Aritmetica(agosto)

ARITMETICA
-AGOSTO-
SACO OLIVEROS
PRIMARIA
lobofrew@hotmail.com
CEL :996329360

ARITMETICA 4º PRIM.
SACO OLIVEROS
A
G
O
S
TO
“LA HONRADEZ”
Seamos honrados en cada instante de nuestras vidas.

SACO OLIVEROS
ARITMÉTICA
TEORÍA DE NÚMEROS
(continuación)
 Mínimo Común Múltiplo
 Máximo Común Divisor
“NÚMEROS RACIONALES”
FRACCIONES
 Noción
 Representación
 Lectura y Escritura
 Clasificación
 Números Mixtos:
– Conversión de un número mixto a fracción impropia y viceversa
 Equivalencia:
– Simplificación
– Ampliación
 Comparación
 Relación de orden

SACO OLIVEROS
ARITMETICA
CARL FRIEDRICH GAUSS
La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas mentales parece
tener solo una moderada correlación con la inteligencia general y menor aún con
la intuición y creatividad matemática. Algunos de los matemáticos más
sobresalientes han tenido dificultades al operar, y muchos “calculistas
ultrarrápidos” profesionales (aunque no los mejores) han sido torpes en todas las
demás capacidadesmentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido
también diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss por ejemplo, podía
llevar a cabo prodigiosas hazañas matemáticas en la mente. Le gustaba hacer
alarde de que aprendió antes a calcular que a hablar. Se cuenta que en cierta
ocasión su padre, de oficio albañil, estaba confeccionando la nómina general de
sus empleados, cuando, Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió
diciéndole: “Papá, la cuenta está mal…”. Al volver a sumar la larga lista de
números se comprobó que la suma correcta era la indicada por el niño. Nadie le
había enseñado nada de aritmética. John von Neumann era un genio matemático
que también estuvo dotado de ese poder peculiar de computar sin usar lápiz ni
papel. Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca de
una reunión celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, en la
que von Neuman, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman lanzaba
continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un cálculo matemático,
Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla
de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. “La
cabeza”, escribe Jungk (citando a otro físico), “terminaba normalmente la
primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las tres soluciones”.
La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y otros leones
matemáticos como Leonhard Euler y John Wallis puede parecer milagrosa;
palidece, sin embargo, ante las hazañas de los calculistas profesionales, una
curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo largo del siglo XIX en
Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su carrera de niños. Aunque
algunos escribieron acerca de sus métodos y fueron examinados por psicólogos,
probablemente ocultaron la mayoría de sus secretos, o quizás ni ellos mismos

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entendían del todo como hacían lo que hacían. Zerah Colburn, nacido en Cabot,
Vt., en 1804, fue el primero de los
calculistas profesionales. Tenía seis dedos en cada mano y en cada pie, al igual quesu padre, su
bisabuela y al menos uno de sus hermanos. (Seleamputaron los dedos desobra cuando tenía
alrededor de 10 años. Nos preguntamos si acaso fueeso lo quele alentó en sus primeros esfuerzos por
contar y calcular). El niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100 antes dequepudieseleer o
escribir. Su padre, un pobregranjero, se dio cuenta rápidamentedesus posibilidades comerciales, y
cuando el rapaz tenía solamenteseis años lellevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en
Inglaterra, cuando tenía ocho años, están bien documentadas. Podía multiplicar cualquier número de
cuatro dígitos casi instantáneamente, pero dudaba un momentoantelos decinco. Cuando sele pedía
multiplicar 21,734 por 543, decía inmediatamente11801,562. Al preguntarlecómo lo había hecho,
explicó que543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 quepor 543, había
multiplicado primero 21,734 por 3 y luego el resultado por 181. Washington Irving y otrosadmiradores
del niño recaudaron dinero suficientepara enviarlo a la escuela, primero en París y luego en Londres.
No se sabesi sus poderes de cálculo decrecieron con la edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto
es quevolvió a América cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista.
En 1833 publicó en Springfield, Mass, su pintoresca autobiografía titulada A Memoirof Zerah Colburn:
written by himself… with his peculiarmethodsof calculation. En el momento desu muerte, a los 35
años, enseñaba lenguas extranjeras en la Universidad deNorwich en Northfield, Vt.

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Es el menor múltiplo en común de los números dados, excepto el 0. Se
representa por M.C.M.
Ejm.: Calcula el m.c.m. de 16 y 28.
M16 = {0; 16; 32; 48; 64; 80; 96; 112; 128; 144 ...}
M28 = {0; 28; 56; 84; 112; 140; 168; 196; 224 ...}
Entonces el M.C.M. = 112
Pero nosotros trabajaremos con otro método:
M.C.M. = 24 7
M.C.M. = 16 7
M.C.M. = 112
Veamos otro ejemplo:
Halla el M.C.M. de 20, 12 y 16
Si el mayor de los números dados es
múltiplo de los demás entonces el
Mínimo Común Múltiplo de todos
ellos es el número mayor

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M.C.M. = 24 3 5
M.C.M. = 16 3 5
M.C.M. = 240
I. Hallar el M.C.M. de cada terna de números:
1.
4.
7.
2.
5.
8.
3.
6.
2 - 16 - 8
18 - 30
6 - 8 20
12 - 6 - 24
72 - 84
26 - 34 - 56
28 - 14 - 7
25 - 50
1 - 1 - 1
1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1
M.C.M (2; 16; 8) =
M.C.M (18; 30) =
M.C.M (12; 6; 24) =
M.C.M (72; 84) =
M.C.M (28; 14; 7) =
M.C.M (25; 50) =

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Es el mayor divisor en común de los números dados. Se representa por M.C.D.
Ej.: Calcula el M.C.D. de 36 y 48.
Observamos que el mayor divisor es 12, entonces:
el M.C.D. es 12
Nosotros utilizaremos otro método para trabajar sólo que ahora debemos
tener mucho cuidado.
Hallar el M.C.D. de 36, 48:
M.C.D.(36; 48) = 22 3
M.C.D.(36; 48)=4 3
M.C.D.(36; 48) = 12
Ejm.: Hallar el M.C.D. de 12, 20 y 30
D = 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36
36  
D = 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 16; 24; 48
48  
Si el menor de los números dados
es divisor de los demás entonces el
Máximo Común Divisor
de todos ellos es el número menor.

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M.C.D. (12; 20; 30) = 2
PRACTIQUEMOS
I. Hallar el M.C.D. de:
1.
4.
7.
2.
5.
8.
3.
6.
20 - 30
25 - 50
14 - 28 - 56
18 - 30
40 - 16
40 - 60 - 20 - 80
60 - 45
44 - 88
M.C.D (20; 30) =
M.C.D (25; 50) =
M.C.D. (14; 28; 56) =
M.C.D. (18; 30) =
M.C.D (40; 16) =
M.C.M (40; 60; 20; 80) =
M.C.D (60; 45) =
M.C.D (44; 88) =

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TRABAJEMOS EN CASA
Hallar el M.C.M. y M.C.D. de las siguientes ternas de números:
1. 60; 9 y 30
2. 30, 40 y 50
3. 54, 80 y 64
4. 18, 64 y 72
5. 12, 60 y 72
6. 25, 40 y 15
7. 16, 30 y 34
8. 30, 36 y 48

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9. 20, 30 y 40
10. 30, 60 y 90
NÚMEROS RACIONALES
I. FRACCIONES
1. DEFINICIÓN.- Es el cociente entre dos números. Sus términos son:
a
b
Numerador
Denominador
b = 0
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.- El denominador indica en cuantas partes se
divide la unidad y el numerador cuantas partes se consideran del total.
 3
5  

Tres quintos
3. LECTURA DE UNA FRACCIÓN Para leer una fracción se menciona primero el
numerador y luego el denominador

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4. CLASIFICACIÓN Las fracciones se clasifican en:
A) Propias Cuando el numerador es MENOR que el denominador, es
decir, son menores que la unidad.
Ejemplos:
1 3 7 3
; ; 1
2 5 11 5

B) Impropias Cuando el numerador es MAYOR que el denominador, es
decir, son mayores que la unidad.
Ejemplos:
3 5 9 5
; ; 1
5 4 7 4

C) Homogéneas Cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplos:
7 4 1 5
; ; ;
11 11 11 11
D) Heterogéneas Cuando tienen distinto denominador.
Ejemplos:
3 5 7 8
; ; ;
4 6 10 13
3
2
Tres medios
Ejms.: Fracción se lee:
8
5
Ocho quintos
7
10
Siete décimos
Fracción se lee:
4
12
Cuatro doceavos

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E) Decimales Cuando el denominador es una potencia de base 10.
Ejemplos:
7 4 6
; ;
10 100 1000
F) Iguales a la unidad Cuando el numerador y denominador son iguales.
Ejemplos:
8 12 17
; ;
8 12 17
EJERCICIOS
1. Escribe la fracción correspondiente a:

.......
.......
2. Convertir cada fracción impropia a número entero:
A)
15
3

B)
40
5

C)
144
12

3. Gráfica las siguientes fracciones:
3
8
 1
5


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NÚMEROS MIXTOS
5. Son aquellos que tienen una parte entera y otra fraccionaria
Podemos graficar así:
3
5
7
5.1. Conversión de un número mixto a fracción impropia
Para convertir un número mixto a fracción impropia debemos multiplicar el
denominador con la parte entera y sumarle el numerador. El denominador es
el mismo.
Ejm.: convertir:
parte fraccionaria
parte
entera
3
5
7
Se lee: cinco enteros, tres séptimos
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
3
7
= 1 = 1
= 1 = 1
= 1
3
7
5

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A)
1 5 4 1 21
4
5 5 5
 
 
B)
6 7 3 6 27
3
7 7 7
 
 
5.2 Conversión de una fracción impropia a número mixto
Para convertir una fracción impropia a número mixto debemos dividir el
numerador entre el denominador el resultado será:
A) A)
45
7
B)
I. Escribe las fracciones que representan las regiones sombreadas de cada
dibujo y completa:
45
42
3
7
6
Denominador
Parte entera
Numerador
6
3
7

74
5
24
20
4
5
14 14
4
5
74
5
1
Se lee:
_________________________________

SACO OLIVEROS
2
Se lee:
_________________________________
3
Se lee:
_________________________________
4
Se lee:
_________________________________
5
Se lee:
_________________________________
6
Se lee:
_________________________________

SACO OLIVEROS
7
Se lee:
_________________________________
8
Se lee:
_________________________________
1
2
3
4
5
6
4
8
3
8
2
6
5
14
2
4
1
3

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III. Escribe la fracción que corresponde:
1 siete octavos : _______
2 nueve onceavos : _______
3 doce quintos : _______
4 cuatro quinceavos : _______
5 diez veinteavos : _______
6 un treceavo : _______
7 diecinueve novenos : _______
8 catorce medios : _______
9 veintiséis centésimos : _______
10 veintiséis cantésimos : _______
trece octavos
IV. Escribe el nombre de las siguientes fracciones:
1
3
1
2 6
5
9
3
11
5
15
14
21
100

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V. Clasifica las fracciones según corresponda:
VI. Convierte cada fracción impropia en número entero:
1
2
3
4
5
7
5
4
5
8
11
5
7
17
100
;
;
9
11
3
5
;
;
1
11
4
3
6
7
8
9
10
73
41
13
15
1
4
1
2
5
10
;
;
3
4
1
3
;
;
5
4
2
5
1
2
20
4
=
=
5
6
72
9
=
=
9
10
35
5
=
=

SACO OLIVEROS
VII. Convierte a números mixtos las fracciones impropias:
VIII. Convierte los números mixtos en fracciones impropias:
1
2
3
4
30
9
19
6
=
=
=
=
5
6
7
8
28
9
43
8
68
10
=
=
=
=
9
10
11
12
23
2
63
11
75
9
=
=
=
=
1
2
= =
=
=
5
6
9
10
2 4
10
1
=
=
2
3

SACO OLIVEROS
TRABAJEMOS EN CASA
1 . Convierte a número mixto:
2. Convierte a fracción impropia:
36
5
=
=
=
27
5
31
6
=
=
=
42
12
45
8
=
=
=
A)
D)
G)
B)
E)
H)
C)
F)
I)

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6. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos o más fracciones son equivalentes si
representan la misma cantidad.
= = =
FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones equivalentes se pueden dar de 2 formas
6.1
POR SIMPLIFICACIÓN:
A) B)
= =
=
=
=
=
8 4
8
1
6
7
=
=
=
9
4
6
A)
D)
G)
B)
E)
H)
C)
F)
I)
45
48
45
48
=
3

3

12
24
6
12
= 3
6
1
2
=
3

3

=
2

2

Fracción
irreductible
2

2


SACO OLIVEROS
6.2
POR AMPLIACIÓN:
A) B)
Ejemplos:
1. Halla 3 fracciones equivalentes a:
2. Simplifica y halla la fracción irreductible
A) B)
7. COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Comparar fracciones significa determinar si una de ellas es < ; > ó =
Las fracciones se pueden comparar de dos formas:
A) Cuando son fracciones homogéneas: Será mayor la que tenga mayor
numerador y será menor la que tenga menor numerador.
Ejm.: Determinar < ; > ó =
3
5
6
10
= 18
30
=
2
2
3
3
4
7
8
14
= 12
21
=
2
3
16
28
=
4
4
2
3
4 8 12 16
; ; ;
5 10 15 20
6 12 18 24
; ; ;
10 20 30 40
40 20 4
50 25 5
 
100 1
200 2

3
5
1
5
<
9
4
12
4
>
6
10
4
10
3 > 1 <
9 12
>
5
7
5
7
=
6 5
4 5
> =

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B) Cuando son fracciones heterogéneas: Se multiplica en aspa y se
determina cuál es menor (< ), mayor (>) o igual ( = )
8. Relación de Orden
Es ordenar las fracciones homogéneas de dos formas:
Crecientes: De menor a mayor
Decrecientes: De mayor a menor
Ejemplos:
1. Ordena en forma creciente:
1 4 3 10 7
, , , ,
5 5 5 5 5
1 3 4 7 10
5 5 5 5 5
   
2. Ordena en forma decreciente:
8 12 11 1 9
; ; ; ;
10 10 10 10 10
I. Escribe tres fracciones equivalentes a:
4
7
6
8
< 7
5
4
10
> 20
8
5
2
=
4 8

32
6 7

42
7 10
 20 2

70 40
5 4
 8 5

20 40
=
12 11 9 8 1
; ; ; ;
10 10 10 10 10

SACO OLIVEROS
II. Coloca > ; < o = según corresponda:
III. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:
1
2
3
4
1
4
5
6
1
5
5
6
7
8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
3
= = = 2
5
1
3
3
4
5
7
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

SACO OLIVEROS
IV. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:
TRABAJEMOS EN CASA
I. Encierra la fracción menor en cada una de las listas siguientes:
II. Encierra en un círculo la letra que contiene fracciones equivalentes:
III. Coloca > ; < o = según corresponda:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
a b c
y y y

SACO OLIVEROS
IV. Escribe 3 fracciones equivalentes a:
V.Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:

SACO OLIVEROS
1.
2.
3.
4.
VI. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor.
1.
5 6 1 9 13
; ; ; ;
20 20 20 20 20
2.
4 8 2 15 20
; ; ; ;
15 15 15 15 15
3.
7 1 5 17 11
; ; ; ;
8 8 8 8 8
3 5 7 9 11
; ; ; ;
35 35 35 35 35
4 6 8 10 12
; ; ; ;
40 40 40 40 40
40 38 36 34 32
; ; ; ;
2 2 2 2 2
8 9 10 11 12
; ; ; ;
5 5 5 5 5

SACO OLIVEROS
4.
2 6 15 3 24
; ; ; ;
9 9 9 9 9

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