerza y momento equivalentes aplicados en el centro de gravedad de la sección transversal. El principio también establece que cerca de la aplicación de la carga, la distribución de tensiones no es uniforme, pero se
DC Thomson Family History is a global genealogy company with over 1.6 billion family history records from around the world. It has strong customer loyalty with over 80% of customers renewing subscriptions. The company aims to connect people to shared family histories through authoritative records and compelling contextual storytelling across multiple brands and platforms. Its strategy focuses on enhancing the customer experience, providing richer historical context, collaborating with partners, and leveraging technology to reach new audiences.
Нұрсұлтан Назарбаев 1940 жылы 6 шілдеде Алматы облысының Қарасай ауданына қарасты Шамалған ауылында Әбіш пен Әлжанның отбасында дүниеге келген.
1960 жылы Днепродзержинск техникалық училищесін, 1967 жылы Қарағанды металлургия комбинатына қарасты жоғары техникалық оқу орынын, 1976 жылы Кеңес Одағы коммунистік партиясы Орталық комитетіне қарасты Жоғары партия мектебін бітірген.
Еңбек жолын 1960 жылы Теміртау қаласындағы Қарағанды металлургия комбинатында қатардағы жұмысшы болып бастап, домна пешінің аға газдаушылығына дейінгі жолдан өтті.
1991 ж. желтоқсанның 1-інде тұңғыш рет Қазақстан Республикасы Президентінің жалпыхалықтық сайлауы өтті. Сайлау нәтижесінде Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаев басым дауыспен (98,7 %) жеңіске жетті.
1960 жылы Днепродзержинск техникалық училищесін, 1967 жылы Қарағанды металлургия комбинатына қарасты жоғары техникалық оқу орынын, 1976 жылы Кеңес Одағы коммунистік партиясы Орталық комитетіне қарасты Жоғары партия мектебін бітірген.
Еңбек жолын 1960 жылы Теміртау қаласындағы Қарағанды металлургия комбинатында қатардағы жұмысшы болып бастап, домна пешінің аға газдаушылығына дейінгі жолдан өтті.
1960—69 жж. — Қарағанды металлургия зауытында жұмыс істеді.
1969—73 жж. — Қарағанды облысы Теміртау қаласындағы партия-комсомол жұмыстарында жауапты қызметтер атқарды.
1973—77 жж.
— Қарметкомбинаттың партком хатшысы.
1977—79 жж. — Қарағанды облыстық партия комитетiнiң хатшысы, 2-ші хатшысы.
1973—77 жж.
— Қарметкомбинаттың партком хатшысы.
1977—79 жж. — Қарағанды облыстық партия комитетiнiң хатшысы, 2-ші хатшысы.
1991 ж. желтоқсанның 1-інде тұңғыш рет Қазақстан Республикасы Президентінің жалпыхалықтық сайлауы өтті. Сайлау нәтижесінде Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаев басым дауыспен (98,7 %) жеңіске жетті.
cours Algorithmique SMP-SMC s2 by coursedu.blogspot.comcoursedu
Un algorithme est une méthode de résolution de problème énoncée sous la forme d'une série d'opérations à effectuer. La mise en œuvre de l'algorithme consiste en l'écriture de ces opérations dans un langage de programmation et constitue alors la brique de base d'un programme informatique
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Cours mecanique de point materiel s1 par coursedu.blogspot.comcoursedu
Ce document présente l’enseignement de « Mécanique du point et du système de points
matériels »
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Active learning in science uses techniques like role playing, experiments, and individual or pair activities to engage students in real and imaginary situations, allowing them to learn through doing things with guidance from teachers rather than just listening. It focuses on step-by-step hands-on learning to more deeply engage students in science concepts.
Este documento presenta varios conceptos fundamentales relacionados con el análisis estructural. Define fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes. Explica los diferentes tipos de apoyos, nudos y soportes que se pueden encontrar en una estructura. También describe métodos como el trabajo virtual para calcular desplazamientos en estructuras sometidas a cargas.
Este documento describe las fuerzas internas que actúan en las vigas, incluidas las fuerzas normales, cortantes y momentos flexionantes. Explica los diferentes tipos de vigas que se usan en la construcción, como vigas soportadas, de voladizo y continuas. También presenta ejemplos numéricos para calcular las fuerzas internas en puntos específicos de una viga y resume las aplicaciones prácticas de los conceptos discutidos.
1) El documento describe la ecuación diferencial de la elástica para determinar la curva de deflexión de una viga bajo carga. 2) Se explican métodos como el de doble integración para calcular las deflexiones en cualquier punto de la viga. 3) Los diagramas de momento, corte y carga son herramientas gráficas importantes para el análisis estructural.
Este documento trata sobre la deflexión en vigas. Explica que la deflexión depende del diseño y materiales de la viga, y cómo afecta la flexibilidad y rigidez. Describe dos métodos para calcular la deflexión: el método de doble integración y el método de área de momento. El método de doble integración usa ecuaciones diferenciales e integrales para determinar la deflexión en cualquier punto, mientras que el método de área de momento usa áreas bajo la curva de momento para calcular deflexiones en p
Este documento describe las vigas como elementos estructurales que soportan y transmiten cargas. Explica que las vigas trabajan principalmente a flexión y tienen diferentes tipos de apoyo y cargas que actúan sobre ellas. También describe diferentes clases de vigas y métodos para calcular las reacciones en los apoyos.
Este documento describe las fuerzas internas y los tipos de vigas. Explica que las fuerzas internas transmiten fuerzas de partícula a partícula dentro de un cuerpo debido a fuerzas externas. Describe los tipos principales de fuerzas internas como fuerzas axiales, cortantes y momentos. También describe diferentes tipos de vigas como vigas simples, con voladizo y sus características estáticas. Explica cómo calcular las fuerzas internas y diagramas de fuerzas internas para vigas con diferentes configuraciones y cargas.
1. El documento habla sobre el equilibrio de cuerpos, definido como cuando una fuerza resultante es nula o cuando un cuerpo está en reposo o movimiento uniforme.
2. Explica que un diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y que las ecuaciones de equilibrio establecen que la suma de fuerzas y momentos en cada eje debe ser cero.
3. Describe los tipos básicos de apoyos en vigas, como rodillos, articulaciones y empotramientos, y cómo
Resistencia ii 1er corte 10pct - robin gomez 9799075Robin Gomez Peña
Este documento trata sobre la deformación unitaria en vigas. Explica conceptos como vigas isostáticas e hiperestáticas y los métodos para analizar las deformaciones en vigas hiperestáticas. También cubre temas como las relaciones entre carga, corte y momento flector, y cómo construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante mediante un método gráfico. Por último, analiza los esfuerzos cortantes en vigas y cómo calcularlos.
Tipos de Vigas, Cargas Aplicadas y Apoyos con sus respectivas reacciones; Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes; Ecuación Diferencial de Deflexión en Vigas; Método de Doble Integración
Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecuaAlvaro P-Ch
Este documento presenta el problema de calcular la deflexión de una viga de granito de 1 metro de largo usando la transformada de Laplace. La viga está empotrada en un extremo e inclinada en el otro, y está sujeta a una carga de 48EI Newtons en la primera mitad. El documento explica conceptos como vigas, deflexión, función escalón unitario y transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial de cuarta orden que describe la deflexión de la viga.
Este documento describe cómo construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para vigas. Explica las relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flexionante, y cómo usar estas relaciones para trazar los diagramas. También detalla el procedimiento de análisis paso a paso, incluyendo determinar reacciones en los soportes, trazar el diagrama de fuerza cortante y luego el diagrama de momento flexionante. Finalmente, propone un ejercicio para practicar la construcción de estos diagramas.
El documento presenta varios ejemplos y ejercicios relacionados con el análisis de estructuras estáticamente determinadas, incluyendo el cálculo de reacciones, fuerzas internas, diagramas de cortante y momento flector. Los ejemplos cubren temas como determinar deformaciones, módulo de elasticidad, reacciones, fuerzas internas en vigas y marcos, y construir diagramas de cortante y momento.
1) El documento trata sobre la inestabilidad elástica en estructuras, en particular el fenómeno del pandeo.
2) Se introduce el concepto de viga columna y se analiza el comportamiento de una viga columna idealizada sometida a compresión axial y flexión.
3) Se deduce la expresión para la carga crítica o de pandeo de Euler para este tipo de elementos estructurales.
El principio de Saint-Venant establece que a una distancia suficiente de la aplicación de una carga, las tensiones, deformaciones y desplazamientos no dependen de la distribución exacta de la carga, sino solo de la fuerza resultante y el momento resultante. Esto permite aproximar sistemas complejos de cargas por una única fuerza y momento equivalentes aplicados en el centro de gravedad de la sección transversal. El principio también establece que cerca de la aplicación de la carga, la distribución de tensiones no es uniforme, pero se
DC Thomson Family History is a global genealogy company with over 1.6 billion family history records from around the world. It has strong customer loyalty with over 80% of customers renewing subscriptions. The company aims to connect people to shared family histories through authoritative records and compelling contextual storytelling across multiple brands and platforms. Its strategy focuses on enhancing the customer experience, providing richer historical context, collaborating with partners, and leveraging technology to reach new audiences.
Нұрсұлтан Назарбаев 1940 жылы 6 шілдеде Алматы облысының Қарасай ауданына қарасты Шамалған ауылында Әбіш пен Әлжанның отбасында дүниеге келген.
1960 жылы Днепродзержинск техникалық училищесін, 1967 жылы Қарағанды металлургия комбинатына қарасты жоғары техникалық оқу орынын, 1976 жылы Кеңес Одағы коммунистік партиясы Орталық комитетіне қарасты Жоғары партия мектебін бітірген.
Еңбек жолын 1960 жылы Теміртау қаласындағы Қарағанды металлургия комбинатында қатардағы жұмысшы болып бастап, домна пешінің аға газдаушылығына дейінгі жолдан өтті.
1991 ж. желтоқсанның 1-інде тұңғыш рет Қазақстан Республикасы Президентінің жалпыхалықтық сайлауы өтті. Сайлау нәтижесінде Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаев басым дауыспен (98,7 %) жеңіске жетті.
1960 жылы Днепродзержинск техникалық училищесін, 1967 жылы Қарағанды металлургия комбинатына қарасты жоғары техникалық оқу орынын, 1976 жылы Кеңес Одағы коммунистік партиясы Орталық комитетіне қарасты Жоғары партия мектебін бітірген.
Еңбек жолын 1960 жылы Теміртау қаласындағы Қарағанды металлургия комбинатында қатардағы жұмысшы болып бастап, домна пешінің аға газдаушылығына дейінгі жолдан өтті.
1960—69 жж. — Қарағанды металлургия зауытында жұмыс істеді.
1969—73 жж. — Қарағанды облысы Теміртау қаласындағы партия-комсомол жұмыстарында жауапты қызметтер атқарды.
1973—77 жж.
— Қарметкомбинаттың партком хатшысы.
1977—79 жж. — Қарағанды облыстық партия комитетiнiң хатшысы, 2-ші хатшысы.
1973—77 жж.
— Қарметкомбинаттың партком хатшысы.
1977—79 жж. — Қарағанды облыстық партия комитетiнiң хатшысы, 2-ші хатшысы.
1991 ж. желтоқсанның 1-інде тұңғыш рет Қазақстан Республикасы Президентінің жалпыхалықтық сайлауы өтті. Сайлау нәтижесінде Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаев басым дауыспен (98,7 %) жеңіске жетті.
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Un algorithme est une méthode de résolution de problème énoncée sous la forme d'une série d'opérations à effectuer. La mise en œuvre de l'algorithme consiste en l'écriture de ces opérations dans un langage de programmation et constitue alors la brique de base d'un programme informatique
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Cours mecanique de point materiel s1 par coursedu.blogspot.comcoursedu
Ce document présente l’enseignement de « Mécanique du point et du système de points
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RAC-Installing your First Cluster and DatabaseNikhil Kumar
RAC - Installing your First RAC
Abstract : Oracle Real Application Clusters have been one of the hottest technologies in the market since 2001 prior this is know OPS in 8i. Oracle has brought revolution in the field of database by enhancing RAC technologies in it each version. This presentation will give introduction of RAC and features introduced in each version of RAC. This presentation contains the demo of building Oracle clusterware from the scratch. Also we will discuss the new components and its features during installation. This presentation and demo will be done on version 11GR2. Which will be used as a base for our next presentation Viz. Upgradation of RAC 11GR2 to 12C RAC.
This presentation will give brief insight information of RAC infrastructure setup. Sometimes DBA doesn’t fully aware of prerequisite and verification steps that needs to perform before installing clusterware, So this session will cover thing to consider before installing clusterware and best practices followed during the whole process.
Agenda
Introduction of RAC
Installation of Clusterware.
Creating diskgroup / Adding disk to Diskgroup using ASMCA.
Creation of ACFS Volume.
Installation of RAC Database using DBCA.
Bluetooth is a wireless technology standard that allows for data exchange over short distances between fixed and mobile devices. It works by creating personal area networks (PANs) using radio wave transmissions. Bluetooth was invented in 1994 by Ericsson and later developed by the Bluetooth Special Interest Group. It allows for wireless connections between devices like phones, headphones, speakers and more. Devices must have transceivers, MAC addresses, PIN numbers, and participate in a piconet to connect via Bluetooth using the FHSS protocol which hops between frequencies.
This document provides information on upgrading Oracle Clusterware from version 11gR2 to 12cR1. It begins with an introduction to the presenter and their experience. The agenda then outlines discussing introduction to Clusterware, prerequisites for upgrade, differences between traditional and Flex clusters, the upgrade process, recovering from failures, downgrade process, and tips for monitoring the RAC environment.
Real Application Cluster (RAC) allows multiple computers to simultaneously run Oracle RDBMS while accessing a single database, providing clustering. RAC provides high availability, scalability, and ease of administration by making multiple instances transparent to users. Nodes must have identical environments. Oracle Clusterware manages node additions and removals. Instances from different nodes write to the same physical database. The presentation covers RAC architecture, components, startup sequence, single instance configuration, node eviction, and tips for monitoring and improving the RAC environment.
El documento trata sobre vigas y sus propiedades. Explica que las vigas son elementos estructurales que soportan cargas lateralmente y resisten la flexión. También describe las fuerzas internas como axial, corte y momento, y cómo se clasifican. Explica los tipos de cargas, apoyos, diagramas de fuerza axial y momento, y las relaciones entre carga, corte y momento en vigas.
El documento habla sobre las fuerzas estructurales que soporta una montaña rusa. Explica que los esfuerzos más importantes son la compresión y la flexión. Describe cómo se calculan estos esfuerzos usando fórmulas que involucran fuerza, área y momento de inercia. También incluye ejemplos de cálculos para diferentes tipos de estructuras como porticos y vigas.
El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas. Explica que este tipo de vigas tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio disponibles para resolverlas. Presenta ejemplos de vigas apoyada-empotrada y continua, y métodos como el de la doble integración para determinar las reacciones y deformaciones de las vigas hiperestáticas mediante el análisis de rotaciones y desplazamientos. Resuelve tres problemas aplicando este método para calcular fuerzas, momentos y flechas en diferentes configuraciones de vigas.
Este documento presenta el análisis de una viga continua mediante el método de superposición. Se calculan las reacciones y el momento de empotramiento de la viga al someterla a cuatro situaciones de carga diferentes y resolver las ecuaciones de equilibrio resultantes. Finalmente, se suman las contribuciones individuales de cada carga para obtener las reacciones totales y el momento en el empotramiento.
Este documento describe diferentes tipos de columnas y su análisis y diseño. Resume tres clases de columnas (estribadas, zunchadas, pedestales), y describe columnas cortas y largas o esbeltas. Para columnas cortas, explica el análisis para compresión pura y flexocompresión, e incluye ecuaciones para la resistencia. Para columnas largas, discute el pandeo y cómo calcular la carga crítica.
El documento presenta una introducción a las líneas de influencia. Explica que las líneas de influencia muestran la variación de esfuerzos como reacciones, cortantes y momentos flectores cuando una carga unitaria se desplaza a lo largo de una estructura. También describe cómo se trazan las líneas de influencia y su utilidad para determinar esfuerzos máximos y simplificar cálculos, especialmente en estructuras con cargas móviles como puentes.
1200L2
2
VA =
1200L
2
MB =
1200L2
2
VB =
1200L
2
Este documento describe:
1) El análisis de vigas estáticamente indeterminadas mediante el método de doble integración.
2) La solución de tres problemas de vigas hiperestáticas, encontrando las reacciones y momentos flexores.
3) Cómo se determinan las constantes de integración usando las condiciones de contorno en los apoyos.
Este documento presenta el método de doble integración para calcular las deflexiones en vigas sometidas a cargas. Este método involucra integrar dos veces la ecuación diferencial de la curva elástica para obtener ecuaciones de la pendiente y deflexión a lo largo de la viga. Se describen también las condiciones de frontera necesarias para determinar las constantes de integración, así como ejemplos de su aplicación para calcular rotaciones y deflexiones máximas.
1) Las vigas son elementos estructurales que soportan cargas verticales y transmiten fuerzas laterales a lo largo de su eje. 2) En el interior de las vigas se generan cuatro fuerzas internas en respuesta al equilibrio: fuerza cortante, fuerza axial, momento flector y momento torsor. 3) El documento se enfoca en el estudio de vigas sometidas a flexión no uniforme, analizando la relación entre fuerzas externas e internas y cómo varían a lo largo de la viga.
1. El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas, las cuales tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio estático disponibles. 2. Para resolver este tipo de vigas se requieren ecuaciones adicionales basadas en el análisis de deformaciones. 3. El método de la doble integración integra sucesivamente la ecuación diferencial de la elástica para determinar las reacciones y momentos flexionantes en vigas hiperestáticas.
El documento describe el concepto de líneas de influencia para analizar las fuerzas generadas por cargas móviles en puentes. Explica que las líneas de influencia muestran el efecto de una carga unitaria en un punto específico, a diferencia de los diagramas de corte y momento que muestran el efecto de cargas fijas en toda la estructura. También presenta un ejemplo para construir la línea de influencia del corte en una viga simplemente apoyada sujeto a una carga móvil unitaria.
PPT ANALISIS APROXIMADO DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS CONFORMADAS POR ELEMENT...josefasapi
Este documento presenta un resumen de cuatro métodos para analizar aproximadamente los pórticos de edificios sujetos a carga lateral: el método del portal, el método del voladizo, el método de Muto y el método de Ozawa. Explica los pasos involucrados en cada método y cómo se pueden usar para determinar los esfuerzos en las columnas y vigas de un pórtico. También cubre conceptos como la rigidez lateral de columnas, la ubicación del punto de inflexión y el análisis sísmico traslac
Un documento describe los tipos de cargas que pueden actuar sobre una viga, incluyendo cargas concentradas y distribuidas. Explica las fuerzas internas que se producen en una viga - fuerza axial, cortante y momento flector - y cómo se relacionan con las cargas externas aplicadas. Además, introduce los diagramas de fuerza cortante y momento flector como una herramienta para analizar el comportamiento de una viga sometida a cargas.
Este documento trata sobre vigas. Brevemente describe que las vigas son elementos estructurales diseñados para soportar cargas perpendiculares a su eje. Explica los diferentes tipos de vigas según su soporte y carga, y describe los diagramas de fuerza cortante y momento flector que son fundamentales para el diseño de vigas. También presenta la ecuación diferencial de deflexión de vigas y métodos para resolverla como el método de doble integración y el método del trabajo virtual.
1) Las vigas son elementos estructurales que soportan cargas verticales y transmiten fuerzas a otros elementos. 2) Las vigas están sujetas a fuerzas internas como corte y momento flector debido a las cargas externas. 3) El diagrama de corte muestra cómo varía la fuerza cortante a lo largo de la viga, y el diagrama de momento flector muestra cómo varía el momento flector.
Este documento trata sobre la estática de vigas. Explica que las vigas resisten fuerzas laterales y que hay tres tipos de fuerzas internas: axiales, cortantes y de flexión. También describe tres tipos de apoyos (móvil, fijo y empotramiento) y cómo calcular las reacciones usando ecuaciones de equilibrio. Presenta ejemplos para calcular reacciones en vigas con cargas puntuales y distribuidas.
Este documento trata sobre deflexiones en vigas. Explica que las vigas se deforman bajo cargas, y que el análisis de deflexiones influye en el diseño de vigas. Luego, introduce conceptos como la curvatura de la superficie neutra, la ecuación de la elástica, y métodos para determinar deflexiones máximas y en puntos específicos de una viga sujeta a diferentes tipos de cargas.
1. Las armaduras están compuestas de elementos rectos conectados en nodos que soportan cargas y están restringidos. 2. Los elementos de una armadura están sujetos a dos fuerzas iguales y opuestas a lo largo del elemento. 3. Existen métodos como el de los nodos y el de las secciones para determinar las fuerzas que actúan en cada elemento de una armadura.
Este documento trata sobre las fuerzas internas en estructuras. Explica los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, y los métodos para construirlos (ecuaciones y suma). El método de las ecuaciones utiliza ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas a lo largo de la estructura. El método de la suma se basa en reglas para los cambios en las fuerzas internas debido a cargas.
Este documento describe cómo calcular las funciones de fuerza cortante y momento flexionante a lo largo de una viga. Explica que estas funciones deben determinarse por secciones separadas entre discontinuidades de carga. Proporciona un procedimiento para determinar V y M como funciones de la posición x mediante el análisis de fuerzas y momentos en diagramas de cuerpo libre de secciones cortadas. Finalmente, presenta un ejercicio propuesto para aplicar este método a una viga específica.
Similar a Apuntes resistencia de materiales iii (20)
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Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
1. TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS
Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a
sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de
un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de
fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.
Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema
de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son:
1. Las fuerzas axiales
2. Las fuerzas cortantes
3. El momento flector
La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo.
Calculo de reacciones
Convenciones de simbología para apoyos y cargas
Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para
cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar
tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores.
Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los
grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:
Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de
la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción
en ese sentido.
VA
A
2. Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el
desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una
componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal.
Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la
estática
Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el
giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente
longitudinal, otra transversal y una reacción de momento.
Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir,
fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se
muestran como una secuencia de vectores.
Cálculos de reacciones de vigas
VA
A
HA
MA
VA
A
HA
3. En este capítulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzará con la detrminación de las
reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de
equilibrio estático para el análisis. Estas son:
𝐹𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑀 𝑍 = 0
La aplicación de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos,
los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento.
Ejemplo 1
Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura:
Solución
De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se
observan en la figura siguiente:
A B
200N*m 100N 160N
VA
HA
VB
A B
0,1m 0,1m 0,1m 0,1m
200N*m 100N 160N
4. Ahora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 100 − 160 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 260 𝑁
𝑀𝐴 = 0 → −200 − 100 ∙ 0,2 − 160 ∙ 0,3 + 𝑉𝐵 ∙ 0,4 = 0
𝑉𝐵 = 670 𝑁
Ahora, como: 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 260 𝑁 𝑉𝐴 = 260 − 670 = −410 𝑁
El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura.
