1. Cap´
ıtulo 1
´
Algebra y c´lculo tensorial
a
Cada disciplina de la ciencia y la ingenier´ tiene su lenguaje, que ha ido
ıa
evolucionando con los a˜os y que permite su descripci´n de la forma m´s clara y
n
o
a
sencilla posible. La elasticidad es una teor´ de campos y, como tal, se expresa m´s
ıa
a
clara y sencillamente en el lenguaje de los vectores y los tensores. Se podr´ decir
ıa
que el lenguaje natural de la teor´ de la elasticidad, aquel en el que los conceptos
ıa
aparecen m´s claramente representados, es el de los vectores y los tensores, y por
a
ello parece recomendable su uso. En estas p´ginas se recogen los conceptos m´s
a
a
b´sicos, que son los que se emplear´n en el desarrollo de la asignatura.
a
a
1. Vectores y campos vectoriales
La definici´n completa de un vector y un campo vectorial se puede consultar en
o
cualquier libro de ´lgebra. En lo que sigue, llamaremos vector simplemente a un
a
elemento cualquiera de Rd , siendo d igual a 3 en estas notas, aunque la gran parte
1

2. de los conceptos que se presentan son v´lidos tambi´n para otras dimensiones. Un
a
e
campo vectorial definido en Ω ⊂ R3 es una funci´n que para todo punto en Ω
o
devuelve un vector.
Notaci´n: Para diferenciar los vectores de los escalares se emplean en la literatura
o
distintas notaciones. As´ dependiendo del libro u autor que se consulte, un mismo
ı,
vector se puede ver escrito como u, ¯, , u, . . . Entre todas estas utilizaremos la
u u
primera.
1.1. Componentes y cambio de base
Sea B = {e1 , e2 , e3 } una base cartesiana de R3 . Cualquier vector v ∈ R3 se
puede expresar de la forma
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 =
3
vi ei ,
(1.1)
i=1
y v1 , v2 , v3 se llaman las componentes de v en la base B. Las componentes de un
vector cambian seg´n la base a la cu´l se refieran, por lo tanto no se debe confundir
u
a
el vector mismo con su representaci´n.
o
Para expresar que una terna v1 , v2 , v3 son las componentes del vector v en la
base B escribiremos:
 
 v1 
{v}B = v2
.
(1.2)
 
v3 B
A menudo, cuando no hay posibilidad de confusi´n porque s´lo se ha definido una
o
o
base se emplea la notaci´n
o
 
 
 v1 
 v1 
, o simplemente v = v2
.
(1.3)
{v} = v2
 
 
v3
v3
La relaci´n entre las componentes de un vector, referidas a dos bases distintas
o
se obtiene de la siguiente manera. Sea B la base anteriormente definida y B una
nueva base cartesiana formada por los vectores ortormales {e , e , e }. Un vector
1 2 3
2

3. ei cualquiera de la base B se puede expresar como suma de vectores de la base B
de la forma:
ei = ai1 e + ai2 e + ai3 e ,
1
2
3
siendo aij = ei · e .
j
(1.4)
Otro vector cualquiera v se puede escribir indistintamente como combinaci´n lineal
o
de los elementos de B o de los de B :
v=
3
vi ei =
i=1
3
vj e .
j
j=1
Sustituyendo la expresi´n (1.4) e identificando las componentes se obtiene
o
vj
=
3
aij vi .
(1.5)
i=1
Esta ultima relaci´n se puede expresar
´
o
 

a11
 v1 
v2
=  a12
 
v3 B
a13
o de forma compacta
matricialmente como
 
a21 a31  v1 
,
a22 a32  v2
 
a23 a33
v3 B
{v}B = [A]T {v}B .
(1.6)
(1.7)
Si las bases B y B son ortonormales, la matriz de cambio de base [A], es una matriz
ortogonal, es decir, que verifica [A]−1 = [A]T . M´s a´n, si las dos bases tienen la
a u
e e ], ver debajo el significado de la operaci´n
misma orientaci´n ([e1 e2 e3 ] = [e1 2 3
o
o
[]), entonces el determinante de [A] es igual a 1 por tanto es una rotaci´n.
o
Es habitual referirse a los vectores de la base cartesiana de R3 como {i, j, k} y
las componentes de un vector v en dicha base como vx , vy , vz .
1.2. Operaciones algebraicas
Los vectores de Rd poseen las operaciones vectoriales b´sicas de suma y
a
multiplicaci´n por un escalar. Para realizar operaciones vectoriales nos vemos
o
obligados a menudo a emplear las componentes de un vector, pero es importante
recalcar que el resultado es independiente de la base escogida, siempre que todos los
vectores que intervengan se expresen en la misma base. Por ejemplo, para calcular el
3

