2017 Distribuciones de Probabilidad- Guía de estudio-

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
Ciudad Guayana – Venezuela
DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
GUÍA DE ESTUDIO
Curso Universitario Básico
de Estadística y Probabilidad
Zoraida Pérez Sánchez zoraidaperezs@gmail.com
Variable Aleatoria
DISCRETA CONTINUA
Función Probabilidad Función Densidad de Probabilidad
Distribución de Probabilidad
de Variable Discreta
de Variable Continua
MODELOS DE PROBABILIDAD
DE VARIABLE DISCRETA
MODELOS DE PROBABILIDAD
DE VARIABLE CONTINUA
Ensayo
Bernoulli
BINOMIAL
Distribución
Exponencial
Distribución
Gamma
NORMALPOISSON
Hipergeométrica
Gráfica
Tabla
Expresión matemática
Curva definida
por puntos
Área bajo
la curva
Probabilidad en un punto Probabilidad en un intervalo

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
PROFESORA ZORAIDA PÉREZ SÁNCHEZ GUÍA DE ESTUDIO
Revisión: 02/10/2017 2
VARIABLE ALEATORIA
Ya hemos visto en matemática la definición de “variable”. Veamos entonces cuándo se dice que una variable es aleatoria.
Devore (2001) “Para un espacio muestral “S” de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier regla que
asocia un número con cada resultado de “S”.
Levin/
Rubin
"Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento
aleatorio”
Montgomery/
Runger
" La variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como
variable aleatoria"
Walpole/
Myers
“una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio
muestral”
Anderson/
Swenney/Williams
“una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento”.
Veamos ejemplos:
Del experimento "lanzar tres monedas"
C
S
C
S
S
C
LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS
1°Lanz. 2°Lanz.
S
C
S
C
3°Lanz.
S
C
S
C
Podemos definir una variable aleatoria
(llamémosla X) que denote el n° de sellos
que pueden salir. Los valores posibles
que puede tomar esta variable son:
X=0 (que no salga sello)
X=1 (que salga un sello)
X=2 (que salga dos sellos)
X=3 (que salga tres sellos)
Ahora determinemos cuál es la
probabilidad de cada evento (hazlo
tú)
P(X=0) =
P(X=1) =
P(X=2) =
P(X=3) =
Tenemos entonces lo que se llama una FUNCIÓN PROBABILIDAD:
Para X=0 le corresponde P(X)=
La DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD es la información de estos resultados presentados en:
a) una tabla;
X F(X)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
b) una gráfica;
Distribución de Probabilidad Lanzamiento de
tres monedas
1/8
1/4
3/8
1/2
0 1 2 3
N° de sellos
P(X)
c) una fórmula matemática.
De esta manera tenemos las probabilidades de TODO LO QUE PUDIERA OCURRIR en el experimento aleatorio.

Revisión: 02/10/2017 3
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Meyer 1973 Sea X una variable aleatoria. Si el número de valores posibles de X (esto es el recorrido de la
variable) es finito o infinito numerable, llamamos a X una variable aleatoria discreta.
Anderson/Sweeney
/Williams (2000)
“Una variable aleatoria que puede asumir una cantidad finita de valores o una sucesión infinita de
valores como 0,1,2,….se llama variable aleatoria discreta”
Ejemplos:
X= n° de veces que sale sello (el ejemplo anterior de las monedas) => {0,1,2,3}
Y= n° de alumnos que aprueban Estadística {0,1,2,3,.............,34,35,36,37,38,39,40}
Z= n° de empanadas que se venden diariamente en el cafetín {0,1,2,3,.......,10,....20......}
W= sexo de las personas que compran CD's de Rock {0 si es hombre, 1 si es mujer}
V= (Te toca a ti)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
Para una variable aleatoria discreta "X" la distribución de probabilidad se describe mediante una Función de Probabilidad
y se pueden describir mediante una tabla, una gráfica o una expresión matemática de la forma: f(x)= .
Ejemplo: X= puntos obtenidos al lanzar un dado.
Tabla
X F(X)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Gráfica Expresión Matemática
f(X)= 1/6
para X=1,2,3,4,5,6
Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta se deben satisfacer las siguientes condiciones:
1) La probabilidad, para cualquier valor que pueda tomar
la variable es positiva
0)( Xf
2) La suma de las probabilidades de todos los posibles
valores de la variable debe ser 1.
1)(  iXf
MODELOS DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
Al igual que los modelos matemáticos que establecen fórmulas matemáticas para describir el comportamiento de una
variable, también tenemos los modelos de probabilidad. Con estos modelos se pretende facilitar el cálculo de la
probabilidad. Entre los modelos de probabilidad con variables aleatorias discretas están:
 Distribución Uniforme. (ver el ejemplo anterior)
 Situación Tipo Bernoulli
 Distribución de Probabilidad Binomial
 Distribución Hipergeométrica de Probabilidad
 Distribución de Probabilidad de Poisson
Esta es una
Distribución
Uniforme

Revisión: 02/10/2017 4
ANALOGÍA ENTRE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA Y LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Con el siguiente ejemplo abramos la discusión: (Adaptación del original en Anderson/Sweeney Sección 5.2 Pág.183)
El Gerente de Ventas del concesionario AutOrinoco tiene registrada la venta de carros de los últimos 300 días de
operación. Los datos de ventas muestran que hubo 54 días en los que no se vendió ningún carro en ese concesionario,
que hubo 117 días que se vendió 1 carro, 72 días se vendieron 2, en 42 se vendieron 3, en 12 días se vendieron 4 y en 3
días se vendieron 5 carros.
Con los datos históricos que nos permiten construir una Distribución de Frecuencia Relativa (recordar lo visto en el
contenido 1) podemos entonces aplicar un enfoque de frecuencia relativa para asignar probabilidades y de esta manera
se construye una Distribución de Probabilidad. Se define la variable aleatoria X = número de carros vendidos durante un
día y asignamos la probabilidad para cada valor de X. Con esto podríamos contestar preguntas tales como ¿Cuál es la
probabilidad de que mañana jueves se vendan 2 carros?
Distribución de Frecuencia Relativa
n° de carros vendidos por día,
en los últimos 300 días de operación
N°
carros g(%)
0 54 / 300 = 0,18
1 117 / 300 = 0,39
2 72 / 300 = 0,24
3 42 / 300 = 0,14
4 12 / 300 = 0,04
5 3 / 300 = 0,01
X = n° de carros vendidos por día
X P(X)
0 0,18
1 0,39
2 0,24
3 0,14
4 0,04
5 0,01
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA E(X)
También se le llama Esperanza matemática o Media de una distribución de probabilidad.
Así como se analizaron las medidas de tendencia central y
de dispersión para una Distribución de Frecuencia, también
para una Distribución de Probabilidad se puede resumir
con su Media y su Varianza. El Valor Esperado viene siendo
una medida de tendencia central de la Distribución de
Probabilidad.
El término “Valor Esperado” ó “Esperanza Matemática”
trae confusión cuando se quiere interpretar su valor y lo
que significa esta medida o parámetro.
Cálculo del Valor Esperado
de una Distribución de Probabilidad
de Variable Discreta:
  )(.)( XPXXE
donde P(X) es la probabilidad de los valores posibles que
puede tomar la variable
“En la práctica es interesante resaltar que el valor esperado de una variable aleatoria no coincide, en general, con un
valor posible de la misma. Por tanto, podría decirse que la expresión “valor esperado” resulta, cuanto menos, engañosa
ya que no proporciona un valor que realmente podamos esperar que toma la variable”.
http://www.personal.us.es/valderas/INTRODUCCION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VALOR%20ESPERADO.pdf

Revisión: 02/10/2017 5
Siguiendo con el ejemplo anterior calculemos el valor esperado
X P(X) X* P(X)
0 0,18 0
1 0,39 0,39
2 0,24 0,48
3 0,14 0,42
4 0,04 0,16
5 0,01 0,05
E(X)= 1,50
El valor esperado es de 1,5 carros por día. ¿Qué significa eso? ¿Será que el Gerente
puede esperar que mañana se venda un carro y la mitad de otro?
NOOOOOOO!!!!!!
Significa que, A LARGO PLAZO, el gerente puede esperar que la venta de carros
tenga un PROMEDIO de 1,5 carros por día. Con ello podría anticiparse y estimar
que las ventas mensuales (30 días operativos) promedio son de 45 carros
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Como medida de dispersión de una Distribución de
Probabilidad se tiene la Varianza.
(Ver también: Levin/Rubin. 6° edición. Sec.5.2 / p.238)
Cálculo:
   )(.¨)(
.22
XPXXVar 
ENSAYO DE BERNOULLI
Cuando un experimento aleatorio tenga las siguientes características podemos catalogarlo como un ensayo de Bernoulli o
una situación tipo Bernoulli:
 Sólo tiene dos resultados mutuamente excluyentes e independientes. Para facilitar la comprensión, al resultado que
nos interesa le llamamos éxito (p) y al otro, fracaso (q). Ejemplos: varón/hembra, si/no, cierto/falso, cara/sello,
par/impar, bueno/defectuoso.
 El experimento se realiza una sola vez.
La variable aleatoria sólo toma dos valores: x=0 (fracaso) y x=1 (éxito)
La probabilidad de fracaso la llamamos "q". La probabilidad de éxito la llamamos "p".
Tabla
X P(X)
0 (fracaso) q.
1 (éxito) p.
Gráfica Expresión Matemática
f(0)=q
f(1)=p
p-1q1qp 
Valor Esperado : pxEppxE  )(*1)1(*0)(
Varianza: q)(Vp)(qq)(-pp*p)(1qp)(0)( 2222
 pxxV
Desviación Estándar: q p
Ensayo Bernoulli
p
q=1-p
0 1
P(X)

Revisión: 02/10/2017 6
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (DPB)
Cuando se tiene una sucesión de Ensayos de Bernoulli.
CARACTERÍSTICAS
1. Sólo son posibles dos resultados mutuamente
excluyentes e independientes.
2. El ensayo se puede repetir "n" veces.
3. Los resultados de las "n" veces que se repite el
ensayo son eventos independientes.
4. La probabilidad de éxito "p" permanece constante
de una a otra repetición.
EJEMPLO
Presentar "n" exámenes de Estadística.
1. Resultados: Aprobar / Reprobar
2. Se pueden hacer "n" exámenes.
3. Para que los eventos sean independientes, debemos
suponer que el resultado del 3° examen no depende
del 1° ni del 2° examen.
4. Probabilidad de éxito constante: Ejemplo: se supone
que se utilizó el mismo método de estudio y las
condiciones fueron las mismas para los "n" exámenes.
FORMAS DE CONSTRUIR UNA DISTRIBUCION BINOMIAL
a) Utilizando un diagrama de árbol: cuando "n" no es muy grande podemos construir la D.P.utilizando esta herramienta.
Esto fue lo que hicimos en el ejemplo de los tres lanzamientos de una moneda.
b) Utilizando la siguiente fórmula:
Probabilidad de "r" éxitos en "n" ensayos:
)(rp
r
n
p)r,P(n,
rnq 






c) Utilizando las Tablas: Existen unas tablas que nos permiten ahorrar tiempo ya que directamente nos dan el resultado
de esta fórmula para ciertos valores de "n". Por lo general, en los apéndices de los textos de Estadística aparecen
estas Tablas hasta n=20.
PRECAUCIÓN: En algunos textos las tablas nos muestran las probabilidades ACUMULADAS, por eso es importante
observar bien este detalle.
d) Utilizando Programas de Computación: Existen muchos programas estadísticos que permiten construir cualquier
DPB. A continuación se presenta un diagrama de flujo para enseñarles a construir en EXCEL una distribución de
probabilidad binomial.
Valor Esperado
pxE  n)(
Varianza
qn)(V  px
Desviación Estándar
q pn
Insertar Función Estadística DistribBinom

Revisión: 02/10/2017 7
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Parámetros: "n" y "p"
n= 10
p 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
r P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r) P(X=r)
1 0,3874205 0,2684355 0,1210608 0,0403108 0,0097656 0,0015729 0,0001378 4,096E-06 9E-09
2 0,1937102 0,3019899 0,2334744 0,1209324 0,0439453 0,0106168 0,0014467 7,373E-05 3,645E-07
3 0,0573956 0,2013266 0,2668279 0,2149908 0,1171875 0,0424673 0,0090017 0,0007864 8,748E-06
4 0,0111603 0,0880804 0,2001209 0,2508227 0,2050781 0,1114767 0,0367569 0,005505 0,0001378
5 0,001488 0,0264241 0,1029193 0,2006581 0,2460938 0,2006581 0,1029193 0,0264241 0,001488
6 0,0001378 0,005505 0,0367569 0,1114767 0,2050781 0,2508227 0,2001209 0,0880804 0,0111603
7 8,748E-06 0,0007864 0,0090017 0,0424673 0,1171875 0,2149908 0,2668279 0,2013266 0,0573956
8 3,645E-07 7,373E-05 0,0014467 0,0106168 0,0439453 0,1209324 0,2334744 0,3019899 0,1937102
9 9E-09 4,096E-06 0,0001378 0,0015729 0,0097656 0,0403108 0,1210608 0,2684355 0,3874205
10 1E-10 1,024E-07 5,905E-06 0,0001049 0,0009766 0,0060466 0,0282475 0,1073742 0,3486784
Manteniendo fijo a "n" (n°veces q' se repite el experimento)variaremos la probabilidad de éxito "p" para observar qué pasa
Binomial, n=10; p=0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Revisión: 02/10/2017 8
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Se utiliza para describir la probabilidad en procesos relacionados con el número de éxitos por unidad de tiempo o
espacio. Un proceso Poisson es similar a un proceso Bernoulli, sólo que los eventos ocurren en un intervalo de tiempo o
espacio, en lugar de ocurrir en ensayos u observaciones fijas.
 La gráfica de la Distribución de Poisson es sesgada a la derecha (sesgo positivo) siempre positiva.
 La variable aleatoria no tiene límite superior específico.
Ejemplos de Variables aleatorias que se pueden describir con la función de probabilidad de Poisson:
 N° de llegadas de los carros a un peaje, en una hora.
 N° de llamadas telefónicas a una Central, en cada hora.
 N° de accidentes ocurridos en una intersección, en un período de 15 días.
 N° de clientes que llegan a un Banco en un período de 30 minutos.
 N° de errores por página que comete una mecanógrafa.
 N° de huecos que tiene una carretera por cada cien metros.
CARACTERÍSTICAS
EJEMPLO
N° llegadas de carros a un peaje, en una hora pico
(Levin/Rubin, 6°Ed. P.258)
a) La probabilidad de ocurrencia es igual en dos intervalos
cualesquiera de igual longitud. Se supone que la media
del proceso (= promedio de presentaciones por
intervalo de tiempo o espacio) es siempre proporcional
a la longitud del intervalo de tiempo o espacio. Ej: si
=5/hora entonces =10 / 2 horas.
b) La probabilidad de que se presente un evento en un
intervalo muy pequeño, también es un número muy
pequeño.
c) La probabilidad de que dos o más de estos eventos se
presenten dentro del mismo intervalo pequeño es cero.
La probabilidad de que se presente el evento dentro de un
período determinado es independiente de la probabilidad
en cualquier otro intervalo del período.
a) Podemos estimar previamente un promedio del n° de
carros que pasan por el peaje en una hora pico. ( = un
carro cada 5 minutos, 10 carros los primeros 30
minutos, etc.).
b) La probabilidad de que exactamente un carro llegue al
peaje cada segundo (intervalo muy pequeño) es muy
pequeña. Y es constante para cada intervalo de 1
segundo.
c) La probabilidad de que dos ó más carros lleguen al
peaje en un segundo (intervalo pequeño) es tan
pequeña que la podemos hacer tender a cero.
d) El número de vehículos que llegan en un intervalo dado
de un segundo, es independiente del tiempo en que
dicho intervalo se presente en la hora pico
 El número de llegadas en cualquier intervalo de 1
segundo no depende del numero de llegadas en
cualquier otro intervalo de 1 segundo.
FÓRMULA PARA LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON:
Probabilidad de tener "x" presentaciones en un intervalo dado
x!
-exλ
)|P(x




= promedio de presentaciones por intervalo de
tiempo, espacio, etc.
X= número de presentaciones del evento en ese
intervalo.
Valor Esperado
)( xE
Varianza
)(V x

Revisión: 02/10/2017 9
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Cuando la variable puede tomar cualquier valor numérico en un
intervalo dado. Generalmente los resultados que se basan en
escalas de medición (tiempo, peso, distancia, temperatura, etc.)
se pueden describir mediante variables aleatorias continuas.
X= Tiempo que tardas en tu recorrido diario
desde tu casa a la Universidad
Y= Peso de los estudiantes de sexto grado
Z= (Hazlo tu)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
Para variables aleatorias continuas, la probabilidad no se puede obtener por conteo y es necesario recurrir a herramientas
matemáticas para estudiar el comportamiento de la variable.
 Para una variable continua "X" la distribución de probabilidad se describe mediante una Función de Densidad de
Probabilidad.
 A la gráfica de esta función se le llama Curva de Probabilidad.
 El área bajo la Curva de Probabilidad, entre dos valores determinados (a,b) proporciona la probabilidad de que la
variable continua tome un valor contenido en (a,b).
 De lo anterior se deduce que el área total bajo la curva siempre será igual a 1.
b
a
f(x)dxb)xP(a 
EJEMPLOS DE MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD:
Distribución Normal, Distribución Gamma, Distribución Exponencial, Distribución ji cuadrada, Distribución Weibull .
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es la Distribución de probabilidad de
variable continua más importante de la
Estadística, ya que:
 Describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la
naturaleza, en la industria y en la investigación. Casi se ajusta a las
distribuciones de frecuencia reales observadas en muchas situaciones.
 Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de
situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma
de muestras.
PARÁMETROS QUE DEFINEN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
 Media (  )
 Desviación Estandar (  )
Función Densidad de Probabilidad
 
2
1
)σ,μ;(xn
2
2
1






x
e

Revisión: 02/10/2017 10
www.ucm.es/.../estadistica_basica%201.htm
PROBABILIDAD VIENE REPRESENTADA POR EL ÁREA BAJO LA CURVA
dx),;()
2
xX
1
x(P
2
1x

x
xn 
 
2
1
)
2
xX
1
(xP
2
1
2
2
1



x
x
x
dxe 


CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA NORMAL
Ejemplo:  =70 =20
 La curva tiene forma de campana (campana de Gauss), es unimodal (un solo pico).
 Es simétrica (media=mediana=moda)
 Los extremos de la curva son asintóticos respecto al eje horizontal (nunca lo cortan).
 La curva tiene sus puntos de inflexión en x =  -  y en x=  + 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110120 130

CÓMO DETERMINAR PROBABILIDADES, asumiendo un modelo de distribución normal
"La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la Tabulación
(TABLAS) de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. No obstante, sería una tarea inacabable crear tablas
separadas para cada valor concebible de  y de  . Por fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier
variable aleatoria normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media cero y varianza uno ( =0
; 2
=1).(Distribución Normal Estandar)
Esto puede realizarse mediante la transformación: z



x
..." Walpole/Myers . 4°Edición
Es decir, se realiza un cambio de variable y se obtiene un valor de "z" para cada "x". Luego podemos buscar en la Tabla de la
Distribución Normal Estándar que aparece en los apéndices de los libros de Estadística.
EJEMPLO
La vida útil de un bombillo se aproxima a una distribución normal con media igual a 2000 horas y una desviación estandar igual a
200 horas.
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure entre 2000 y 2400 horas?
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure más de 2200 horas?
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de 1750 horas?
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure entre 1700 y 2300 horas?
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de2350 horas?
 ¿Cuál será la probabilidad de que un bombillo, elegido al azar, dure menos de1600 horas?
APROXIMACIÓN DE UNA DIST. BINOMIAL A UNA DIST. DE POISSON
Cuando la situación-problema que se nos presenta se adecúa a un modelo de Distribución Binomial, pero sucede que el número
de ensayos “n” es grande (mayor a 20) y la probabilidad de éxito “p” es pequeña (es menor o igual a 0,05), entonces podemos
hacer una Aproximación y calcular la probabilidad utilizando la fórmula de la Distribución de Poisson.
Para estos casos, tenemos como datos a “n” y a “p”.
Entonces en la fórmula de la D. De Poisson, en lugar de "" colocamos el producto de “n*p".
x!
-exλ
)|P(x



 cambia a
x!
-np
exp)*(n
np)|P(x


APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DIST. NORMAL
En una distribución BINOMIAL, podemos calcular probabilidades utilizando procedimientos de aproximación a la distribución
NORMAL, bajo las siguientes condiciones:
 Cuando "n" es muy grande (n30)
 Cuando "p" está próxima a 0,5
 Cuando "n" no es grande y p 0,5 (no tan próximo a 0 ni a 1) se puede aproximar sólo si
5q*ny5p*n 

Revisión: 05/04/2016 12
¿CÓMO APROXIMAMOS?
Decimos que p*n y q*p*n
Con estos valores resolvemos el problema como si fuera una distribución normal.
EJEMPLO:
El 70% de las personas que entran en un Centro Comercial realizan al menos una compra. Para una muestra de 50 personas ¿Cuál
es la probabilidad de que al menos 40 de ellas realicen una o más compras?
(OJO: Se debe hacer una corrección por continuidad)
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON A LA DIST. NORMAL
En una distribución de POISSON, podemos calcular probabilidades utilizando procedimientos de aproximación a la distribución
NORMAL, bajo las siguientes condiciones:
 Cuando "" es relativamente grande (10)
¿CÓMO APROXIMAMOS?
Decimos que   y  
Con estos valores resolvemos el problema como si fuera una distribución normal.
EJEMPLO: Se sabe que a un Taller llegan 5 solicitudes por hora en forma aleatoria y en forma de proceso estacionario (Poisson)
 ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 50 solicitudes de servicio durante un turno de 8 horas?
 ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban en un turno de 8 horas, 35 o menos solicitudes de servicio?

Revisión: 05/04/2016 13
EJERCICIOS
Ejercicios. Parte 1
1. Construye una tabla y una gráfica de Distribución de Probabilidad que represente los resultados posibles, al seleccionar una
ficha del juego de Dominó (en términos del número total de puntos que contendría la piedra seleccionada). Calcula también
el Valor Esperado y la Varianza de probabilidad.
2. A continuación se muestra la probabilidad de que un sistema de computación se caiga el número señalado de períodos por
semana, durante la fase inicial de instalación del sistema. Calcule a) el número esperado de veces por semana que la
computadora no vaya a trabajar. b) la varianza de esta distribución de probabilidad.
X 4 5 6 7 8 9
P(X) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06
3. Se ha determinado que el número de camiones que llegan cada hora a un almacén tiene la distribución de probabilidad que
se muestra. Calcula e Interpreta, el n° esperado de llegadas X por hora. Calcula la varianza de esta distribución de
probabilidad para la variable aleatoria discreta.
X 0 1 2 3 4 5 6
P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05
Ejercicios. Parte 2
Recomendaciones para Resolver los problemas de Distribución Binomial
 Identifica la variable aleatoria relacionada con el Ensayo de Bernoulli
 Identifica cuál es el evento “éxito” y cuál es el evento “fracaso” en el ensayo de Bernoulli
 Ubica en el contexto, la probabilidad de éxito “p” para el ensayo de Bernoulli.
 Identifica la Variable aleatoria relacionada con el Modelo Binomial y determina cuánto vale “n”.
 Observa que el recorrido de la variable aleatoria X va desde 0 hasta “n”.
 Identifica “r” ó el intervalo solicitado.
4. En tres lanzamientos de una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras (en cualquier orden)?
5. Cinco alumnos en Pre-escolar. Estudios previos indican que la probabilidad de que cualquiera de estos cinco alumnos pueda
llegar tarde es 0,40, y que las llegadas de los alumnos son independientes entre sí. Trazar la distribución binomial de
probabilidad que indique las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 alumnos lleguen tarde simultáneamente.
6. El 10% de los partes que produce una máquina automática es defectuoso. Si se toma al azar una muestra de 20 partes,
determine:
a) Probabilidad de que en la muestra haya dos partes defectuosas
b) Probabilidad de que en la muestra haya un máximo de tres partes defectuosas.
c) Probabilidad de que en la muestra haya como mínimo 18 partes defectuosas.
d) Probabilidad de que en la muestra haya entre dos y cinco (inclusive) partes defectuosas.
e) Probabilidad de que en la muestra haya mínimo tres partes defectuosas.
f) ¿Cuántas partes defectuosas se espera encontrar en la muestra?
7. La probabilidad de que un cliente elegido al azar realice una compra es de 0,20. Si un vendedor visita a seis prospectos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas?
b) ¿Probabilidad de que el vendedor logre 4 ó más ventas?.
c) Si el vendedor visita 15 clientes ¿Cuál es la probabilidad de que realice menos de 3 ventas?
8. Se ha estimado que la probabilidad de que cualquier alumno de Matemáticas II no asista al examen es de 0,30. Suponiendo
que las no asistencias de los alumnos son procesos independientes entre sí. Determina:

Revisión: 05/04/2016 14
a) La probabilidad de que menos de cuatro alumnos falten al examen de la sección 01 esta tarde, sabiendo que hay 15
estudiantes inscritos;
a) Si en la sección 02 deben presentar 20 alumnos, determine la probabilidad de que 4 alumnos, como máximo, falten al
examen esta tarde.
b) Si hay un total de 35 alumnos que deben presentar el examen en la sección 03, determina la probabilidad de que menos
de 12 alumnos falten al examen. Utiliza la aproximación a la distribución normal.
9. Diez de cada cien carros, modelo "Sparky" que venden los concesionarios "Chevrol" a nivel nacional tienen desperfectos.
Suponiendo que estos desperfectos no tienen relación alguna entre ellos:
a) Si en la sucursal de Puerto Ordaz se recibieron 12 carros de este modelo, determina la probabilidad de encontrar dos
carros con desperfectos, en este lote. Utiliza la fórmula y comprueba el resultado con la Tabla.
b) A un concesionario de Barquisimeto se enviaron 20 carros Sparky, y se vendieron todos ¿Cuál es la probabilidad de que
se tengan como máximo cuatro quejas por desperfecto del carro?
c) Suponiendo que en toda Caracas se vendieron 78 carros de este modelo, ¿Cuál es la probabilidad de que la CHEVROL en
Caracas no reciba más de 11 quejas por desperfecto? Considere que puede resolver el problema con técnicas de
aproximación a otro modelo de distribución.
10. Utilizando el estudio de campo realizado por mis alumnos, apliqué un enfoque frecuencial para asignarle un valor de 0,44 a
la probabilidad de que un vendedor ambulante de loterías sea menor de edad.
a) Si en el semáforo de la UNEG-Villa Asia encontramos cuatro vendedores ambulantes de lotería, cuál es la probabilidad
de que dos de ellos sean menores de edad. Utilice la fórmula y compruebe el resultado con la Tabla.
b) Si en los alrededores de Macrocentro encontramos 15 vendedores ambulantes de lotería, determina la probabilidad de
que 5 vendedores, como máximo, sean menores de edad.
c) Si vamos a entrevistar 32 vendedores ambulantes de lotería en Puerto Ordaz, cuál es la probabilidad de que más 20 sean
menores de edad? Considere que puede resolver el problema con técnicas de aproximación a otro modelo de
distribución.
11. Diez de cada cien lavadoras "MundoGris" que vende "INJEBE" a nivel nacional tienen desperfectos. Suponiendo que estos
desperfectos no tienen relación alguna entre ellos:
a) Si en la sucursal de Puerto Ordaz se recibieron 12 lavadoras, determina la probabilidad de encontrar en este lote dos
lavadoras con desperfectos. Utiliza la fórmula y comprueba el resultado con la Tabla.
b) A la sucursal de Valencia se enviaron 20 lavadoras y se vendieron todas ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan como
máximo cuatro quejas por desperfecto del artefacto?
c) Suponiendo que en toda Caracas se vendieron 78 lavadoras MundoGris cuál es la probabilidad de que INJEBE -Caracas
no reciba más de 11 quejas por desperfecto? Considere que puede resolver el problema con técnicas de aproximación a
otro modelo de distribución.
Ejercicios. Parte 3
12. Un taller recibe un promedio de 5 solicitudes de servicio por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres llamadas o solicitudes de servicio en una hora?
13. En una intersección de calles, existen registros de que ocurren 5 accidentes mensuales. Se supone que el n° de accidentes
está distribuido de acuerdo a una distribución de Poisson. Se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier mes ocurran menos de 5 accidentes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 12 accidentes?
14. En promedio, a una Central telefónica llega un promedio de 0,5 llamadas por minuto.Halle la probabilidad de que:
a) En un minuto no lleguen llamadas.
b) En un minuto lleguen más de tres llamadas.
c) En tres minutos lleguen menos de cinco llamadas.
d) En cinco minutos lleguen más de 2 llamadas.

Revisión: 05/04/2016 15
e) Cuántas llamadas se espera que lleguen en 5 minutos?
15. En una autopista se da un promediode 10 animales vagabundos muertos por kilómetro. Halle la probabilidad de que en 100
metros:
a) se encuentren dos ó más animales muertos
b) no se encuentre ningún animal muerto
c) menos de tres animales muertos.
d) ¿Cuántos animales muertos se espera encontrar en un trayecto de 500 metros?
16. A la ventanilla de un banco llega, en promedio, una persona cada minuto. Halla la probabilidad de que en un minuto dado:
a) no aparezcan clientes.
b) haya tres o más clientes en la cola.
c) Haya tres o menos clientes.
17. Una Sala Web recibe un promedio de 60 usuarios al día. Su horario de trabajo es de 10 a.m a 10 pm cada día. Suponiendo
que los eventos son independientes y que el promedio no cambiará, determine:
a) La probabilidad de que en una hora lleguen más de 2 usuarios. Usa la fórmula y luego comprueba con la Tabla. (2
puntos)
b) La probabilidad de que en un día cualquiera la Sala Web reciba entre 50 y 75 usuarios inclusive. Considere que puede
resolver el problema con técnicas de aproximación a otro modelo de distribución. (2 puntos)
18. Una agencia del Banco de Oriente recibe un promedio de 56 clientes diarios. Suponiendo que el banco trabaja 8 horas
diarias, que los eventos son independientes y que el promedio no cambiará, determine:
a) La probabilidad de que en una hora lleguen más de 2 clientes.
b) La probabilidad de que en un día cualquiera el banco reciba más de 70 clientes. Utilice la aproximación a la curva
normal.
Ejercicios. Parte 4
19. Se tienen 20 equipos de diálisis, la probabilidad de que cualquiera de ellos no funcione bien durante un día cualquiera es de
0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres equipos estén fuera de servicio el mismo día? (Realice este ejercicio
utilizando la D. Binomial y luego utilice la D. Poisson para comparar resultados y demostrar que sí se puede realizar la
aproximación)
20. En el Banco Central la frecuencia de errores de impresión en los billetes es tan baja que, sólo el 0,5% de los billetes
presentan errores graves que no permiten su circulación. ¿Cuál es la probabilidad de que en un fajo de 1000 billetes: a)
ninguno presente graves errores, b) diez billetes presenten graves errores que no permitan su circulación c) quince presentes
errores?
21. En una escuela el 10% de las estudiantes son niñas. Se toma al azar una muestra de 50 estudiantes. Aplica la Distribución de
Poisson para calcular la probabilidad de que la muestra contenga: a) sólo niñas. b) Sólo una niña c) menos de tres niñas d)
más de tres niñas.
22. Se estima que, en el llamado semáforo de la UNEG Villa Asia de la av. Atlántico, la probabilidad de que haya un choque es de
0,0001. Si pasan 1000 carros. Halle la probabilidad de que ocurran dos ó más choques.
23. Suponga que el 1,5% de los espaciadores de plástico que produce una máquina de inyección de plástico está defectuoso.
Para una muestra aleatoria de 200 espaciadores, encuentra la probabilidad de que: a) ninguno de los espaciadores esté
defectuoso. b) tres o más de los espaciadores estén defectuosos.
Ejercicios. Parte 5
24. La compañía BBC ha recibido un pedido para fabricar motores eléctricos. Con el fin de que ajuste en su soporte, el rotor del
motor debe tener un diámetro de 5,1 0,05 (pulgadas). El encargado de compras de la compañía se da cuenta de que hay en
existencia una gran cantidad de varillas de acero con un diámetro medio de 5,07 pulg. Y con una desviación estándar de 0,07

Revisión: 05/04/2016 16
pulg. ¿ Cuál es la probabilidad de que una varilla de acero del inventario existente se ajuste en el soporte? (tomado de
Levin/Rubin)
25. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir en promedio 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de
refrescos es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.(Walpole)
a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
c) Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230mililitrod en los siguientes 1000 refrescos?
d) Bajo qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?
e) Hallar el sexto decil de esta distribución.
26. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 cm y una
desviación estándar de 0,03 cm. a) Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro que exceda de 10,075 cm? b) Cuál es la
probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9,97 y 10,03? c) Debajo de qué valor del 15% caerá
el 15% de los anillos de pistón?
27. En un examen de matemáticas la calificación promedio fue de 82 y la desviación estandar fue 5. Todos los estudiantes con
calificación de 88 a 94 recibieron una B. Si las calificaciones están distribuidas aproximadamente en forma normal y 8
estudiantes recibieron una B. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?
28. Los coeficientes de inteligencia (IQ) de 600 aspirantes a ingresar a cierta escuela están distribuidos aproximadamente en
forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si el colegio requiere un IQ mínimo de 95 ¿Cuántos
de estos aspirantes serán rechazados sobre este criterio, sin considerar otros factores?
29. El promedio de las calificaciones de esta sección de Estadística, hasta los momentos es de 5,6 y la desviación estándar es de
1,9. Basándose en esto, estime:
a) ¿Qué porcentaje de estos alumnos se estima que aprobará la asignatura?
b) ¿Qué porcentaje obtendría calificaciones entre 5,00 y 6,00?
c) ¿Qué calificación tendría el 20% de los alumnos con menor rendimiento?
30. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante
repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del período de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo el 3% de los
motores que fallan ¿Qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores siguen una
distribución normal.
Ejercicios. Parte 6
31. Una moneda se lanza 400 veces. Utilice la aproximación de la curva normal para encontrar la probabilidad de obtener: a)
entre 185 y 210 caras inclusive b) exactamente 205 caras. c) menos de 176 y más de 227 caras.
32. Un proceso produce un 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100 artículos aleatoriamente ¿Cuál es la
probabilidad de que el número de defectuosos a) exceda de 13? b) Sea menor de 8?
33. Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras para el control natal tiene un ingrediente que
está por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 píldoras,
en una muestra de 200, sea ineficaz?
34. Según las estadísticas, en una noche de fin de semana, en promedio 1 de cada 10 conductores está ebrio. Si se verifican 400
conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado. ¿Cuál es la probabilidad de que el n° de conductores ebrios
sea a) menos de 32? b) más de 49? c) al menos 35 pero menos de 47?
OTROS EJERCICIOS
35. El historial de un jugador de baloncesto es encestar el 65% de sus tiros libres. ¿Cuál es la probabilidad de que falle tres (es
decir, que no enceste tres) de los siguientes cinco tiros libres? ¿Cuál es la probabilidad de que de los siguientes 40 tiros
libres, enceste más de 20 veces? (3 puntos)