Ejemplo 2
Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el
peso de la viga
A
B
10kN/m
VA
HA
VB
3 2
5. Solución:
Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra
vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. Ahora
aplicando las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 10 ∙ 1000 ∙
3
2
= 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = −15.000 𝑁
𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐴 ∙ 5 + 15.000 ∙
2
3
∙ 3 = 0
𝑉𝐴 = −6.000 𝑁
Luego,
𝑉𝐵 = −9.000 𝑁
Ejemplo 3
Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura
A
5N
HA
V
B
B
VA
45°
53°
3 9
6. Solución:
Usando las ecuaciones de la estática se tiene:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 − 5 ∙ cos 53 − 𝑉𝐵 ∙ cos 45 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 − 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 = 0
𝑉𝐴 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 − 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45
𝑀𝐴 = 0 → −5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 ∙ 3 + 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 ∙ 12 = 0
𝑉𝐵 =
15 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53
12 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45
= 1,41 𝑁
Luego:
𝑉𝐴 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 − 1,41 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45
𝑉𝐴 = 3 𝑁
𝐻𝐴 = 5 ∙ cos 53 + 3 ∙ cos45
𝐻𝐴 = 5,13 𝑁
Algunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una
articulación es capaz de transmitir sólo fuerzas horizontales y verticales. Ningún momento puede
ser transmitido por una articulación. Por tanto, el punto donde se localiza una articulación es
particularmente conveniente para “separar” una estructura en partes con el fin de calcular las
reacciones. Cada parte de la viga así separada se trata en forma independiente. Cada articulación
proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las
reacciones. La introducción de una articulación o articulaciones convierte al sistema en muchos
casos, en estáticamente detrminado. La introducción de una articulación en una viga
estáticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de
vigas es:
7. Aplicación del método de las secciones
El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen
en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las
secciones.
El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la
preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las
reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las
fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier
sección de una estructura.
L/2
L a
P
P
P/2
P/2
P/2
P/2
𝑃 ∙ 𝑎
2
8. Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre
ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las
reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga
uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un
cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia
de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga.
Fuerza cortante en vigas
Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en
el corte que satisfaga la ecuación 𝐹𝑦 = 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ángulo recto
respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es
numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas
externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante
puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de
la página anterior o considerando el lado derecho.
A
VA
HA
VB
B
Hx
Vx
Mx
x
P1
P2
q1
q2
9. Momento flector en vigas
Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de
equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 y 𝐹𝑦 = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema
plano es 𝑀𝑧 = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento
interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado
por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al
momento externo para satisfacer la ecuación gobernante 𝑀𝑧 = 0. Esos momentos tieneden a
flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores.
Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga,
se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento
flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus
respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse
en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el
punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los
momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El
momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras
superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo).
La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente:
De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras
superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un
momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se
genera una curva convexa.
MM
MM
10. Ejemplo 1
Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente:
A
B
10kN/m
9.000N
6.000N
3 2
11. Solución:
La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades:
i. Tramo AD 0 < 𝑥 < 3
−9.000 +
10.000
3
∙ 𝑥 ∙ 𝑥
2
= 𝑉𝑥
−9.000 +
5.000 ∙ 𝑥2
3
= 𝑉𝑥
−9.000 ∙ 𝑥 +
5.000 ∙ 𝑥3
9
= 𝑀𝑥
A
9.000N
C
x
Vx
Mx
12. ii. Tramo DB 3 < 𝑥 < 5
−9.000 +
10.000 ∙ 3
2
= 𝑉𝑥
−9.000 + 15.000 = 𝑉𝑥
−9.000 ∙ 𝑥 +
10.000 ∙ 3
2
∙ 𝑥 −
2
3
∙ 3 = 𝑀𝑥
−9.000 ∙ 𝑥 + 15.000 ∙ 𝑥 − 2 = 𝑀𝑥
El mismo procedimiento puede seguirse para marcos que consisten de varios elementos
rígidamente unidos entre sí, así como para barras curvas. En todos esos casos, las secciones
deben ser perpendiculares al eje de un elemento.
A
10kN/m
9.000N
3
C D
x
Vx
Mx
13. Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector
Las ecuaciones derivadas del método de las secciones se pueden representar en gráficos, en los
cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una línea base que
representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que
representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento
flector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localización de diversas cantidades resultan
inmediatamente obvias.
Ejemplo 1
Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura:
Solución:
Se calculan en primer lugar las reacciones:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 − 5 ∙ cos53 = 0
𝐻𝐴 − 5 ∙ cos53 = 0
𝐻𝐴 = 3𝑁
A
5N
HA
VB
B
VA
53°
5 5
14. 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 5 ∙ sen 53 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 4𝑁
𝑀𝐴 = 0 → − 5 ∙ sen 53 ∙ 5 + 𝑉𝐵 ∙ 10 = 0
𝑉𝐵 = 2𝑁
𝑉𝐴 = 2𝑁
3N
DIAGRAMA DE
FUERZA NORMAL
2N
2N
DIAGRAMA DE
FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE
MOMENTO FLECTOR
10N*m
15. Ejemplo 2
Dibuje los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo
cargada con una fuerza inclinada en su extremo libre de la figura siguiente:
Solución:
Haciendo equilibrio estático:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 + 𝑃 = 0
𝐻𝐴 = −𝑃
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 − 𝑃 = 0
𝑉𝐴 = 𝑃
𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 − 𝑃 ∙ 𝐿 = 0
𝑀𝐴 = 𝑃 ∙ 𝐿
Luego los diagramas son los siguientes:
A
HA
VA
45°
2Pcos 45
MA
L
16. Ejemplo 3
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga
uniformemente distribuida (véase figura)
P
P
P*L
DIAGRAMA DE FUERZA
NORMAL
DIAGRAMA DE FUERZA
CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO
FLECTOR
A B
VA
qN/m
HA
VB
L
17. Solución:
De las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 𝑞 ∙ 𝐿 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 𝑞 ∙ 𝐿
𝑀𝐴 = 0 → −𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
+ 𝑉𝐵 ∙ 𝐿 = 0
𝑉𝐵 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
𝑉𝐴 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
q*l/2
q*l/2
(q*l^2)/8
DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL
DIAGRAMA DE FUERZA
CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO
FLECTOR
18. Ejemplo 4
Para la viga de la figura, exprese la fuerza cortante Vx y el momento flector Mx en función de x.
Solución:
Esta es una viga estáticamente indeterminada de primer grado, pues se tienen cuatro incógnitas y
tres ecuaciones de la estática para determinarlas, el procedimiento que se sigue es dejar las
incógnitas en función de un parámetro.
Calculamos las reacciones en primer lugar:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 𝑞 ∙ 𝐿 = 0
𝑉𝐴 = 𝑞 ∙ 𝐿 − 𝑉𝐵
𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 − 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
+ 𝑉𝐵 ∙ 𝐿 = 0
𝑀𝐴 = 𝑞 ∙
𝐿2
2
− 𝑉𝐵 ∙ 𝐿
Ahora, se calculan las fuerzas internas que afectan al sistema utilizando el método de las
secciones.
A B
VA
qN/m
HA
VB
L
MA
19. 𝑉𝐴 − 𝑞 ∙ 𝑥 = 𝑉𝑥
Luego, reemplazando:
𝑞 ∙ 𝐿 − 𝑉𝐵 − 𝑞 ∙ 𝑥 = 𝑉𝑥
−𝑀𝐴 + 𝑉𝐴 ∙ 𝑥 −
𝑞 ∙ 𝑥2
2
= 𝑀𝑥
Reemplazando:
−𝑞 ∙
𝐿2
2
+ 𝑉𝐵 ∙ 𝐿 + (𝑞 ∙ 𝐿 − 𝑉𝐵) ∙ 𝑥 −
𝑞 ∙ 𝑥2
2
= 𝑀𝑥
Ejemplo 5
Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0,2 m de radio,
como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de
1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección
A-A definida por 𝛼 = 45°. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo
plano.
