El documento trata sobre la función cuadrática. Explica la historia de las funciones cuadráticas en diferentes culturas como la babilonia, árabe y griega. Luego define la función cuadrática como un caso particular de función polinómica de la forma f(x)=ax2+bx+c, donde a≠0. Finalmente describe las características clave de una función cuadrática como el vértice, concavidad, eje de simetría e intersecciones con los ejes cartesianos.

1. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Universidad de Costa Rica
Sede del Atlantico
Recinto Turrialba
Taller de Materiales Didacticos y Medios Audiovisuales EA-0350
Funcion Cuadratica
Licda. Johanna Monge Bradley
Francela Ramrez Sirias B15336
Bryan Ramrez Vaga B35688
II Ciclo
2014
1

3. Indice general
1. Historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. La funcion cuadratica como caso particular de funcion polinomica. . . . . . . . . 6
3. Funcion Cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Caracterizacion de la funcion Cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1. Vertice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2. Concavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3. Eje de simetra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4. Interseccion con los ejes cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5. Ambito o Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6. Intervalos de Monotoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.7. Ejemplos Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Gra

4. ca de la funcion cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Analisis de la parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7. Aplicaciones de la funcion cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8. Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3

5. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
1. Historia.
Muchos a~nos atras el hombre se ha dado la tarea de brindar una mejor solucion para su sub-sistencia,
estudiando el universo, lo cual le ha demandado el conocimiento del mismo para
manipularlo con miras al bene

6. cio humano. Por ende cabe a

7. rmar que las primeras manifes-taciones
matematicas estuvieron relacionadas con el medio ambiente. Las nociones cuadraticas
han estado presentes en diferentes etapas de la historia de las matematicas, se dara un re-cuento
general de las diferentes culturas pioneras de estas nociones, para ir desmenuzando este
concepto de funcion cuadratica.
El concepto de ecuacion es uno de los mas importantes del algebra actual y ha estado pre-sente
a traves de las historia en diversas culturas(Mesa, Ochoa, 2007, pag. 5). Algunas de
las culturas mas relevantes, fueron la Babilonica ellos resolvan problemas como el siguiente:
Hallar un numero que sumado a su inverso de un numero dado(Mesa, Ochoa, 2007,pag. 6).
En comparacion con lo moderno se puede escribir que lo que buscaban los babilonios era dos
numeros A y ~A
tales que A~A= 1 y A + ~A
= b Estas dos ecuaciones dan como resultante la
ecuacion cuadratica: A2 bA + 1 = 0.
En la cultura Arabe, condiciones presentadas. Un cuadrado y diez de sus races, son iguales
a tres unidades, es decir, si sumamos diez races a un cuadrado, la suma es igual a treinta y
nuevo.(Mesa, Ochoa, 2007, pag 9).
Los arabes empezaron a introducir algunas abreviaciones de los procedimientos y de las repre-sentaciones
geometricas.
La cultura griega presenta en los elementos de Euclides situaciones como Si se corta una lnea
recta en (segmentos) iguales y desiguales, el rectangulo comprendido por los segmentos de-siguales
de la (recta) entera, junto con el cuadrado de la (recta que esta) los puntos de seccion,
es igual al cuadrado de la mitad. Proposicion 5 Libro II, Los elementos de Euclides citado
por. (Mesa, Ochoa, 2007, pag 8). Euclides utilizaba

8. guras rigurosamente geometricas y las
demostraciones eran presentadas de forma retorica, pero lo de interes es que ya se posea una
4

9. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
nocion de cuadrado. Un aporte valiossimo a esta cultura, es el descubrimiento de las secciones
conicas por parte de Apolonio que realiza un tratado sobre ellas que sirvio como base para
la geometra analtica. Surge tambien como la solucion de los tres problemas griegos, como la
duplicacion del cubo, la cuadratura del crculo y la triseccion de un angulo agudo.
En la demostracion de Hipocrates, puede reducirse a encontrar dos medias proporcionales en-tre
la arista dada y su doble. (Mesa, Ochoa, 2007, pag 13). En nuestra notacion algebraica,
sean x e y tales que;
a=x = x=y = y=2a entonces x2 = ay e y2 = 2ax.
Pero es Apolonio de Perga quien hace un tratamiento mas amplio que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulacion de

10. nitiva. Apolonio les da su nombre de

11. nitivo Ellipsis
(de

12. ciencia), Hyperbola (avanzar mas alla) y Parabola (colocar al lado o comparar) que indi-caba
que no haba de

13. ciencia ni exceso(Boyer C,1987).
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,
variando el angulo de inclinacion del plano con respecto al eje del cono y a partir del cono
dedujo una propiedad plana fundamental, una condicion necesaria y su

14. ciente para que un
punto este situado en la curva, y en ese momento abandono el cono y procedio a estudiar las
conicas por metodos planimetricos exclusivamente.
Luego Descartes solo examina con detalle un lugar geometrico, en el cual obtiene la ecuacion:
y2 = aybxy+cxdx2, ecuacion general de una conica que pasa por el origen de coordenadas.
Descartes presenta condiciones sobre los coe

15. cientes para que la conica sea una recta, una
parabola, una elipse o una hiperbola, saba que eligiendo adecuadamente tanto el origen de
coordenadas como los ejes, poda reducirse la ecuacion a la forma mas sencilla, pero el hecho
es que no da ninguna de las formas canonicas.(Boyer C, 1987).
Tras la Geometra de Descartes publicada en frances y no en latn (la lengua universal de la cien-cia),
Van Schooten la traduce al latn en 1649 y junto con sus discpulos adquiere la geometra
cartesiana un rapido desarrollo, demuestra que las ecuaciones y2 = xy + bx; y2 = 2dy + bx
e y2 = bx x2, representan respectivamente hiperbolas, parabolas y elipses. Pero es en 1658
5

16. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
cuando uno de los miembros del grupo de Van Schooten Jan de Witt reduce todas las ecuacio-nes
de segundo grado en X e Y a formas canonicas, por medio de rotaciones y traslaciones
de los ejes. De Witt saba como reconocer cuando tal ecuacion representaba una elipse, cuando
una parabola y cuando una hiperbola, segun que el llamado discriminante fuera negativo, nulo
o positivo.
Por lo tanto en el siglo XVll, se de

17. nieron las conicas como curvas correspondientes a ecuaciones
de segundo grado, en X y en Y. el estudio de los lugares geometricos establecidos realizando
una alianza entre la geometra y la algebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones.
Funciones los principios de la construccion del concepto de funcion lo inicia Descartes con su
geometra analtica, que le interesaba la resolucion de ecuaciones algebraicas con dos variables
y el hecho de asociarle a cada curva una ecuacion.
2. La funcion cuadratica como caso particular de funcion
polinomica.
La funcion cuadratica es un caso particular de funcion polinomial, de la forma
f(x) = anxn + an1xn1 + ::: + a1x + a0 en donde n es un entero no negativo y cada
ai (con i = 1; 2; :::; n ) es una constante real. Para n = 2 la funcion queda de

18. nida por la
expresion f(x) = a2x2 + a1x + a0 y a26= 0 , donde a2; a2; a0 son constantes mientras que x es
una variable; la funcion se llama funcion polinomial de segundo grado o funcion cuadratica y
su representacion gra

19. ca recibe el nombre de parabola.
3. Funcion Cuadratica.
Es una de las funciones utiles que se encuentra a menudo. Generalmente se presenta en proble-mas
geometricos de areas, tambien es muy utilizado en los problemas del ser humano, como en
el lanzamiento de objetos o saltos de animales, en la contruccion de estructuras arquitectonicas.
6

20. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Permite resolver problemas ademas problemas donde se busquen cantidas maximas o mnimas
de un determinado fenomeno o situacion.
4. Caracterizacion de la funcion Cuadratica.
De

21. nicion 1. Sea f : R ! R una funcion. Se dice que f es una funcion cuadratica si existen
constantes a; b; c 2 R con a6= 0 tal que f(x) = ax2 + bx + c:
Por que a6= 0?
El criterio de una funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c, el coe

22. ciente adebe ser distinto
de cero (a6= 0), pues si a = 0, se tratara de una funcion lineal f(x) = bx + c:
Ejemplos de algunos criterios de funciones cuadraticas, son los siguientes:
1. f(x) = 4x2 + 5x 2; con a = 4; b = 5 y c = 2.
2. g(x) = 3x2; con a = 3; b = 0 y c = 0.
3. h(x) =
1
3
x2 1; con a =
1
3
; b = 0 y c = 1.
4. s(x) =
x2
5
14x; con a =
1
5
; b = 14 y c = 0.
Practica.
Determinar los valores de a, b y c segun corresponda e identi

23. car (marcando con equis [x]) si
o no es una funcion cuadratica en la siguiente tabla.
7

24. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Criterio Valores Cuadratica
f(x) a b c Si No
x2 2x + 1
3 + 10x
9x 65 + 5x2
245
1
2x2 + 24
2x
4x2 + 20x
15 + 3x2
10x2 + 12x
11x x6
7x4
Actividad.
Para demostrar la formula general de la ecuacion de segundo grado o la ecuacion cuadratica,
se realizara mediante los siguientes pasos.
*Tenemos la ecuacion de la forma ax2 + bx + c = 0.
1. Transformar la ecuacion anterior por x2 +
bx
a
+
c
a
.
ax2 + bx + c = 0
(ax2 + bx + c) (a)1 = 0 (a)1 ; a6= 0
ax2 + bx + c
a
= 0
ax2
a
+
bx
a
+
c
a
= 0
x2 +
bx
a
+
c
a
= 0
2. Completar cuadrados de la expresion anterior.
x2 +
bx
a
+
c
a
= 0
x2 +
bx
a
+
c
a
+
b2
4a2
b2
4a2 = 0
8

25. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
x2 +
bx
a
+
b2
4a2
b2
4a2 +
c
a
= 0
3. Factorizar el cuadrado perfecto.
x2 +
bx
a
+
b2
4a2
b2
4a2 +
c
a
= 0
x +
b
2a
2
b2
4a2 +
c
a
= 0
x +
b
2a
2
+
b2 + 4ac
4a2 = 0
4. Despejar la incognita.
x +
b
2a
2
+
b2 + 4ac
4a2 = 0
x +
b
2a
2
+
b2 + 4ac
4a2
b2 + 4ac
4a2
= 0
b2 + 4ac
4a2
x +
b
2a
2
=
b2 + 4ac
4a2
x +
b
2a
2
=
b2 4ac
4a2
s
x +
b
2a
2
=
r
b2 4ac
4a2
x +
b
2a
=
p
b2 4ac
2a
x =
p
b2 4ac
2a
b
2a
x =
b
p
b2 4ac
2a
x =
p
4
2a
b
; 4 = b2 4ac
5. Determinar las condiciones para tener o no tener solucion.
Como x =
p
4
2a
b
; 4 = b2 4ac:
9

26. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Se presentan tres casos:
a) Si 4 0, entonces x no tiene solucion en R o bien S = ?.
b) Si 4 = 0, entonces x posee una solucion o bien S =
b
2a
.
c) Si 4 0, entonces x posee dos soluciones o bien S1 =
p
4
2a
b +
, S2 =
p
4
2a
b
y S = fS1; S2g .
4.1. Vertice.
De

27. nicion 2. Sea f(x) = ax2 + bx + c el criterio de una funcion cuadratica, el vertice es el
punto en la parabola, donde f alcanza su punto maximo o mnimo. El vertice lo denotaremos
con la letra V esta dado por las coordenadas V =
b
2a
; f
b
2a
: Es frecuente utilizar la
formula
b2 + 4ac
4a
como la segunda coordenada del vertice, es decir: f
b
2a
=
b2 + 4ac
4a
.
Observemos de donde proviene.
Tenemos que f(x) = ax2 + bx + c, pero de la primera coordenada tenemos que x =
b
2a
:
f
b
2a
= a
b
2a
2
+ b
b
2a
+ c = a
b2
4a2
b2
2a
+ c =
b2
4a
b2
2a
+ c =
b2 2b2 + 4ac
4a
=
=
b2 + 4ac
4a
=
(b2 4ac)
4a
=
b2 + 4ac
4a
:
10

28. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Nota. El vertice tambien se puede hallar de la siguiente forma:
Si f(x) = ax2 + bx + c y se tiene (x + h)2 + k con h; k 2 R, entonces Vertice = V = (h; k).
Practica.
Calcule el vertice de las siguientes funciones cuadraticas.
1. f(x) = 1 + 5x x2:
2. h(x) = 3(x 1)2 + 1:
3. g(x) = (x + 1)(x 1):
4. r(x) = 3x 2x2 5:
5. s(x) = x2 7x 18:
6. p(x) = 3x2 + 12x 5:
4.2. Concavidad.
Sea f(x) = ax2 + bx + c el criterio de una funcion cuadratica. La concavidad de la parabola
depende del valor que tenga la constante a, en efecto, si a 0 la parabola es concava hacia
arriba y posee un punto mnimo. En el caso que a 0 la parabola es concava hacia abajo y
posee un punto maximo. Esto punto maximo o mnimo corresponde al vertice de la parabola.
1. Si a 0, la funcion alcanza un mnimo en el punto
b
2a
;
b2 + 4ac
4a
:
2. Si a 0, la funcion alcanza un maximo en ese punto.
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29. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Practica.
Calcule la concavidad y los puntos maximos o mnimos respectivamente de las siguientes fun-ciones
cuadraticas.
1. f(x) = 1 + 5x x2:
2. g(x) = (x 1)(x 1):
3. h(x) = 2(x + 1)2 3:
12

30. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
4. k(x) = 8 15x + 7x2:
5. p(x) = x2 8x 1:
6. q(x) =
1
3
x2 + 10x 3:
4.3. Eje de simetra.
De

31. nicion 3. Sea f(x) = ax2 + bx + c el criterio de una funcion cuadratica, el eje de simetra
de una parabola es la recta vertical de ecuacion x =
b
2a
.
Sabemos que para cualquier x se tiene que f
b
2a
+ x
=
b
2a
x
y f es simetrica con
respecto a x =
b
2a
:
Esta recta es importante cuando se realiza la gra

32. ca de una funcion cuadratica, pues divide a
la parabola en dos partes simetricas, es decir, cualquier punto de la parabola tendra un punto
homologo al otro lado de este eje. Diremos que la recta vertical x = p es un eje de simetra de
una funcion siempre que p+x, pertenece al dominio de la funcio, tambien px pertenece a ese
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33. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
dominio y f(p+x) = f(px). Tambien se dice que f es simetrica con respecto a la recta x = p:
Practica.
Calcule el eje de simetra de las siguientes funciones cuadraticas.
1. q(x) = 2 + x2:
2. k(x) = (x + 1)(x + 1):
3. v(x) = (x + 2)2 3:
4. h(x) = 2 20x + 7x2:
5. g(x) = x2 8x 1:
6. f(x) =
1
5
x2 + 11x:
4.4. Interseccion con los ejes cartesianos.
A. Interseccion con el eje x.
Recordemos que los puntos que se encuentra sobre el eje x tienen coordenadas de la forma
(x; 0) donde x 2 R, por lo que para encontrar los puntos de interseccion entre la gra

34. ca de una
funcion y el eje x, basta encontrar cuales de los punto sobre dicha gra

35. ca posee coordenada y
igual cero.
Sea f(x) = ax2+bx+c el criterio de una funcion cuadratica, como los punto sobre la parabola
tiene coordenada (x; f(x)) con x 2 R entonces, para encontrar el punto de interseccion con el
eje x, basta preguntarnos cuando f(x) = 0 o bien, cuando y = 0: Es decir, para encontar el
punto de interseccion con el eje x, debemos resolver la ecuacion: ax2 + bx + c = 0. Se puede
resumir:
Si 4 0 la parabola interseca el eje x, en dos puntos, (x1; 0) y (x2; 0), donde x1 y x2 son las
soluciones de la ecuacion ax2 + bx + c = 0. Por lo tanto Ix : (x1; 0) y (x2; 0):
14

36. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Si 4 = 0,la parabola interseca el eje x, en un punto, (x1; 0), donde x1 es la unica solucion de
la ecuacion ax2 + bx + c = 0. Por lo tanto Ix : (x1; 0).
Si 4 0, la parabola no interseca el eje x, pues la ecuacion ax2 +bx+c = 0 no tiene solucion.
Por lo tanto Ix : ?.
B. Interseccion con el eje y.
Los puntos sobre el eje y tiene ecuacion (0; y), con y 2 R por lo que el punto de interseccion
entre la gra

37. ca de una funcion f y el eje y esta dado por (0; f(0)), siempre que f(0) exista.
Sea f(x) = ax2 +bx+c el criterio de una funcion cuadratica, entonces el punto de interseccion
de la gra

