El teorema de Bayes describe cómo actualizar las probabilidades de posibles causas de un suceso cuando se obtiene nueva información sobre si ese suceso ocurrió o no. Específicamente, el teorema relaciona las probabilidades a priori de las posibles causas con las probabilidades condicionales de observar el suceso, dado cada causa, para derivar las probabilidades a posteriori de las causas, una vez conocido que el suceso ocurrió. El teorema se ilustra con ejemplos como predecir la probabilidad de que un empleado sea ingeniero bas

1. Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n =
E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a
priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a
posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro
20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto
directivo y el 50% de l os economistas también, mientras que los no
ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto
directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo
elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que
dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se
ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que
suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es l a
probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

2. Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las
probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las
probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica
como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es
0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos
que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l,
lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.
¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?
La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional hace que
la probabilidad sea ahora 0,595.
Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la
probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.
Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta
información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la
probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.
Probabilidad total. Teorema de Bayes

3. Ejemplos

5. Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema
de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de
que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un
accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)
deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar
explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este
teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%

6. c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la
siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos
que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas
probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se
denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el
10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades
del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan
"probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a
posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%
Enunciado
Sean sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre
alguno de ellos, y sea un suceso cualquiera del que se conocen las

7. probabilidades condicionales Entonces las probabilidades
vienen dadas por la expresión:
Demostración
Por definición de probabilidad condicionada
despejando , se tiene:
La probabilidad , por el teorema de la probabilidad total, es igual a
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplo
Tenemos tres urnas: con tres bolas rojas y cinco negras, con dos bolas rojas y
una negra y con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y
extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido
extraída de la urna ?
Llamamos al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es .
Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

8. Ejercicio 8-1:
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de
las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas
máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de
haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es
defectuosa". La información del problema puede
expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza
elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad
de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya
calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

9. Ejercicio 8-2:
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C
con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la
bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución:
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola
negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse
las distintas probabilidades de ocurrencia de los
sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el
teorema de Bayes, tenemos: