Los números reales incluyen números decimales que requieren un desarrollo decimal infinito. Se componen de números naturales, enteros, racionales e irracionales. El documento describe varios axiomas matemáticos como la suma, multiplicación, orden y completitud, y proporciona demostraciones de sus propiedades como la conmutatividad, asociatividad e inversa. Finalmente, aplica el axioma de completitud para demostrar que un conjunto no vacío de números reales acotado siempre tiene una cota superior mínima.

1. INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA
Propiedades de los Números Reales
CALCULO DEIFERENCIAL
Alumno: Rosa María Guadalupe Gutiérrez Panales
Matrícula: AL12535518
Docente:
Patricia Abril Hernández Herrera

2. Los números reales son aquellos números que se permiten redactar con una anotación
decimal, abarcando de igual manera a aquellos que requieren un desarrollo decimal
infinito.
El conjunto de los números reales está compuesto por:
Los números naturales ℕ son:
Los números enteros ℤ se denotan:

3. Los números racionales ℚ son:
Los axiomas en las matemáticas son inferencias que, se aprecian claramente,
aceptándose sin probarse, para partir de este punto así demostrando otras formulas.
Por tradición los axiomas se escogen de entre las analizadas “verdades evidentes” ya que
hacen posible deducir las demás fórmulas.
Axiomas de la suma:
De los números “a” y “b” resulta por adición un número “z” llamado suma; el cual se
expresa:
z=a + b
Demostración:
108 = 25 + 83
Propiedad asociativa de la suma
(a + b) + c = a + (b + c)
Demostración
(6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4)
(9) + 4 = 6 + (7)
13 = 13

4. Propiedadconmutativa de la suma
a + b = b + a
Demostración
8 + 9 = 9 + 8
17 = 17
Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la suma
a + 0 = 0 + a = a
Demostración
21 + 0 = 0 + 21 = 21
Propiedad inversa de la suma
a + (-a) = (-a) + a = 0
Demostración
51 + (-51) = (-51) + 51 = 0
Axiomas de la multiplicación
De los números “a” y “b” da como resultado de la multiplicación un número “p” llamado
producto, se expresa:
p = a ⋅ b
Demostración
21 = 7 x 3
Propiedad asociativa de la multiplicación
(a b) c = a ( b c)
Demostración

5. (6 x 3) x 4 = 6 x (3 x 4)
(18) x 4 = 6 x (12)
72 = 72
Propiedad conmutativa de la multiplicación
a b = b a
Demostración
8 x 9 = 9 x 8
72 = 72
Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la multiplicación
a x 1 = 1 x a = a
Demostración
21 x 1 = 1 x 21 = 21
Propiedad inversa de la multiplicación
a1
⋅ a-1
= a1
/1 ⋅ 1/a1
= a/a = 1
Demostración
24
⋅ 2-4
= 24
/1 ⋅ 1/24
= 24
/24
= 16/16=1
6/3 ⋅ 3/6 = 18/18 = 1
Axioma de distribución
a (b + c ) = (a b) + (a c)
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)= (a c + a d) + (b c + b d)
Demostración
5 ( 2x + 6) = (5 ⋅ 2x) + ( 5 ⋅ 6) = 10x + 30

6. Axiomas de orden
x < y
Leemos como “x” es menor que “y”, la cual cumple las siguientes propiedades que las
llamamos axiomas de orden.
Demostración
22 < 34
Propiedad de la tricotomía
Para cualesquiera números reales x y y, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes
enunciados es verdadero x<y o x>y o bien x=y
Demostración
Propiedad de transitiva
Si x < yyy< zentonces x < z
Demostración
32 < 55 < 63 ⟹ 32 < 63
y < 0 < 6 ⟹ 𝑦 < 6
Propiedad de monotonía para la suma:
Si x<y entonces x+z<y+z para cualquier número real z
Demostración
x< 6
x + 4 < 6 + 4
x + 4 < 10

7. Propiedad de monotonía para la multiplicación
Si x<yy z>0 entonces xz<yz
Demostración
x – 5 < 7
5(x – 5) < 7 (5)
5x – 5 < 35
5x < 35 + 5
1/5 (5x) < 40 (1/5)
x< 8
Axioma de completitud
Los números reales ℝ no contienen los vacíos que influyen profundamente a los números
racionalesℚ. Por dicha diferencia entre los números reales ℝ y los racionalesℚ, se tiene
que ser totalmente exactos para esta suposición, conocida como axioma de completitud.
El axioma de completitud nos dice que cada conjunto no vacío de números reales que
está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.
Un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ está acotado superiormente si existe un número 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 ≤
𝑏 para todo𝑎 ∈ 𝐴 . Al número 𝑏 se le llama una cota superior de 𝐴.
Un número real 𝑠 es la menor cota superior de un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ si cumple los dos
criterios siguientes:
 𝑠 es una cota superior de 𝐴;
 si 𝑏 es cualquier cota superior de 𝐴, entonces 𝑠 ≤ 𝑏.
A la menor cota superior se le llama también frecuentemente el supremo del conjunto 𝐴.
Aunque se puede expresar de dos formas; la primera notación es 𝑠 = 𝑙𝑢𝑏 𝐴, pero en todo
caso utilizaremos 𝑠 = 𝑠𝑢𝑝 𝐴 para la menor cota superior.
La mayor cota inferior o ínfimo de 𝐴 se determina de forma semejante y se indica por
𝑖𝑛𝑓 𝐴.
Aunque un conjunto puede contener una sucesión de cotas superiores, sólo puede tener
una menor cota superior. Si 𝑠1 y 𝑠2 son ambos supremos para un conjunto 𝐴, por lo tanto
tomando la segunda propiedad en la definición preponderamos que 𝑠1 ≤ 𝑠2 y que 𝑠2 ≤ 𝑠1.
Se concluye que 𝑠1 = 𝑠2 y los supremos son únicos.

8. Demostración
𝐸 = { 𝑥 𝜖ℝ/ 𝑥 =
(−1) 𝑛
𝑛
, 𝑛𝜖ℕ}
El conjunto 𝐸 en forma extensiva es:
𝐸 = {
−1
1
,
1
2
,
−1
3
,
1
4
,
−1
5
,
1
6
, …}
Reordenando
𝐸 = {−1,
−1
3
,
1
5
,
−1
7
… …,
1
8
,
1
6
,
1
4
,
1
2
}
Esto no dice que el conjunto 𝐸 es acotado ya que se encuentra
𝑘 = −3 𝑦 𝐾 = 1
Tal que
𝑘 ≤ 𝑥 ≤ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝐸
O
∃ 𝑀 = 3
Tal que
| 𝑥| ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐸
En efecto
(−1) 𝑛
𝑛
= 𝑥 ≤ 1 𝑦 𝑥 =
(−1) 𝑛
𝑛
≥ −3
∴ −3 ≤ 𝑥 ≤ 1
Pero
1 ≤ 3 ⇒ −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
⇒ | 𝑥| ≤ 3

9. Bibliografía
Corry, Leo. (2004). David Hilbert and the axiomatization of physics (1898–1918): From
Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: Kluwer.
Guerrero, A. (2006). Geometría. Desarrollo axiomático. Bogotá: ECOE.
González, M. y Mancilli, J.. (2007). Algebra Elemental Moderna. Ecuador: LIBRESA.
Stewart,J. et al. (2007), Precalculo, matemáticas para el cálculo, Quinta edición.
http://es.slideshare.net/jhonsedano7/precalculo-matematicas-para-el-calculo-james-
stewart-5ed-edicion-completa