Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
El documento describe diferentes formas en que los parámetros A, B, C y D afectan el comportamiento de las funciones. Cambiar el valor de D produce un desplazamiento vertical de la gráfica, mientras que cambiar C produce un desplazamiento horizontal. Cambiar el valor de B provoca un alargamiento u compresión horizontal de la gráfica, y cambiar A produce un alargamiento o compresión vertical. El documento también muestra cómo modelar el comportamiento de la temperatura a lo largo del día usando la función seno.
1. El documento presenta cuatro problemas resueltos sobre álgebra lineal que involucran valores y vectores propios, polinomio característico y diagonalización de matrices. En el primer problema se calcula el polinomio característico de una transformación lineal dada y se identifica la opción correcta. En el segundo problema se identifica la proposición falsa sobre valores y vectores propios. En el tercer problema se analiza si una transformación lineal dada es diagonalizable. En el cuarto problema se identifica cuál de las proposiciones dadas sobre diagonal
dominio y rango de funciones escalonadas, características y ejemplos.
Una función escalonada es aquella función definida a trozos y tiene la forma de una escalera que pueden ascender o descender al ser dibujadas. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera, función escalón de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.
adj. Semejante en la superficie a una serie de escalones .
Así, la función signo es aquella función que devuelve un valor según si un número o el resultado de una expresión es mayor, menor o igual que 0. Suele representarse en la forma SGN(número). La mayor parte de los lenguajes de programación aplican esta función.
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Gauss-Seidel con relajación. Explica los pasos para implementar cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se aplican. Concluye que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi y que el método de Gauss-Seidel con relajación puede acelerar aún más la convergencia.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, incluyendo traslación y rotación de ejes. La traslación mueve los ejes paralelamente a sí mismos, cambiando las coordenadas de un punto pero no su posición relativa. La rotación gira los ejes alrededor del origen, cambiando las coordenadas de un punto y su posición. Estas transformaciones pueden simplificar ecuaciones al eliminar términos o cambiar la forma de una curva. Se proveen ejemplos ilustrativos de aplicar traslaciones y rot
Este documento presenta una introducción a la física. Explica que la física estudia los fenómenos naturales y trata de encontrar las leyes que los rigen, utilizando las matemáticas y combinando estudios teóricos y experimentales. Divide la física en mecánica clásica, relatividad, termodinámica, electromagnetismo y mecánica cuántica. También resume brevemente los principales avances en física en los siglos XIX y XX, incluyendo las teorías de la relatividad de Einstein y el
El documento trata sobre el cálculo de integrales dobles para procesar imágenes digitales. Explica que la integración parcial permite evaluar una integral doble mediante la integración de una variable a la vez, manteniendo la otra constante. También describe cómo aproximar una integral doble sobre un rectángulo usando una suma de Riemann que toma el punto medio de cada subrectángulo. Por último, explica que las integrales dobles también se pueden evaluar sobre regiones más generales encerradas en un rectángulo.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra para calcular el área de regiones sombreadas dentro de cuadrados. Las preguntas varían la posición y forma de las áreas sombreadas, pero todas involucran hallar el área de una sección dentro de un cuadrado mayor.
El documento describe diferentes formas en que los parámetros A, B, C y D afectan el comportamiento de las funciones. Cambiar el valor de D produce un desplazamiento vertical de la gráfica, mientras que cambiar C produce un desplazamiento horizontal. Cambiar el valor de B provoca un alargamiento u compresión horizontal de la gráfica, y cambiar A produce un alargamiento o compresión vertical. El documento también muestra cómo modelar el comportamiento de la temperatura a lo largo del día usando la función seno.
1. El documento presenta cuatro problemas resueltos sobre álgebra lineal que involucran valores y vectores propios, polinomio característico y diagonalización de matrices. En el primer problema se calcula el polinomio característico de una transformación lineal dada y se identifica la opción correcta. En el segundo problema se identifica la proposición falsa sobre valores y vectores propios. En el tercer problema se analiza si una transformación lineal dada es diagonalizable. En el cuarto problema se identifica cuál de las proposiciones dadas sobre diagonal
dominio y rango de funciones escalonadas, características y ejemplos.
Una función escalonada es aquella función definida a trozos y tiene la forma de una escalera que pueden ascender o descender al ser dibujadas. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera, función escalón de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.
adj. Semejante en la superficie a una serie de escalones .
Así, la función signo es aquella función que devuelve un valor según si un número o el resultado de una expresión es mayor, menor o igual que 0. Suele representarse en la forma SGN(número). La mayor parte de los lenguajes de programación aplican esta función.
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Este documento introduce el concepto de espacio vectorial matricial. Define un espacio vectorial como un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Presenta ejemplos de espacios vectoriales como Rn, polinomios, matrices y funciones. También define subespacios vectoriales como subconjuntos cerrados bajo estas operaciones.
El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales. Un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Se definen vectores en Rn como n-tuplas ordenadas de números reales y se describen operaciones estándar como la suma y producto por escalares. Finalmente, se mencionan ejemplos como R2, R3 y subespacios vectoriales.
Este documento resume varios problemas de física relacionados con la caída libre. Resuelve problemas sobre la posición y velocidad de una pelota de golf al caer de un edificio alto durante 1, 2 y 3 segundos. También calcula la velocidad inicial y final de un llavero lanzado verticalmente y atrapado 1.5 segundos después. Resuelve otros problemas sobre caída libre, incluyendo el tiempo que tarda una pelota de béisbol en alcanzar su máxima altura y la velocidad y altura alcanzada por una flecha
Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por la izquierda como por la derecha. El límite existe si el límite izquierdo y derecho son iguales. El límite, si existe, es único independientemente de si la función está definida en ese punto.
áReas integrales definidas áreas de regiones delimitadas por gráficas_ bach...ortari2014
Este documento explica cómo calcular el área de regiones delimitadas por funciones utilizando integrales definidas. Presenta varios ejemplos resueltos de cálculo de áreas entre funciones, funciones y rectas, y entre dos funciones. También incluye ejemplos de áreas de figuras como un círculo mediante el uso de integrales.
Forma explícita de la función lineal.
Variaciones según la pendiente y la ordenada al origen.
Forma de graficar sin tabla.
Rectas paralelas y perpendiculares.
El documento presenta información sobre integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Explica las definiciones de estas coordenadas y cómo transformar entre sistemas de coordenadas. Luego, resuelve ejemplos numéricos de cálculo de volúmenes usando integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Este documento describe funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica que las funciones de varias variables tienen más de una variable independiente que controlan el valor de la variable dependiente. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, y cómo transformar entre ellos. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y cómo calcular su dominio.
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA Izion warek human
El documento presenta una guía de problemas resueltos de Física I que abarca temas de mecánica, movimiento ondulatorio y calor. La guía contiene problemas resueltos de cada tema junto con las fórmulas y conceptos fundamentales, y está organizada de acuerdo al programa teórico de Física I de la Universidad Nacional de Catamarca. Los problemas han sido tomados de diferentes textos y recreados para vincularlos con temas de geología.
Este documento define funciones y describe sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto de partida uno y solo un elemento de un conjunto de llegada. Describe los conceptos de dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También cubre funciones continuas, discontinuas y periódicas.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
1. Se calcula la carga neta de una esfera con un exceso de 25x108 electrones.
2. Se determina la fuerza electrostática entre dos cargas de 1x10 6 C y -2.9x10 6 C separadas por 10 cm.
3. Se calcula la fuerza de compresión sobre la Luna si 1 g de hidrógeno se separa en electrones y protones colocados en lados opuestos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Define una función como una relación que asocia un único valor de la variable dependiente y a cada valor de la variable independiente. Explica que el dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente, mientras que el recorrido es el conjunto de valores de la variable dependiente. Además, describe diferentes formas de representar funciones como mediante su expresión gráfica, analítica, tabla de valores o enunciado.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, funciones derivadas, derivabilidad y continuidad. Explica la definición de derivada como un límite, su interpretación geométrica como pendiente de la tangente y su uso en física para medir velocidad y otros ritmos de cambio. También cubre reglas para derivar funciones, derivadas sucesivas, derivabilidad de funciones definidas a trozos y el vínculo entre derivabilidad y continuidad.
El documento describe diferentes tipos de cuádricas y superficies geométricas tridimensionales. Detalla las ecuaciones y propiedades de esferas, elipsoides, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elípticos e hiperbólicos, cilindros y conos. También cubre superficies de revolución, traslación y regladas generadas por el movimiento de curvas.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
Este documento contiene 36 ejercicios resueltos sobre integrales definidas y áreas. Cada ejercicio presenta un problema matemático diferente y su correspondiente solución usando integrales definidas. El documento está organizado en secciones separadas para cada grupo de ejercicios.
Ejercicios resueltos de integrales indefinidasasble
El documento presenta ejercicios de cálculo de integrales resueltos mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, descomposición en fracciones simples y cambio de variable. Se calculan integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales, y se resuelven problemas que involucran hallar funciones a partir de sus derivadas o primitivas.
Este documento introduce el concepto de espacio vectorial matricial. Define un espacio vectorial como un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Presenta ejemplos de espacios vectoriales como Rn, polinomios, matrices y funciones. También define subespacios vectoriales como subconjuntos cerrados bajo estas operaciones.
El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales. Un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Se definen vectores en Rn como n-tuplas ordenadas de números reales y se describen operaciones estándar como la suma y producto por escalares. Finalmente, se mencionan ejemplos como R2, R3 y subespacios vectoriales.
Este documento resume varios problemas de física relacionados con la caída libre. Resuelve problemas sobre la posición y velocidad de una pelota de golf al caer de un edificio alto durante 1, 2 y 3 segundos. También calcula la velocidad inicial y final de un llavero lanzado verticalmente y atrapado 1.5 segundos después. Resuelve otros problemas sobre caída libre, incluyendo el tiempo que tarda una pelota de béisbol en alcanzar su máxima altura y la velocidad y altura alcanzada por una flecha
Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por la izquierda como por la derecha. El límite existe si el límite izquierdo y derecho son iguales. El límite, si existe, es único independientemente de si la función está definida en ese punto.
áReas integrales definidas áreas de regiones delimitadas por gráficas_ bach...ortari2014
Este documento explica cómo calcular el área de regiones delimitadas por funciones utilizando integrales definidas. Presenta varios ejemplos resueltos de cálculo de áreas entre funciones, funciones y rectas, y entre dos funciones. También incluye ejemplos de áreas de figuras como un círculo mediante el uso de integrales.
Forma explícita de la función lineal.
Variaciones según la pendiente y la ordenada al origen.
Forma de graficar sin tabla.
Rectas paralelas y perpendiculares.
El documento presenta información sobre integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Explica las definiciones de estas coordenadas y cómo transformar entre sistemas de coordenadas. Luego, resuelve ejemplos numéricos de cálculo de volúmenes usando integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Este documento describe funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica que las funciones de varias variables tienen más de una variable independiente que controlan el valor de la variable dependiente. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, y cómo transformar entre ellos. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y cómo calcular su dominio.
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El documento presenta una guía de problemas resueltos de Física I que abarca temas de mecánica, movimiento ondulatorio y calor. La guía contiene problemas resueltos de cada tema junto con las fórmulas y conceptos fundamentales, y está organizada de acuerdo al programa teórico de Física I de la Universidad Nacional de Catamarca. Los problemas han sido tomados de diferentes textos y recreados para vincularlos con temas de geología.
Este documento define funciones y describe sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto de partida uno y solo un elemento de un conjunto de llegada. Describe los conceptos de dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También cubre funciones continuas, discontinuas y periódicas.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
1. Se calcula la carga neta de una esfera con un exceso de 25x108 electrones.
2. Se determina la fuerza electrostática entre dos cargas de 1x10 6 C y -2.9x10 6 C separadas por 10 cm.
3. Se calcula la fuerza de compresión sobre la Luna si 1 g de hidrógeno se separa en electrones y protones colocados en lados opuestos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Define una función como una relación que asocia un único valor de la variable dependiente y a cada valor de la variable independiente. Explica que el dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente, mientras que el recorrido es el conjunto de valores de la variable dependiente. Además, describe diferentes formas de representar funciones como mediante su expresión gráfica, analítica, tabla de valores o enunciado.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, funciones derivadas, derivabilidad y continuidad. Explica la definición de derivada como un límite, su interpretación geométrica como pendiente de la tangente y su uso en física para medir velocidad y otros ritmos de cambio. También cubre reglas para derivar funciones, derivadas sucesivas, derivabilidad de funciones definidas a trozos y el vínculo entre derivabilidad y continuidad.
El documento describe diferentes tipos de cuádricas y superficies geométricas tridimensionales. Detalla las ecuaciones y propiedades de esferas, elipsoides, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elípticos e hiperbólicos, cilindros y conos. También cubre superficies de revolución, traslación y regladas generadas por el movimiento de curvas.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
Este documento contiene 36 ejercicios resueltos sobre integrales definidas y áreas. Cada ejercicio presenta un problema matemático diferente y su correspondiente solución usando integrales definidas. El documento está organizado en secciones separadas para cada grupo de ejercicios.
Ejercicios resueltos de integrales indefinidasasble
El documento presenta ejercicios de cálculo de integrales resueltos mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, descomposición en fracciones simples y cambio de variable. Se calculan integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales, y se resuelven problemas que involucran hallar funciones a partir de sus derivadas o primitivas.
Este documento presenta 20 ejercicios de cálculo de integrales y áreas comprendidas entre curvas. Algunos ejercicios involucran hallar funciones como ingreso total, costo total y demanda a partir de funciones dadas de ingreso o costo marginal. Los resúmenes proporcionados ofrecen las soluciones de manera concisa en 3 oraciones o menos.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
El documento describe cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante la suma inferior y superior de Riemann. La suma inferior aproxima el área usando rectángulos con altura igual al valor mínimo de la función, mientras que la suma superior usa el valor máximo. Ambas sumas convergen al área real cuando los intervalos son más pequeños.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una función escalonada es la suma de las áreas de los rectángulos determinados por la función en cada intervalo de una partición dada. Luego, define la integral de Riemann de una función cualquiera como el límite de las sumas de las áreas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda función continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo y la regla de Bar
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Ejercicio resuelto de microeconomía, relativo a la función de producto total, a partir de la cual calculamos las funciones de producto marginal y producto medio, y con ello el máximo técnico y el óptimo técnico.
Este documento describe la aplicación de la integral definida para calcular el excedente de consumidores y productores. Explica que la integral definida puede usarse para calcular el área bajo las curvas de oferta y demanda, lo que representa el excedente de los consumidores y productores. También proporciona ejemplos de cómo modelar matemáticamente las funciones de oferta y demanda usadas en economía.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen al girar una función sobre un eje.
2. Se resuelven ejercicios como calcular el área entre curvas, funciones y rectas; y el volumen de un prisma, cilindro y otros sólidos de revolución.
3. También incluye fórmulas para el movimiento rectilíneo uniformemente
Este documento presenta varios ejemplos de aplicación de conceptos de cálculo como derivadas, reglas de derivación y derivadas parciales en contextos de negocios y economía. En la Parte I, se muestran ejemplos de aplicación de la regla del producto y del cociente para calcular derivadas de funciones compuestas. En la Parte II, se calculan derivadas para encontrar costos y ingresos marginales en funciones de costo, ingreso y demanda, lo que permite analizar el impacto de pequeños cambios en las variables. El documento ilust
La tabla resume las derivadas e integrales de funciones comunes como constantes, identidades, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones. No hay ejemplos provistos para las integrales.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integración por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fórmula de integración por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.
El documento presenta la resolución de dos ejercicios de microeconomía que involucran calcular funciones de producción total, marginal y promedio para empresas. En el primer ejercicio, la función de producción es PT = 10L2 + 100L - L3 y el óptimo técnico ocurre cuando L = 5. El máximo técnico es L = 10 y PT = 1000. En el segundo ejercicio, la función es PT = 50L - L2 y el máximo técnico es L = 25 con PT = 625. Ambos ejercicios concluyen representando gráficamente las
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
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Este documento trata sobre el concepto de integral definida y su cálculo. Explica cómo Riemann definió la integral de una función a través de funciones escalonadas, y cómo esto condujo al desarrollo del cálculo de áreas bajo curvas. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow, que permiten calcular integrales definidas encontrando primitivas. Por último, muestra algunas aplicaciones como el cálculo de áreas entre dos curvas.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica el concepto de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos. Luego introduce la integral de Riemann para funciones acotadas mediante funciones escalonadas por defecto y exceso. Finalmente presenta el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la integral definida con la derivada de su primitiva.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento describe conceptos clave relacionados con las integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral escalonada y sus propiedades.
2) La definición de integral de Riemann para funciones acotadas.
3) El significado de la integral definida como el área bajo la curva de una función.
Este documento proporciona una introducción a la integral definida y al cálculo de áreas bajo curvas. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos para aproximar el área total, y cómo el número de subdivisiones afecta la precisión de la aproximación. También define la integral de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona la derivación e integración.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El documento trata sobre las integrales definidas. Explica que una integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. Define los elementos de una integral definida como la función a integrar f(x), los límites a y b, y la variable de integración dx. Además, menciona que una integral definida representa el límite de la suma de Riemann de una función.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Explica que la integral definida denota el área bajo la curva de una función entre dos límites y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos para calcular integrales como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Define la integral definida como el área entre la función f(x), el eje x, y las rectas verticales x=a y x=b. Explica algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales, y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento explica conceptos fundamentales de cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas limitadas por funciones, la interpretación geométrica de la integral como cálculo de área, y técnicas para calcular volúmenes y longitudes generados por la revolución de funciones.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
Este documento describe las aplicaciones de la integral definida en el cálculo de áreas. Explica que la integral definida puede usarse para calcular el área de figuras delimitadas por curvas, mediante la suma de áreas de polígonos aproximados. Proporciona ejemplos de cómo calcular el área bajo curvas paramétricas y entre dos funciones, así como ejercicios resueltos de áreas de figuras específicas.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
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1. TABLA DE INTEGRALES
INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDA
En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas
de una función, descubriendo distintos procedimientos para el
cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales
indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni
su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema,
para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático
alemán, dio a conocer en el siglo XIX.
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo,
etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura
es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que
recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si
cualquier figura tiene área y cómo se calcula.
2. Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función
muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes
cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la
función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x
= 1.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura
también la unidad, por tanto su área es 1/2.
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se
puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros
casos menos sencillos.
Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual
longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos
como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos
rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las
áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.
Calculando estas áreas se obtiene:
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por
exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1],
parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior,
tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos
de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.
Área por defecto :
Área por exceso:
3. Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:
Además,
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un
número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto
coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se
está calculando.
Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos
contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y
cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por
los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele
expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de
[a, b] es:
Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,
a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b
• Ejemplo de partición
Función escalonada
Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] y tomando valores en
4. R, f:[a,b] → R;f es una función escalonada cuando existe una partición
del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior
de cada uno de los intervalos de la partición.
• Ejemplos de funciones escalonadas
1. La función f: [-3, 4] → R definida por:
La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la
función es constante.
Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de
particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición
asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo
de la partición.
2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función
parte
La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número
entero que es menor o igual que el número del que se parte.
Así,
E [3,105] = 3
E [5] = 5
E [-3,001] = -4
E [-1,5401] = -2
E [7,32] = 7
E [-1,52] = -2
De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma
en el interior de cada intervalo que compone la partición, no
considerando el valor que toma en los extremos.
INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA
Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x 0, x1, x2, ...,
xn = b} una partición de [a, b]. Si m i es el valor que toma la función f en
el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x ∈ (xi-1, xi), f(x) = m i ), se llama
integral de la función f en [a, b] al número
m 1(x1 - x0) + m 2(x2 - x1) + m 3(x3 - x2) + ... + m n(x n - xn-1)
Este número se simboliza por:
5. A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior
expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».
Propiedades de la integral definida de una función escalonada
• La integral definida de una función escalonada no depende de la
partición elegida.
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función
• Si los límites de integración, en una integral definida de una función
escalonada, coinciden, entonces
• Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el
valor de la i ntegral cambia de signo:
Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Resolución:
• Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}
Resolución:
6. • Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
• Por definición,
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
INTEGRAL DE RIEMANN
Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en
un intervalo
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un
número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre
tome valores entre -M y M.
Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario
recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron
funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) ≤ f(x) para cualquier x ∈ [a,
b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ≤ h(x) si x ∈ [a, b]. De
todo ello resultaba que:
En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las
funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones
escalonadas por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b]. En
estas condiciones, si existe un único número I que cumpla
para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
si
x ∈ [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.
7. y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.
Significado de la integral definida de una función
• Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable
(existe su
po
r la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.
• Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la
función quedaría por debajo del eje de abscisas.
En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por
defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que
el
área de la región que determina una función negativa es:
Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está
definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de
los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función
escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que
determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función
escalonada es negativa.
• Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y
parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en
varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que
delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].
En la figura adjunta, se ve claramente que:
8. La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es
imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por
exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho
más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no.
Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se
omite por escapar de los objetivos de este libro.
Teorema
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b ],
entonces f(x) es
Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como
sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier
función continua.
Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida
la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene
sentido y existe
A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:
Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no
confundirla con la variable x de la función f.
En estas condiciones, si t0 ∈ [a, b] es un punto en el que la función f es
continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0
es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto
9. coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la
función f es continua, la función G es una primitiva de la función f.
El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un
método que permita resolver las integrales definidas de un modo
sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de
él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.
Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una
función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x)
para cualquier x ∈ (a, b), entonces
Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del
teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para
resolver una integral definida de una función continua, basta con
encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de
integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.
Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de
integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una
función.
Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir,
no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es
una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las
expresiones siguientes tienen el mismo significado:
Ejercicio: cálculo de áreas
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
• Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las
rectas
x = 1 y x = 2.
Resolución:
10. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Dos propiedades fundamentales de la integral definida
Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen
siendo válidas en el cálculo de integrales definidas:
1. Si K es un número real cualquiera,
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al
cortarse
Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥
g(x), entonces
representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.
En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones
que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo
en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:
Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir,
primeramente, estos pasos:
• Se trazan las curvas.
11. • Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.
• Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos
anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los
límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la
zona encerrada entre las dos curvas es B + C.
Para calcular su área se procede así:
Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D
y sumar el área de C.
(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por
debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:
Ejercicio: cálculo de áreas
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• Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2
y g(x) = x.
Resolución:
1. Trazado de las curvas:
2. Puntos de corte de las dos curvas:
12. 3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se
llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo
que determinan la recta
y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere
calcular, es evidente que
S=A-B
El área también se podría haber calculado así:
‚ Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2
y
g(x) = x2 - 2x.
Resolución:
1. Trazado de las curvas:
• Máximos y mínimos de f(x):
• Máximos de mínimos de g(x):
2. Puntos de corte de f(x) y g(x):
13. Puntos (0, 0) y (4,8)
3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.
Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:
ƒ Calcular el área del círculo de radio r .
Resolución:
• Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro
(0, 0) y radio r:
• Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema,
se calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante.
El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación
del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y = pues la
ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se
deduce que el área del círculo es:
• Para resolver esta integral se hace el cambio de variable
x = r sen t dx = r · cos t
Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:
14. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Volúmenes de sólidos
• Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese
una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al
sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente
contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b
unidades de longitud del punto O.
• Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un
plano perpendicular a la recta L por el p unto x. Se llamará V(x) al
volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de
la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es
claro que V(a) = 0 y V(b) = V.
• Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h ) - V(x) es el
volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su
volumen es A(x) · h.
Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es
continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está
infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente
igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x +
h) se consideró que ambas eran iguales.
Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h
Dividiendo entre h,
En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) -
V(a), y por el teorema fundamental del cálculo,
15. Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que
se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce
un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es
perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.
Ejercicio: cálculo de volúmenes
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
• Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.
Resolución:
• Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que
coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de
una de las bases.
• Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier
punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por
tanto, A(x) = πr 2.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Volúmenes de cuerpos de revolución
Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo
[a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas,
genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.
Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la
sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:
Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:
Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
• Calcular el volumen de una esfera de radio r.
Resolución:
• Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de
cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una
16. semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la
semiesfera.
• La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:
y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2
• El volumen de la esfera es entonces:
‚ Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.
Resolución:
• Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices
(0, 0),
(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0,
0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .
• La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es
• El volumen del cono es entonces:
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