A
VA
qN/m
x
MA
Vx
Mx
20. Solución:
Usando el método de las secciones se obtiene los siguiente:
45°
A
A
0,4
1.000N1.000N
45°
A
A
0,14
1.000N
V45°
H45°
M45°
O
22. TEMA 7: FLEXIÓN
Considere una viga horizontal prismática cuya sección transversal tenga un eje de simetría. Una
línea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales será considerada como
eje de la viga. A continuación considere un elemento típico de la viga entre dos planos
perpendiculares al eje. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd.
Cuando la viga es sometida a momentos iguales Mz actuando alrededor del eje z, esta viga se
flexiona en el eje de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan
ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a´d´ y b´c´, permanecen rectas. Esta
observación forma la base de la hipótesis fundamental de la teoría de flexión. Puede enunciarse
de la siguiente manera: “Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas
después de que ésta es sometida a flexión”.
En la flexión pura de una viga prismática, el eje de la viga se deforma según un círculo de radio ,
mientras que la longitud de ef está dado por:
𝑒𝑓 = 𝑑𝑠
x
y
z
y
a
c
b
d
O A
a´ b´
c´ d´
e
g
f
h
Mz Mz
d
y
O A
23. 𝑑𝑠 = 𝜌 ∙ 𝑑𝜃
Luego:
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
1
𝜌
= 𝑘
Donde k es la curvatura.
La longitud de la fibra gh está dada por:
𝑔 = 𝜌 − 𝑦 ∙ 𝑑𝜃
Y, por tanto la diferencia entre las longitudes de las fibras estará dada por:
𝑑𝑢 = 𝑔 − 𝑒𝑓 = 𝜌 − 𝑦 ∙ 𝑑𝜃 − 𝜌 ∙ 𝑑𝜃 = −𝑦 ∙ 𝑑𝜃
Dividiendo por ds:
𝑑𝑢
𝑑𝑠
= −𝑦 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑠
= −𝑘 ∙ 𝑦
Como las deflexiones y la rotación del eje de la viga son muy pequeños, los cosenos de los ángulos
implicados al formar las proyecciones de 𝑑𝑢 y 𝑑𝑠 sobre el eje horizontal son casi igual a la unidad,
luego, es posible reemplazar la deformación axial de la viga por du y reemplazar ds por dx, con lo
que queda:
𝜀 𝑥 = −𝑘 ∙ 𝑦
Usando la Ley de Hooke:
𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝜀 𝑥 = −𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦
Por otro lado, se requiere que la suma de todas las fuerzas en una sección en la dirección x sea 0,
lo que implica:
𝐹𝑥 = 0 → 𝜎𝑥 ∙ 𝑑𝐴 = 0
−𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 0
k es constante en flexión pura, luego:
−𝐸 ∙ 𝑘 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 0
Para satisfacer esta condición el eje z debe pasar por el centroide de área de la sección transversal
y como este eje z representa el origen del sistema implica que a lo largo de este eje tanto las
deformaciones como los esfuerzos normales son nulos. Este eje se llama fibra neutra.
24. Para completar la fórmula de flexión elástica, debemos considerar que la sumatoria de los
momentos externos debe ser igual a la suma de los momentos internos de la viga, vale decir:
𝑀0 = 0 → 𝑀𝑧 = 𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑦
𝑀𝑧 = 𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦2
∙ 𝑑𝐴
𝑀𝑧
𝐼𝑧𝑔
= 𝐸 ∙ 𝑘
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧𝑔
∙ 𝑦
Cabe destacar que el momento de inercia se calcula respecto de la fibra neutra de la figura, luego
es necesario primero establecer el centroide de área de la figura.
Debe notarse que en el caso de la flexión pura, el único esfuerzo que actúa es 𝜎𝑥, luego el tensor
de esfuerzos estará dado por:
𝜎 =
𝜎𝑥 0 0
0 0 0
0 0 0
Y, como vimos en el capítulo este tensor de esfuerzos se puede hacer rotar y obtener el estado de
esfuerzos en cualquier sistema de eje coordenado.
Ejemplo 1
Una viga en voladizo de madera que pesa 0,75 N/m soporta una carga puntual hacia arriba de 20
kN en su extremo. Determine los esfuerzos máximos de flexión en una sección a 2 m desde el
extremo libre.
x z
y
a
c
b
d
O A
Mz
x=-Eky
y
25. Utilizando las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻 𝐵 = 0
A HB
VB
B20kN
B
0,75kN/m
L
400
300
Sección transversal viga
(medidas en milímetros)
26. 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐵 − 0,75 ∙ 𝐿 + 20 = 0
𝑉𝐵 = −20 + 0,75 ∙ 𝐿
𝑀 𝐵 = 0 → −20 ∙ 𝐿 + 0,75 ∙
𝐿2
2
− 𝑀 𝐵 = 0
𝑀 𝐵 = 20 ∙ 𝐿 − 0,75 ∙
𝐿2
2
Ahora determinamos el sistema de fuerzas internas que afectan a la viga a 2 metros del extremo
(veáse figura):
20 ∙ 2 − 0.75 ∙ 2 ∙ 1 = 𝑀2𝑚
38,5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 = 𝑀2𝑚
El esfuerzo está dado por:
𝜎𝑥 =
−𝑀 ∙ 𝑦
𝐼𝑧𝑔
Derivando el esfuerzo normal respecto a y e igualando a cero se encuentra el esfuerzo normal
máximo en la sección:
𝑑𝜎𝑥
𝑑𝑦
= −
𝑀
𝐼𝑧𝑔
≠ 0
A
V2m
20kN
M2m
0,75kN/m
2
27. Esto implica que no se tienen máximo ni mínimos relativos, por tanto se debe evaluar en los
bordes superiores e inferiores para encontrar el esfuerzo normal máximo.
Por otro lado la sección transversal de la viga simétrica, lo que implica que el centroide se
encuentra en la intersección de los ejes de simetría y por tanto la fibra neutra se ubica a la mitad
de la altura de la viga:
Calcularemos ahora el momento de inercia:
𝐼𝑧𝑔 =
1
12
∙ 0,3 ∙ 0,43
= 0,0016 𝑚4
Luego el esfuerzo normal en el borde superior es:
𝜎𝑥 =
−38,5 ∙ 0,2
0,016
= −4.812,5
𝑘𝑁
𝑚2
= −4.812.500
𝑁
𝑚2
= −4.812.500 𝑃𝑎
= −4,81 𝑀𝑃𝑎 (𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
Mientras que en el borde inferior:
𝜎𝑥 =
−38,5 ∙ −0,2
0,016
= 4.812,5
𝑘𝑁
𝑚2
= 4.812.500
𝑁
𝑚2
= 4.812.500 𝑃𝑎 = 4,81 𝑀𝑃𝑎 (𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
400
300
Fibra neutra
200200
28. TEMA 8: ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
Este capítulo está dedicado a determinar los esfuerzos cortantes en vigas causadas por fuerzas
cortantes transversales.
Probaremos en primer lugar que la fuerza cortante está inseparablemente unida a un cambio en el
momento flector de una sección de la viga.
Haciendo momento en A queda:
𝑀𝐴 = 0 → 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀 − 𝑉 ∙ 𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑀 = 𝑉 ∙ 𝑑𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
Esta ecuación significa que si la fuerza cortante está actuando en una sección, habrá un cambio en
el momento flector de una sección adyacente. La diferencia entre los momentos flectores de
secciones adyacentes es 𝑉 ∙ 𝑑𝑥. Si ninguna fuerza cortante está presente no se producirá ningún
cambio en el momento flector. Alternativamente, razón de cambio del momento flector a lo largo
de la viga es igual a la fuerza cortante.
Considere una viga longitudinal de varios tablones longitudinales continuos, cuyas sección
transversal se muestran en la figura, en que se destaca que el tablón superior está a una distancia
y1 de la fibra neutra de la viga.
M+dMM
V V+dV
dx
A
29. Por simplicidad, la viga tiene una sección transversal rectangular, pero tal limitación no es
necesaria. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas, ambas perpendiculares
al eje de la viga y de longitud dx, se muestran en la figura:
FIBRA NEUTRA
CENTROIDE
y1
30. Se destaca también, en rojo, el tablón superior de la viga.
El elemento está sometido a un momento flector MA en el extremo A y a un momento flector MB
en el extremo B, lo que generan esfuerzos normales a las secciones (son representadas por las
flechas de color rojo de la figura anterior). Estos esfuerzos de flexión varían linealmente desde su
respectivas fibras neutras.
La misma viga, en sentido longitudinal se muestra en la figura siguiente:
A una distancia y de la fibra neutra el esfuerzo en los extremos A y B está dado, respectivamente,
por:
𝜎𝐴 = −
𝑀𝐴 ∙ 𝑦
𝐼
𝜎 𝐵 = −
𝑀 𝐵 ∙ 𝑦
𝐼
La fuerza que actúa en un diferencial de área dA está dado por:
𝑑𝐹𝐴 = −
𝑀𝐴 ∙ 𝑦
𝐼
∙ 𝑑𝐴
𝑑𝐹𝐵 = −
𝑀 𝐵 ∙ 𝑦
𝐼
∙ 𝑑𝐴
31. La fuerza que actúa sobre el área del tablón de la sección transversal está dada por:
𝐹𝐴 = −
𝑀𝐴 ∙ 𝑦
𝐼
∙ 𝑑𝐴
𝐹𝐴 =
−𝑀𝐴
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐹𝐵 =
−𝑀 𝐵
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
Si 𝐹𝐴 ≠ 𝐹𝐵, el tablón superior tiende a deslizar respecto del tablón inferior, por tanto para que
exista equilibrio de fuerzas se requiere que existe una fuerza horizontal resistente.
𝑑𝐹 = −
𝑀𝐴
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 — −
𝑀 𝐵
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝑑𝐹 =
∆𝑀
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
Si dx es una cantidad diferencial, el momento cambia también una cantidad diferencial, luego
𝑑𝐹 =
𝑑𝑀
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
En vez de trabajar con una fuerza dF que se desarrolla a lo largo de una longitud dx, es más
conveniente trabajar con una fuerza por unidad de longitud, esto se consigue dividiendo dF por dx,
con lo que se obtiene:
𝑞 =
𝑑𝐹
𝑑𝑥
=
𝑑𝑀
𝑑𝑥
∙
1
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑉
𝐼
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
Donde q se llama flujo cortante.
Ahora, el esfuerzo de corte que se desarrolla en el plano longitudinal es:
𝜏 =
𝑉
𝐼 ∙ 𝑡
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
Donde t es el espesor de la sección transversal del plano considerado.
Ejemplo 1
Dos tablones largos de madera forman una sección T para una viga, como se muestra, en mm, en
la figura siguiente. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3.000N,
encuentre la separación necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje
como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700N
32. La distancia desde la base del perfil hasta la fibra neutra es:
𝑦 =
200 ∙ 50 ∙ 225 + 200 ∙ 50 ∙ 100
200 ∙ 50 + 200 ∙ 50
= 162,5𝑚𝑚
El momento de inercia del perfil es:
𝐼 =
50 ∙ 2003
12
+ 50 ∙ 200 ∙ 62,52
+
200 ∙ 503
12
+ 200 ∙ 50 ∙ 225 − 162,5 2
= 113.541.667𝑚𝑚4
El momento estático está dado por:
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 200 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑦
87,5
37,5
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 200 ∙
87,52
2
− 200 ∙
37,52
2
= 100 ∙ 2502
− 2002
= 625.000𝑚𝑚3
200
50
250
50
33. Luego el flujo cortante está dado por:
𝑞 =
3.000 ∙ 625.000
113.541.667
= 16,51𝑁/𝑚𝑚
Finalmente la separación entre clavos es:
𝑑 =
700
16,51
= 42,4𝑚𝑚
Ejemplo 2
Una viga de luz 6 m soporta una carga de 3 kN/m, incluido su peso propio. La sección transversal
de la viga estará hecha de varias piezas de madera, como se muestra en las figuras de más abajo.
Determine la separación de los tornillos de cabeza cuadrada de 10 mm necesaria para unir la
partes de esta viga entre sí. Suponga que un tornillo de 10 mm, según estudios de laboratorio, es
bueno para transmitir 2kN de carga lateral paralela al grano de la madera. Suponga 𝐼 = 2,36 ∙
109
𝑚𝑚4
A B
3kN/m
VA
HA
VB
6
34. Calculamos las reacciones de la viga:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 3 ∙ 6 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 18𝑘𝑁
𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 ∙ 6 − 3 ∙ 6 ∙
6
2
= 0
𝑉𝐵 = 9𝑘𝑁
𝑉𝐴 = 9𝑘𝑁
Ahora determinaremos la fuerza cortante en cualquier punto de la viga utilizando el método de las
secciones:
9 − 3 ∙ 𝑥 = 𝑉𝑥
Derivando esta ecuación respecto a x se obtiene:
200 5050
50
100
500
FIBRA NEUTRA
a a
35. 𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑥
= −3 ≠ 0
Luego esta ecuación no tiene máximos ni mínimos relativos, lo que implica que para obtener la
máxima fuerza cortante en la viga hay que evaluar la ecuación en los extremos de la viga:
9 = 𝑉𝑥 (𝑥 = 0)
−9 = 𝑉𝑥 (𝑥 = 6)
Por tanto la máxima fuerza cortante que se da en la viga corresponde a 9 kN
Para calcular la separación entre tornillos, debe determinarse el flujo cortante en la sección a-a,
para ello se evalúa el momento estático en el área achurada del perfil
50 ∙ 200 ∙ 225 + 2 ∙ 100 ∙ 50 ∙ 200 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
4.250.000𝑚𝑚3
= 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
Luego:
𝑞 =
9 ∙ 4.250.000
2,36 ∙ 109
= 0,01620763𝑁/𝑚𝑚
𝑑 =
2
0,01620763
= 123,4𝑚𝑚
A
3kN/m
9kN
x
Vx
36. En los apoyos el espaciamiento enytre tornillos debe ser de 123 mm. Este espaciamiento se aplica
sólo en una sección donde la fuerza cortante V es de 9kN.
Dado que la fuerza cortante no es constante en todo el tramo, es conveniente diferir la separación
entre tornillos con el fin de ahorrar material, así en las cercanías de los apoyos es necesario
colocar tornillos de 10 mm espaciados 120 mm a 1,5 m cerca de ambos apoyos y de 240 mm en la
parte central de la viga (debido a que la fuerza cortante desarrollada en esta parte es menor a la
mitad de la fuerza cortante máxima).