38. ca de f con el eje y; esta dado por: (0; f(0)), donde f(0) = a 02 + b 0 + c = c, es
decir Iy : (0; c): Por lo tanto la gra

39. ca de la funcion cuadratica siempre interseca al eje y en el
punto (0; c).
Practica.
Indique en cuales puntos del eje x y del eje y interseca cada una de las siguientes parabolas:
1. b(x) = x2 5x + 3:
2. w(x) = (x + 1)(x + 1):
3. s(x) = 3x2 6x + 4:
4. h(x) =
1
2
x2 5x + 4:
5. f(x) = x2 x + 3:
6. g(x) = 5 + 7x 3x2:
4.5. Ambito o Rango.
Sea f : R ! R, una funcion con f(x) = ax2 + bx + c. Tal que a; b; c 2 R con a6= 0: El ambito
de dicha funcion esta de

40. nido por el intervalo:
15

41. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
i. R =
4
4a
, si a 0:
;+1
ii. R =
1;
4
4a
, si a 0:
4.6. Intervalos de Monotoma.
Sea f : R ! R; tal que f(x) = ax2 + bx + c, con a; b; c 2 R y a6= 0; entonces, los intervalos de
monotona de f estan dados dependiendo de los siguientes casos:
a) f : R ! R; tal que f(x) = ax2
+ bx + c. Tal que a; b; c 2 R con a 0.
1.Estrictamente creciente si x 2
b
2a
.
;+1
2.Estrictamente decreciente si x 2
1;
b
2a
.
b) f : R ! R; tal que f(x) = ax2
+ bx + c. Tal que a; b; c 2 R con a 0.
1.Estrictamente creciente si x 2
1;
b
2a
.
2.Estrictamente decreciente si x 2
b
2a
.
;+1
Practica.
Calcule el rango y los intervalos de monotoma respectivamente de las siguientes funciones
cuadraticas.
1. f(x) = x2 + 6x
2. g(x) = x2 + 16
3. h(x) = 100x2 + 2500x + 15000
4. f(x) = x2 2x 3
5. p(x) = x2 4x + 3
16

42. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
4.7. Ejemplos Resueltos.
1. Si f es una funcion de

43. nida por f(x) = 5 6x x2; halle el intervalo maximo en el cual
f es estrictamente creciente y estrictamente decreciente.
Solucion. Como en la funcion cuadraticaf(x) = 5 6x x2; el valor de la constante
a = 1; nos indica que la parabola es concava hacia abajo. Recordemos que para dar el
intervalo de crecimiento o decreciemiento de una funcion, se hace con respecto al eje x:
En el caso de la funcion cuadratica observamos que cambia de monotona exactamente
en el vertice. Calculo del vertice:
V =
b
2a
; f
b
2a
=
b
2a
=
6
2 1
= 3:
) f (3) = 5 6 3 (3)2 = 14:
Entonces el vertice tiene cordenadas V = (1; 0) y el ambito es Af = [0;+1[.
La funcion es estrictamente creciente cuando x 2 ]1;3[.
La funcion es estrictamente decreciente cuando x 2 ]3;1[.
2. Encuentre los puntos de interseccion de la gra

44. ca de f(x) = 3x2 + 5x 2 con el eje de
abscisas y el eje de las ordenadas.
Solucion. Punto de interseccion con el eje de las ordenadas (eje y). Se obtiene haciendo
x = 0 en la funcion dada.
y = 3 02 + 5 0 2 = 2 ) Iy : (0;2).
Punto(s) de interseccion con el eje de las abscisas (eje x). Se obtiene preguntado para cual
valor de x se cumple que f(x) = 0, para lo cual se resuelve la ecuacion 3x2 + 5x 2 = 0.
Como el 4 0, la gra

45. ca de la funcion interseca al eje x, en dos puntos (2; 0) y
1
3
.
; 0
3. Halle el ambito de la funcion f : R ! R dada por f(x) = 2x + 1 + x2.
Solucion. Como en la funcion cuadratica f(x) = 2x + 1 + x2; el valor de la constante
a = 1; nos indica que la parabola es concava hacia arriba. Recordemos que para dar el
ambito de la funcion, se hace con respecto al eje y: Como la funcion dada es concava hacia
17

46. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
arriba, el vertice representa un punto mnimo. Calculo del vertice:
V =
b
2a
; f
b
2a
=
b
2a
=
2
2 1
= 1:
) f
b
2a
= f(1) = 2 1 + 1 + 12 = 0:
Entonces el vertice tiene coordenadas V = (1; 0) y el ambito es Af = [0;+1[ .
4. Halle el criterio de la funcion cuadratica que corresponde a la parabola que tiene vertice
V = (2; 1) y cuyo eje de simetra es vertical, ademas la parabola corta al eje y en el punto
(0; 5).
Solucion. Tenemos que hallar las constantes a; b y c de la funcion cuadratica f(x) =
ax2 + bx + c.
Sabemos que:
i. El vertice de la parabola es V = (2; 1) , pero la formula del vertice es V =
b
2a
; f
b
2a
.
De lo anterior sabemos que:
f(2) = 1 )
b
2a
= 2
) b = 4a
) b = 4a
f(2) = 1 ) f(2) = a 22 + b 2 + c = 4a + 2b + c = 1:
ii. La parabola corta al eje y en (0; 5), lo que implica que c = 5. Sustituyendo (1) y (3)
en (2) tenemos:
1 = 4a + 2 4a + 5
) 1 = 4a + 8a + 5
) 4 = 4a
) 1 = a
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47. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Sustituyendo a=1 en (1) obtenemos:
b = 4a
) b = 4 1
) b = 4
Como encontramos que a = 1; b = 4 y c = 5; la funcion cuadratica qcuyo vertice es
(2; 1) y cuya parabola corta al eje y en el punto (0; 5) es la funcion f(x) = x2 4x + 5.
5. Gra

48. ca de la funcion cuadratica.
Por las propiedades del teorema mencionado en el captulo(3.2) se puede deducir que la gra

49. ca
de una funcion cuadratica tiene dos de las formas, se llamadas parabola, de acuerdo con el
coe

50. ciente ax2.
Cuando a 0 se dice que la parabola es concava hacia arriba y si a 0 se dice que la parabola
es concava hacia abajo.
6. Analisis de la parabola.
El objetivo de esta seccion es dada la gra

51. ca de una funcion cuadratica y halle el ambito y los
intervalos.
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52. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Ejemplo 1.
Caractersticas de la gra

53. ca anterior :
1. La funcion cuadratica es concava hacia abajo.
2. Interseca al eje x en (1; 0) y al eje y en (0;1).
3. Vertice es (1; 0).
4. Eje de simetra corresponde a x = 1.
5. La funcion es creciente ] 1;1[ y la funcion es decreciente en ] 1;1[.
6. El ambito de la funcion es ] 1; 0[.
7. Aplicaciones de la funcion cuadratica.
Como se menciono anteriormente, la gra

54. ca de una funcion cuadratica de la forma
f(x) = ax2 + bx + c, es una parabola con vertice en
b
2a
;
4
4a
. Este vertice es el punto
mas alto de la gra

55. ca si a 0 y el mas bajo si a 0. Si el vertice es el punto mas alto (a 0)
entonces
4
4a
es el valor maximo de f. Si el vertice es el punto mas bajo (a 0) entonces
4
4a
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56. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
es el valor mnimo de f. Estas ideas propician el desarrollo de muchaas aplicaciones.
Ejemplos.
1. El due~no de una fabrica de refrescos sabe que su ganancia en miles de colones semanales,
como funcion del numero x de cajas de refrescos vendidas, esta dada por la ecuacion
U = 0;01x2 + 9x 1296. Cuantas cajas deben vender para obtener una ganancia
maxima?Cual es la ganancia maxima?
Solucion. Como la ecuacion que representa la relacion entre las cajas de refrescos vendidos
y la ganancia esta representada por la funcion cuadratica U = 0;01x2 + 9x 1296,
podemos notar su parabola tiene concava hacia abajo y como consecuencia va a tener un
punto maximo que es el vertice. Hallemos el vertice:
V =
b
2a
;
b
2a
)
b
2a
=
9
2 0;01
= 450
)U(450) = 0;01 (450)2 + 9 450 1296 = 729
) V = (450; 229)
La primera coordenada del vertice representa el numero de cajas vendidas y la segunda
coordenada la ganancia que se obtuvo con dicho numero de cajas, por lo que si se venden
450 cajas se obtiene una ganancia maxima de 729 mil colones.
2. El due~no de un automovil determina que el costo en colones por kilometro al conducir
su vehculo a una velocidad de C = 0;015v2 2;5v + 120 (v = Km=h). Encuentre la
velocidad donde el automovil consume el costo mnimo.
Solucion. Como la ecuacion que representa la relacion entre la velocidad de un vehculo y
el costo por kilometro esta representada por la funcion cuadratica
C = 0;015v2 2;5v + 120, podemos notar su parabola tiene concava hacia arriba y
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57. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
como consecuencia va a tener un punto mnimo que es el vertice. Hallemos el vertice:
V =
b
2a
;
b
2a
)
b
2a
=
2;5
2 0;015
= 83; 333
La primera coordenada del vertice representa la velocidad del vehculo, por lo que en este
caso solo es necesario calcular dicha coordenada. Para obtener una gasto mnimo se tiene
que conducir el automovil a una velocidad de 83; 333 km=h.
3. La altura en metros de un objeto lanzado desde el suelo hacia arriba despues de t segundos
esta dada por la ecuacion h(t) = 96t 16t2. Calcule el tiempo en que vuelve al suelo y
calcule la altura maxima.
Solucion.
1. Si el objeto vuelve al suelo es porque h(t) = 0. Sustituyendo la ecuacion:
h(t) = 96t 16t2 ) 16t2 + 18t = 0
Resolviendo obtenemos t = 0 y t = 6. Pero t = 0 representa el momento en que fue
lanzado el objeto, as que esa no es una solucion valida. El objeto se vuelve al suelo
despues de 6 segundos.
2. Para la altura maxima se puede calcular la coordenada en y del vertice de la funcion:
h(t) = 16t2 + 96t = 96t 16t2
Se tiene que:
Como : a = 16; b = 96yc = 0 ) 4 = 962 4 (16) 0 = 9216
) Vy =
9216
4 16
= 144:
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58. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Practica general.
Realice lo que se le solicita en cada enunciado con respecto a la funcion cuadratica.
1. Una funcion cuadratica tiene una expresion de la forma f(x) = x2 +ax+a y pasa por el
punto (1, 9). Calcular el valor de a.
2. Se sabe que la funcion cuadratica de ecuacion f(x) = ax2 + bx + c pasa por los puntos
(1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a,b y c.
3. Una parabola tiene su vertice en el punto V (1; 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su
ecuacion.
4. El fabricante de un artculo ha determinado que el ingreso en dolares h en terminos del
precio de venta x esta dado por h(x) =
x2
2
+ 190x. Cual es el ingreso maximo que
puede tener el fabricante?
5. El area total A de un cubo de arista x esta dada por A(x) = 25x 6x2: Cual debe ser
la longitud de la arista para que el area total del cubo sea maxima?
6. El ingreso f obtenido por vender x unidades de un producto esta dado por f(x) = 60x2:
Cuantas unidades deben vender de ese producto para obtener el maximo ingreso?
7. Si tienen 60m de alambre para hacer una cerca de una sola vuelta en un jardn rectangular
sin que sobre alambre. Si la cerca se debe colocar unicamente en tres lados porque el otro
limita con una pared, entonces cual es el area maxima que se puede cercar?
8. En una sastrera el costo de produccion R esta en funcion de las x unidades de pren-das
confeccionadas (1 x 400). Si el criterio que modela la relacion anterior es
R(x) = x2 + 400x, entonces, cual es el costo maximo que debe asumir la empresa?
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59. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
8. Bibliografa.
Arias Tencio, F. Barrantes Campos, H. (2010). Introduccion a la matematica formal desde las
funciones. (Universidad de Costa Rica Ed.).
Arias Vlchez, M. (2009). Ejercicios de Matematica para Bachillerato.
Avila H, J. (2011). Algebra y trigonometra: ejemplos y ejercicios. (Instituto Tecnologico de
Costa Rica Ed.).
Camacho, E. Zu~niga, E. (2013). Funcion cuadratica y su caracterizacion.
Ejercicios interactivos de funciones cuadraticas. (s.f). Obtenido el 10 de noviembre del 2014
desde http://www.vitutor.com/fun/2/c 5 e.html.
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