Lo que aprende de las matemáticas cuando se conoce su lenguaje.

1. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 1

2. Medios, Métodos, Modelos y Sistemas
Aplicados a la Educación Superior Tecnológica
Pensamiento Complejo y Metacognición
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
Foro Académico 2014
Ciencias Básicas
M. C. J. Agustín Flores Ávila
c. e.: floresavila@math-gym.com cidde2010@gmail.com
WWW.MATH-GYM.COM
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 2

3. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 3

4. 1.- Profesores de Matemáticas que estamos
formando Ingenieros.
2.- Conocimiento de Técnicas Matemáticas.
3.- Comprensión de Conceptos.
4.- Habilidad para realizar operaciones
matemáticas.
5.- Uso del herramental matemático para resolver
problemas “de aplicación”.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 4

5. Esto nos lleva a ubicar a las Matemáticas en su
justa dimensión: como una DISCIPLINA en el
sentido de que la observancia de sus reglas
propicia el desarrollo de capacidades y facultades
que van más allá del conocimiento, la
comprensión, la habilidad y la aplicación.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 5

6. Como es la capacidad para:
1.- Analizar procesos y resultados matemáticos
2.- Obtener información de las Matemáticas.
3.- Evaluar los procesos y resultados Matemáticos.
4.- Criticar los procesos y resultados Matemáticos.
5.- Argumentar y defender una posición crítica.
Esto define una facultad intelectual que
desemboca en lo que es la cultura matemática.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 6

7. Y que finalmente nos permitiría alcanzar el ideal
que señala Gastón Bachelard [10 ] como el deber
ser del objetivo de la educación superior:
“Desarrollar en los jóvenes el Espíritu
Científico caracterizado por una actitud
crítica ante su circunstancia”.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 7

8. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 8

9. Esta propuesta tiene como marco de referencia
la Educación por Competencias entendida ésta
como el proceso para alcanzar al desarrollo
integral del ser humano.
Para este propósito nos apoyamos en la
definición que hace la Organización para la
Cooperación y el Desarrollo Económico (O. C. D.
E.) junto con el Programa Internacional para le
Evaluación de Estudiantes (P. I. S. A.) de lo que
es la Competencia Matemática.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 9

10. OCDE / PISA define de la siguiente manera la
competencia matemática:
“La competencia matemática es la capacidad de
un individuo para identificar y entender el rol que
juegan las matemáticas en el mundo, emitir
juicios bien fundamentados y utilizar las
matemáticas en formas que le permitan
satisfacer sus necesidades como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo”.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 10

11. Esto viene a definir un enfoque abarcativo en el
que el estudio de las matemáticas no se agota
con el conocimiento de técnicas matemáticas, la
comprensión de conceptos ni con la habilidad
para realizar operaciones.
Trasciende las aplicaciones de las matemáticas
como una herramienta y alcanza la etapa de
reflexión y crítica que define lo que es la cultura
matemática.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 11

12. Por desgracia, la parte constructiva y más
motivante de esta disciplina, que es el de las
APLICACIONES, se extravía en los objetivos del
corto plazo o se enmascara mediante: “técnicas
de solución de problemas catalogados de
antemano, cuyos enunciados de manera
predeterminada señalan al estudiante las recetas
que debe aplicar” [1].
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 12

13. El problema fundamental de las aplicaciones, en
cualquier curso de matemáticas, es que es
prácticamente imposible abrigar esperanzas de
éxito si dejamos de lado el significado de los
conceptos y la representación de las operaciones
matemáticas.
Nuestra hipótesis de partida es que el problema
de la construcción del conocimiento matemático
es un problema de representación y significado.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 13

14. Partiendo de la premisa anterior, voy a presentar
un problema que se puede abordar en cualquiera
de las especialidades, puesto que implica
conocimientos de Física (Cinemática) y
Matemáticas (Ecuaciones Diferenciales) que
forman parte del tronco común de las ingenierías.
En realidad es un ejemplo de una serie de
problemas en los que el significado y la
representación adquieren particular relevancia y
nos permite Aprender de las Matemáticas.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 14

15. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 15

16. Un Marco Teórico es el conjunto de Leyes,
Principios, Teoremas, Postulados, etc. que
posibilitan la resolución de un problema.
El Marco Teórico debe ser el adecuado para el
problema en particular; si este no es el caso, el
resultado obtenido no será correcto.
Cuando en la resolución de un problema no se
cuenta con un Marco Teórico, hay que
desarrollar la teoría correspondiente
contribuyendo así con conocimientos nuevos
al cuerpo de la ciencia de que se trate.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 16

17. La Teoría de la Representación y el Principio
Didáctico conocido como Juego de Marcos
definen el Marco Teórico en el que se apoya
esta propuesta.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 17

18. La Teoría de la Representación en palabras
de D’Amore [10] nos dice que:
“. . . la construcción de los conceptos
matemáticos depende estrechamente de la
capacidad de usar más registros de
representaciones semióticas de esos
conceptos:
1.- de representarlos en un dado registro
2.- de tratar tales representaciones al interior
de un mismo registro
3.- de convertir tales representaciones de un
dado registro a otro”.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 18

19. A tales representaciones Moreno Armella [11]
les llama mediadores en el sentido de que
constituyen el vehículo mediante el cual el
alumno accede al conocimiento.
Recomienda utilizar diversos mediadores
(representaciones) para evitar que los
conceptos queden unidos en forma indeleble a
cierta “idea”.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 19

20. Por su parte el Juego de Marcos nos señala la
pertinencia de presentar el objeto del conocimiento
mediante diversos enfoques para, en función de
aproximaciones diferentes y sucesivas al mismo,
extraer el conocimiento en manera fraccionaria y
englobarlo después en su totalidad.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 20

21. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 21

22. El problema que vamos a resolver queda
enunciado en los siguientes términos:
"Describa la posición x(t) de un cuerpo de
masa “m” conocida ubicado en el vacío, si a
partir del reposo se le aplica una fuerza
impulsiva unitaria d(t) en t = 0".
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 22

23. Gráfica
d(t)
0
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 23

24. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 24

25. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 25

26. El Marco Teórico de la Física lo constituye el
conjunto de Leyes y Principios que posibilitan la
resolución del problema.
El Marco Teórico debe ser el adecuado para el
problema en particular; si este no es el caso, el
resultado obtenido no será correcto.
Cuando en la resolución de un problema no se
cuenta con el correspondiente Marco Teórico, hay
que desarrollar la teoría adecuada, contribuyendo
así con conocimientos nuevos a la ciencia de la
física.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 26

27. En este problema, por ejemplo, no son aplicables
las leyes de la Electrodinámica, o las de la
Termodinámica.
Sería un despropósito que quisiéramos abordar
su resolución utilizando la Mecánica Cuántica o la
Teoría General de la Relatividad.
El Marco Teórico aplicable en la resolución de
esta problema son las Leyes de Newton de la
Mecánica Clásica y el Principio de D’Alambert
para los Sistemas Mecánicos Traslacionales.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 27

28. De acuerdo con el Principio de D'Alambert [3], en un
Sistema Mecánico Traslacional, la(s) fuerza(s)
externa(s) aplicada(s) se distribuye(n) en cada uno
de sus componentes según las leyes
correspondientes.
En este caso, como el sistema es un cuerpo que se
mueve bajo el influjo de una fuerza externa,
entonces, las Leyes de Newton [4, Pag.10] de la
Mecánica Clásica son las aplicables. A saber:
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 28

29. 1ª Ley:
"Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o
de movimiento rectilíneo uniforme a menos que se
vea obligado a alterar este estado por fuerzas
aplicadas a él".
2ª Ley:
"La variación del momento lineal con el tiempo es
proporcional a la fuerza aplicada, y su dirección es la
de esta fuerza".
3ª Ley.
"A cada acción se opone siempre una reacción igual
y de sentido contrario".
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 29

30. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 30

31. El Modelo Matemático de una problema es la
representación en Lenguaje Matemático de tal
problema; dependiendo de la rama de las
matemáticas involucrada en la resolución del
problema, esta representación puede estar dada por:
1.- Un Sistema de Ecuaciones
2.- Una Matriz
3.- Una Ecuación Diferencial, etc.
El Modelo Matemático se obtiene a partir del Marco
Teórico.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 31

32. Por la naturaleza del problema, el Modelo
Matemático que lo representa está determinado
únicamente por la 2ª Ley de Newton, que
usualmente se expresa como:
F = m a . . . (1).
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 32

33. Por el cálculo elemental sabemos que la
aceleración a es la segunda derivada [x''(t)] del
desplazamiento x(t) con respecto al tiempo t.
Utilizando este conocimiento, y como la fuerza
aplicada F es un Impulso Unitario d(t), la
mencionada ley (1) queda dada por:
d(t) = m x''(t) . . . (2).
Una sencilla Ecuación Diferencial de Primer
Grado y Segundo Orden cuya solución es
relativamente fácil.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 33

34. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 34

35. El Marco Teórico de la Matemática lo constituye la
técnica matemática que posibilita la resolución del
problema.
La técnica matemática debe ser la adecuada para
el problema en particular; si este no es el caso, el
resultado obtenido no será correcto.
Cuando en la resolución de un problema no se
cuenta con la técnica matemática adecuada, hay
que desarrollarla, contribuyendo así con
conocimientos nuevos al cuerpo de la ciencia
matemática.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 35

36. Dado que este problema está modelado mediante
una ecuación diferencial, si queremos conocer el
comportamiento del sistema, tendremos que
resolver una ecuación diferencial, por lo tanto, la
técnica matemática aplicable será la Teoría de las
Ecuaciones Diferenciales.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 36

37. M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 37

38. Por la teoría elemental de las Ecuaciones
Diferencial sabemos que existen diferentes
técnicas para resolver una ecuación diferencial,
como son, entre otras:
1.- Integración Sucesiva,
2.- Métodos Numéricos,
3.- Transformada de Laplace,
4.- Transformada de Fourier, etc..
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 38

39. Aparentemente -en realidad así lo es-, por lo
antes dicho, obtener la solución de (2) viene a ser
trivial. Sin embargo, dependiendo del método
empleado se llega a obtener información
adicional que mucho enriquece la enseñanza de
la Ciencia Matemática.
Para el objetivo que nos hemos fijado, vamos a
resolver (2) utilizando la técnica clásica de la
Transformada de Laplace [3 y 5] y la de Fourier [3
y 6]. Una vez obtenida la solución compararemos
resultados y enunciaremos algunas
observaciones.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 39

40. Transformada de Laplace.
Por la Teoría de la Transformada de Laplace
sabemos que:
a).- La Transformada del Impulso Unitario d(t)
es 1.
b).- También sabemos que la Transformada de
x(t) (Desconocida) es X(s) (A conocer).
c).- Y que la transformada de x''(t) es S2 X(s).
(Recordar que estamos considerando que las
condiciones iniciales son cero).
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 40

41. Por lo tanto, si le aplicamos a (2) la
transformada de Laplace obtenemos que:
d(t) = m x''(t)
se transforma en
1 = m S2 X(s) . . . (3).
Es un conocimiento elemental para nuestros
estudiantes de Ingeniería, que el Método de la
Transformada de Laplace transforma una
ecuación diferencial en una expresión algebraica
de fácil resolución.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 41

42. Así, despejando X(s) de (3), obtenemos que:
. . . (4)
X(s)
1
m×s2
Ahora, si obtenemos la Transformada Inversa de
(4) llegaremos a la función buscada, que queda
dada por:
1
m
x(t) ×t×u(t)
. . . (5).
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 42

43. Donde u(t) representa la función escalón unitario
utilizada para definir funciones con dominios en
tiempos positivos.
Este resultado nos indica que la posición x(t) del
cuerpo es inversamente proporcional a su masa m
y directamente proporcional al tiempo t.
El cuerpo se mueve con una velocidad constante
de 1
v(t)
×u(t)
(primera derivada de x(t) con
m
respecto a t) y se aleja indefinidamente del origen.
¡Nunca se detiene!. Se desplaza ad infinitum
obedeciendo la 1ª Ley de Newton.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 43

44. Gráfica de la posición del cuerpo donde se
muestra como el movimiento es indefinido
pero solo en sentido positivo
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 44

45. Este resultado ya había sido anticipado por la
primera Ley de Newton. Como nada se opone a
su desplazamiento, puesto que nos
encontramos en el vacío, el cuerpo tiende a
conservar su estado de movimiento rectilíneo
uniforme. Por lo demás, los viajes espaciales
confirman este mismo resultado.
La matemática de acuerdo con la realidad o la
realidad de acuerdo con la matemática, que no
por secundario [7] pierde relevancia en su
enseñanza
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 45

46. Transformada de Fourier.
Este método conserva tantas semejanzas con el
de Laplace, que la transformada de algunas
funciones es idéntica en ambos, con el simple
intercambio de la variable s por la compleja jw.
a).- En particular, la transformada del Impulso
Unitario d(t) es 1 en ambos casos.
b).- La transformada de x(t) en Fourier se define
como X(w).
c).- La transformada de x''(t) en Fourier está dada
por (jw)2 X(w) suponiendo condiciones iniciales
cero.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 46

47. Entonces, aplicando el Método de la Transformada
de Fourier a la Ecuación Diferencial (2),
obtenemos que:
d(t) = m x''(t)
se transforma en
1 = m (jw)2 X(w) . . . (6).
Que al desarrollarla queda dada por:
1 = - m w2 X(w) . . . (6.a)
Ya que (j)2 = -1)
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 47

48. Resolviendo para X(w) tenemos la expresión:
. . . (7).
X(w)
1
m×w2
-
Vemos que hasta esta etapa de la solución las
diferencias no existen. Las expresiones (4) y (7)
son idénticas, intercambiando, como ya se indicó,
la variable s por la compleja jw.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 48

49. Sin embargo, al momento de obtener la
Transformada Inversa de la expresión (7),
aparece una pequeña diferencia que es de suma
importancia.
Esta Transformada Inversa está dada por:
ö÷ø
. . . (8).
x(t)
1
m
t×u(t)
- æçè
t
2
×
Que al desarrollarla nos queda dada por:
. . . (9)
x(t)
1
m
×t×u(t)
1
2m
- ×t
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 49

50. Esta es la solución buscada, y para efectos de
resultados aquí terminaría nuestro problema.
Sin embargo, como no deseamos quedarnos
solamente con los resultados, sino que aspiramos
a ir "más allá" a partir del significado de los
resultados y "realmente ver" las Enseñanzas de
las Matemáticas, son válidos los siguientes
comentarios.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 50

51. El resultado obtenido mediante Fourier tiene el
término - t/(2m) adicional con respecto a
Laplace.
Este término tan simple implica una gran
variante, ya que representa una función cuyo
dominio son todos los reales. Es decir, está
definida desde - ¥ hasta + ¥. Para clarificar su
importancia expresemos (8 - 9) de la siguiente
manera:
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 51

52. x(t)
-1
× t 2m
ö÷ø
æçèif t < 0
1
× t 2m
æçè
ö÷ø
if t ³ 0
:=
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 52

53. Gráfica de la posición del cuerpo donde se
muestra como el movimiento se da en
sentido positivo y también en sentido
negativo ¿?.
15
10
5
-50 0 50
-5
15
x(t)
-5
-60 t 60
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 53

54. ¿Ahora sí vemos realmente una de las
Enseñanzas de Las Matemáticas?.
Lo que nos está diciendo Fourier con su
resultado, es que un cuerpo que se mueva en
el vacío bajo los efectos de una simple fuerza
Impulsiva Unitaria d(t), es un sistema lineal que
proporciona una respuesta incluso antes de
que se aplique la señal de excitación, que se
aplica en el instante t = 0 y que viene a ser
esta componente negativa.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 54

55. En el resultado tenemos una respuesta de
para tiempos negativos (¿?).
1
2m
- ×t
¿Es esto posible?. ¡Por supuesto que no!.
¿Qué explicación podemos dar a este
resultado a todas luces absurdo?.
Existen tres posibles según el análisis de A.
Beisser [8].
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 55

56. Explicación A
El resultado es incorrecto.
Estamos estudiando un problema utilizando
Leyes Físicas y Técnicas Matemáticas en un
contexto en el que no son válidas.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 56

57. Comentario:
Sabemos que las Leyes de Newton son
aplicables a fenómenos que ocurren en el vacío
y en condiciones semejantes a las del problema
planteado. (Como sabemos, las Leyes de
Newton fueron la base para desarrollar la
Mecánica Celeste).
Por otro lado, el Análisis de Fourier es el
Lenguaje Matemático de la Teoría de las
Comunicaciones cuyo medio natural es el vacío
y, por lo tanto, es aplicable al problema.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 57

58. Conclusión:
El problema está bien abordado desde el punto
de vista Teórico.
Esta explicación no es válida
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 58

59. Explicación B
El resultado es correcto.
El problema planteado define un Sistema
Lineal NO CAUSAL, es decir, uno que no
puede existir en la realidad o que no se
puede construir, según menciona Hwei P.
Hsu [6].
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 59

60. Comentario
Las sondas espaciales Voyager 1 y 2 que hacia
1989 traspasaron las fronteras de nuestro sistema
solar alejándose a razón de 520 y 470 millones de
Kms. por año y los satélites geoestacionarios que
orbitan la tierra sin necesidad de una fuerza motriz
propia, sino solamente obedeciendo la 1ª Ley de
Newton, desmiente la explicación anterior.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 60

