Identidades Trigonometricas

1. IDENTIDAD SEN COS TANG CSC SEC
SUMA ANGULOS ASLY 5 JUAN PABLO
GONZ 5
SEBASTIAN
MARIN
DAHIANA ORTIZ DAVID POSADA
DIFERENCIA DE
ANGULOS
NORELY 1 LEYDI IRRAGORI
5
VALENTINA
MARIN
JUAN PABLO
OSORIO
DANIELA
SALAZAR
ANGULOS
DOBLES
LUISA
COSSIO 1
ROLANDO SANTIAGO
MEJIA
JULIETH OVIEDO SUSANA
VALENCIA
ANGULOS
MEDIOS
LOREN
DUQUE 5
JUAN ESTEBAN
J.
FELIPE MESA VALENTINA
PARRA
ESTEBAN
VILLA
ANGULOS
TRIPLES
LUIS
DANIEL G 1
MANUELA LARA CRISTIAN
OLAYA
JUAN P. PATIÑO
INDICACIÓN EXPOSICION
Cada uno debe buscar su tema, preparar la
demostración de la identidad y un ejemplo de
aplicación para el próximo 14 de julio.
Por efectos de tiempo será en tablero con marcador

2. 1 ASLY 15 JUAN PABLO
GONZ
19 SEBASTIAN
MARIN
21 DAHIANA
ORTIZ
20 DAVID POSADA
5 NORELY 2 LEYDI IRRAGORI 16
VALENTINA
MARIN
20 JUAN
PABLO
OSORIO
1 DANIELA
SALAZAR
9 LUISA
COSSIO
6 ROLANDO 3 SANTIAGO
MEJIA
17 JULIETH
OVIEDO
21 SUSANA
VALENCIA
12 LOREN
DUQUE
10 JUAN ESTEBAN
J.
7 FELIPE
MESA
4 VALENTINA
PARRA
18 ESTEBAN
VILLA
14 LUIS
DANIEL G
13 MANUELA LARA 11 CRISTIAN
OLAYA
8 JUAN P.
PATIÑO
INDICACIÓN PARA VIDEO
Debes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado
según instrucciones de la docente de tecnología, con
la herramienta asignada y para la fecha establecida

3. INDICACIÓN EXPOSICIÓN
Cada uno debe buscar su tema, preparar la
demostración de la identidad y un ejemplo de
aplicación para el próximo 23 de julio.
Por efectos de tiempo será en tablero con marcador
IDENTIDAD SEN COS TANG CSC SEC COT
SUMA
ANGULOS
JUAN PABLO
VELEZ
DANIELA RIOS JULIANA
PABON
ORLANDO
MESA
KATERINE
HERRERA
JULIANA
FIGUEROA
DIFERENCIA
DE ANGULOS
MARCELO
VELASQUEZ
ANDERSON
RPO
JOSE DANIEL
OTAL
CAMILA
LOAIZA
ALAN GARCIA JHORMAN
DUARTE
ANIBAL CARO
ANGULOS
DOBLES
CRISTIAN
VALENCIA
WILLIAM
CASTRO
RENSO
VASQUEZ
YLISSA
ACEVEDO
MIGUEL
OSORIO
VALENTINA
JARAMILLO
JUAN JOSE
BEDOYA
JULIAN
CORREDOR
CARLOS
GOMEZ
LEIDY CORTEZ
ANGULOS
MEDIOS
MATEO
SUAREZ
DANIELA
RAMIREZ
FELIPE
MUÑOZ
MELISSA
BERMUDEZ
LAURA
JARAMILLO
BRAYAN
ARANGO
STIVEN
GONZALEZ
VALENTINA
FERNANDEZ
YENNIFER
COLORADO
ANGULOS
TRIPLES
CAMILA
SALGADO
TOMAS
CARDENAS
JULIAN PARRA
LISETH
AGUDELO
MANUELA
MOLINA
PAULA
CAMPIÑO
VERONICA
HURTADO
ALEJANDRO
GUERRA
JINNER
ARBOLEDA
JENNIFER
VARGAS
SARA ALZATE

4. JUAN PABLO
VELEZ 12
DANIELA RIOS 6 JULIANA
PABON 3
ORLANDO
MESA 4
KATERINE
HERRERA 5
JULIANA
FIGUEROA 9
MARCELO
VELASQUEZ
1
ANDERSON RPO
11
JOSE DANIEL
OTAL 10
CAMILA
LOAIZA 9
ALAN GARCIA 8 JHORMAN
DUARTE 7
ANIBAL CARO 7
CRISTIAN
VALENCIA 19
WILLIAM
CASTRO 19
RENSO VASQUEZ
5
YLISSA ACEVEDO
5
MIGUEL
OSORIO 3
VALENTINA
JARAMILLO
15
JUAN JOSE
BEDOYA 15
JULIAN
CORREDOR 4
LEIDY CORTEZ
16
MATEO
SUAREZ 13
DANIELA RAMIREZ
14
FELIPE
MUÑOZ 15
MELISSA
BERMUDEZ 15
LAURA
JARAMILLO
16
CALLE 16
BRAYAN
ARANGO 17
STIVEN
GONZALEZ 17
VALENTINA
FERNANDEZ 18
YENNIFER
COLORADO 18
CAMILA
SALGADO 2
TOMAS
CARDENAS 2
JULIAN PARRA 20
LISETH AGUDELO
20
MANUELA
MOLINA 2
PAULA
CAMPIÑO 21
VERONICA
HURTADO 15
ALEJANDRO
GUERRA 18
JINNER
ARBOLEDA 18
JENNIFER
VARGAS 6
SARA ALZATE 6
INDICACIÓN PARA VIDEO
Debes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado
según instrucciones de la docente de tecnología, con
la herramienta asignada y para la fecha establecida

5. IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS

6. Vamos a usar lo aprendido hasta el momento
en un nuevo tema denominado “relaciones
fundamentales entre las funciones
trigonométricas de un ángulo”
En este tema lograremos:
• Deducir las relaciones trigonométricas
fundamentales de un ángulo.
• Aplicar las identidades fundamentales, en
la demostración y simplificación de
expresiones trigonométricas.

7. RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las
funciones trigonométricas son:
y
y
sen 
1

x
x

1
cos
x
y
tan
y
1
csc 
x
1
sec 
y
x
cot

8. 1csc. sen
1sec.cos 
1cot.tan 


sen
1
csc 


csc
1
sen


cos
1
sec 


sec
1
cos 
Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
RELACIONES INVERSAS:
α
α
tan
1
cot 


cot
1
tan 

9. También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
Si
x
y
tan ; pero ;ysen  xcos



cos
tan
sen




sen
cos
cot 
y
x
cot ; pero ;xcos ysen 
RELACIONES DE COCIENTES:

10. En el  rectángulo se tiene: 122
 xy
(teorema de Pitágoras)
De lo que se deduce lo siguiente:
1cos22
 sen
 22
sectan1 
 22
csccot1 
RELACIONES PITAGÓRICAS:

11. Las ocho relaciones deducidas anteriormente reciben
el nombre de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES, y se emplearan para
comprobar, demostrar y simplificar expresiones
trigonométricas.
RECUERDA: Las Identidades Trigonométricas son
igualdades que contienen funciones trigonométricas de
ciertos ángulo.
DEMOSTRAR: Es un proceso de comprobar si una identidad
es realmente una identidad, para lo cual se hacen
transformaciones mediante el uso de las identidades
fundamentales.
SIMPLIFICAR: Consiste en convertir la expresión
original en otra más simple y elemental.
COMPROBAR: Consiste en evaluar para algún o algunos
ángulos y verificar que la igualdad se cumple.

12. DEFINICIÓN
Una identidad trigonométrica es una igualdad en
la que intervienen las funciones trigonométricas,
y se cumple siempre sin importa el valor del
ángulo. Por ejemplo:
La identidad pitagórica 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = 1 se
cumple para todo valor que tome el ángulo α.
Si 𝛼 = 60° entonces;
𝑠𝑒𝑛2
60° + 𝑐𝑜𝑠2
60° =
3
2
2
+
1
2
2
=
3
4
+
1
4
=
3+1
4
=
4
4
= 1

13. Si 𝜶 = 𝟑𝟎° entonces;
𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝟑𝟎° + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝟎° =
𝟏
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟐
𝟐
=
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟒
=
𝟏 + 𝟑
𝟒
=
𝟒
𝟒
= 𝟏
Si 𝜶 = 𝟒𝟓° entonces;
𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝟒𝟓° + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟒𝟓° =
𝟐
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟒
+
𝟐
𝟒
=
𝟐 + 𝟐
𝟒
=
𝟒
𝟒
= 𝟏
Observa que sea cual sea el valor que le demos a α siempre
el resultado es 1.

