Guía de clase primero bloque 2

47
NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN
• Formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y
compuestos.
DIVISIBILIDAD ENTRE 2, 3 y 5
PROBLEMA: Establece las reglas de divisibilidad entre 2, 3 y 5 basado en los números
son 20, 24 y 45.
Vemos que 20 es divisible entre 2 y entre 5, porque al hacer la división esta es exacta:
20 ÷ 2 = 10 y sobra 0
20 ÷ 5 = 4 y sobra 0
El 24 es divisible entre 2 y entre 3 pero no entre 5
El 45 es divisible entre 3 y entre 5 pero no entre 2.
REGLAS
“Un número es divisible entre 2 cuando termina en 0, o, en cifra par” El 20 y el 24
“Un número es divisible entre 3 cuando la suma de las cifras que lo forman se puede
dividir entre 3” El 45 porque 4 + 5 = 9 y 9 se puede dividir entre 3 exactamente.
“Un número es divisible entre 5 cuando termina en 0 o en 5” El 20 y el 45
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la siguiente tabla escribiendo la palabra Sí, según sea el número divisible
entre lo que se indica.
NÚMERO DIVISIBLE ENTRE 2 DIVISIBLE ENTRE 3 DIVISIBLE ENTRE 5
8
12
14
10
18
21
30
35
54
100
85
BLOQUE 2

48
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
2.- Completa la siguiente tabla escribiendo la palabra Sí o No, según sea o no el número
divisible en lo que se indica y contesta las preguntas.
NÚMERO DIVISIBLE
ENTRE 1
DIVISIBLE
ENTRE 2
DIVISIBLE
ENTRE 3
DIVISIBLE
ENTRE 4
DIVISIBLE ENTRE
EL MISMO
10
15
14
7
16
23
32
51
11
50
13
3.- Observa que en la tabla anterior hay números que solo son divisibles entre 1 y entre
ellos mismos. Por esa razón a estos se les llama números primos.
A los otros números que no son primos se les llama números compuestos.
Completa la siguiente tabla como en los ejemplos:
NÚMERO DIVISIBLE ENTRE PRIMO COMPUESTO
1 1 Sí
3 1 y 3 Sí
5 1 y 5 Sí
8 1, 2, 4 y 8 Sí
14
16
20
22
23
24
25
26
27
28
29

49
4.- Observa que realizando la factorización total del número, podemos fácilmente saber si
este es número primo o número compuesto. Para factorizarlo completamente vamos
sacando mitad, tercera, quinta, etcétera, de la siguiente manera:
FACTORIZACIÓN TOTAL DE LOS NÚMEROS 48 Y 31
48 2 31 31
24 2 1
12 2
6 2
3 3 Factorización: 31 x 1
1 Solo 2 factores por eso
es primo.
Factorización: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 1
Como el 24 tiene más de dos factores entonces
el número es compuesto.
Factoriza, encontrando todos los factores primos de los siguientes números. Ejemplo:
6 2 8 10 12
3 3
1
6 = 2 x 3
3 5 14 16
15 1 20 22
40 100 50 13
Empezamossacandomitad,luegotercera,
luegoquinta,etcéterahastallegara1.
Mitad se indicacon el 2.
Tercera se indicacon el 3.
Quintase indicacon el 5.
Séptimase indicaconel 7.

50
NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo y el
máximo común divisor.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
PROBLEMA: El director de la escuela se reúne cada 6 días con las secretarias y cada 8
días con los profesores de la escuela. Si hoy es lunes y se reunió con ambos, dentro de
cuántos días volverá a reunirse con ellos el mismo día.
Para resolver este problema utilizamos el mínimo común múltiplo, m. c. m.
Para encontrar el m. c. m, escribimos todos los múltiplos del 6 y del 8, multiplicando
ambos números por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Enseguida subrayamos los múltiplos comunes, es decir, los números que son múltiplos
del 6 y también del 8. Vemos que los múltiplos comunes son el 24 y el 48 y que de estos
dos, el menor es el 24, por lo tanto el mínimo común múltiplo es el 24.
Por lo tanto si hoy coincidió la reunión, dentro de 24 días será un mismo día.
Se llama mínimo común múltiplo, al número menor, sin contar el cero, que es múltiplo
de todos los números a los que podemos considerar.
Para encontrar el mínimo común múltiplo de manera más rápida lo hacemos de la
siguiente manera. Ejemplo: Encontrar el mínimo común múltiplo de 6 y 8.
Vamos encontrando los factores primos comunes de ambos números hasta llegar a 1.
6 8 2 Mitad de 6 es 3 y mitad de 8 es 4.
3 4 2 Mitad de 4 es 2. Como el 3 no tiene mitad, así lo dejamos.
1 2 2 Mitad de 2 es 1. Como el 3 no tiene mitad, otra vez lo dejamos.
1 3 Tercera de 3 es 1.
Factores primos: 2 x 2 x 2 x 3 = 24 2³ x 3 = 24 m. c. m.
1.- Encuentra el mínimo
común múltiplo de los
números 4 y 8.
números 8 y 12.
números 6 y 18.

