Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Explica que una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra funciones trigonométricas y se cumple para cualquier valor del ángulo. Luego describe diferentes tipos de identidades como las básicas, de suma y diferencia, de ángulo doble y mitad. También cubre las ecuaciones trigonométricas lineales y cómo representan funciones crecientes, decrecientes o constantes.

1. Paso 3 - Profundizar y
contextualizar el
conocimiento de la
Unidad 2.
Johana Álzate
Ana Silvia Espinosa
Catalina Moreno Alfonso
Julieth Alexandra López
Grupo: 21
ZAO UDR Cumaral, Octubre 2020

2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es
una igualdad en la que intervienen
las funciones trigonométricas, y se
cumple siempre sin importar el
valor del ángulo. .
TRIGONOMETRIAY GEOMETRIAANALÍTICA

3. TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
En trigonometría existen unas ecuaciones muy
particulares a las cuales se le llama identidades
trigonométricas, dichas ecuaciones tiene la
particularidad que se satisfacen para cualquier
ángulo. Dentro de este contexto se analizarán varias
clases de identidades, las básicas, las de suma y
diferencia, las de ángulo doble y las de ángulo
mitad.

4. TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los
ángulos mide 90°.
A los lados opuestos a los ángulos que miden menos de 90°
se les conocen como los catetos y el lado opuesto al ángulo
de 90° se le conoce como la hipotenusa.
Dado un triángulo rectángulo y un ángulo agudo θ en ese
triángulo, definimos seis funciones de ese ángulo.
Llamamos a estas razones trigonométricas.

5. 41
TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
2
3
5
6
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Tan 𝜽 =
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Cot 𝜽 =
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Csc 𝜽 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

6. Ley de senos
La de ley de senos puedo ser aplicada
cuando se tiene la siguiente
informacion de un triangulo
 Lado, angulo, lado
 Lado, lado y lado
 Lado y dos angulos
 Dos lados y el angulo opuesto a uno
de ellos (LLA)
Ley de cosenos
La ley de coseno se puede aplicar
a los triángulos que tengan la
siguiente información:
 Dos lados y el angulo entre
ellos
 Los tres lados del triangulo
LEY DE SENOS Y COSENOS

7. IDENTIDADES BÁSICAS
1
2
3
4
5
6
Dentro de las identidades básicas se presentan 6 categóricas, las cuales analizaremos a
continuación:
Identidad Fundamental:
Identidades de Cociente:
Identidades Recíprocas:
Identidades Pitagóricas:
Identidades Pares - Impares:
Identidades de Cofunción:
Identidades Inversas:
7

8. IDENTIDADES BÁSICAS
1. Identidad Fundamental:
Partiendo del teorema de Pitágoras, la relación de los lados del triángulo y el
círculo trigonométrico, se puede obtener dicha identidad.
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1
2. Identidades de Cociente:
Estas se obtienen por la definición de las relaciones trigonométricas
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 (𝛼)
cos(𝛼)
cot 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 (𝛼)
sen (𝛼)

9. IDENTIDADES BÁSICAS
3. Identidades Recíprocas:
Se les llama de esta manera debido a que a partir de la definición, al aplicar el recíproco, se obtiene
nuevos cocientes.
sen 𝛼 =
1
csc (𝛼)
recíprocamente csc 𝛼 =
1
sen (𝛼)
cos 𝛼 =
1
sec (𝛼)
recíprocamente sec 𝛼 =
1
cos (𝛼)
tan 𝛼 =
1
cot (𝛼)
recíprocamente cot 𝛼 =
1
tan (𝛼)

10. IDENTIDADES BÁSICAS
4. Identidades Pitagóricas:
A partir de la identidad fundamental y las identidades de cociente, se obtienen otras identidades
llamadas pitagóricas. Aunque varios autores llaman a la identidad fundamental también
pitagórica.
𝑡𝑎𝑛2
𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝛼
𝑐𝑜𝑡2 𝛼 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛼
5. Identidades Pares - Impares:
Cuando se definió la simetría de las funciones trigonométricas, se hizo referencia a las
funciones pares e impares, de este hecho se obtiene las funciones pares e impares.
Pares: cos −𝛼 = cos(𝛼) 𝑦 sec −𝛼 = sec (𝛼)
Impares: sen −𝛼 = −sen (𝛼) tan −𝛼 = −tan (𝛼)
cot −𝛼 = − cot (𝛼) 𝑦 csc −𝛼 = − csc (𝛼)

