Este documento presenta una introducción a la función logarítmica. Explica brevemente el contexto histórico de los logaritmos, su definición, características como dominio, codominio y monotonía. También describe propiedades de los logaritmos y su aplicación en diversos campos científicos como psicología, geología, astronomía y física.

1. UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
SEDE DEL ATLANTICO
RECINTO TURRIALBA
INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
FUNCION LOGARITMICA
CATALINA CAMACHO NAVARR0
ESTUDIANTES:
FRANCELA RAMIREZ SIRIAS B15336
SIVIANY CAMACHO MORA B31308
BRYAN RAMIREZ VEGA B35688
II CICLO
2013

3. Indice general
1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Contexto Historico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Funcion Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1. De

4. nicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Caractersticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Propiedades de los logartmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4. Funcion logaritmo natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5. Gra

5. cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Aplicacion de la funcion logartmica en contextos extra-matematicos. . . . . . . 20
5. Campos cient

6. cos o historicos donde se emplea la funcion logartmica. . . . . . 23
5.1. En Psicologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. En Geologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. En Geografa y Estadstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4. En Astronoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5. En Fsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.6. Intensidad del Sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.7. En Qumica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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7. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
1. Introduccion.
En este trabajo se llevara a cabo una investigacion de las funciones logartmicas. La cual es
muy importante ya que es un tema del cual desconocemos o si nos han hablado pero nunca nos
han explicado a fondo de la verdadera resolucion de este tipo de funciones. Empezaremos con
el trabajo conociendo su historia en la forma de como se desarrollo esta a traves del transcurso
del tiempo.
De esta misma manera nos profundizaremos en sus caractersticas desde su de

8. nicion como su
criterio, dominio, codominio tambien su gra

9. ca, las intersecciones con los ejes, la concavidad
su monotona tambien su ambito de y esta misma manera sus asntotas as tambien lo que es
un logaritmo natural y una composicion entre la funcion logartmica y funcion exponencial.
Tambien demostraremos cada una de sus caractersticas anteriormente mencionadas. Por otro
lado, indagaremos las propiedades que estas tienen y del mismo modo demostraremos cada una
de ellas paso por paso.
De esta manera explicaremos la resolucion de varios ejemplos de funciones logartmicas en los
diferentes contextos extra matematicos que nos ayudaran en un mejor entendimiento de esta
amplia funcion.
Y por ultimo buscaremos algunas areas en las cuales esta funcion logartmica es aplica y la
importancia de la misma para la resolucion de sus problemas.
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10. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
2. Contexto Historico.
Hace casi 400 a~nos los logaritmos aparecieron para facilitarnos los calculos aritmeticos y geometri-cos,
esto permite durante a~nos poder trabajar con mas facilidad en el campo de agrimensura,
astronoma y en el campo de la navegacion que fue lo que mas intereso a los cient

11. cos del siglo
XVII in
uenciados con los descubrimientos de Galileo y Kepler, con relacion de los cuerpos
celestes, tambien haba gran interes economico y militar. Los cuerpos celestes eran de gran
importancia para los navegantes europeos que salan en buscas de materia prima y nuevas re-laciones
comerciales. Con relacion al ambito militar, era necesario aproximar la trayectoria de
los proyectiles, alcance, altura y velocidad de las armas, por lo que el gobierno inverta mucho
dinero para

12. nanciar la busqueda de soluciones provechosas.
En cuanto a la navegacion era de suma importancia debido a que los navegantes se aleja-ban
cada vez mas de las costas de donde partan ya que no conocan la latitud y longitud
(coordenadas terrestres) con precision, lo que ocasionaba problemas para la ubicacion, por lo
que se di

13. cultaba la llegada al destino planteado, estos errores producan grandes perdidas
economicas, por lo que el gobierno de Europa insto a los cient

14. cos para que construyan tablas
de datos cada vez mas aproximadas esto inspiro a John Napier de Escocia y a Jobst Burgi de
Suiza, a la elaboracion de los logaritmos. El termino logaritmo signi

15. ca (numero razon) y fue
Napier quien utilizo el nombre por primera vez en 1619.
El descubrimiento de los algoritmos se produjo mediante dos caminos que son, los calculos
trigonometricos para las investigaciones astronomicas aplicables a la navegacion y el calculo de
las riquezas acumuladas a lo que se re

16. ere a las reglas de intereses compuestos, ambos caminos
inspiraron a John Napier y a Jobst Burgi en el descubrimiento de los logaritmos. Las tablas de
Napier se basaban en los llamados logaritmos naturales los cuales eran un poco complicados
usar. Briggs era un profesor de Gresham College de Londres que se intereso en la tabla que
haba elaborado Napier y juntos idearon la idea de elaborar logaritmos comunes y fue Briggs
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17. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
quien transformo de la tabla de Napier en los logaritmos comunes la cual fue publicada en
1617, estas tablas fueron utilizadas para los calculos hasta alrededor de los a~nos 1972 donde
aparecieron las calculadoras manuales.
Los logaritmos nacen con la a

18. nidad de simpli

19. car mas aquellas tareas en las que se utilizan
las operaciones basicas para resolver laboriosos problemas en las que se necesitan exactitud, en
1631 Henry Briggs realiza la primera tabla en base 10, en su libro llamado Logarithmall Arith-
metike Briggs mani

20. esta la importancia de la confeccion de los logaritmos Los logaritmos son
numeros inventados para resolver mas facilmente los problemas de aritmetica y geometra... Con
ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que,
en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen
sustracciones. La laboriosa operacion de extraer raaces, tan poco grata, se efectua con suma
facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad
todos los problemas, no solo de aritmetica y geometra, sino tambien de astronoma.(Tapia,
2003, p.6).
Naiper trabajaba originalmente con seno por lo que se dice que su investigacion esta basa-da
en la geometra, mientras que Briggs trabajaba su investigacion en un enfoque algebraico
ya que trabajaba por medio de sucesiones de progresiones aritmeticas y geometricas.
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21. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
3. Funcion Logartmica.
3.1. De

22. nicion.
La funcion logartmica con base b; b 2 R+; b6= 1, la funcion f : R+ ! R, de

23. nida por
f(x) = logb x, donde:
logb x = y , by = x.
Logaritmo de un numero (x) es el exponente (y) al que hay que elevar la base (b) para que nos
de dicho numero (x), el numero x debe ser positivo (x 0).
logb x, see lee logaritmo en base b de x.
Esta de

24. nicion nos dice que una ecuacion logartmica se puede escribir en una forma exponen-cial
equivalente, y viceversa. Ejemplos:
Forma Logarmica Forma Exponencial
logb 1 = 0 b0 = 1
logb b = 1 b1 = b
logb b1 = 1 b1 = b1
3.2. Caractersticas.
Criterio.
La funcion logartmica es una funcion cuyo criterio es de la forma f(x) = logb x,
con b 2 R+, b 1 y x 0 . Se lee logartmo base b de x.
logb x = y , by = x
Dominio.
El dominio de la funcion logartmica es R+.
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25. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Codominio.
El codominio de la funcion logartmica es R.
Rango o Ambito.
El rango o ambito de la funcion logartmica es R.
Monotona.
Teorema.
La funcion logartmica f : R+ ! R tal que f(x) = logb x, con b 2 R+; b6= 1, entonces
i) Si b 1 f es creciente. ii) Si 0 b 1 f es decreciente.
Sea f : R+ ! R con f(x) = logb x
i) Si b 1.
Sean x1; x2 2 R+ tal que x1 x2
f(x1) = y1 , logb x1 = y1 , by1 = x1 y
f(x2) = y2 , logb x2 = y2 , by2 = x2
Luego by1 by2 , como b 1
) y1 y2
) f(x1) f(x2)
ii) Si 0 b 1.
Sean x1; x2 2 R+ tal que x1 x2
f(x1) = y1 , logb x1 = y1 , by1 = x1 y
f(x2) = y2 , logb x2 = y2 , by2 = x2
Luego by1 by2 , como 0 b 1
) y1 y2
) f(x1) f(x2)
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26. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Intervalos.
Si b 1, f es estrictamente creciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia arriba.
Si 0 b 1, f es estrictamente decreciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia abajo.
Biyectividad.
Decimos que una funcion f : A R ! R es monotona si y solo si es creciente en A o de-creciente
en A. La funcion logartmica cumple lo anterior dicho ya que f : R+ ! R y esta es
creciente o decreciente, entonces es monotona.
Por el teorema que dice Si f de

27. nida en A R es una funcion monotona, entonces, conside-rando
su ambito B como su codominio, existe la funcion inversa f1 : B A.
Como la funcion logartmica es monotona, y su rango es igual al codominio(f : R+ ! R),
entonces existe la funcion inversa. Por lo tanto, la funcion logartmica es biyectiva.
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