Este documento trata sobre la introducción de los logaritmos en la enseñanza secundaria. Brevemente describe el contexto histórico de los logaritmos, su definición y características como función logarítmica. También explica cómo planificar una clase para introducir los logaritmos a estudiantes relacionándolos con la función exponencial.

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Universidad de Costa Rica
Sede del Atlántico
Recinto Turrialba
Álgebra y Análisis II MA-0304
Introducción de los logaritmos en la enseñanza secundaria
Lourdes Hernández Rodríguez
Bryan Ramírez Vega
II ciclo
2014

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Tabla de contenidos.
Introducción. .....................................................................................................................................3
Contexto Histórico. ..........................................................................................................................4
Función Logarítmica. ......................................................................................................................5
Definición. .....................................................................................................................................5
Características. ............................................................................................................................6
Criterio.......................................................................................................................................6
Dominio. ....................................................................................................................................6
Codominio. ...............................................................................................................................6
Rango o ámbito. ......................................................................................................................6
Monotonía. ................................................................................................................................6
Biyectividad. .............................................................................................................................6
Inversa. .....................................................................................................................................7
Intersecciones con los ejes. ...................................................................................................7
Asíntota. ....................................................................................................................................7
Propiedades de los logaritmos. .....................................................................................................8
Logaritmo natural o neperiano. ......................................................................................................9
Introducción de logaritmos en la enseñanza secundaria. ..........................................................9
Área temática. ..............................................................................................................................9
Contenido o conocimiento. .........................................................................................................9
Habilidad específica. ...................................................................................................................9
Reto. ..............................................................................................................................................9
Trabajo independiente. .............................................................................................................10
Comunicación de respuestas. .................................................................................................10
Cierre. .........................................................................................................................................10
Forma exponencial. ...............................................................................................................10
Forma logarítmica. .................................................................................................................10
Calcular la inversa de la función exponencial. ..................................................................12
Historia. ...................................................................................................................................13
Conclusión. .....................................................................................................................................14
Bibliografía. ....................................................................................................................................15

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Introducción.
En este trabajo se va a llevar a cabo una investigación sobre las funciones logarítmicas. La cual es muy importante para aplicaciones del día con día de las personas. Se iniciará con una reseña histórica para conocer de dónde y cómo surge está función y así tener una mejor comprensión.
De esta misma manera se profundizaremos en sus características desde su definición como su criterio, dominio, codominio, gráfica y en consecuencia las intersecciones con los ejes, la concavidad, su monotonía también su ámbito y esta misma manera sus asíntotas. Así también el logaritmo natural y la relación entre la función logarítmica y función exponencial. Por otro lado, indagaremos las propiedades de la función logarítmica.
Se explicara la planificación de una clase en la enseñanza secundaria acerca de cómo introducir los logaritmos a estudiantes que no tuviesen el conocimiento previo de la función logarítmica, esta se llevara a cabo con respecto a la función exponencial. Mediante la indución de la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.

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Contexto Histórico.
Hace casi 400 años los logaritmos aparecieron para facilitarnos los cálculos aritméticos y geométricos, esto permite durante años poder trabajar con más facilidad en el campo de agrimensura, astronomía y en el campo de la navegación que fue lo que más intereso a los científicos del siglo XVII influenciados con los descubrimientos de Galileo y Kepler, con relación de los cuerpos celestes, también había gran interés económico y militar. Los cuerpos celestes eran de gran importancia para los navegantes europeos que salían en buscas de materia prima y nuevas relaciones comerciales. Con relación al ámbito militar, era necesario aproximar la trayectoria de los proyectiles, alcance, altura y velocidad de las armas, por lo que el gobierno invertía mucho dinero para financiar la búsqueda de soluciones provechosas.
En cuanto a la navegación era de suma importancia debido a que los navegantes se alejaban cada vez más de las costas de donde partían ya que no conocían la latitud y longitud (coordenadas terrestres) con precisión, lo que ocasionaba problemas para la ubicación, por lo que se dificultaba la llegada al destino planteado, estos errores producían grandes pérdidas económicas, por lo que el gobierno de Europa se insta a los científicos para que construyan tablas de datos cada vez más aproximadas esto a John Napier de Escocia y a Jobst Burgi de Suiza, a la elaboración de los logaritmos. El término logaritmo significa (número razón) y fue Napier quien utilizo el nombre por primera vez en 1619.
El descubrimiento de los algoritmos se produjo mediante dos caminos que son, los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación y el cálculo de las riquezas acumuladas a lo que se refiere a las reglas de intereses compuestos, ambos caminos inspiraron a John Napier y a Jobst Burgi en el descubrimiento de los logaritmos. Las tablas de Napier se basaban en los llamados logaritmos naturales los cuales eran un poco complicados usar. Briggs era un profesor de Gresham College de Londres que se interesó en la tabla que había elaborado Napier y juntos idearon la idea de

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elaborar logaritmos comunes y fue Brigg quien transformo de la tabla de Napier en los logaritmos comunes la cual fue publicada en 1617, estas tablas fueron utilizadas para los cálculos hasta alrededor de los años 1972 donde aparecieron las calculadoras manuales.
Los logaritmos nacen con la afinidad de simplificar más aquellas tareas en las que se utilizan las operaciones básicas para resolver laboriosos problemas en las que se necesitan exactitud, en 1631 Henry Briggs realiza la primera tabla en base 10, en su libro llamado Logarithmall Arith- Metike Briggs manifiesta la importancia de la confección de los logaritmos. “Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritm´etica y geometría. Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad. En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no solo de aritmética y geometría, sino también de astronomía.”(Tapia, 2003, p.6).
Napier trabajaba originalmente con seno por lo que se dice que su investigación está basada en la geometría, mientras que Briggs trabajaba su investigación en un enfoque algebraico ya que trabajaba por medio de sucesiones de progresiones aritméticas y geométricas.
Función Logarítmica.
Definición.
La función logar´ıtmica con base 푏,푏 ∈푅+,푏≠1 , es la función 푓: 푅+→푅, definida por 푓(푥)=log푏푥, donde: log푏푥=푦 ↔푏푦=푥.
Logaritmo de un nu´mero (푥) es el exponente (푦) al que hay que elevar la base (푏) para que nos de dicho nu´mero (푥), el nu´mero (푥) debe ser positivo 푥>0.

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Ejemplos:
Forma logarítmica
Forma exponencial
log푏1=0
푏0=1
log푏푏=1
푏1=푏
log푏푏−1=−1
푏−1=푏−1
Características.
Criterio.
La función logarítmica es una función cuyo criterio es de la forma: 푓(푥)=log푏푥 , con 푏,푏 ∈푅+,푏≠1. Se lee logaritmo base 푏 de 푥 (log푏푥=푦 ↔푏푦=푥).
Dominio.
El dominio de la función logarítmica es 푅+.
Codominio.
El codominio de la función logarítmica es 푅.
Rango o ámbito.
El rango o ámbito de la función logarítmica es 푅.
Monotonía.
La función logarítmica 푓: 푅+→푅 tal que 푓(푥)=log푏푥 , con 푏,푏 ∈푅+,푏≠1, entonces:
1. Si 푏>1 푓 es creciente.
2. Si 0<푏<1 푓 es decreciente.
Biyectividad.
Decimos que una función 푓:퐴 ⊂푅→푅 es monótona si y solo si es creciente en 퐴 o decreciente en 퐴. La función logarítmica cumple lo anterior dicho ya que 푓: 푅+→푅 y está es creciente o decreciente, entonces es monótona.

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Por el teorema que dice "Si 푓 definida en 퐴⊂푅 es una función monótona, entonces, considerando su ámbito 퐵 como su codominio, existe la función inversa 푓−1:퐵→퐴".
Como la función logarítmica es monótona, y su rango es igual al codominio (푓: 푅+→푅), entonces existe la función inversa. Por lo tanto, la función logarítmica es biyectiva.
Inversa.
Una función y su inversa cumplen las propiedades:
푓−1(푓(푥))=푥,∀푥∈퐷푓 y 푓(푓−1(푥))=푥,∀푥∈퐷푓−1.
La inversa de la función logarítmica 푓(푥)=log푏푥, es la función exponencial 푓−1(푥)=푏푥.
Si 푓(푥)=log푏푥 ↔ 푓−1(푥)=푎푥, entonces:
1) (푓○푓−1)(푥)=푓(푓−1(푥))= log푏(푓−1(푥))=log푏푏푥=푥, con 푥∈푅.
2) (푓−1○푓)(푥)=푓−1(푓(푥))=푏푓(푥)=푏log푏푥=푥, con 푥>0.
∴log푏푏푥=푏log푏푥.
Intersecciones con los ejes.
La intersección con el eje "푦": no tiene.
La intersección con el eje "푥": (1,0).
Asíntota.
La función logarítmica posee asíntota vertical 푥=0, cuando 푥→0,푓(푥)→±∞.
A) Si 푏>0, entonces 푥→0 se tiene que log푏푥→−∞.
B) Si 0<푏<1, entonces 푥→0 se tiene que log푏푥→+∞.

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Propiedades de los logaritmos.
1. Logaritmo del producto.
log푎푥푦= log푎푥+log푎푦
2. Logaritmo del cociente.
log푎 푥 푦 = log푎푥−log푎푦
3. Logaritmo de una potencia.
log푎푥푛=푛∙log푎푥
4. Cambio de base.
log푎푥= log푏푥 log푏푎 ,푏>0,푏≠1
5. En particular:
log푎푥= ln푥 ln푎
6. Otras.
log푎푥 1 푛= 1 푛 ∙log푎푥 log푎√푥푛= log푎푥 푛
log푏1=0
log푏푏=1
log푏푏−1=−1

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Logaritmo natural o neperiano.
Recordamos que el número de Euler (푒) se puede definir como: 푒= lim 푛→+∞ (1+ 1 푛 ) 푛 .
La función log푒푥 es llamada logaritmo natural o neperiano, en honor a John Napier a quien se atribuye la primera descripción de esta función para el continuo de los números reales. Se denota por ln푥, por lo que log푒푥=ln푥.
Como la función logarítmica es secuencialmente, tenemos: log푛→+∞푛 ln(1+ 1 푛 )= lim 푛→+∞ ln(1+ 1 푛 ) 푛 = ln푒=1.
Como la función logarítmica es biyectiva, por ende es invertible y su inversa es la función exponencial, entonces tendríamos: 푓(푥)= ln푥 ↔ 푓−1(푥)= 푒푥.
Introducción de logaritmos en la enseñanza secundaria.
Área temática.
Relaciones y álgebra.
Contenido o conocimiento.
Funciones logarítmicas.
Habilidad específica.
Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.
Reto.
Las diferencias de presiones, que se producen al ascender una montaña, son la causa que algunas personas se apunen y tengan fuertes dolores de oídos. Investigaciones científicas determinaron que la presión atmosférica está dada por la expresión: 푓(푥)= ( 910) 푥 , 푥: se mide en miles de metros, 푦: se mide en atmósferas. ¿Qué altura se tiene con 0,6561 atmósferas?

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Trabajo independiente.
Cada estudiante durante un tiempo determinado analizará la información que se les brindó y da una solución al ejercicio planteado. En ese tiempo el docente observa y aclara las consultas que puedan realizar los estudiantes.
Comunicación de respuestas.
Los estudiantes una vez que han analizado la situación problema, realizan una pequeña exposición al resto del grupo la forma y las estrategias utilizadas para dar solución a lo planteado.
Cierre.
El docente debe de analizar los métodos de resolución, corrige y retroalimenta los procesos de resolución que utilizaron los alumnos. Explicación por parte del docente sobre la forma más acertada para resolver la situación problema.
Forma exponencial.
Dada la fórmula 푓(푥)= ( 910) 푥 , se puede obtener la siguiente tabla:
푥
0
1
2
3
4
푓(푥)
1
0.9
0.81
0.729
0.6561
Observamos que si 푥=4→푓(푥)=0.6561, entonces se tendría la solución:
*La solución es 4000 metros de altura.
Forma logarítmica.
푓(푥)=( 910) 푥 0.6561= ( 910) 푥 log0.6561=log( 910) 푥 log0.6561=x ∙ log( 910) log0.6561log( 910) =푥

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4=푥
*La solución es 4000 metros de altura.
Función exponencial
Función logarítmica
Criterio
푓(푥)=푎푥
푓−1(푥)=log푎푥
Puntos de intersección
(0,1)
(1,푎) (−1,1 푎 )
(1,0)
(푎,1) ( 1 푎 ,−1)
Creciente
Decreciente

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Se concluye:
푏푥=푦↔log푏푦=푥 , 푏 ∈푅+,푏≠1 .
Calcular la inversa de la función exponencial.
i. Cambiar 푓(푥) por 푦.
ii. Despejar la 푥.
iii. Intercambiar los valores 푥 y 푦.
iv. Cambiar 푦 por 푓−1(푥).
Ejemplo.
Calcular la función inversa de 푓(푥)=23푥−1+4.
푦=23푥−1+4 (i) 푦−4=23푥−1 log2(푦−4)=log223푥−1 log2(푦−4)=3푥−1 log2(푦−4)+1=3푥
log2(푦−4)+13=푥 (ii)
log2(푥−4)+13=푦 (iii)
log2(푥−4)+13=푓−1(푥) (iv)
Por lo tanto 푓−1(푥)= log2(푥−4)+13 .

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Es importante dar a conocer a los estudiantes un resumen o un acercamiento de la historia de los logaritmos.
Historia.
La historia de los logaritmos revela la dificultad de este concepto. Aquí se relata un breve resumen de esta historia.
En 1614, John Napier (1550-1617) publicó su primera obra Descripción del maravilloso canon de logaritmos, después de 20 años de trabajo. En esta obra Napier describe la naturaleza de los logaritmos y construye una tabla de logaritmos de senos de ángulos, con arcos dados en minutos. En su segundo trabajo publicado póstumamente en 1619, Construcción del maravilloso canon de logaritmos, Napier describió la teoría que utilizó para construir las tablas. En el año 1617, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1630) publicó un libro con los logaritmos de los números 1 a 1000 con una precisión de 14 decimales, y en 1624 publicó otra obra con los logaritmos de los números 1 a 20 000 y de 90 000 a 100 000 con 14 cifras decimales de precisión.

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Conclusión.
Este trabajo fue de gran ayuda como estudiante ya que el principal interés era entender la función logarítmica, los conocimientos que se tenían de esta eran verdaderamente pocos en el área histórica principalmente y los que sabíamos eran por el uso de una calculadora típico de la enseñanza que se brindan en los colegios. Entonces se toma como un reto poder comprender, analizar y trabajar la función logarítmica que es indispensable poder resolverla. También se observó claramente el comportamiento desde la gráfica la cual es muy importante.
Uno de nuestros principales objetivos es lograr que los futuros docentes logren realizar una clase introductoria a los logaritmos de la mejor manera, para plasmar el conocimiento de esta función de modo que los estudiantes comprendan sus características y aplicaciones.
Por otro lado se quisiera resaltar un aspecto importante, como futuro profesor si quisiéramos que los estudiantes logren entender lo que es un logaritmo, debe que estar en nuestros objetivos desarrollarle en clase de la mejor manera para que a los futuros alumnos no les suceda lo que pasa actualmente en la enseñanza de secundaria y obtengan un conocimiento de gran utilidad para así con ello una mejor preparación el día que logren ingresar a la universidad.
También se nota que los logaritmos no son difíciles de entender con práctica y sabiendo aplicar sus propiedades se va a facilitar el uso y su gran importante que tienen estos en la resolución de muchos problemas que nos enfrentamos en nuestro diario vivir.

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Bibliografía.
Araya Fernández, M. (2006). Matemática 10°. Larson, R. Hostetler, R. Edwards, B. (1995). Cálculo y Geometría Analítica.
Arias Tencio, F. Barrantes Campos, H. (2010). Introducción a la matemática formal desde las funciones. (Universidad de Costa Rica Ed.).
Ávila H, J. (2011). Algebra y trigonometría: ejemplos y ejercicios. (Instituto Tecnológico de Costa Rica Ed.).
Duarte, A & Cambronero, S. Construcción de conjuntos númericos. Ed. UCR.
Ramírez, B & Camacho, S & Ramírez, F. (2013). Función logarítmica y su caracterización.