Este documento presenta un modelo matemático de un tubo intercambiador de calor para determinar parámetros como el coeficiente de transferencia de calor promedio y el volumen de condensado en función de las temperaturas del vapor y el tubo. El modelo se basa en balances energéticos y ecuaciones de transferencia de calor para vapor y fluidos en régimen laminar. El modelo permite calcular la cantidad de calor cedida y condensado producido para diferentes condiciones de operación del sistema.

1. REVISTA COLOMBIANA DE F´
ISICA, VOL.38, No.2, 2006
´
MODELO MATEMATICO DE UN TUBO INTERCAMBIADOR DE
CALOR
D. Bravo-Montenegro 1 , M. L´pez-Ortega 1
o
1
Grupo DSC, Programa de Ingenier´a F´sica, Universidad del Cauca, Popay´n, Colombia.
ı ı a
Recibido xx de Feb.2006; Aceptado xx de Abr.2006; Publicado xx de Jun.2006
RESUMEN
El estudio de la transferencia de calor es de vital importancia en los procesos industriales,
involucra par´metros que son de dif´ medici´n ya que dependen de la din´mica del
a ıcil o a
sistema, su geometr´ y de las propiedades f´
ıa ısicas de los materiales que lo constituyen.
Bas´ndose en las teor´ de Nusselt se encuentra el modelo matem´tico de un tubo
a ıas a
intercambiador de calor para obtener el valor promedio del coeficiente de transferencia
de calor y el volumen de condensado; estos par´metros se determinan en funci´n de las
a o
temperaturas del vapor y del tubo.
Palabras claves: Din´mica, Intercambiador, Modelo, Transferencia de Calor, Tempera-
a
tura.
ABSTRACT
The study of the heat transference is of vital importance in the industrial processes,
involves parameters that are of difficult measurement since they depend on the dynamics
of the system, his geometry and of the physical properties of the materials that constitute
it. Being based on the theories of Nusselt is the mathematical model of a tube heat
exchanger to obtain the value average of the coefficient of heat transference and the
condensed volume of; these parameters are determined based on the temperatures of the
steam and the tube.
Keywords: Dynamics, Interchanger, Model, Heat transference, Temperature.
1. Introducci´n
o
Todo sistema f´ ısico puede ser descrito mediante ecuaciones matem´ticas y/o ecuaciones
a
diferenciales que rigen su comportamiento, las cuales se pueden utilizar para ejercer
control sobre alguna variable determinada queriendo lograr un desempe˜o adecuado o
n
especificado por el usuario. Existen sistemas demsiado complejos, cuyas ecuaciones des-
criptivas son funciones no-lineales y se hace necesario utilizar m´todos num´ricos para su
e e
soluci´n; al determinar ciertas suposiciones de dise˜ o, los modelos se pueden simplificar
o n
para un cierto rango de operaci´n. El modelado es entonces, encontrar las relaciones
o
matem´ticas entre las variables de entrada de salida.
a
La clave para un buen modelo es determinar las variables de peso en el sistema a modelar,
ya que hay variables que son imposibles de eliminar (se˜ ales esp´ rias, por ejemplo: ruido
n u
t´rmico) estas generan errores en el modelo del sistema en funci´n de la variable medida.
e o
Se puede tomar el sistema como un todo, al cual le corresponde, en este caso, una funci´no
de transferencia1 , o se pueden tomar subsistemas con funciones de transferencia locales,
de las cuales se puede obtener la funci´n de transferencia global del sistema.
o
2. Balance Energ´tico en un Intercambiador
e
Primero se debe determinar la relaci´n de energ´ utilizada o cedida por el vapor al area
o ıa ´
de contacto para condensar una cierta cantidad de masa de agua.
1 Ya que se trata de un sistema de una entrada una salida
1

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ISICA, VOL.38, No.2, 2006
∆T
T2
TT
11
L
∆Q1 ∆Q2
T1
V1
D
Figura 1: Nomenclatura para el balance energ´tico del sistema de transferencia de calor
e
dentro del condensador.
La cantidad de calor necesaria para vaporizar o condensar una masa m dada de un fluido
a la temperatura de saturaci´n es [1]:
o
QL = mhf g (1)
Aqu´ QL es la cantidad de energ´ [J], m es la masa [kg] y hf g es el calor latente de
ı: ıa
vaporizaci´n [J/kg]. El intercambiador de calor tiene forma cilindrica y asumiendo una
o
densidad constante, la masa contenida en el tubo se puede expresar como:
πLD2
m=ρ
4
El vapor que esta dentro del intercambiador de calor est´ en capacidad de entregar calor
a
hacia el medio externo a trav´s del tubo, a este calor se le conoce como calor cedido por
e
el vapor, el cual est´ dado por:
a
Qs = mc∆T (2)
Donde: m es la masa de vapor dentro del tubo [kg], c es el calor espec´
ıfico del vapor
[J/kgoC] y ∆T es el cambio de temperatura [o C].
El sensor de temperatura TT–11 capta la diferencia de temperatura entre el vapor y el
medio a trav´s del vidrio del intercambiador de calor, es decir, nos da directamente el valor
e
de ∆T . En el area de un tubo condensante ocurren dos fen´menos de transferencia de
´ o
calor, ∆Q1 , el cual describe la transferencia de calor del vapor hacia el tubo (transferencia
de calor con cambio de fase) y Q2 , el cual describe la transferencia de calor del tubo hacia
el medio, en este caso el medio esta compuesto por una corriente de aire con una velocidad
v y un flujo de agua el cual humedece la pared del tubo. En la transferencia de calor con
cambio de fase nos interesa es el espesor del condensado, el cual esta dado por:
1
4µl kl (Tv − Tw ) x 4
δ(x) =
g(ρl − ρv ) ρl hf g
2

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Asumiendo una distancia x = L constante (largo del tubo del intercambiador de calor),
temperatura de vapor Tv =100 o C, nos queda el espesor de la pel´
ıcula de condensado en
funci´n de la temperatura Tw , que es, en nuestro caso, la temperatura ∆T medida por
o
nuestro sensor TT–11: 1
4µl kl (100 − ∆T ) L 4
δ(∆T ) =
g(ρl − ρv ) ρl hf g
De esta manera podemos calcular la masa efectiva de condensado.
r1 V1 = dA L
r2
dA = π(r2 − r1 )2
δ = r2 − r1
m = ρπδ 2 L
dA
Figura 2: Nomenclatura para el c´lculo de la masa del condensado
a
Como δ es funci´n de ∆T , se puede tener informaci´n sobre la masa del condensado en
o o
el tubo intercambiador de calor, el intercambio de calor ∆Q2 se realiza por convecci´n o
forzada, haciendo circular una pel´ ıcula de agua con una velocidad vl . La bomba para
recircular el agua tiene un caudal de 35 L/min, y la tuberia seleccionada es de 1 pulgada,
por lo que se tiene un valor promedio de velocidad vl = 1,15 [m/s].
Se deben resolver las ecuaciones de convecci´n, los c´lculos se simplifican mucho si se
o a
garantiza que hay un r´gimen laminar en el flujo, este par´metro lo confirma el N´ mero
e a u
de Reynolds, factor que depende de la velocidad del fluido y en nuestro caso [3]:
ρLvl Lvl 0,30 1,15
Re = = = = 342,94 × 103
µ υ 1,006 × 10−6
En donde: ρ es la densidad del fluido [kg/m3 ], L es el largo de la placa [m],vl es la veloci-
dad del fluido [m/s], µ es la viscosidad del fluido [kg/m s] y υ es la Difusividad molecular
del momentum [m2 /s].
Por lo tanto el resultado obtenido est´ contenido dentro del r´gimen laminar, resolviendo2
a e
las ecuaciones de momentum, energ´ y de continuidad, teniendo en cuenta el r´gimen
ıa e
laminar sobre una placa plana, se obtiene el coeficiente de transferencia de calor promedio
y de esta manera se puede determinar la cantidad de calor cedido al medio en funci´n o
de la velocidad y temperatura del fluido. Podemos ahora calcular la cantidad de calor
disipada por el tubo intercambiador de calor hacia un medio de pel´ ıcula de agua. La
temperatura m´xima que alcanza el tubo teniendo un suministro constante de calor es
a
de 63.53o C, determinado por (2), en contacto con el aire.
2 El desarrollo de estas ecuaciones es mediante el metodo integral
3

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Supongamos que en ese instante hacemos circular agua por su superficie a 20o C, cal-
culamos el calor disipado por el tubo, para el agua tenemos [2]: k = 0,597 [W/mo C],
P r = 7,02 y Re = 342,94 × 103 .
Entonces el coeficiente de transferencia de calor con el agua es:
k 2
h = 0,664 Re1/2 Pr1/3 = 1481,63 [W/m o C (3)
L
El calor disipado por el tubo por lo tanto es:
q = 64495 [W/m2 ]
Se tiene que, para condensar 1 g/s el vapor cede al tubo una calor de 2225 W/m2 , por
lo que el sistema es estable y si se puede considerar dise˜ ar un control de temperatura
n
para mantener el ∆T constante para un m´ximo rendimiento.
a
El proceso de transferencia de calor del tubo condensante al agua hace que esta se caliente
gradualmente, cambiando la temperatura de referencia y por lo tanto disminuyendo la
capacidad de absorber calor del condensador lo que se traduce en un bajo rendimiento
en la obtenci´n de condensado, se necesita un proceso auxiliar de cambio t´rmico entre
o e
el agua y el medio para asegurar que el agua se mantenga en un r´gimen de temperatura
e
aceptable para que el sistema funcione de una manera adecuada. Es claro que la transfe-
rencia de calor es directamente proporcional al area de contacto, por lo que aumentando
´
este factor podemos aumentar la cantidad de calor cedida al medio. Para acelerar el pro-
ceso t´rmico se puede utilizar un ventilador axial, con el cual se le imprime velocidad al
e
aire circundante, lo cual acelera el proceso de transferencia de calor.
3. Conclusiones
El modelo de un proceso, es la parte m´s importante para dise˜ ar un sistema de control,
a n
a partir de este es posible obtener la estrategia de control mas sencilla posible que cumpla
con los requerimientos de desempe˜ o.n
Del modelado del sistema se obtuvo informaci´n acerca de los detalles del proceso (canti-
o
dad de condensado, coeficiente promedio de transferencia de calor), que, de ser necesario,
se pueden implementar en la visualizaci´n del sistema.
o
Referencias
[1] Dossat, Roy. Principios de refrigeraci´n. 1a Edici´n. M´xico Continental S.A, 1986.
o o e
[2] Manrique, Jos´. Transferencia de Calor.2a Edici´n. M´xico Oxford University Press,
e o e
2002.
[3] Marlekar, B. V. y Desmond, R.M. Transferencia de Calor. 2a Edici´n. M´xico
o e
Interamericana, 1985.
[4] Creus, Antonio. Instrumentaci´n Industrial. 6a Edici´n. M´xico Alfaomega, 2000.
o o e
[5] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. 2a Edici´n. M´xico Pear-
o e
son Educaci´n, 1996.
o
4