14. Usa tu calculadora para comprobar la identidad
pitagórica para los siguientes valores de α:
1. 90°
2. 50°
3. 120°
4. 150°
5. 210°
6. 300°
Tráelo resuelto en tu carpeta para EL JUEVES 16 A
LAS 6:15

16. Demostrar la siguiente identidad
𝐬𝐞𝐧𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱
𝐬𝐞𝐧𝐱
= 𝐜𝐨𝐬𝐱

17. Demostrar la siguiente
identidad

18. Demostrar la siguiente
identidad

19. Ejercicios: Demostrar
Tráelo resuelto en tu carpeta EL JUEVES 16
A LAS 6:15 junto con las comprobaciones

20. CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el
otro.
2. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos
de seno y coseno.
3. También, realizar operaciones aritméticas y
algebraicas(factorización y/o simplificación).
4. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
… sólo la práctica constante te permitirá
adquirir más habilidad y destreza…

21. Ejemplo 1.- demostrar la siguiente identidad.
Como , si los sustituimos,
tenemos que :
Simplificamos senos, y tenemos que:
Y
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
xCscxSenxCosxSen  22
xSen
xCscyxCosxSen
1
122

xSen
xSen
1
1 
xSen
xSen
1
1 
11

22. Ejemplo 2.- Demostrar la siguiente identidad:
Como , sustituimos y nos queda:
Multiplicando medios y extremos obtenemos:
Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1
Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
1
1 2
2
 xCos
xCsc
xSen
xCsc 2
2 1

1
1
1 2
2
 xCos
xSen
  11 22
 xCosxSen

23. Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Como ,
si los sustituimos nos queda que:
Simplificando senos, y nos queda:
Si sacamos común denominador y sumamos, entonces tenemos que:
,
como
Sustituyendo en el paso anterior nos queda que:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica.
xSecxCscxSenxTan 22

xSen
xCscy
xCos
xSen
xTan
1
2
2
2

xSec
xSen
xSen
xCos
xSen 2
2
2
1

xSec
xCos
xSen 2
2
2
1 
xSec
xCos
xCosxSen 2
2
22


xCos
xSecyxCosxSen 2
222 1
1 
xCosxCos 22
11


24. Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Sacando común denominador tenemos:
Como ,obtenemos la siguiente
igualdad:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica
xCsc
xSen
xCos 2
2
2
1 
xCsc
xSen
xSenxCos 2
2
22


xSen
xCscyxSenxCos 2
222 1
1 
xSenxSen 22
11


25. TORTUGA
TRIGONOMÉTRICA
Con este método con solo recordar el
orden de 6 funciones trigonométricas
prodrás tener a tu disposición 24
identidades trigonométricas.

26. LA TORTUGA
La tortuga es la base
para recordar las
relaciones entre las
funciones
trigonométricas, con el
tiempo y la práctica
bastará dibujar esta,
para recordar la
mayoría de las fórmulas
trigonométricas.
Las letras ilustradas, representan
de forma simplificada los
nombres de las funciones
trigonométricas:
S
C
T
CT
SC
CSC
=Seno
=Coseno
=Tangente
=Cotangente
=Secante
=Cosecante

27. IDENTIDADES PITAGÓRICAS.
Pitagóricas

28. IDENTIDADES RECÍPROCAS.
Recípprocas
Cada función
trigonométrica es el
recíproco de la que
está en el lado opuesto
del hexágono

29. PRODUCTOS.
Productos Tabla 1
El producto de cada
función
trigonométrica
multiplicada por la
opuesta en el
hexágono es 1.

30. PRODUCTOS.
Productos tabla 2
Cada función
trigonométrica es el
producto de las dos
que la rodean..

31. COCIENTES.
Cocientes Tabla 1
Cada función
trigonométrica es el
cociente de las dos
siguientes.

32. COCIENTES.
Cocientes Tabla 2
Cada función
trigonométrica es el
cociente de las dos
anteriores.

34. Seno
S = T x C S = C / CT S = T / SC S = 1 / CSC
Coseno
C = S x CT C = CT / CSC C = S / T C = 1 / CS
Tangente
T = SC x S T = S / C T = SC / CSC T = 1 / CT
Cotangente
CT = C x CSC CT = CSC / SC CT = C / S CT = 1 / T
Secante
SC = CSC x S SC = T / S SC = CSC / CT SC = 1 / C
Cosecante
CSC = CT x SC CSC = SC / T CSC = CT / C CSC = 1 / S
RESUMEN.
En la siguiente lista encontrarás todas las relaciones
que puedes conseguir con el Hexágono Trigonométrico,

35. PARIDAD
Paridad
Seno es impar Cosecante es impar
Coseno es par Secante es par
Tangente es impar Cotangente es impar
Las funciones coseno
y secante son pares,
el resto son impares.

36. PERIODICIDAD.
Periodicidad
Seno 2 Cosecante2
Coseno 2 Secante 2
Tangente  Cotangente
Las funciones
tangente y cotangente
tienen una
periodicidad de ,
mientras que el resto
tienen una
periodicidad de 2

37. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.

38. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.

39. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.

40. IDENTIDADES DE LA
COFUNCIÓN.
Identidades de la Cofunción
Cada función
trigonométrica de un
ángulo dado es igual a
su cofunción evaluada en