El documento trata sobre la función cuadrática. Explica la historia de las funciones cuadráticas en diferentes culturas como la babilonia, árabe y griega. Luego define la función cuadrática como un caso particular de función polinómica de la forma f(x)=ax2+bx+c, donde a≠0. Finalmente describe las características clave de una función cuadrática como el vértice, concavidad, eje de simetría e intersecciones con los ejes cartesianos.

1. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Universidad de Costa Rica
Sede del Atlantico
Recinto Turrialba
Taller de Materiales Didacticos y Medios Audiovisuales EA-0350
Funcion Cuadratica
Licda. Johanna Monge Bradley
Francela Ramrez Sirias B15336
Bryan Ramrez Vaga B35688
II Ciclo
2014
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3. Indice general
1. Historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. La funcion cuadratica como caso particular de funcion polinomica. . . . . . . . . 6
3. Funcion Cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Caracterizacion de la funcion Cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1. Vertice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2. Concavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3. Eje de simetra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4. Interseccion con los ejes cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5. Ambito o Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6. Intervalos de Monotoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.7. Ejemplos Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Gra

4. ca de la funcion cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Analisis de la parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7. Aplicaciones de la funcion cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8. Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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1. Historia.
Muchos a~nos atras el hombre se ha dado la tarea de brindar una mejor solucion para su sub-sistencia,
estudiando el universo, lo cual le ha demandado el conocimiento del mismo para
manipularlo con miras al bene

6. cio humano. Por ende cabe a

7. rmar que las primeras manifes-taciones
matematicas estuvieron relacionadas con el medio ambiente. Las nociones cuadraticas
han estado presentes en diferentes etapas de la historia de las matematicas, se dara un re-cuento
general de las diferentes culturas pioneras de estas nociones, para ir desmenuzando este
concepto de funcion cuadratica.
El concepto de ecuacion es uno de los mas importantes del algebra actual y ha estado pre-sente
a traves de las historia en diversas culturas(Mesa, Ochoa, 2007, pag. 5). Algunas de
las culturas mas relevantes, fueron la Babilonica ellos resolvan problemas como el siguiente:
Hallar un numero que sumado a su inverso de un numero dado(Mesa, Ochoa, 2007,pag. 6).
En comparacion con lo moderno se puede escribir que lo que buscaban los babilonios era dos
numeros A y ~A
tales que A~A= 1 y A + ~A
= b Estas dos ecuaciones dan como resultante la
ecuacion cuadratica: A2 bA + 1 = 0.
En la cultura Arabe, condiciones presentadas. Un cuadrado y diez de sus races, son iguales
a tres unidades, es decir, si sumamos diez races a un cuadrado, la suma es igual a treinta y
nuevo.(Mesa, Ochoa, 2007, pag 9).
Los arabes empezaron a introducir algunas abreviaciones de los procedimientos y de las repre-sentaciones
geometricas.
La cultura griega presenta en los elementos de Euclides situaciones como Si se corta una lnea
recta en (segmentos) iguales y desiguales, el rectangulo comprendido por los segmentos de-siguales
de la (recta) entera, junto con el cuadrado de la (recta que esta) los puntos de seccion,
es igual al cuadrado de la mitad. Proposicion 5 Libro II, Los elementos de Euclides citado
por. (Mesa, Ochoa, 2007, pag 8). Euclides utilizaba

8. guras rigurosamente geometricas y las
demostraciones eran presentadas de forma retorica, pero lo de interes es que ya se posea una
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nocion de cuadrado. Un aporte valiossimo a esta cultura, es el descubrimiento de las secciones
conicas por parte de Apolonio que realiza un tratado sobre ellas que sirvio como base para
la geometra analtica. Surge tambien como la solucion de los tres problemas griegos, como la
duplicacion del cubo, la cuadratura del crculo y la triseccion de un angulo agudo.
En la demostracion de Hipocrates, puede reducirse a encontrar dos medias proporcionales en-tre
la arista dada y su doble. (Mesa, Ochoa, 2007, pag 13). En nuestra notacion algebraica,
sean x e y tales que;
a=x = x=y = y=2a entonces x2 = ay e y2 = 2ax.
Pero es Apolonio de Perga quien hace un tratamiento mas amplio que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulacion de

10. nitiva. Apolonio les da su nombre de

11. nitivo Ellipsis
(de

12. ciencia), Hyperbola (avanzar mas alla) y Parabola (colocar al lado o comparar) que indi-caba
que no haba de

13. ciencia ni exceso(Boyer C,1987).
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,
variando el angulo de inclinacion del plano con respecto al eje del cono y a partir del cono
dedujo una propiedad plana fundamental, una condicion necesaria y su

14. ciente para que un
punto este situado en la curva, y en ese momento abandono el cono y procedio a estudiar las
conicas por metodos planimetricos exclusivamente.
Luego Descartes solo examina con detalle un lugar geometrico, en el cual obtiene la ecuacion:
y2 = aybxy+cxdx2, ecuacion general de una conica que pasa por el origen de coordenadas.
Descartes presenta condiciones sobre los coe

15. cientes para que la conica sea una recta, una
parabola, una elipse o una hiperbola, saba que eligiendo adecuadamente tanto el origen de
coordenadas como los ejes, poda reducirse la ecuacion a la forma mas sencilla, pero el hecho
es que no da ninguna de las formas canonicas.(Boyer C, 1987).
Tras la Geometra de Descartes publicada en frances y no en latn (la lengua universal de la cien-cia),
Van Schooten la traduce al latn en 1649 y junto con sus discpulos adquiere la geometra
cartesiana un rapido desarrollo, demuestra que las ecuaciones y2 = xy + bx; y2 = 2dy + bx
e y2 = bx x2, representan respectivamente hiperbolas, parabolas y elipses. Pero es en 1658
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16. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
cuando uno de los miembros del grupo de Van Schooten Jan de Witt reduce todas las ecuacio-nes
de segundo grado en X e Y a formas canonicas, por medio de rotaciones y traslaciones
de los ejes. De Witt saba como reconocer cuando tal ecuacion representaba una elipse, cuando
una parabola y cuando una hiperbola, segun que el llamado discriminante fuera negativo, nulo
o positivo.
Por lo tanto en el siglo XVll, se de

17. nieron las conicas como curvas correspondientes a ecuaciones
de segundo grado, en X y en Y. el estudio de los lugares geometricos establecidos realizando
una alianza entre la geometra y la algebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones.
Funciones los principios de la construccion del concepto de funcion lo inicia Descartes con su
geometra analtica, que le interesaba la resolucion de ecuaciones algebraicas con dos variables
y el hecho de asociarle a cada curva una ecuacion.
2. La funcion cuadratica como caso particular de funcion
polinomica.
La funcion cuadratica es un caso particular de funcion polinomial, de la forma
f(x) = anxn + an1xn1 + ::: + a1x + a0 en donde n es un entero no negativo y cada
ai (con i = 1; 2; :::; n ) es una constante real. Para n = 2 la funcion queda de

18. nida por la
expresion f(x) = a2x2 + a1x + a0 y a26= 0 , donde a2; a2; a0 son constantes mientras que x es
una variable; la funcion se llama funcion polinomial de segundo grado o funcion cuadratica y
su representacion gra

19. ca recibe el nombre de parabola.
3. Funcion Cuadratica.
Es una de las funciones utiles que se encuentra a menudo. Generalmente se presenta en proble-mas
geometricos de areas, tambien es muy utilizado en los problemas del ser humano, como en
el lanzamiento de objetos o saltos de animales, en la contruccion de estructuras arquitectonicas.
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Permite resolver problemas ademas problemas donde se busquen cantidas maximas o mnimas
de un determinado fenomeno o situacion.
4. Caracterizacion de la funcion Cuadratica.
De

21. nicion 1. Sea f : R ! R una funcion. Se dice que f es una funcion cuadratica si existen
constantes a; b; c 2 R con a6= 0 tal que f(x) = ax2 + bx + c:
Por que a6= 0?
El criterio de una funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c, el coe

22. ciente adebe ser distinto
de cero (a6= 0), pues si a = 0, se tratara de una funcion lineal f(x) = bx + c:
Ejemplos de algunos criterios de funciones cuadraticas, son los siguientes:
1. f(x) = 4x2 + 5x 2; con a = 4; b = 5 y c = 2.
2. g(x) = 3x2; con a = 3; b = 0 y c = 0.
3. h(x) =
1
3
x2 1; con a =
1
3
; b = 0 y c = 1.
4. s(x) =
x2
5
14x; con a =
1
5
; b = 14 y c = 0.
Practica.
Determinar los valores de a, b y c segun corresponda e identi

23. car (marcando con equis [x]) si
o no es una funcion cuadratica en la siguiente tabla.
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24. FUNCION CUADRATICA Bryan.R.V Francela.R.S
Criterio Valores Cuadratica
f(x) a b c Si No
x2 2x + 1
3 + 10x
9x 65 + 5x2
245
1
2x2 + 24
2x
4x2 + 20x
15 + 3x2
10x2 + 12x
11x x6
7x4
Actividad.
Para demostrar la formula general de la ecuacion de segundo grado o la ecuacion cuadratica,
se realizara mediante los siguientes pasos.
*Tenemos la ecuacion de la forma ax2 + bx + c = 0.
1. Transformar la ecuacion anterior por x2 +
bx
a
+
c
a
.
ax2 + bx + c = 0
(ax2 + bx + c) (a)1 = 0 (a)1 ; a6= 0
ax2 + bx + c
a
= 0
ax2
a
+
bx
a
+
c
a
= 0
x2 +
bx
a
+
c
a
= 0
2. Completar cuadrados de la expresion anterior.
x2 +
bx
a
+
c
a
= 0
x2 +
bx
a
+
c
a
+
b2
4a2
b2
4a2 = 0
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