4. vector c = a + b, utilizamos las componentes de todos ellos en la base B y podemos
emplear la expresi´n:
o
 
 
 
 c1 
 a1 
 b1 
c2
= a2
+ b2
.
(1.8)
 
 
 
c3 B
a3 B
b3 B
Adem´s, en el espacio eucl´
a
ıdeo se define el producto escalar de dos vectores con
la expresi´n
o
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
(1.9)
El producto escalar, como el resto de operaciones de las que tratamos, es una
operaci´n intr´
o
ınsica que no depende de la base escogida. La norma de un vector
se indicar´ como |a| y se define de la siguiente forma
a
√
|a| = a · a .
(1.10)
Cualquier vector no nulo se puede normalizar, multiplic´ndose por el inverso de su
a
norma, y obteni´ndose un vector unitario. Dado un vector cualquiera a y otro
e
vector cualquiera unitario u, se definen la proyecci´n de a sobre u y la proyecci´n
o
o
de a sobre el plano normal a u como
a⊥ = a − au .
u
au = (a · u)u ,
(1.11)
Esta descomposici´n es unica y se puede escribir a = au + a⊥ .
o
´
u
El producto vectorial de dos vectores se indica como a × b y se define el
producto mixto a, b, c como
[a b c] = a · b × c .
(1.12)
1.3. C´lculo vectorial
a
En Teor´ de Campos se estudian los principales operadores diferenciales que
ıa
act´an sobre los campos escalares y vectoriales. Estos son el gradiente, la divergencia
u
y el rotacional. Para definirlos, consideramos en esta secci´n una base cartesiana
o
{i, j, k} y coordenadas x, y, z. Adem´s usamos la notaci´n
a
o
φ,x =
∂φ
,
∂x
φ,y =
∂φ
,
∂y
para cualquier campo φ = φ(x, y, z).
4
φ,z =
∂φ
,
∂z
(1.13)

5. Sean φ y v respectivamente un campo escalar y uno vectorial definidos sobre
Ω ⊂ R3 y diferenciables. Las operaciones diferenciales mencionadas se definen, en
componentes:


 φ,x 
{grad φ(x, y, z)} = φ,y
,


φ,z
div v(x, y, z) = vx,x + vy,y + vz,z ,
(1.14)
i
j
k
∂
∂
∂
rot v(x, y, z) = ∂ x ∂ y ∂ z
vx vy
vz
Existen numerosas relaciones entre los operadores diferenciales y teoremas
integrales que los emplean. En este curso utilizaremos dos unicamente: el teorema
´
de la divergencia y la f´rmula de la integral por partes.
o
Teorema 1.1: Teorema de Gauss o de la divergencia Sea Ω un subconjunto
de R3 y Γ su contorno. Si v es un campo vectorial definido en Ω se verifica:
div v dΩ =
v · n dΓ ,
(1.15)
Ω
Γ
siendo n la normal saliente a Γ .
Para el mismo dominio, si φ es un campo escalar, entonces
div v φ dΩ =
φv · n dΓ −
v · grad φ dΩ .
Ω
Γ
(1.16)
Ω
2. Tensores y campos tensoriales
Los tensores son objetos son objetos del ´lgebra tan utiles como los vectores, y
a
´
su uso en varias ramas de la mec´nica es muy habitual. Aunque existen tensores de
a
cualquier orden (entero), en esta asignatura emplearemos el t´rmino “tensor” para
e
referirnos a los de segundo orden, los m´s habituales en mec´nica. Por ejemplo, el
a
a
tensor de inercia que se emplea en Mec´nica Cl´sica es un tensor de segundo orden.
a
a
Los tensores se estudian a menudo en ´lgebra bajo el nombre de
a
“homomorfismos” y son simplemente aplicaciones lineales de Rd en Rd , es decir,
funciones lineales que transforman un vector en otro. Para cualquier vector a ∈ Rd ,
5

6. un tensor T es una operaci´n lineal tal que T (a) es otro vector. Por sencillez, los
o
par´ntesis se eliminan y se escribe simplemente b = T a.
e
Un campo tensorial no es m´s que una funci´n que para cada punto de un
a
o
dominio devuelve un tensor. Volviendo al ejemplo de la Mec´nica Cl´sica, el tensor
a
a
de inercia es un campo tensorial que depende del punto donde se calcule. Adem´s
a
transforma vectores en vectores. Si el punto de evaluaci´n es el centro de gravedad
o
o un punto fijo, este tensor transforma la velocidad angular en el momento cin´tico
e
respecto al punto.
Notaci´n: Igual que en el caso de los vectores, existe una notaci´n especial que
o
o
permite distinguir los tensores de segundo orden del resto de objetos (escalares,
vectores, . . . ). Tambi´n esta notaci´n depende del autor o del libro que se consulte
e
o
¯
y un mismo tensor se puede escribir como A, A, A, A, . . . En estas notas se emplear´
a
la primera de ellas y se evitar´ la confusi´n entre vectores y tensores de segundo
a
o
orden empleando siempre que no se indique lo contrario letras min´sculas en el
u
primer caso y may´sculas en el segundo.
u
2.1. Componentes y cambio de base
Recordamos que un tensor es simplemente una operaci´n que transforma
o
vectores en vectores, y que es lineal. Pues bien, en particular se pueden usar
tensores y operarlos sobre los vectores de una base B. Con ello se pueden definir las
componentes de un tensor T como los nueve escalares
Tij = ei · (T ej ) ,
i = 1, 2, 3
Las componentes de un tensor referidas a
matriz, y se escribe

T11 T12
[T ]B =  T21 T22
T31 T32
j = 1, 2, 3 .
(2.1)
una base B se muestran en forma de

T13
T23  ,
T33 B
(2.2)
de forma an´loga a la expresi´n en un vector columna de un vector (1.2). Como en
a
o
el caso de los vectores, la matriz de un tensor en una base cualquiera no debe de
confundirse con el tensor propiamente dicho.
La propiedad de linealidad de los tensores implica que las componentes del vector
b que resulta de la aplicaci´n de un tensor T sobre un vector a se pueden obtener
o
6

7. multiplicando la matriz [T ]B y el vector columna {a}B . Es
entonces
 

T11
 b1 
{b}B = [T ]B {a}B , o m´s expl´
a
ıcitamente
b2
=  T21
 
b3 B
T31
decir, si b = T a,
T12
T22
T32
  
T13
 a1 
.
T23 
a2
 
T33 B a3 B
(2.3)
Observando la definici´n de las componentes de un tensor deducimos que ´stas
o
e
dependen de la base en la que se exprese el tensor. Para hallar la relaci´n entre
o
componentes de un mismo tensor en dos bases cartesianas distintas B y B escribimos
la relaci´n b = T a en componentes de las dos bases.
o
{b}B = [T ]B {a}B ,
y {b}B = [T ]B {a}B .
(2.4)
La expresi´n (1.7) relaciona las componentes de los vectores a y b en las dos bases
o
as´ que la segunda ecuaci´n de (2.4) se puede escribir como
ı
o
[A]T {b}B = [T ]B [A]T {a}B .
(2.5)
Despejando {b}B y comparando el resultado con la primera ecuaci´n de (2.4) se
o
deduce que la expresi´n que relaciona las componentes de T en las dos bases
o
consideradas es
[T ]B = [A][T ]B [A]T .
(2.6)
2.2. Operaciones algebraicas
Los tensores poseen las operaciones de suma, multiplicaci´n y multiplicaci´n
o
o
por un escalar. La expresi´n matricial del resultado de todas estas operaciones es
o
la correspondiente operaci´n matricial operada sobre las matrices de componentes
o
de los tensores. Insistimos, como en el caso de los vectores, que el resultado es
independiente de la base escogida.
La traza de un tensor es la suma de los elementos de la diagonal de su matriz
de compomentes:
tr[T ] = T11 + T22 + T33 .
(2.7)
La traza de un tensor no depende tampoco de la base en la que se exprese su matriz
de componentes y se dice que es por tanto un invariante del tensor. Esto se puede
comprobar calculando la traza del tensor en la ecuaci´n (2.6). La operaci´n traza
o
o
7

8. es lineal as´ que, dado un escalar α y dos tensores T , S,
ı
tr[αT ] = αtr[T ] ,
tr[T + S] = tr[T ] + tr[S] .
(2.8)
El producto escalar entre tensores de orden dos se escribe con el s´
ımbolo “:”
y se define como la operaci´n que a toda pareja de tensores T , S asocia el escalar
o
T : S definido por
T : S = tr[S T T ] .
(2.9)
En componentes, la operaci´n de la doble contracci´n, como tambi´n se conoce a
o
o
e
este producto escalar, es simplemente
T :S=
3
3
Tij Sij .
(2.10)
i=1 j=1
Como esta operaci´n define un producto escalar, tambi´n se puede definir una
o
e
norma asociada de tensores:
√
T = T : T .
(2.11)
El determinante de un tensor T es el escalar det(T ) que verifica
[T a T b T c] = det(T )[a b c] .
(2.12)
Adem´s, se puede demostrar, que el determinante se puede obtener calculando
a
el determinante de la matriz de componentes del tensor, en cualquier base. El
determinante es, por tanto, otro invariante del tensor.
2.3. Tensores con propiedades especiales
Dependiendo de sus propiedades, los tensores se clasifican empleando unos
calificativos id´nticos a los de la clasificaci´n de las matrices. En primer lugar,
e
o
el tensor identidad I es el unico que verifica Ia = a para todo vector a. La
´
matriz de componentes de I, en cualquier base, es la matriz identidad. El tensor
nulo es el unico tensor tal que T + 0 = T , para cualquier tensor T .
´
Dado un tensor cualquiera T definimos el tensor traspuesto T T como aquel
que verifica
(T T a) · b = a · (T b) ,
(2.13)
8

9. para cualquier pareja de vectores a, b. Usando esta definici´n se dice que un tensor
o
es sim´trico si es igual a su traspuesto, y antisim´trico (o hemisim´trico) si es el
e
e
e
opuesto de su traspuesto. Se comprueba inmediatamente que la matriz asociada a
un tensor sim´trico es sim´trica, en cualquier base, y la matriz asociada a un tensor
e
e
antisim´trico es a su vez antisim´trica, tambi´n en cualquier base.
e
e
e
Los tensores antisim´tricos tienen una propiedad que emplearemos m´s adelante
e
a
y es que el efecto de aplicar un tensor antisim´trico W sobre un vector cualquiera
e
a es el mismo que el de multiplicar vectorialmente un vector w, llamado el vector
axial de W , sobre a. Es decir, que para todo a,
Wa = w × a .
(2.14)
Adem´s esta relaci´n es rec´
a
o
ıproca, y por ello multiplicar vectorialmente un vector
w por otro vector cualquiera a es equivalente a multiplicar un tensor antisim´trico
e
W , que es unico, y que se llama el tensor antisim´trico asociado al vector w.
´
e
Un tensor es desviador si tiene traza nula y un tensor es esf´rico si es de la
e
forma T = pI, siendo p un escalar.
2.4. Descomposiciones de tensores
Todo tensor T se puede descomponer de forma un´
ıvoca en una parte sim´trica
e
T s y otra antisim´trica T a de forma que T = T S + T a . Se comprueba f´cilmente
e
a
que cada una de estas partes son:
1
T s = 2 (T + T T ) ,
T a = 1 (T − T T ) .
2
(2.15)
Adem´s, todo tensor T se puede descomponer de forma un´
a
ıvoca en una parte
esf´rica y otra desviadora. La parte esf´rica, que denominaremos T vol tiene la misma
e
e
traza que T y la parte desviadora T des , no tiene traza. Ambas se calculan as´
ı:
T vol =
tr[T ]
I ,
3
T des = T − T vol .
(2.16)
2.5. Autovectores y autovalores
Dado un tensor T cualquiera, se dice que el vector v es un autovector y λ su
autovalor asociado si v es unitario y
T v = λv .
9
(2.17)

10. Para calcular los autovalores buscamos las soluciones no triviales de la ecuaci´n
o
(2.17) y para ello hay que resolver la ecuaci´n
o
det(T − λI) = 0 .
(2.18)
Esta ecuaci´n es un polinomio de tercer grado que tiene por expresi´n
o
o
−λ3 + I1 (T )λ2 − I2 (T )λ + I3 (T ) = 0 .
(2.19)
Las funciones I1 , I2 , I3 son los llamados invariantes principales del tensor T , porque
no dependen de la base, y su expresi´n expl´
o
ıcita es
I1 (T ) = tr[T ] ,
I2 (T ) = 1 (tr[T ]2 − tr[T 2 ]) ,
2
I3 (T ) = det(T ) .
(2.20)
Como en ´lgebra de matrices, una vez calculados los tres autovalores λ1 , λ2 y
a
λ3 , se calculan sus autovectores asociados buscando las bases de los espacios nulos
de los tensores
T − λI ,
(2.21)
que no son vac´ por definici´n. Cuando el tensor es sim´trico, el siguiente teorema
ıos
o
e
espectral garantiza que los autovalores y autovectores cumplen una propiedades
especiales que se emplear´n muy a menudo en la mec´nica de s´lidos deformables.
a
a
o
Por su importancia incluimos una demostraci´n del teorema.
o
Teorema 2.1: Los tres autovalores de un tensor sim´trico S son reales y sus tres
e
autovectores asociados forman una base ortonormal, llamada la base principal del
tensor, que denominamos B ∗ . En esta base, la expresi´n matricial del tensor es:
o


λ1 0
0
 0 λ2 0 
[S]B ∗ =
.
(2.22)
0
0 λ3 B ∗
´
Demostracion: Demostramos primero que los tres autovalores son reales. Como el
polinomio caracter´
ıstico de S es de tercer orden existen tres autovalores λ1 , λ2 , λ3
que en principio pueden ser complejos. Si v es el autovector asociado a un autovalor
¯
λ de los tres y v es el autovector conjugado entonces
¯
¯
v · Sv = v · λv = λ|v|2 .
10
(2.23)

11. Conjugando ambos lados de la ecuaci´n anterior, se obtiene
o
v · S¯ = λ|v|2 .
v ¯
(2.24)
¯
Igualando las identidades de (2.23) y (2.24) concluimos que λ = λ, es decir que λ
es real.
La demostraci´n de la segunda parte es inmediata si los autovales son distintos,
o
pero consideramos el caso m´s general. Como antes, sean (λ1 , λ2 , λ3 ) los tres
a
autovalores de S (ordenados de cualquier manera) y (v1 , v2 , v3 ) sus autovectores
correspondientes. Si w es un vector ortogonal a v1 , entonces Sw es tambi´n
e
ortogonal a v1 , porque v1 · Sw = Sv1 · w = λ1 v1 · w = 0. As´ pues S, cuando
ı
se restringe al subespacio de vectores ortogonales a v1 es tambi´n un tensor de
e
ese conjunto a s´ mismo. Por lo tanto tendr´ dos autovalores y autovectores, que
ı
a
forzosamente deber´n ser ortogonales a v1 . Tomando uno cualquiera que llamamos
a
λ2 y v2 al autovector, repetimos el mismo argumento para el subespacio de vectores
ortogonales a v1 y v2 para concluir que los tres autovectores son ortonormales.
En la base principal tenemos
 
