Este documento introduce el concepto de integral definida y su uso para calcular áreas bajo curvas. Explica cómo aproximar estas áreas usando rectángulos y cómo el límite de esta suma cuando el ancho se acerca a cero da lugar a la integral de Riemann. Luego presenta propiedades clave de las integrales definidas y los teoremas fundamentales del cálculo, los cuales permiten calcular valores de integrales. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.

1. Cálculo II
Ayudantía 07/ Integral definida y cálculo de áreas
Calcular el área de algunas secciones en muchas situaciones puede ser un verdadero
problema, existen diversas formas de las cuáles no contamos con una manera rápida cómo
con paralelogramos o triángulos, por ejemplo:
Para estos casos podemos aproximar su área mediante el método de los rectángulos, en el
cuál calculamos la región mediante el ancho y altura del rectángulo, el ancho de cada
rectángulo es igual para todos y lo llamamos , en cambio la altura cambia y la denotamos
por hi.
Entonces una aproximación al área sería la sumatoria de los n rectángulos que
construyamos, lo cuál se expresa de la siguiente manera:
∑
Es obvio que entre más pequeño sea el ancho de los rectángulos, más rectángulos
crearemos, y por ende más exacta sería nuestra aproximación, entonces si se hace muy
pequeño acercándose a 0, tendremos infinitos rectángulos de ancho de “un punto” y su altura
será la función de la curva evaluada en ese punto, por lo cuál el área se representara por la
suma de Riemann cuando n tiende al infinito que es:
lim ∑ ( )
→
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 07/ Integral definida y cálculo de áreas
Pero la notación anterior también representa:
lim ∑ ( ) ∫ ( )
→
Esta notación se conoce como integral de Riemann o integral definida entre a y b, donde a y
b son números reales que limitan el área.
a) Calcular por definición el área bajo la curva en el intervalo [0,2]:
Lo primero ha realizar es una partición del intervalo en n subintervalos, o sea ,
entonces los puntos que delimitan a cada intervalo:
0
0
0 ( )
0
En cada uno de los casos se elige un punto arbitrario, el que puede ser de la derecha, de la izquierda
o el punto medio, en este ejemplo usaremos el punto de la derecha, entonces:
0
Entonces si volvemos a la definición de la suma de Riemann cuando n tiende al infinito:
lim ∑ ( )
→
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3. Cálculo II
Ayudantía 07/ Integral definida y cálculo de áreas
Ahora remplazamos:
lim ∑ ( ) lim ∑(( ) ) lim ( ∑ ∑ )
→ → →
Usando las propiedades de sumatoria obtenemos:
( ) ( )( )
lim ( )
→
Remplazamos , simplificamos y aplicamos límite:
( ) ( )( )
lim ( )
→
lim ( )
→
lim ( )
→
lim ( )
→
lim lim lim 0 0
→ → →
Entonces:
∫ ( )
El cálculo de área resultó bastante engorroso de esta manera, además que sucede si
tenemos que calcular el área bajo la curva de funciones trigonométricas o funciones de
muchos elementos, el trabajo sería muy tedioso, es aquí donde la integral definida nos facilita
los cálculos, pero antes hay que conocer sus propiedades:
Propiedades
 ∫ ( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ( )
 ∫ ( ) ∫ ( )
 ∫ ( ) ∫ ( )
 En la propiedad anterior, si , entonces ∫ ( ) ∫ ( ) , y el único
número que cumple con eso es el 0, por ende ∫ ( ) 0
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4. Cálculo II
Ayudantía 07/ Integral definida y cálculo de áreas
 Si [ , ] ( ) es continua en ese intervalo ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
 En caso de que f sea una función discontinua en el intervalo [ , ], hay que encontrar
los puntos de discontinuad e integrar desde hasta y desde hasta , en caso de
tener un solo punto de discontinuidad, si fueran más hay que agregar más
subintervalos ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Teoremas fundamentales del cálculo
Para poder obtener un valor de las integrales definidas es necesario además de manejar las
propiedades, saber emplear los teoremas fundamentales del cálculo, estos nos permiten la
resolución a muchos problemas y no sólo estarán presentes en este ramo.
Primer teorema fundamental del cálculo (PTFC)
Si es una función continua en [ , ], entonces la función ( ) esta definida por:
( ) ∫ ( )
Donde ( ) es la primitiva de ( ), además de ser continua en [ , ] y derivable en ] , [
Segundo teorema fundamental del cálculo (STFC)
Si es una función continua en [ , ], entonces
∫ ( ) ( ) ( )
Ya presentadas todas estas herramientas podríamos calcular nuestro primer ejemplo, con
el uso de integrales definidas
b) Calcular el área bajo la curva en el intervalo [0,2]:
Entonces por integrales nos queda:
∫ ( ) ∫ ∫
Por segundo teorema fundamental del cálculo, obtenemos:
0 ( ) 0
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

5. Cálculo II
Ayudantía 07/ Integral definida y cálculo de áreas
c) Calcular el área encerrada por la curva y el eje de las abscisas en el intervalo [-2,2]:
Según lo estudiado, el área estaría dada por:
∫
Por segundo teorema fundamental del cálculo, obtenemos:
( )
0
El área nos da igual a 0, pero ¿si lo llevamos a una representación gráfica es concordante?
Se puede apreciar que el área que esta encerada en el primer cuadrante es igual a la del tercer
cuadrante, y como están orientadas en sentidos opuestos se anulan al calcular de una sola vez, como el
área encerrada es igual, es lo mismo que calcular la parte positiva y multiplicarla por 2, entonces:
0
∫ ⇒ ( )
El ejercicio anterior sirve para ejemplificar que hay que tener cuidado con lo que nos
preguntan, si nos preguntaran el valor de la integral, la respuesta correcta hubiese sido 0, en
cambio como nos preguntaban por el área encerrada, hubo que hacer un análisis para poder
responder.
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca