El documento presenta los pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica cómo encontrar la solución general y particular, y presenta modelos para crecimiento exponencial, logístico, costos marginales, enfriamiento de Newton y difusión de una noticia. Como ejemplo, modela la difusión de una noticia en 1000 personas y encuentra la solución particular cuando y(0)=0 y y(1)=100. Luego, usa el modelo de enfriamiento para calcular la temperatura de un objeto a los 15 minutos y el tiempo para enfriarse a 21°C
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
1. El documento introduce la teoría de estabilidad para sistemas autónomos representados por ecuaciones diferenciales ordinarias.
2. Explica conceptos como el plano de fase, trayectorias, puntos críticos y retrato de fase.
3. Describe dos tipos de puntos críticos: nodos (propios e impropios) y clasifica su estabilidad.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las series de potencias y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1) Explica cómo determinar el radio de convergencia de una serie de potencias usando el criterio del cociente. 2) Distingue entre puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial. 3) Describe cómo obtener soluciones analíticas en torno a un punto ordinario usando series de potencias.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
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2. Explica conceptos como el plano de fase, trayectorias, puntos críticos y retrato de fase.
3. Describe dos tipos de puntos críticos: nodos (propios e impropios) y clasifica su estabilidad.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
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Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y cómo evaluarlas. Luego introduce la función exponencial natural y cómo evaluarla. Finalmente, cubre definiciones y propiedades de funciones logarítmicas, incluidas leyes de logarítmos y cómo usarlas para evaluar y combinar expresiones logarítmicas.
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
El documento define la derivada geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Explica cómo calcular la derivada de una función mediante un límite. Proporciona ejemplos de cálculo de derivadas usando la definición formal.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
EXTREMADURA Selectividad MATEMÁTICAS II sep 12KALIUM academia
Este documento presenta varios problemas de matemáticas relacionados con cálculo. El primer problema involucra calcular el límite de una función cuando x se acerca a cero. El segundo problema trata de encontrar la primitiva de una función. El tercer problema calcula el valor de una matriz. El cuarto problema determina una expresión para calcular un parámetro c.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
El documento resume el análisis de Fourier, desarrollado por Jean Baptiste Joseph Fourier, el cual permite descomponer funciones periódicas en series trigonométricas. Explica que el análisis de Fourier es útil para entender fenómenos periódicos naturales y resolver problemas en ingeniería. Como ejemplo, describe cómo se puede usar para calcular la temperatura de la Tierra a diferentes profundidades a partir de la temperatura de la superficie.
Integrales area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]meltoguardado
Este documento presenta una guía sobre integrales indefinidas. Explica conceptos como la integral indefinida, antiderivada y función primitiva. Incluye tablas de integrales básicas y ejemplos de cómo aplicarlas directamente o usando funciones auxiliares.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
El documento explica las funciones inversas. Brevemente, una función inversa g se obtiene al invertir los pares ordenados de una función f. Sin embargo, g no siempre es una función, ya que para serlo debe cumplir que cada valor de su dominio tenga una única imagen. Las funciones que sí admiten inversa se llaman funciones inyectivas. Luego, se explican ejemplos de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver integrales definidas e indefinidas, incluyendo cambio de variable, división de polinomios, integración por partes e ILATE. Explica cómo aplicar estos métodos para expresar integrales en formas más simples de integrar.
El documento presenta ejemplos de resolución de integrales mediante integración por partes y fracciones parciales. Se resuelven integrales del tipo ∫f(x)g'(x) dx utilizando cambios de variable y sumando constantes de integración. También se explica cómo descomponer integrales con factores lineales repetidos usando fracciones parciales.
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y cómo evaluarlas. Luego introduce la función exponencial natural y cómo evaluarla. Finalmente, cubre definiciones y propiedades de funciones logarítmicas, incluidas leyes de logarítmos y cómo usarlas para evaluar y combinar expresiones logarítmicas.
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
El documento define la derivada geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Explica cómo calcular la derivada de una función mediante un límite. Proporciona ejemplos de cálculo de derivadas usando la definición formal.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
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Este documento presenta varios problemas de matemáticas relacionados con cálculo. El primer problema involucra calcular el límite de una función cuando x se acerca a cero. El segundo problema trata de encontrar la primitiva de una función. El tercer problema calcula el valor de una matriz. El cuarto problema determina una expresión para calcular un parámetro c.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
El documento resume el análisis de Fourier, desarrollado por Jean Baptiste Joseph Fourier, el cual permite descomponer funciones periódicas en series trigonométricas. Explica que el análisis de Fourier es útil para entender fenómenos periódicos naturales y resolver problemas en ingeniería. Como ejemplo, describe cómo se puede usar para calcular la temperatura de la Tierra a diferentes profundidades a partir de la temperatura de la superficie.