Ejemplo 3
Obtenga una expresión para la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección
transeversal rectangular maciza que transmite una fuerza cortante V. Calcule además el esfuerzo
cortante máximo que se desarrolla en la sección
𝜏 =
𝑉 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝐼 ∙ 𝑡
h
b
y1
37. El momento de inercia está dado por:
𝐼 =
𝑏 ∙ 3
12
Además
𝑡 = 𝑏
El momento estático está dado por:
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦
/2
𝑦1
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑏
2
∙
2
2
− 𝑦1
2
Luego el esfuerzo cortante está dado por:
𝜏 =
𝑉 ∙
𝑏
2 ∙
2
2
− 𝑦1
2
𝑏 ∙ 3
12
∙ 𝑏
=
𝑉
2 ∙
2
2
− 𝑦1
2
𝑏 ∙ 3
12
=
6 ∙ 𝑉
𝑏 ∙ 3
∙
2
2
− 𝑦1
2
Para encontrar el esfuerzo cortante máximo derivamos el esfuerzo cortante por y1 e igualamos
esta expresión a cero:
𝑑𝜏
𝑑𝑦1
=
6 ∙ 𝑉
𝑏 ∙ 3
∙ −2 ∙ 𝑦1 = 0 → 𝑦1 = 0
Luego:
𝜏 𝑚á𝑥 =
6 ∙ 𝑉
𝑏 ∙ 3
∙
2
4
=
3 ∙ 𝑉
2 ∙ 𝑏 ∙
=
3 ∙ 𝑉
2 ∙ 𝐴
De los resultados obtenidos podemos deducir que el esfuerzo cortante en una viga de sección
rectangular varía parabólicamente y que el esfuerzo cortante máximo se obtiene cuando y1 es
igual a cero, a medida que nos vamos alejando de la fibra neutra el val,or del esfuerzo cortante va
haciéndose más bajo hasta llegar a ser nulo cuando 𝑦 = ±/2, vale decir, el esfuerzo de corte es
cero al llegar al borde superior e inferior de la viga.
Ejemplo 4
El sistema de cargas y la sección transversal a que se ve afecta una viga I se muestra en las figuras
siguientes, determine los esfuerzos cortantes en los niveles indicados. Desprecie el peso de la viga.
38. 𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
A B
VA
HA
VB
6
100kN
3
C
150
FIBRA NEUTRA
10
270
10
10
1 1
2
3 3
4 4
EJE DE SIMETRÍA
39. 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 100 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 100 𝑘𝑁
𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 ∙ 6 − 100 ∙ 3 = 0
𝑉𝐵 = 50 𝑘𝑁
𝑉𝐴 = 50 𝑘𝑁
Ahora determinamos la fuerza cortante a lo largo de la viga:
i. Tramo A - C 0 < 𝑥 < 3
50 𝑘𝑁 = 𝑉𝑥
A
50kN
x
Vx
40. ii. Tramo C – B 3 < 𝑥 < 6
50 − 100 = 𝑉𝑥
−50 𝑘𝑁 = 𝑉𝑥
Ahora, calcularemos los esfuerzos cortantes en los diferentes niveles:
Nivel 1 – 1:
El área que involucra este nivel es nula, lo que implica que el esfuerzo cortante también es
cero.
Nivel 2 -2
El momento de inercia del perfil está dado por:
𝐼 =
10 ∙ 2503
12
+
150 ∙ 103
12
+ 150 ∙ 10 ∙ 2552
∙ 2 = 208.120.833𝑚𝑚4
El momento estático de este nivel está dado por:
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦 ∙ 150 ∙ 𝑑𝑦
135
125
=
150
2
∙ 1352
− 1252
= 195.000
El plano considerado justo coincide con dos piezas lo que implica que t puede tener el
espesor de la pieza de arriba con t=150mm, y el espesor de la pieza de abajo con t=10mm
A
50kN
100kN
3
C
x
Vx
41. Luego:
𝜏 =
50 ∙ 195.000
208.120.833 ∙ 150
= 0,000312318565 𝑘𝑁/𝑚𝑚2
= 312.318,565 𝑃𝑎 = 0,31 𝑀𝑃𝑎
𝜏 =
50 ∙ 195.000
208.120.833 ∙ 10
= 0,00468478 𝑘𝑁/𝑚𝑚2
= 4.684.780 𝑃𝑎 = 4,68 𝑀𝑃𝑎
Nivel 3 – 3:
El momento de inercia del perfil está dado por:
𝐼 =
10 ∙ 2503
12
+
150 ∙ 103
12
+ 150 ∙ 10 ∙ 2552
∙ 2 = 208.120.833𝑚𝑚4
El momento estático de este nivel está dado por:
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦 ∙ 10 ∙ 𝑑𝑦
125
115
+ 𝑦 ∙ 150 ∙ 𝑑𝑦
135
125
=
10
2
∙ 1252
− 1152
+
150
2
∙ 1352
− 1252
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 207.000 𝑚𝑚3
El espesor de acuerdo al plano considerado es 𝑡 = 150 𝑚𝑚
Por tanto:
𝜏 =
50 ∙ 207.000
208.120.833 ∙ 150
= 0,00033154 𝑘𝑁/𝑚𝑚2
= 331.538 𝑃𝑎 = 0,33 𝑀𝑃𝑎
Nivel 4 – 4:
El momento de inercia del perfil está dado por:
𝐼 =
10 ∙ 2503
12
+
150 ∙ 103
12
+ 150 ∙ 10 ∙ 2552
∙ 2 = 208.120.833𝑚𝑚4
El momento estático de este nivel está dado por:
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦 ∙ 10 ∙ 𝑑𝑦
125
0
+ 𝑦 ∙ 150 ∙ 𝑑𝑦
135
125
=
10
2
∙ 1252
+
150
2
∙ 1352
− 1252
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 273.125 𝑚𝑚3
El ancho t correspondiente al plano considerado es:
𝑡 = 10 𝑚𝑚
43. TEMA 8: CÁLCULO DE LA ELÁSTICA (DEFLEXIONES)
En este capítulo se presenta uno de los métodos más importantes para calcular las deformaciones
que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas, posteriormente, en el
capitulos de vigas estáticamente indeterminadas, se verán otrois métodos. El cálculo de estas
deformaciones permite trazar la linea deformada de las estructuras, también llamada “elástica”
por corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elástico de estos sistemas.
Método de la doble integración
Utilizando algunos de las cosas vistas en el capítulo de flexión se tiene:
𝑑𝑠 = 𝜌 ∙ 𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
1
𝜌
𝑑𝑢 = −𝑦 ∙ 𝑑𝜃
𝑑𝑢
𝑑𝑠
= −𝑦 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
−𝑦
𝜌
𝜀 𝑥 =
−𝑦
𝜌
→ −
𝜀 𝑥
𝑦
=
1
𝜌
Utilizando la ley de Hooke
𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝜀 𝑥 → 𝜀 𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
Y usando la fórmula de flexión para vigas:
𝜎𝑥 = −
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
Se tiene:
𝜀 𝑥 = −
𝑀 ∙ 𝑦
𝐸 ∙ 𝐼
Luego:
1
𝜌
=
𝑀
𝐸 ∙ 𝐼
De acuerdo al cálculo vectorial el radio de curvatura viene dado por:
𝜌 =
𝑟´(𝑡) 3
𝑟´ 𝑡 𝑥 𝑟´´(𝑡)
44. Sea 𝑟 𝑥 = (𝑥, 𝑦 𝑥 )
𝑟´ 𝑥 = (1,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑟´´ 𝑥 = (0,
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
)
Luego:
𝑟´ 𝑡 𝑥 𝑟´´ 𝑡 =
𝑖 𝑗 𝑘
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
0
0
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
0
= 𝑘 ∙
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
Luego:
𝜌 =
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 3/2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
Si las deformaciones son muy pequeñas el término
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
se puede despreciar, con lo que queda:
𝜌 =
1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
→
1
𝜌
=
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
Finalmente:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸 ∙ 𝐼
Sea 𝐸 ∙ 𝐼 = , entonces:
∙ 𝑦´´ = 𝑀
Esta última expresión indica que un valor positivo del momento flector, esto es, que estira la fibra
inferior del elemento, implica curvatura positiva de la elástica (cóncava), y viceversa. Para integrar
esta ecuación diferencial se requiere detrminar dos constantes de integración, lo cual se consigue
al imponer dos condiciones de borde, para ello se utilizan valores conocidos de la elástcia o de la
tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes también pueden ser útiles para
determinar la expresión analítica de la elástica.