61. Comentario:
Esta explicación no es válida.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 61

62. Explicación C
El resultado es correcto (nunca debimos
dudar de esto). Lo que necesitamos, en el
Marco Teórico de las Leyes de Newton, es
reinterpretarlo y encontrarle algún sentido
a la respuesta en el "tiempo negativo” para
seguir "aprendiendo" de las matemáticas.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 62

63. Comentario:
Recordemos lo que nos dice la 3ª Ley de
Newton:
“A cada acción se opone siempre una reacción
igual y de sentido contrario".[4]
En el problema usted se encuentra, junto con el
cuerpo, en algún punto imaginario situado en el
vacío y que define nuestro origen x = 0.
En el instante t = 0 le aplica un Impulso Unitario
d(t) (por ejemplo un martillazo) poniéndolo en
movimiento en el sentido "positivo" con una
velocidad constante v = (1/2m) y una cantidad
de movimiento p = ½ .
Esta es la acción.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 63

64. ¿Cual es la reacción?.
3ª Ley de Newton: Usted recibe un “martillazo”
del objeto obligándolo a moverse en sentido
contrario, es decir, en la dirección negativa con
una cantidad de movimiento p = ½ idéntica.
La componente positiva proporciona la posición,
la velocidad y el sentido del movimiento del
cuerpo y la componente negativa proporciona la
misma información pero . . . ¡de usted! . . . y
ambas medidas con respecto al origen
imaginario.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 64

65. Esto significa que el cuerpo no puede estar
aislado, sino que debe existir "alguien" que le
aplique el impulso: si no ¿Cómo se mueve?.
Fourier resuelve "todo" el problema no
obstante que no se había especificado el otro
componente oculto ante nosotros.
¡Enseñanzas de Las Matemáticas!.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 65

66. Conclusión:
En este sencillo ejemplo hemos resaltado una de
las ventajas que se obtienen al construir
problemas en los que el significado esté
presente, pero, sobre todo, que se haga hincapié
en él.
La matemática no se queda solamente en un
conjunto de algoritmos -impresión que permea el
conocimiento de muchos de nuestros egresados-sino
que da un paso más allá y en forma
inmediata hacia las aplicaciones, lo que
realmente nos permite conocerla, apreciarla,
disfrutarla, y concederle su justo valor.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 66

67. Aprendiendo de las Matemáticas
Bibliografía
• 1. Quintero R., Ursini, S: Desde el enfoque tutorial hacia
el uso constructivista de la computadora en el aula;
Reporte de investigación; Cinvestav, México. 1988.
• 2. Koyré, Alexandre: Estudios de Historia del
Pensamiento Científico. México: Edit. Siglo XXI.
• 3. Cheng, K. D: Analysis of Linear System. Tokio, Japan:
Edit. Addison-Wesley, 1959.
• 4. Symon, R. Keith: Mecánica. Madrid, España: Edit.
Aguilar, 1968.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 67

68. Aprendiendo de las Matemáticas
Bibliografía
• 5. Zill, Dennis G: Ecuaciones Diferenciales con
Aplicaciones. México: Gpo. Edit. Iberoamérica,1982.
• 6. Hsu, Hwei P: Análisis de Fourier. México: Edit.
Addison-Wesley Iberoamericana., 1987. 4ª Edición,
1973.
• 7. Courant, R. & Robbins, R: ¿Qué es la Matemática?.
New Rochelle, N. Y. Aguilar Ediciones. 1979.
• 8. Beisser, A. Conceptos de Física Moderna. Madrid,
España. Ediciones del Castillo, S. A., 1965.
• 9. Polya, George: Mathematical Methods In Science.
New York: Leon Bowden Edit., 1976.
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 68

69. Aprendiendo de las Matemáticas
Bibliografía
• 10. Bachelard, Gastón: La Formación del Espíritu
Científico: Siglo veintiuno editores, 2000.
• 11. D’Amore, Bruno: Conceptualización, registros de
representación semióticas y noéticas. Revista uno No.
35 Pags. 90-106. Universidad de Bolonia, 2004.
• 12. Moreno, Luis. (2001) Cognición, mediación y
tecnología. Cometarios al libro: Origins of the Modern
Mind” de M. Donald. En Avance y Perspectiva Vol.20
M. C. J. Agustín Flores Avila 21/10/14 69

70. DATOS DEL AUTOR
• Nombre.- J. Agustín Flores Avila
• Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista
• Población.- Gómez Palacio, Dgo. C:P: 35050
• Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21
• C. E. floresavila@math-gym.com
• Instituto Tecnológico de la Laguna
• Torreón, Coah.
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