 
1
0
{v1 }B ∗ = 0
, {v2 }B ∗ = 1
,
  ∗
  ∗
0 B
0 B
 
0
{v3 }B ∗ = 0
,
  ∗
1 B
(2.25)
por lo que la expresi´n matricial de S ha de ser como se indica en (2.22).
o
Un tensor sim´trico con dos autovalores iguales se llama cil´
e
ındrico, y cuando
los tres son iguales, esf´rico. En este ultimo caso el tensor ha de ser proporcional
e
´
al tensor identidad.
2.6. C´lculo tensorial
a
Como en el caso del c´lculo vectorial resumimos unicamente los elementos m´s
a
´
a
b´sicos del c´lculo tensorial, aquellos que emplearemos en la asignatura. En primer
a
a
lugar hay que indicar que existen expresiones para el gradiente y la divergencia
de tensores de cualquier orden (no s´lo de segundo orden). Puesto que no son
o
necesarios no los definiremos aqu´ Tan s´lo ser´n necesarios el gradiente de un
ı.
o
a
campo vectorial, que es un campo tensorial, y la divergencia de un campo tensorial,
que es un campo vectorial.
Para definir el gradiente de un campo vectorial de forma intr´
ınsica (sin
coordenadas) se usa la misma idea que el caso de un campo escalar. En esta situaci´n
o
11

12. se define el gradiente de un campo escalar φ como aquel unico vector grad φ que
´
verifica que, para cualquier pareja de puntos Po y P
φ(P ) = φ(Po ) + grad φ(Po ) · r + O(|r|2 ) ,
(2.26)
siendo r el vector que va del punto Po al punto P . En el caso de un campo vectorial
v su gradiente es el unico tensor grad v tal que
´
v(P ) = v(Po ) + (grad v(Po ))r + O(|r|2 ) .
(2.27)
En una base cartesiana las componentes del tensor grad v son


vx,x vx,y vx,z
[grad v(x, y, z)] =  vy,x vy,y vy,z  .
vz,x vz,y vz,z
(2.28)
El operador divergencia de un campo tensorial T se define de forma intr´
ınsica
como aquel unico campo vectorial div T que verifica
´
(div T ) · a = div (T T a) ,
(2.29)
para todo vector a. En coordenadas cartesianas, las componentes del vector div T
son


 Txx,x + Txy,y + T xz, z 
{div T (x, y, z)} = Tyx,x + Tyy,y + T yz, z
.
(2.30)


Tzx,x + Tzy,y + T zz, z
El teorema de la divergencia para campos tensoriales es pr´cticamente
a
id´ntido a (1.15), pues establece que para toda regi´n Ω ∈ R3 de contorno Γ y
e
o
un campo tensorial T definido en ella, la integral de la divergencia de T es igual al
flujo saliente de T :
div T dΩ =
Ω
Γ
T · n dΓ ,
(2.31)
siendo n la normal saliente a Γ . Para el mismo dominio, si v es un campo vectorial,
entonces la f´rmula de la integraci´n por partes es
o
o
div T · v dΩ = (T n) · v dΓ −
T : grad v dΩ .
(2.32)
Ω
Γ
Ω
12

13. 3. Problemas
1) Demuestra que, para cualquier tensor T , su traza verifica tr[T ] = I : T . Calcula
la traza del tensor identidad.
2) Demuestra el resultado (1.16) utilizando el teorema de la divergencia sobre el
campo vectorial φv.
3) Comprueba que el tensor antisim´trico asociado a un vector de componentes
e
T es el que tiene por matriz de componentes
v = {vx , vy , vz }


0
−vz vy
[V ] =  vz
0
−vx  .
−vy vx
0
4) Si S es un tensor sim´trico y W antisim´trico, comprueba que S : W = 0. si
e
e
V es un tensor esf´rico y E uno desviador, comprueba tambi´n que V : E = 0.
e
e
5) Demuestra que el producto escalar de vectores no depende de la base escogida.
6) Si u es un campo vectorial, demuestra que el vector axial de la parte
antisim´trica del tensor grad (u) coincide con 1 rot (u).
e
2
7) El tensor T en la base B = {e1 , e2 , e3 } tiene la siguiente expresi´n matricial
o


2 3 0
[T ] =  3 4 0  .
0 0 5
Encontrar la expresi´n matricial de T en la base B = {e , e , e } si e =
o
1 2 3
1
√
√
3
1
= − 1 e + 3 e y e = e . Comprobar que la traza y el
e1 + 2 e2 , e2
1
2
3
3
2
2
2
determinante no dependen de la representaci´n matricial.
o
13