Este documento presenta conceptos estadísticos como la probabilidad condicional, la probabilidad total y el teorema de Bayes. Incluye definiciones, fórmulas y tres ejemplos resueltos de cada concepto. El documento concluye con la definición de probabilidad condicional y un ejercicio de ejemplo para ilustrar su cálculo.

1. ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD CONDICIONAL, PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYE
Nombre: Virginia Guadalupe Acero Trujillo.
Grupo: 2º “F”
Profesor: Edgar Gerardo Mata O.
19/febrero/2015

3. PROBABILIDAD TOTAL
El Teorema de la probabilidad total nos permite
calcular la probabilidad de un suceso a partir de
probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la
probabilidad de que ocurra un accidentes es x%
y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%.
Este teorema nos permite deducir cuál es la
probabilidad de que ocurra un accidente si
conocemos la probabilidad de que llueva y la
probabilidad de que haga buen tiempo.
FÓRMULA
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente)
es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con
los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen
tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las
posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema
completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%
EJERCICIOS
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser
elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta
elegida es:

4. a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿Cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...
Ejercicio 3. Si A 1, A 2,..., A n son:

5. Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejercicio 3. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas,
de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas
fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la
probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté
fundida?

6. TEOREMA DE BAYES
Expresa la probabilidad condicional de un
evento aleatorio A dado en B en términos
de la distribución de probabilidad
condicional del evento B dado A y la
distribución de probabilidad marginal de
sólo A.
El teorema de bayes es de enorme
relevancia puesto que vincula la
probabilidad de A dado B con la
probabilidad de B dado A. Es decir que
sabiendo la probabilidad de tener un dolor
de cabeza dado que se tiene gripe, se
podría saber (si se tiene algún dato más),
la probabilidad de tener gripe si se tiene
un dolor de cabeza, muestra este sencillo
ejemplo la alta relevancia del teorema en
cuestión para la ciencia en todas sus
ramas, puesto que tiene vinculación
íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
FÓRMULA
Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un
suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la
probabilidad viene dada por la expresión:
Donde:
 son las probabilidades a priori.
 es la probabilidad de en la hipótesis .
 son las probabilidades a posteriori.

7. EJERCICIOS
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la
siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos
qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas
probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se
denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del
suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades
a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a
posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:

8. La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de nieve fue de 7.1%
Ejercicio 2. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños
el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra
que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos
que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos
serán los sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores
de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un
ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir
de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos

9. condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña un infante menor de 24
meses será:
Ejercicio 3. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20%
se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías
correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan
correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona
un paciente al azar, determine:
a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una
cirugía de implantes mamarios.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total,
ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

10. b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el
valor de la probabilidad será:

11. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra
un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La
probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la
probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal
entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o
pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B,
viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones
causales o temporales son nociones que no pertenecen al
ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no
dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Tomando los mundos en los que B se cumple, se puede interpretar como la fracción
en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es
tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está
enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos
posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene
gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor
de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga
dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de
cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como
el área verde representa y el área de B representa a , formalmente se tiene
que:
FÓRMULA

12. EJERCICIOS
Ejercicio 1. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.
Calcular la probabilidad de que:
1 Las dos sean copas
2 Al menos una sea copas
3 Una sea copa y la otra espada
 Las dos sean copas
 Al menos una sea copas
 Una sea copa y la otra espada
Ejercicio 2. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas
y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio
francés?
2 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?

13. 
 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
Ejercicio 3. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los
alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si
además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que
escogido al azar un alumno de la clase:
1 Juegue sólo al fútbol
2 Juegue sólo al baloncesto
3 Practique uno solo de los deportes
4 No juegue ni al fútbol ni al baloncesto
 Juegue sólo al fútbol

14.  Juegue sólo al baloncesto
 Practique uno solo de los deportes
 No juegue ni al fútbol ni al baloncesto