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Este documento presenta una guía sobre integrales indefinidas. Explica conceptos como la integral indefinida, antiderivada y función primitiva. Incluye tablas de integrales básicas y ejemplos de cómo aplicarlas directamente o usando funciones auxiliares.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
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El documento explica las funciones inversas. Brevemente, una función inversa g se obtiene al invertir los pares ordenados de una función f. Sin embargo, g no siempre es una función, ya que para serlo debe cumplir que cada valor de su dominio tenga una única imagen. Las funciones que sí admiten inversa se llaman funciones inyectivas. Luego, se explican ejemplos de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver integrales definidas e indefinidas, incluyendo cambio de variable, división de polinomios, integración por partes e ILATE. Explica cómo aplicar estos métodos para expresar integrales en formas más simples de integrar.
El documento presenta ejemplos de resolución de integrales mediante integración por partes y fracciones parciales. Se resuelven integrales del tipo ∫f(x)g'(x) dx utilizando cambios de variable y sumando constantes de integración. También se explica cómo descomponer integrales con factores lineales repetidos usando fracciones parciales.
Este documento explica cómo resolver integrales mediante fracciones parciales e identidades trigonométricas. Presenta ejemplos de integrales que involucran factores cuadráticos, funciones trigonométricas y raíces cuadradas, y muestra los pasos para descomponerlas y encontrar la solución utilizando sustituciones y propiedades de las funciones.
Tema viii ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden uneyJulio Barreto Garcia
El documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden lineales con coeficientes constantes. Explica que la solución general depende de si las raíces de la ecuación característica son reales distintas, reales iguales o complejas. También cubre los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para encontrar la solución particular de ecuaciones no homogéneas, y presenta ejemplos resueltos.
Este documento presenta 7 ejemplos de cálculo integral resueltos usando diferentes técnicas como sustitución de variables, completar cuadrado, integración trigonométrica, fracciones impropias, separación de fracciones, multiplicación por una forma de uno, y eliminación de raíces cuadradas. Los ejemplos ilustran cómo aplicar estas técnicas para evaluar integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y su uso para calcular áreas bajo curvas. Explica cómo aproximar estas áreas usando rectángulos y cómo el límite de esta suma cuando el ancho se acerca a cero da lugar a la integral de Riemann. Luego presenta propiedades clave de las integrales definidas y los teoremas fundamentales del cálculo, los cuales permiten calcular valores de integrales. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
Ecuaciones diferenciales en Derivadas parcialesEdwin SB
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y estudia casos particulares como la ecuación de calor, ecuación de onda y ecuación de Laplace. 2. Explica cómo resolver EDPs mediante la separación de variables y el análisis de posibles valores de una constante. 3. Resuelve un ejemplo de la ecuación de calor aplicando separación de variables y las condiciones de frontera y de valor inicial para obtener una serie de soluciones.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una función incógnita y sus derivadas. Presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado y métodos para resolverlas como separación de variables. También cubre aplicaciones como el decaimiento radioactivo y datación por carbono 14.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver este tipo de ecuaciones como separación de variables, uso de campos de direcciones e isóclinas, y teoremas de existencia y unicidad. También presenta ejemplos resueltos de problemas de valor inicial y condiciones iniciales.
Este documento presenta ejercicios de cálculo que involucran funciones trigonométricas. Se piden simplificar y demostrar varias identidades trigonométricas usando identidades básicas para dejar todo en función de seno y coseno. También se pide resolver una ecuación trigonométrica dejando la expresión en función del seno y encontrando la solución particular y general.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como el orden de una ecuación diferencial, resolver una ecuación diferencial y encontrar soluciones a problemas con valor inicial. También presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva, mezclas en un tanque y trayectorias ortogonales. Además, define ecuaciones diferenciales lineales y el método para resolverlas.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. El capítulo 1 presenta métodos elementales como separación de variables y cambios de variables. Los capítulos 2-3 tratan de ecuaciones lineales y matrices. Los capítulos 4-6 cubren teorías específicas. Los capítulos 7-8 analizan la existencia y unicidad de soluciones. Los capítulos 9-10 abordan dependencia de parámetros y problemas de contorno.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Ejercicios resueltos de ecuaciones diferencialesjavierfeza
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
1. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
a) Encontrar la solución general a la siguiente ecuación:
Lo primero que hay que hacer es cambiar , luego separar las variables para que en cada lado
quede sólo un tipo, para finalmente integrar.
Ahora aplicamos integrar a ambos lados, obteniendo:
∫ ∫
∫
Si sustituimos , podemos resolver fácilmente la integral del lado derecho.
∫
( )
( )
b) Encontrar la solución particular a la ecuación anterior, cuándo ( )
En este caso, cómo ya tenemos la solución general lo único que debemos hacer es evaluar el 0 en
nuestra solución general, para obtener la solución particular.
( )
( )
Entonces la solución particular cuándo ( ) es:
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
2. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
c) Encontrar la solución particular a la siguiente ecuación, si ( ) :
Primero debemos separar las variables para poder integrar:
Integramos a ambos lados:
∫ ∫
Sustituimos , en la integral del lado derecho:
( ) ∫
( )
Usamos fracciones parciales en la integral de la derecha y obtenemos:
( ) ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ahora a toda la expresión le aplicamos la función exponencial para liberar la variable y:
( ) ( )
( )
( )
La última expresión es la solución general a la ecuación, ahora debemos encontrar la solución
particular cuándo ( )
( )
⇒
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
3. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Entonces la solución particular cuándo ( ) finalmente es:
Algunos modelos de aplicación
Para la resolución de algunos problemas de aplicación es necesario conocer ciertos modelos para
poder llegar a al solución.
Modelo de crecimiento/decrecimiento exponencial:
Si una población (P=P(t)) crece a una tasa que es proporcional al tamaño de dicha población,
entonces el modelo es:
Modelo de crecimiento/decrecimiento logístico:
Si una población (P=P(t)) crece a una tasa que es proporcional al producto del tamaño de dicha
población con la diferencia entre el tamaño máximo M de individuos posibles de la población y el
tamaño de dicha población, entonces el modelo es:
( )
Costo/Ingreso marginal:
El costo marginal es la razón de cambio del costo total (C) con respecto a una cantidad q, el modelo
es de la siguiente manera
( )
El costo marginal es la razón de cambio del ingreso total recibido (R) con respecto a una cantidad q,
el modelo es de la siguiente manera
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
4. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ley de enfriamiento de Newton:
La razón de cambio de la temperatura T = T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura A del medio
ambiente, el modelo de esta situación es el siguiente:
( )
d) Según un estudio, una noticia importante se difunde en una población adulta de 1000
personas a una tasa proporcional al número de personas que no han escuchado la noticia.
Si y = f(t) representa el número de personas que han escuchado la noticia t días después
de que esta se ha producido. Plantear la ecuación diferencial que modela la situación, y
encontrar la solución particular cuándo y(0)=0; y además y(1)=100.
Primero debemos plantear la ecuación (El máximo de población es 1000), con la variable y como el
número de personas que escucharon la noticia, entonces la ecuación queda planteada por:
( )
Ahora separamos las variables e integramos:
( )
∫ ∫
( )
( )
Aplicamos exponencial a toda la expresión, y obtenemos:
( )
Ahora usamos las condiciones iniciales para modelar completamente la solución:
( ) ⇒
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
5. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ahora nos queda usar la última condición y(1)=100, obteniendo:
( )
( )
La solución particular a nuestro problema finalmente es:
e) Un objeto demora 40 minutos para enfriarse de 30°C a 24°C, en un lugar que se mantiene a
20°C.
a) ¿Cuál es la temperatura del objeto 15 minutos después de que fue de 30°C?
b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el objeto se enfríe hasta 21°C?
Primero debemos plantear la ecuación según el modelo de enfriamiento de Newton, con A=20°C
( )
Ahora separamos e integramos:
∫ ∫
( )
Sabemos que demora 40 minutos enfriarse de 30°C a 24°C, o sea T(0)=30 y T(40)=24 entonces
remplazamos:
( ) ⇒ ⇒
( ) ⇒
( ) ( )⇒
Entonces el modelo queda configurado por:
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
6. Cálculo II
Ayudantía 06/ Introducción a ecuaciones diferenciales
Ahora podemos responder la pregunta a), en la cuál hay que evaluar T(15):
( )
⇒ ( )
De la misma manera podemos responder b), pero esta vez despejando t en T(t)=21:
( )
( )
( ) ( ) ⇒
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca