Las identidades trigonométricas son igualdades que contienen funciones trigonométricas de ciertos ángulos, los cuales se verifican para cualesquiera que sean los valores de estos. Se tiene 8 relaciones fundamentales que nos permitirán verificar dichas identidades trigonométricas, entre las cuales se tiene las relaciones pitagóricas, por cociente y las relaciones inversas.

1. UNIDAD 6

2. DEFINICIÓN
Las identidades trigonométricas son igualdades que
contienen funciones trigonométricas de ciertos
ángulos y que se verifican cualesquiera que sean los
valores de éstos.
Ejemplo:
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
Es una identidad trigonométrica:

3. RELACIONES FUNDAMENTALES
𝒔𝒆𝒏𝟐
α + 𝒄𝒐𝒔𝟐
α = 𝟏
1. RELACIONES PITAGÓRICAS:
Las relaciones o fórmulas se utilizan para verificar
identidades trigonométricas y se dividen en tres
grupos:
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
α = 𝒔𝒆𝒄𝟐
α
𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐
α = 𝒄𝒔𝒄𝟐
α
𝒔𝒆𝒏𝟐
α = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐
α
𝒄𝒐𝒔𝟐
α = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐
α

4. 𝒕𝒂𝒏 α =
𝒔𝒆𝒏 α
𝒄𝒐𝒔 α
2. RELACIONES POR COCIENTE:
𝒄𝒐𝒕 α =
𝟏
𝒕𝒂𝒏 α
𝒄𝒐𝒕 α =
𝒄𝒐𝒔 α
𝒔𝒆𝒏 α
3. RELACIONES INVERSAS:
𝒔𝒆𝒄 α =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 α
𝒄𝒔𝒄 α =
𝟏
𝒔𝒆𝒏 α

5. VERIFICAR UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Demostrar o verificar una identidad significa mostrar
que es posible transformar un miembro de la
identidad en el otro, mediante procesos justificados.
Generalmente se transforma la expresión más
complicada.
Para probar o verificar una identidad trigonométrica
se toma uno de los miembros de la igualdad y por
transformaciones sucesivas se reduce al otro.

6. Procedimiento:
2. Se expresan todos los términos de la igualdad en
función del seno y del coseno.
1. Se elige el miembro más complicado o el miembro
que tiene más términos o más factores para su
simplificación.
3. Se efectúan las operaciones algebraicas indicadas,
obteniéndose la identidad de ambos miembros.

7. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 · 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Ejemplo 1: Verifica la siguiente identidad:
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ·
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Sustituyendo 𝑡𝑎𝑛 𝑥 por
la relación por cociente
Simplificando factores
comunes
Identidad trigonométrica

8. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 · 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥
Ejemplo 2: Demuestra la siguiente identidad:
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ·
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑐𝑜𝑡 𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥
Sustituyendo 𝑐𝑠𝑐 𝑥 por
la relación inversa
Efectuando el producto
Identidad trigonométrica
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑐𝑜𝑡 𝑥
Sustituyendo
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
por
la relación por cociente

9. 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥) = 1
Ejemplo 3: Prueba la siguiente identidad:
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
· 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 1
1 = 1
Sustituyendo por la
relación inversa y
pitagórica
Simplificando factores
comunes
Identidad trigonométrica