𝑀 = ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑥
= ∙ 𝑦´´
45. 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= ∙ 𝑦´´´
𝑞 =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= ∙ 𝑦´´´´
El uso de estas relaciones está restringido al caso de funciones 𝑦, 𝜃, 𝑀, 𝑉, 𝑞 que sean continuas en
el rango de integración. Por lo tanto la relevancia práctica de este método es limitada cuando se
tienen cargas concentradas o cargas que no se pueden representar por una función continua en la
longitud de la viga.
Condiciones de borde
Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de la ecxuación diferencial deben
ser establecidas condiciones de borde o frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de
frontera son los siguientes:
a) Empotramiento: tanto la flecha como la pendiente deben ser nulas. Por consiguiente, en
el extremo donde existe el empotramiento 𝑥 = 0,
𝑦(𝑥 = 0) = 0
𝑦´ 𝑥 = 0 = 0
b) Apoyo móvil y apoyo fijo: en el extremo considerado no debe existir ni flecha ni momento
M
𝑦 𝑥 = 𝑎 = 0
𝑦´´ 𝑥 = 𝑎 = 0
c) Extremo libre: tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante, por tanto:
𝑦´´ 𝑥 = 𝑎 = 0
𝑦´´´ 𝑥 = 𝑎 = 0
d) Articulación: en este caso se permite el desplazamiento vertical pero la rotación del
extremo está impedida. Este tipo de apoyo no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante,
lo que implica:
𝑦´ 𝑥 = 𝑎 = 0
𝑦´´´ 𝑥 = 𝑎 = 0
En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del
elemento. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos puntuales y en
cambios bruscos de áreas transversales que afectan el valor de . En tales casos, las condiciones
de brode debn complementarse con los requisitos físicos de continuyidad de la curva elástica. Esto
significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la
deflexión y la tangente a la curva elásticadeben ser las mismas independientemente de la
dirección con que se aproxime uno al punto común.
46. Ejemplo 1
Determinar la deformación vertical y el ángulo de la elástica con la horizontal en el extremo B de la
viga en voladizo que se indica en la figura. Los valores de son constantes para toda la viga.
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 − 𝑞 ∙ 𝐿 = 0
𝑉𝐴 = 𝑞 ∙ 𝐿
𝑀𝐴 = 0 → −𝑀𝐴 − 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
= 0
𝑀𝐴 =
−𝑞 ∙ 𝐿2
2
L
AHA
VA
B
MA
q
48. 𝐶2 = 0
Usando la segunda condición de borde:
𝐶1 = 0
Por tanto:
∙ 𝑦 =
−𝑞 ∙ 𝐿2
2
∙
𝑥2
2
+ 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝑥3
6
− 𝑞 ∙
𝑥4
24
Ahora, en el extremo B, 𝑥 = 𝐿, luego:
∙ 𝑦 =
−𝑞 ∙ 𝐿4
4
+
𝑞 ∙ 𝐿4
6
−
𝑞 ∙ 𝐿4
24
𝑦 =
−𝑞 ∙ 𝐿4
8 ∙
Ejemplo 2
Un momento flector M1 se aplica a na viga en volado (ver figura) de longitud L y constante.
Encuentre la ecuación de la elástica.
L
A
VA
M1
MA
HA
49. Solución
Usando las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 = 0
𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 + 𝑀1 = 0
𝑀𝐴 = −𝑀1
Las condiciones de borde son:
𝑦 𝑥 = 0 = 0
𝑦´ 𝑥 = 0 = 0
Ahora utilizando el método de las secciones:
𝑀𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝑀1
Luego:
∙ 𝑦´´ = 𝑀1
x
A
MA
Mx
Vx
50. ∙ 𝑦´ = 𝑀1 ∙ 𝑥 + 𝐶1
Usando la segunda condición de borde:
∙ 𝑦´ 𝑥 = 0 = 𝐶1 = 0
Finalmente:
∙ 𝑦 = 𝑀1 ∙
𝑥2
2
+ 𝐶2
Usando la primera condición de borde:
∙ 𝑦 𝑥 = 0 = 𝐶2 = 0
Luego:
∙ 𝑦 = 𝑀1 ∙
𝑥2
2
La ecuación de la curva elástica es:
𝑦 =
𝑀1 ∙ 𝑥2
2 ∙
El signo positivo del resultado indica que la deflexión debida a M1 es hacia arriba, si derivamos esta
expresión y la igualamos a cero queda:
𝑀1 ∙ 𝑥
= 0
𝑥 = 0
Derivando nuevamente:
𝑀1
> 0
Lo que implica que la flecha mínima se da en x = 0 y coincide con la segunda condición de borde,
vale decir, que y = 0, ahora para encontrar el máximo valor de la flecha evaluamos en el extremo x
= L, con el fin de encontrar un máximo absoluto:
𝑦 =
𝑀1 ∙ 𝐿2
2 ∙
Ejemplo 3
La viga de la figura recibe una carga uniformemente distribuida q en toda su extensión. La rigidez
es constante. Encuentre la ecuación de la elástica por los tres siguientes métodos:
a) Use la ecuación diferencial de segundo orden para obtener la deflexión de la viga
51. b) Use la ecuación de cuarto orden
c) Ilustre una solución gráfica del problema.
Solución
a)
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 𝑞 ∙ 𝐿 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 𝑞 ∙ 𝐿
𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 ∙ 𝐿 − 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
= 0
𝑉𝐵 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
𝑉𝐴 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
A B
q
VA
HA
VB
L
53. ∙ 𝑦 𝑥 = 𝐿 =
𝑞 ∙ 𝐿4
12
−
𝑞 ∙ 𝐿4
24
+ 𝐶1 ∙ 𝐿 = 0
𝑞 ∙ 𝐿3
24
+ 𝐶1 = 0
𝐶1 = −
𝑞 ∙ 𝐿3
24
Finalmente:
∙ 𝑦 =
𝑞 ∙ 𝐿
12
∙ 𝑥3
−
𝑞 ∙ 𝑥4
24
−
𝑞 ∙ 𝐿3
24
∙ 𝑥
Y las desangulaciones están dadas por:
∙ 𝑦´ =
𝑞 ∙ 𝐿
4
∙ 𝑥2
−
𝑞 ∙ 𝑥3
6
−
𝑞 ∙ 𝐿3
24
b) La aplicación de este método es directa:
∙ 𝑦´´´´ = −𝑞
∙ 𝑦´´´ = −𝑞 ∙ 𝑥 + 𝐶1
∙ 𝑦´´ =
−𝑞 ∙ 𝑥2
2
+ 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2
Pero el momento en el extremo x = 0 es nulo, luego:
∙ 𝑦´´ 𝑥 = 0 = 𝐶2 = 0
Pero el momento en el extremo x = L es nulo también, luego:
∙ 𝑦´´ 𝑥 = 𝐿 =
−𝑞 ∙ 𝐿2
2
+ 𝐶1 ∙ 𝐿 = 0
𝑞 ∙ 𝐿
2
= 𝐶1
∙ 𝑦´´ =
−𝑞 ∙ 𝑥2
2
+
𝑞 ∙ 𝐿
2
∙ 𝑥
El resto del problema es igual que en la parte a)
c) Los pasos para una solución gráfica se muestran en la página siguiente. Se pueden
observar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y curvatura, y a partir de ellos
se calculan los diagramas de deflexión y las desangulaciones que sufre la viga.
54. Como se puede observar del diagrama de momento flector y del diagrama de curvatura, la
desangulación máxima se da en los extremos de la viga, luego:
En x = 0
𝑦´ =
−𝑞 ∙ 𝐿3
24 ∙
En x = L
𝑦´ =
𝑞 ∙ 𝐿3
24 ∙
En x = L/2, se presenta la mayor deflexión, debido a la simetría de la viga, lo que implica que en
ese punto:
𝑦´ = 0
q*L/2
q*L/2
DIAGRAMA DE FUERZA
CORTANTE
q*L²/8
DIAGRAMA DE MOMENTO
FLECTOR
q*L²/(8*
DIAGRAMA DE CURVATURA