Revisión: 05/04/2016 17
36. PIM, C.A es una empresa contratista que instala tuberías de acero al carbono en las empresas básicas. El gerente de
operaciones ha calculado, por registros históricos, que en un día cualquiera una cuadrilla instala un promedio de 24,5 metros
de tubería de acero al carbono de seis pulgadas de diámetro, con una desviación estándar de 2,1 metros. Asumiendo este
rendimiento normalmente distribuido. Responde:
a) El gerente quiere saber, la probabilidad de que en un día cualquiera el rendimiento de la cuadrilla sea menor a 20
metros de tubería instalada
b) Si la obra dura 100 días, ¿cuántos días probablemente la cuadrilla tendrá un rendimiento mayor a 22 metros de tubería
instalada?
37. En una intersección de calles, existen registros de que en promedio ocurren 6,5 accidentes mensuales. Se desea saber ¿Cuál
es la probabilidad de que en 15 días no ocurra ningún accidente? (3 puntos)
38. Si el 30% de todos los estudiantes que ingresan a la UNEG desertan durante el primer año. De una muestra de 18 estudiantes
¿Cuál es la probabilidad de que deserten menos de 2 estudiantes? (3 puntos)
39. Diez de cada cien lavadoras "MundoGris" que vende "INJEBE" a nivel nacional tienen desperfectos. Suponiendo que estos
desperfectos no tienen relación alguna entre ellos:
a) Si en la sucursal de Puerto Ordaz se recibieron 12 lavadoras, determina la probabilidad de encontrar en este lote dos
lavadoras con desperfectos. Utiliza la fórmula y comprueba el resultado con la Tabla. (1 punto)
b) A la sucursal de Valencia se enviaron 20 lavadoras y se vendieron todas ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan como
máximo cuatro quejas por desperfecto del artefacto? (2 puntos)
c) Suponiendo que en toda Caracas se vendieron 78 lavadoras MundoGris cuál es la probabilidad de que INJEBE -Caracas
no reciba más de 11 quejas por desperfecto? Considere que puede resolver el problema con técnicas de aproximación a
otro modelo de distribución. (2 puntos)
40. Utilizando el estudio de campo realizado por una alumna, apliqué un enfoque frecuencial para asignarle a la probabilidad de
que un vendedor ambulante de loterías sea menor de edad, un valor de 0,45.
a) Punto Ahorro¿Cuál es el experimento aleatorio? ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Es discreta o continua? (1 punto)
b) Si en el semáforo de la UNEG-Villa Asia encontramos cuatro vendedores ambulantes de lotería, cuál es la probabilidad
de que dos de ellos sean menores de edad. Utilice la fórmula y compruebe el resultado con la Tabla. (1 punto)
c) Si en los alrededores de Macrocentro encontramos 15 vendedores ambulantes de lotería, determina la probabilidad de
que 5 vendedores, como máximo, sean menores de edad. (2 puntos)
d) Si vamos a entrevistar 32 vendedores ambulantes de lotería en Puerto Ordaz, cuál es la probabilidad de que más 17 sean
menores de edad? Considera que puedes resolver el problema con técnicas de aproximación a otro modelo de
distribución. (2 puntos)
41. El promedio de consumo mensual de energía eléctrica en mi casa es de 1774 Kw y la desviación estandar es de 277 Kw.
Suponiendo que el consumo está distribuido normalmente, estima:
42. Punto Ahorro ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Es discreta o continua? (1 punto)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que para el próximo mes el consumo sobrepase los 2000 Kw? (1 punto)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes el consumo se encuentre entre 1790 y 1970 kw? (2 puntos)
c) ¿Debajo de que valor se obtiene el 10% más bajo de consumo mensual de energía? (2 puntos)
43. La compañía Motorota estima que: De cada cien celulares Motorota, modelo 2112 que fabrica diez salen con algún
desperfecto. Suponiendo que el desperfecto en un celular cualquiera es independiente de lo que pueda suceder con los
otros celulares, se plantean las siguientes situaciones:
a) Si en la tienda MOVICEL en el Orinoquia Mall se recibieron 13 celulares para su venta. ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar, en este lote, dos celulares modelo 2112 con desperfectos.
b) A otra tienda ubicada en el Babilonia Mall se enviaron 20 celulares modelo 2112 y se vendieron todos ¿Cuál es la
probabilidad de que se tengan como máximo cuatro quejas por desperfecto del celular?
c) Suponiendo que en toda Ciudad Guayana se vendieron 78 celulares, en la navidad pasada. ¿Cuál es la probabilidad de
que Motorota no reciba más de 11 quejas por desperfectos en celulares modelo 2112 vendidos en esta ciudad?
Considere que puede resolver el problema con técnicas de aproximación a otro modelo de distribución.

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