11. 6. Identidades de Cofunción:
Cuando a π/2 se le resta un ángulo cualquiera, se obtiene la cofunción respectiva.
• 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝛼 = cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
− 𝛼 = sen(𝛼)
• 𝑡𝑎𝑛
𝜋
2
− 𝛼 = cot (𝛼) 𝑐𝑜𝑡
𝜋
2
− 𝛼 = tan (𝛼)
7. Identidades Inversas:
Cuando a π se le suma o resta un ángulo cualquiera, se obtiene la función pero con signo contrario,
veamos los casos siguientes.
• 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 (𝛼) 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛 (𝛼)
• cos 𝜋 − 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 (𝛼) cos 𝜋 + 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 (𝛼)
• tan 𝜋 − 𝛼 = −𝑡𝑎𝑛 (𝛼) tan 𝜋 + 𝛼 = −𝑡𝑎𝑛 (𝛼)
IDENTIDADES BÁSICAS

12. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA:
En muchas ocasiones, un ángulo dado se puede expresar como suma o diferencia de ángulo notables, por
ejemplo 15 0 se puede expresar como (45 0 – 30 0 ), 75 0 como (30 0 + 45 0 ) y así con otros. Para este tipo
de situaciones es donde se utilizan las identidades de suma y diferencia.
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
tan 𝛼 + 𝛽 =
tan 𝛼 + tan(𝛽)
1 − tan 𝛼 tan(𝛽)
tan 𝛼 − 𝛽 =
tan 𝛼 − tan(𝛽)
1 + tan 𝛼 tan(𝛽)

13. • 𝑠𝑒𝑛 2𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛 𝛽 cos 𝛽
• cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2
(𝛼)
• tan 2𝛼 =
2tan(𝛼)
1−𝑡𝑎𝑛2(𝛼)
IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE:
Título1
Cuando en la suma de ángulos, los dos ángulos son iguales, es decir: α = β, se obtiene los llamados ángulos
dobles. Estos son una herramienta muy usada en el movimiento parabólico.

14. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD:
En ocasiones se presentan casos donde se requiere trabajar con ángulos mitad, luego es
pertinente analizar identidades de éste tipo.
𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
= ±√
1 − cos(𝛼)
2
cos
𝛼
2
= ±√
1−cos(𝛼)
2
tan
𝛼
2
=
sen(𝛼)
1+𝑐𝑜𝑠(𝛼)

15. A continuación vamos a mostrar unas identidades que en ocasiones son requeridas, las
demostraciones están en libros de Precálculo y de Matemáticas, sería pertinente que se investigaran
como refuerzo a estas identidades.
IDENTIDADES DE PRODUCTO - SUMA:
• 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)
• 𝑠𝑒𝑛 𝛼 sen 𝛽 =
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)
• cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)
• cos 𝛼 cos 𝛽 =
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)

16. También en ocasiones son requeridas las identidades de suma – producto. Las demostraciones son pertinentes
que se investigaran como refuerzo a esta temática.
IDENTIDADES DE PRODUCTO - SUMA:-PRODUCTO
• 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛
𝛼+𝛽
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
• 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼−𝛽
2
• cos 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
• cos 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2𝑠𝑒𝑛
𝛼+𝛽
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼−𝛽
2

17. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las ecuaciones trigonométricas, son
identidades que satisfacen ángulos
específicos, cuya solución se
expresa en medidas de ángulos,
puede ser en grados o radianes.
Existen ciertas identidades que se
cumplen para ángulos específicos,
a dichas identidades se les llama
ecuaciones trigonométricas.

18. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS LINEALES
Es una función polifónica de primer grado, en un gráfica se
representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la
variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1
normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.

19. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS LINEALES
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:
Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).
Es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) =
mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la
potencia es 1 normalmente no se escribe.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:
•Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
•Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
•Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será
una recta paralela al eje X).

20. Referencias bibliográficas
• Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO:
Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
• Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas
Geogebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
• OVI Unidad 2 – Funciones Trigonométricas con la herramienta Geogebra
• Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional
Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583

21. ¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!