Este documento presenta las relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un ángulo. Define las funciones sen, cos, tan, csc, sec y cot y establece sus relaciones inversas, de cocientes y pitagóricas. Además, explica cómo demostrar y simplificar identidades trigonométricas mediante el uso de estas relaciones fundamentales.

3. RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las
funciones trigonométricas son:
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑦
1
= 𝑦
cos 𝛼 =
𝑥
1
= 𝑥
tan 𝛼 =
𝑦
𝑥
csc 𝛼 =
1
𝑦
sec 𝛼 =
1
𝑥
cot 𝛼 =
𝑥
𝑦

4. 𝑠𝑒𝑛𝛼. csc 𝛼 = 1
cos 𝛼 . sec 𝛼 = 1
tan 𝛼 . cot 𝛼 = 1
csc 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
1
csc 𝛼
sec 𝛼 =
1
cos 𝛼
cos 𝛼 =
1
sec 𝛼
Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
RELACIONES INVERSAS:
cot α =
1
tan α
tan 𝛼 =
1
cot 𝛼

5. También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
Si
tan 𝛼 =
𝑦
𝑥 ; pero ;
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑦 cos 𝛼 = 𝑥
tan 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
cos 𝛼
cot 𝛼 =
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
cot 𝛼 =
𝑥
𝑦 ; pero ;
cos 𝛼 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑦
RELACIONES DE COCIENTES:

6. En el  rectángulo se tiene: 𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 (teorema de Pitágoras)
De lo que se deduce lo siguiente:
𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + cos2
𝛼= 1
Relación entre seno y coseno
1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼
𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
1 + cot2
𝛼 = csc2
𝛼
𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
RELACIONES PITAGÓRICAS:

7. Las ocho relaciones deducidas anteriormente reciben el
nombre de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES, y se emplearan para demostrar y
simplificar expresiones trigonométricas.
RECUERDA: Las Identidades Trigonométricas son igualdades
que contienen funciones trigonométricas de ciertos ángulos…
DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si
una identidad es realmente una identidad, para lo cual se
hacen transformaciones, se usan las identidades
fundamentales.
SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en
convertir la expresión original en otra más simple y
elemental.

8. CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el
otro.
2. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos
de seno y coseno.
3. También, realizar operaciones aritméticas y
algebraicas(factorización y/o simplificación).
4. Ó utilizar algún artificio si es necesario.

9. Ejemplo 1.- demostrar la siguiente identidad.
Como , si los sustituimos, tenemos
que :
Simplificamos senos, y tenemos que:
Y
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝐶𝑠𝑐𝑥
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1𝑦𝐶𝑠𝑐𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
1 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 ⋅
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
1 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 ⋅
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
1 = 1

10. Ejemplo 2.- Demostrar la siguiente identidad:
Como , sustituimos y nos queda:
Multiplicando medios y extremos obtenemos:
Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1
Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
1
𝐶𝑠𝑐2𝑥
+ 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1
𝐶𝑠𝑐2
𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛2𝑥
1
1
𝑆𝑒𝑛2𝑥
+ 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 1
1 ⋅ 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 1

11. Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Como , si los sustituimos nos queda que:
, Simplificando senos, y nos queda:
Si sacamos común denominador y sumamos, entonces tenemos que:
, como
Sustituyendo en el paso anterior nos queda que:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica.
𝑇𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑥
𝑇𝑎𝑛2
𝑥 =
𝑆𝑒𝑛2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑦𝐶𝑠𝑐𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑆𝑒𝑛2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥
+ 𝑆𝑒𝑛𝑥 ⋅
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
= 𝑆𝑒𝑐2
𝑥
𝑆𝑒𝑛2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥
+ 1 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑥
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥
= 𝑆𝑒𝑐2
𝑥 𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1𝑦𝑆𝑒𝑐2
𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑠2𝑥
1
𝐶𝑜𝑠2𝑥
=
1
𝐶𝑜𝑠2𝑥

12. Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Sacando común denominador tenemos:
Como ,obtenemos la siguiente
igualdad:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica
𝐶𝑜𝑠2
𝑥
𝑆𝑒𝑛2𝑥
+ 1 = 𝐶𝑠𝑐2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
𝑆𝑒𝑛2𝑥
= 𝐶𝑠𝑐2
𝑥
𝐶𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑆𝑒𝑛2
𝑥 = 1𝑦𝐶𝑠𝑐2
𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛2𝑥
1
𝑆𝑒𝑛2𝑥
=
1
𝑆𝑒𝑛2𝑥