51
números 15 y 20.
números 4 y 16.
números 8 y 40.
números 25 y 30.
números 7 y 14.
números 3 y 4.
números 16, 12 y 8.
números 6, 4 y 9.
números 15, 5 y 4.
números 9, 2 y 3.

52
16.- Resuelve los siguientes problemas con el m. c. m.
1.- En la escuela hay un comité de
deportes y otro de limpieza escolar. El
de deportes se reúne cada 5 días y el de
limpieza cada 4 días. Si hoy miércoles
se reunieron los dos comités, ¿dentro de
cuántos días se volverán a reunir el
mismo día? __________________
2.- Mi abuelita María viene a visitarnos
cada 4 días y mi tía Carmelita lo hace
cada 9 días. Si hoy domingo coincidieron
las dos en mi casa, dentro de ¿cuánto
tiempo volverán a venir un mismo día a
visitarnos? __________________
3.- Mi profesor de matemáticas se
lastimó la rodilla y el doctor le recetó
unas pastillas de paracetamol para que
se las tomara cada 6 horas y otras
pastillas con diclofenaco para tomarlas
cada 8 horas. Si hoy se toma las dos
pastillas al mismo tiempo, ¿cuántas
horas tienen que pasar para que
coincida la otra toma? _______
4.- El profesor de matemáticas se
enfermó de la garganta y el médico le
recetó un jarabe simicof para tomarlo
cada 4 horas, unas pastillas tylex flu
para cada 8 horas y unas pastillas
floxtab cada 12 horas. Si hoy se toma las
tres pastillas al mismo tiempo, ¿cuánto
tiempo tiene que pasar para que
coincida la otra toma? ______________
5.- Para pedir por la lluvia, José y Jesús
van a caminar en la misma carretera de
Santa Bárbara a Chihuahua. José
caminará 18 kilómetros diarios y Jesús
20 kilómetros diarios. El día en que
coincidan en una misma distancia
recorrida realizarán una ceremonia.
¿Cuántos kilómetros tendrán que
recorrer para al mismo tiempo hacer el
pedimento a Dios? ________________
6.- El doctor Fructuoso iba a Segórachi
cada 15 días a realizar consultas. El
forestal Javier lo hacía cada 30 días y
las brigadas contra el paludismo lo
hacían cada 80 días. Si un 16 de
septiembre coincidieron los tres en
Segórachi, ¿cuántos días tendrán que
pasar para que vuelvan a ir un mismo
día? ________________

53
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
PROBLEMA: Un carpintero quiere cortar dos tiras de madera, una de 250 cm de largo y
otra de 200 cm, en pedazos que queden lo más corto posible.
¿Cuántos pedazos saldrán y cuánto medirá cada pedazo?
Para resolver este problema lo hacemos encontrando los divisores de cada número. Los
divisores de un número son aquellos que lo dividen exactamente.
Divisores de 250: (1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250)
Divisores de 200: (1, 2, 4, 5, 10, 20, 40, 50, 100, 200) M. C. D = 50
Enseguida señalamos los divisores que son comunes, es decir, que son divisores de los
dos y ubicamos el mayor de todos, que en este caso es el 50, llamado máximo común
divisor. El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor que los divide
exactamente.
Por lo tanto cada pedazo de madera debe medir 50 cm y nos saldrán 9 pedazos.
Una manera más rápida de encontrar el máximo común divisor es la siguiente:
250 200 2
125 100 5
25 20 5
5 4
2 x 5 x 5 = 50
M. C. D = 50
Resultados del problema: Cada pedazo medirá 50 cm (M. C. D)
Saldrán 9 pedazos: 5 + 4 (Los dos números de abajo)
1.- Encuentra todos los divisores de cada pareja de números, encierra el que sea su
máximo común divisor y escríbelo donde corresponda.
Divisores de 12: (___, ___, ___, ___, ___, ___)
Divisores de 8: (___, ___, ___, ___) M. C. D = _____
Divisores de 10: (___, ___, ___, ___)
Divisores de 6: (___, ___, ___, ___) M. C. D = _____
Divisores de 18: (___, ___, ___, ___, ___, ___)
Divisores de 24: (___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___) M. C. D = _____
Divisores de 20: (___, ___, ___, ___, ___, ___)
Divisores de 30: (___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___) M. C. D = _____
Empezamos sacando mitad (2) a los dos números, porque los
dos tienen mitad. Si solo uno tuviera mitad, no lo haríamos.
Luego vemos que el 125 y el 100 tienen quinta, entonces
sacamos quinta a ambos y lo indicamos con el divisor común 5.
Luego vemos que el 25 y el 20 tienen quinta, entonces
sacamos quinta a ambos y lo indicamos con el divisor común 5.

54
2.- Encuentra el máximo común divisor de cada conjunto de números.
4 8 12 16 6 10
M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____
20 40 24 12 30 20
M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____
18 24 6 8 60 75
M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____
60 40 20 30 50 10 60 75 45
M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____
3.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- Un carpintero desea cortar dos tiras de
madera, una de 180 cm de largo y otra de
90 cm en pedazos que queden lo más
grande que se pueda.
¿Cuánto medirá cada pedazo? _________
¿Cuántos pedazos saldrán? _________
2.- Otro carpintero va a cortar dos tiras de
madera, una de 80 cm de largo y otra de
60 cm, en pedazos que queden lo más
grande que se pueda.
¿Cuánto medirá cada pedazo? _________
¿Cuántos pedazos saldrán? _________

55
3.- En el pueblo de Bahuichivo hay tres
tambos que contienen gasolina, cuyas
capacidades son de 200 litros, 300 litros y
100 litros. Su contenido piensa distribuirse
en garrafones iguales pero que cada uno
contenga la mayor cantidad posible.
Encuentra la cantidad de gasolina que
debe contener cada garrafón y el número
de garrafones que se necesitan.
4.- En una colecta de la escuela se
juntaron 80 litros de aceite en el grupo de
primero A y 60 kilos de frijol en el primero
B. Se van a regalar a hogares humildes en
cantidades iguales y que cada hogar
reciba un producto con la mayor cantidad
posible. Encuentra la cantidad que recibirá
cada hogar y el número de hogares que se
beneficiarán.
5.- Para la piñata de mi hermana mi mamá
compró 40 paletas, 80 chicles y 50
duvalines. ¿Cuántos dulces de cada uno
necesita poner en cada bolsita si desea
que vaya la misma cantidad de cada clase
de dulce? _____________
6.- En la tienda, Don Tino le pidió a
Ponchito que acomodara en cajas 60
bolsas de jabón y 50 latas de atún, de
modo que en cada caja quede el mismo
número de bolsas de jabón y de latas de
atún y además el mayor número posible.
Encuentra el número de bolsas de jabón
de cada caja y el número de cajas que se
necesitan.
7.- Mi maestra de artes nos pidió 60 bolitas
rojas y 70 bolitas amarillas para hacer el
mayor número de pulseras iguales sin que
nos sobre ninguna bolita.
¿Cuántas bolitas de cada color llevarán
cada una de las pulseras? ____________
¿Cuántas pulseras podremos hacer? ____
8.- En la dulcería hacen bolsas colocando
la misma cantidad de dulces. Si tienen 16
paletas, 32 caramelos y 28 chocolates,
¿cuántos dulces de cada clase deben
colocar en cada bolsa? ___________
¿Cuántas bolsas se pueden hacer? _____

56
PATRONES Y ECUACIONES
• Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y
decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
SUMADE FRACCIONES Y DECIMALES
PROBLEMA: En la fiesta de Raúl se compraron dos pizzas de las cuales
3
4
se les repartió
a los niños y 1.20 pizza fue para los adultos.
¿Qué cantidad de pizza fue repartida en total?
Para resolver el problema convertimos la fracción
3
4
a número decimal.
3
4
=
3 𝑥 25
4 𝑥 25
=
75
100
El número decimal es 0.75
O también podemos realizar la división:
0 . 7 5
4 3 . 0
- 2 8 Sumamos las cantidades: 0.75 + 1.20 = 1.95
2 0
- 2 0 0. 7 5
0 + 1. 2 0
1. 9 5
1.- Completa la siguiente tabla como en el ejemplo.
OPERACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES RESULTADO
9
10
+ 13.75 =
0.9 + 13.75 14.65
46
100
+ 8.14 =
325
1000
0.673 =
72
100
+ 0.35 =
5
2
+ 2.25 =
9
4
+ 3.20 =
3
4
+ 1.25 +
2
8
+ 0.68 =
Los puntosse alinean
unodebajodel otro

57
2.- Resuelve las siguientes sumas. Alinea los puntos uno debajo del otro.
3.24 + 7.62 + 14.56 = ____________
19.9 + 35.3 + 28.4 = _____________
53
67
100
+ 41.45 + 15.99 + 6
35
100
= ___________
5
10
+
15
100
+ 0.432 =
1.- María Elena fue al supermercado y
compró los siguientes productos: jabón
$24.90, huevos $37.50, café $42.35, jugo
$7.50 y leche $12.00. ¿Cuánto pagó en
total? ______________
2.- Iván, Alonso, Fernando y Gerardo
quieren comprar juntos un libro para
colorear que cuesta $76.75 Si tienen
$15.30, $16.75, $17
90
100
, y $18.85
respectivamente, ¿cuánto dinero les falta
para completar el precio del
libro?.............................................. (____)
a) $ 7.95
b) $ 8.05
c) $ 8.95
d) $ 12.15
3.- La maestra nos pidió un listón para
pegarlo en el perímetro del siguiente
triángulo. ¿De qué medida debemos
comprar el listón? ________________
17.8 cm
15
2
cm
19.3 cm
4.- Omar compró un kilo de manzanas en
$23.75, un litro de aceite en $28
35
100
y un
kilo de frijol en $26.80
¿Cuánto pagó en total? ______________

58
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con fracciones en
distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
PROBLEMA: Amada y Martha toman
1
4
de leche cada una. ¿Cuánto toman en total entre
las dos?
2 x
1
4
= Esto significa 2 veces
1
4
, o sea,
1
4
+
1
4
=
2
4
=
1
2
1
4
𝑥 2 = Esto significa
1
4
𝑑𝑒 2 =
2
4
=
1
2
El signo “por” significa “de”
Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplica el numerador por el numerador y el
denominador por el denominador, y ambos resultados nos dan el numerador y el
denominador, respectivamente. EJEMPLOS:
11
4
x
3
5
=
33
20
= 1
13
20
1
2
x 8 =
8
2
= 4 2
3
4
x 5 =
11
4
x
5
1
=
55
4
= 13
3
4
1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea necesario o convierte
a enteros.
1
2
x
1
100
=
4
6
x
1
100
= 1
5
8
x
1
100
=
1
2
de
4
8
=
1
8
x
3
4
=
2
3
x
7
9
=
5
7
x
1
5
=
6
7
de
2
3
= 2
3
5
x
4
9
=
7
8
x
24
49
=
9
20
x
11
18
=
8
15
de
5
6
=
2.- Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea necesario.
5 x
1
7
= 6 x
1
9
= 7 x 3
1
9
=
1
2
x 5 =
1
4
x 20 =
1
3
x 12 =
1
2
𝑑𝑒 200 =
1
4
𝑑𝑒 40 =
1
5
𝑑𝑒 100 =
1 + 1

59
PLACA
DE
RECONOCI
MIENTO
254
10
𝑐𝑚
254
10
𝑐𝑚
1.- En el grupo de 1° A están inscritos 48
alumnos, de los cuáles,
1
3
viajan en camión
urbano a la escuela. ¿Cuántos alumnos
utilizan el camión? _____________
3.- De los 36 alumnos del grupo “C” solo
asistieron
5
6
. ¿Qué cantidad del grupo
asistió? _______________
5.- De los 35 470 aficionados que asistieron
al Estadio Azteca,
3
5
le van al equipo de
Chivas. ¿Cuántos le van al Chivas?
_____________
7.- De los $14 325.00 que tiene el papá de
Alonso le da
2
3
para que haga un viaje de
estudios. ¿Qué cantidad le queda a su
papá? ______________
9.- El profesor compró 2
3
4
kilogramos de
queso. El kilo cuesta $88.00
¿Cuánto pagó? _____________
2.- El papá del niño Raúl mide
7
4
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠de altura. Si Raúl mide
1
3
de la
altura de su papá. ¿Cuál es la altura de
Raúl? _______________
4.- El kilo de frijol cuesta $29.00
¿Cuál es el precio de
3
4
de kilo? _______
6.- De una cubeta de pintura cuya
capacidad es de 18
1
2
litros, se han
vendido
4
5
partes. ¿Qué cantidad de
pintura se ha vendido? ___________
8.- Peso 74
1
2
kg, de los cuáles tengo
1
20
de sobrepeso. ¿Cuánto es lo que debo
bajar de peso? ________
10.- ¿Cuál es el área de la siguiente
figura? (multiplica base por altura).
__________

60
DIVISIÓN DE FRACCIONES
PROBLEMA: ¿Cuál es el resultado de la operación
𝟔
𝟒
÷
𝟑
𝟐
?
Para dividir dos fracciones, se divide el numerador entre el numerador y el denominador
entre el denominador, y ambos resultados se escriben en el numerador y el denominador
respectivamente.
6
4
÷
𝟑
𝟐
=
𝟐
𝟐
= 1
Como no siempre los numeradores o denominadores van a ser divisibles, vemos que la
división nos resulta lo mismo si seguimos el siguiente procedimiento cruzado:
𝟔
𝟒
÷
𝟑
𝟐
=
𝟔 𝒙 𝟐
𝟒 𝒙 𝟑
=
𝟏𝟐
𝟏𝟐
= 1 Numerador por denominador igual a numerador.
𝟔
𝟒
÷
𝟑
𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟐
Denominador por numerador igual a denominador.
1.- Resuelve las siguientes divisiones.
4
8
÷
2
1
=
21
9
÷
7
3
=
16
18
÷
4
9
=
16
4
÷ 2 =
2
4
÷
2
4
= 3
3
4
÷
5
2
=
1
2
÷
1
2
=
5
2
÷
3
4
=
3
7
÷
4
5
=
5 ÷
3
5
= 30 ÷
5
6
= 120 ÷
1
2
=
2.- Resuelve las siguientes divisiones y enseguida los problemas que se te presentan.
33
4
÷
3
4
=
50
100
÷
4
10
=
40
5
÷
20
10
=
5
10
÷
5
10
=
100
5
÷
20
5
=
25
2
÷
1
4
=
20
100
÷ 5 = 80
1
2
÷ 5
1
2
=

61
15
4
𝑐𝑚
28
5
𝑐𝑚
1.- Un camión recorre 90
1
2
𝑘𝑚 en 4
1
2
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
¿Qué distancia recorre en una hora?
2.- Pinturas Romex vendió
35
8
litros de pintura
envasada en botellas de
1
4
de litro. ¿Cuántas
botellas utilizó?
3.- Una caja de zapatos tiene un volumen de
12
1000
de m³. Si el área de la base es de
3
100
de
m², ¿cuánto mide de altura?.... (____)
𝑎)
4
10
𝑚 b)
4
100
m c)
9
500
m d)
21
500
m
4.- A Rosa le regalaron
1
6
de un pastel y en su
casa lo dividió ese pedazo en 3 partes iguales
para darles a su mamá y a su hermana.
¿Cuánto le tocó a cada una?.................... (____)
𝑎)
1
18
b)
1
16
c)
1
12
d)
1
9
5.- Un camión recorre 96
2
8
𝑘𝑚 en 1
1
4
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
¿Qué distancia puede recorrer en una
hora?_______________
6.- Un rectángulo tiene
50
10
𝑚² de área. Si de largo
mide
2
5
𝑚, ¿cuánto mide de ancho? ___________
9.- Encuentra el área del triángulo. 10.- Los electricistas utilizaron un cable de
cobre de
36
8
metros de largo dividiéndolo en
partes de
1
2
metro cada una.
¿Cuántas partes sacaron?_______________
7.- Tengo un lazo que mide
40
8
metros de largo.
Si lo divido en partes de
6
4
metros de largo cada
una. ¿Cuántas partes me resultan? _________
8.- La manguera que usamos en casa, medía
20
2
metros de largo y mi abuelito la cortó en
pedazos que miden
20
4
metros cada uno.
¿Cuántos pedazos tenemos ahora?_________

62
FIGURAS Y CUERPOS
• Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la
mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
PROBLEMA: Traza la mediatriz al segmento AB.
La mediatriz es la perpendicular que cruza a un segmento por su punto medio.
1.- Dados los siguientes segmentos traza a cada uno su perpendicular mediatriz,
utilizando para ello el compás y la regla.
2.- En los siguientes dibujos traza la mediatriz al segmento que forma parte de cada
dibujo. Ilumina los dibujos a tu gusto.
Mediatriz
D
C
BA
TRAZO DE LA MEDIATRIZ
• Se abre el compás más de la mitad de lo que mide
el segmento AB.
• Haciendo centro en los extremos del segmento AB
se trazan dos arcos en ambos lados del segmento,
que se crucen, para encontrar los puntos C y D.
• Se unen los puntos C y D para que nos resulte la
perpendicular mediatriz.

63
1.- Traza la mediatriz a un segmento de 4.5
cm de longitud y tocando un punto de dicha
mediatriz, completa un triángulo de tal forma
que los otros dos lados midan 5 cm cada
uno.
2.- Traza la mediatriz a un segmento
de 3 cm de longitud y enseguida de
esto, dibuja un rombo cuyos lados
midan 4 cm.
3.- Traza la mediatriz a cada uno de los lados de los siguientes triángulos y escribe lo
que observas como resultado de los trazos.

64
LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
PROBLEMA: Traza la bisectriz a un ángulo de 45°
La bisectriz es el segmento de recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
1.- Traza la bisectriz a cada uno de los siguientes ángulos.
2.- Traza las bisectrices a los ángulos internos de las siguientes figuras y determina en
cuál de ellas las bisectrices son las diagonales de la misma.
Corte 4Corte 3
Corte 1
Vértice
Bisectriz
TRAZO DE LA BISECTRIZ
• Apoyamos el compás en el vértice del
ángulo y trazamos dos arcos que corten a
las dos rectas que forman el ángulo.
• Apoyamos el compás en donde se
cortaron cada uno de los lados que forman
el ángulo y trazamos dos arcos que se
corten dentro del espacio que comprende
el ángulo.
• Trazamos la recta que vaya del vértice
del ángulo al punto donde se cruzaron los
arcos.
Corte 2

65
3.- Traza al ángulo AOB y al COD su bisectriz.
4.- Traza las tres bisectrices del siguiente triángulo y escribe lo que observas como
resultado de su trazo.
5.- Los siguientes dibujos representan a una fuente de agua y a un terreno
respectivamente. Traza una bisectriz en cada uno, de tal forma, que queden divididos en
dos partes iguales.
O
B
A OC
D

66
MEDIDA
• Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de
la construcción y transformación de figuras.
PERÍMETROS Y ÁREAS
El perímetro de una figura se mide con unidades lineales: kilómetro (km), metro (m),
decímetro (dm), centímetro (cm), etc. 1 kilómetro tiene 1 000 metros, 1 metro tiene 100
centímetros. Cuando no se especifica la unidad con la que se mide una figura, entonces
esta se representa en unidades y se hace con el símbolo “u”.
Para encontrar el perímetro de una figura se suman lo que miden cada uno de sus lados.
Si la figura es regular se multiplica lo que mide un lado por el número de lados que tiene
la figura: Triángulo: Lado por 3 (3L) Cuadrado: Lado por 4 (4L)
Pentágono: Lado por 5 (5L) Hexágono: Lado por 6 (6L)
La superficie de una figura se mide con unidades cuadradas: metro cuadrado (m²),
decímetro cuadrado (dm²), centímetro cuadrado (cm²). El área es la medida de la
superficie. La superficie tiene 2 dimensiones que son largo y ancho.
1 metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 metro por cada lado.
PROBLEMA: Encuentra el perímetro y el área de las siguientes figuras.
CUADRADO RECTÁNGULO TRIÁNGULO
P = 8 x 4 = 32 u P = (2 x 8) + (2 x 13) P = 8 + 8 + 11.3 = 27.3 u
P = 16 + 26 = 32 u
A = L x L ó L² A = b x h ó bh A=
𝒃 𝒙 𝒉
𝟐
ó
𝒃𝒉
𝟐
A = 8 x 8 = 8² A = 13 x 8 A =
8 𝑥 8
2
A = 64 u² A = 104 u² A =
64
2
A = 32 u²
Para encontrar el área de un triángulo, el resultado de multiplicar la base por la altura se
divide entre dos, porque un triángulo es la mitad de un cuadrilátero.

67
1.- Traza a la figura A su simétrica de acuerdo al eje de simetría que se da y encuentra lo
que miden de perímetro y de área cada una de las figuras.
FIGURAA FIGURA A´
Perímetro de A = _____ u
Perímetro de A´ = _____
Área de A = ______ u²
Área de A´ = ______
¿Cómo son el perímetro y el área de dos figuras simétricas? _________________
2.- En el siguiente dibujo se ha reproducido al doble la figura B en la figura B´.
Encuentra el perímetro y el área de ambas figuras.
FIGURAB FIGURA B´
Perímetro de B = _________
Perímetro de B´ = ________
Área de B = _________
Área de B´ = _________
¿Cuánto aumentó de tamaño la figura B? ________________________
¿Qué sucedió con el perímetro? ______________________________________________
¿Qué sucedió con el área? __________________________________________________
3.- Encuentra el perímetro y el área de las siguientes figuras y escribe tus observaciones.
FIGURA C FIGURAC´
10 u
Observaciones: _________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________P = ________ P = _________
A = ________ A = _________

68
4.- En las siguientes composiciones de figuras se encuentran dibujados tres cuadrados
sobre los lados de cada triángulo rectángulo. Encuentra el área de cada uno de los
cuadrados según las dimensiones que se señalan.
Área de A = __________
Área de B = __________
Área de C = __________ Área de D = ______ Área de E = _______
Área de F = _______
¿Qué observas si sumas en cada caso el área de los dos cuadrados más pequeños en
relación con el cuadrado más grande? _________________________________________
5.- Escribe el área dentro de cada una de las partes que forman los siguientes modelos
geométricos y encuentra también el área total de cada modelo.
Área total = ______ u²
Área total = ______________
5
+
3
60
+
90
90 + 60
5
5 + 3
5 + 3
5
5
4 u
4 u
3
3
C
A
B
68
32
60
F
D
E
+
3

69
ÁREA DEL TRAPECIO
PROBLEMA: Deduce y memoriza la fórmula del área del trapecio.
Si unimos dos trapecios iguales formamos un romboide, como se ilustra enseguida.
Observa que coinciden la altura del trapecio y la del romboide.
Observa que se debe sumar la base mayor del trapecio y la base menor para obtener la
base del romboide.
El área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.
Por lo tanto el área de un trapecio se expresa: Base mayor, más base menor, por altura
entre dos.
El área del trapecio se simboliza de la siguiente manera: 𝐴 =
( 𝐵+𝑏) 𝑥 ℎ
2
ó A =
( 𝐵+𝑏)ℎ
2
1.- Observa el siguiente trapecio:
¿Cuál es su área? _______________
2.- Completa la siguiente tabla:
BASE
MAYOR
BASE
MENOR ALTURA
ÁREA DEL
TRAPECIO (cm²)
9 5 4
12 10 2.5
4.3 2.7 3.6
50 40 18
30 m
15 m
13.5 m

70
3.- Encuentra el área en cm² de las siguientes figuras.
4.- Encuentra el área de las siguientes figuras suponiendo que las distancias indicadas
son de 1 cm.
A = ________
A = ________ A = ________
A = ________
A = ________
A = ________
A = ________ A = ________
A = ________ A = ________

71
ÁREA DEL PENTÁGONO, HEXÁGONO Y OCTÁGONO
PROBLEMA: Deduce la fórmula del área de un pentágono.
Si dividimos una figura regular en triángulos, nos resultan triángulos iguales.
Observa que se debe encontrar el área de 5 triángulos para encontrar el área del
pentágono.
Observa que en todos los casos en que encontramos el área de un triángulo, es la misma
base y la misma altura.
El área de un triángulo se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo el
resultado entre dos.
Por lo tanto el área de un pentágono se expresa: Perímetro por apotema entre dos.
El área del pentágono se simboliza de la siguiente manera: 𝐴 =
𝑃 𝑥 𝑎
2
ó 𝐴 =
𝑃𝑎
2
El perímetro son los lados de los cinco triángulos.
La apotema es igual a la altura de cada uno de los triángulos.
Esta misma fórmula se usa en el hexágono, el heptágono, el octágono, etcétera.
1.- Con base en los datos de las siguientes figuras encuentra su área.
.
45 m
5 cm
4 cm
5.5 cm
3.4 cm
16 cm
10
40 m
A = ________
A = ________
A = ________
A = ________

