Método de poisson

2. Puntos a tratar:
 Definición de la probabilidad de poisson
 Definición del proceso de poisson
 Propiedades del proceso de poisson
 Modelo de distribución de poisson
 Función de probabilidad

3. Definición de la probabilidad
de poisson
Se dice que una variable aleatoria de X tiene una distribución de
poisson con parámetro λ(λ>0) si la función masa probabilidad de X
es:
푝 푥; λ =
푒−λλ푥
푥!
x=0,1,2,…
p(x,λ ): probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número
promedio de ocurrencia de ellos es λ.
X: variable que nos denota el número de éxitos que se desea que
ocurra.
λ: media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o
producto
e en p(x;λ) es la base de los logaritmos naturales, su valor
numérico es 2.71828.

4. Ejemplo:
 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin
fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de
que reciba, cuatro cheques sin fondo en un día
dado?
X: variable que nos define el número de cheques sin
fondo que llegan al banco en un día cualquiera
x= 0, 1, 2, 3,...,etc.
λ: 6 cheques sin fondo por día
e: 2.718
P(x=4,λ=6)=
6 4 2.718 −6
4!
=
(1296)(0.00248)
24
= 0.13392

5. Definición del proceso de
poisson
Es una sucesión de fallas o acontecimientos
puntuales, que ocupan individualmente, una
porción despreciable en un medio continuo.
Ese medio continuo puede ser un intervalo
dado o una región especifica.
El intervalo dado puede ser un minuto, un día,
una semana, etc. Por lo que una región
especifica puede ser un segmento, un área,
etc.

6. Ejemplos del proceso de
Poisson
 visitas a un sitio web
 Llamadas telefónicas
 Pulsos de alguna clase de registradores por un
contador
 Mensajes de correo electrónico enviados a una
dirección particular, etc.

7. Propiedades de un proceso de
Poisson
1. El evento debe ser aleatorio e independiente de
otros eventos.
2. La probabilidad de observar exactamente un éxito
en el segmento o tamaño de muestra n es
constante.
3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado
en tal intervalo corto es insignificante.
NOTA: Si repetimos el experimento n veces
podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución de Poisson.

8. Modelo de distribución poisson
Cuando la distribución de poisson parte de
una distribución binomial se realiza el
experimento muchas veces, la muestra n es
grande y la probabilidad de éxito p en cada
ensayo es baja, es aquí donde aplica el
modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
Por lo tanto usaremos la
función de probabilidad:

9. Función de probabilidad
Donde:
푷 풙 = 풌 = 풆−흀 ∗
흀풌
풌!
 P(x=k): es la probabilidad de ocurrencia
cuando la variable x toma un valor finito k.
 λ: es la ocurrencia promedio por unidad
(tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el
segmento dado.
 e : tiene un valor aproximado de 2.71828
 K: es el número de éxitos por unidad

10. Ejemplo:
La probabilidad de que un producto salga defectuoso
es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800
productos ya fabricados hayan 5 defectuosos?
SOLUCION:
Aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
X: es el valor finito de k (x=5)
λ: es la ocurrencia promedio= 800*0.012=9.6
e: 2.718
푷 풙 = ퟓ = 풆−ퟗ.ퟔ ∗
ퟗ.ퟔퟓ
ퟓ!
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.