72
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor
faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
FACTOR CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
PROBLEMA: Los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 centímetros
respectivamente. Si dibujamos otro triángulo a escala de éste, que el lado
correspondiente a 3 centímetros mide 6 cm. ¿Cuánto deben medir los otros lados?
La razón es triángulo grande a triángulo chico.
La razón es
𝟔
𝟑
que es lo mismo que 6 a 3.
El factor constante es 2 porque la figura original
aumenta al doble:
6
3
= 2 6 es el doble de 3.
Si la constante es 2, entonces multiplicando los otros
lados por 2, encontramos lo que medirán.
4 x 2 = 8 cm 5 x 2 = 10 cm
Esto es lo mismo que 4 x
6
3
=
24
3
= 8
¿Cuál será la constante en un triángulo, si el lado que mide 4 cm se amplía a 6 cm?
Dividimos la razón
6
4
para encontrar la constante que es 1.5
Para encontrar la medida de los otros lados, se multiplica cada uno por 1.5 ó por
6
4
5 x
6
4
=
30
4
= 7.5 que será la medida del otro lado. 5 x 1.5 = 7.5
La constante se puede expresar con decimal o con entero.
1.- Reproduce a la derecha los siguientes dibujos de tal manera que el que mide 4
unidades mida 8, es decir que la constante sea
8
4
que es igual a 2, o sea el doble.
5 cm4 cm
6 cm3 cm
El 3 se multiplicó por
2 para que nos diera
6

73
2.- Reproduce la siguiente figura a escala, de tal manera que el lado correspondiente al
que mide 3 unidades mida 6 unidades. Esto es, que su factor constante sea
6
3
= 2
Si el factor constante es 2 significa que el lado que mide 4 unidades medirá 4 x ___ = ___
Si el factor constante es
6
3
significa que la figura _____________ su tamaño.
¿En que se parecen las dos figuras que se dibujaron? __________________________
¿Cuáles de los siguientes factores constantes son los que producen una ampliación de la
figura original?
4
2
,
2
1
,
2
7
,
10
5
,
7
3
,
1
10 000
,
6
4
,
1
2
: _____________________________
Esto es porque el numerador es ___________ que el denominador.
3.- Completa la siguiente tabla.
ESCALA
FACTOR CONSTANTE
FRACCIONARIO
FACTOR CONSTANTE
DECIMAL O ENTERO
SE AMPLÍA
O SE REDUCE
1 a 2 1
2
0.5 Se reduce
1 a 3
1 a 5
2 a 8
3 a 10
2 a 1 2
1
2
8 a 2
15 a 3
16 a 4
10 a 5

74
1.- El ancho y el largo de un rectángulo miden 4 y 8 cm respectivamente. Si en un
rectángulo hecho a escala de éste, el lado correspondiente a 4 cm mide 12 cm,
¿Cuánto debe medir el largo? __________ ¿Cuál es el factor constante? ________
2.- Los lados de un cuadrado miden 16 cm. Si se hace otro a escala con un factor
constate de
15
3
, ¿cuánto debe medir por lado el nuevo cuadrado? __________
3.- En una prueba me dan 4 puntos por cada 6 preguntas que contesto
bien y 8 puntos por cada 12 preguntas bien contestadas.
¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ……………………………………………. (____)
a)
8
6
b) 1.5 c) 0.5 d) 0.25
4.- Aplicando el factor constante de proporcionalidad encuentra las medidas que se piden
en las siguientes parejas de figuras como en el ejemplo:
7.2 y a son lados correspondientes.
6 y 9 son lados correspondientes.
b = _______ e = ________ x = _______
x
1212
6
e
6
3
4
a
b
5
63
7.2
96
La razón o la escala es
9
6
El factor constante es
9
6
= 𝟏. 𝟓
Para encontrar la medida de “a”
multiplicamos 7.2 x 1.5 = 10.8
a mide 10.8

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