Este documento describe diferentes tipos de resortes y su comportamiento elástico. Explica que un resorte es lineal si su alargamiento o acortamiento está directamente relacionado con la fuerza aplicada. También cubre resortes no lineales, la combinación de resortes en paralelo y serie, y cómo calcular la constante de un resorte equivalente. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de cómo determinar la constante de un resorte para diferentes configuraciones mecánicas.

1. VIBRACIONES
Presenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna
Ingeniería Mecatronica
Tema 1. Unidad 1 B

2. Elementos de Resorte
Un resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de las
aplicaciones se supone que tiene masa y amortiguamiento
insignificantes.
El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal utilizado en
lapiceros y plumas retráctiles, engrapadoras y suspensiones de
camiones de carga y otros vehículos.
Se pueden identificar varios otros tipos en aplicaciones de ingeniería.
De hecho, cualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga,
flecha o placa, puede considerarse como un resorte. Un resorte se suele
representar como se muestra en la figura 1.18(a).

4. Si la longitud del resorte, sin que actúe ninguna fuerza, se indica con l,
cuando se aplica una fuerza axial cambia la longitud. Por ejemplo, cuando se
aplica una fuerza de tensión F en su extremo libre 2, el resorte experimenta
un alargamiento x como se muestra en la figura 1.18(b), mientras que una
fuerza de compresión F aplicada en el extremo libre 2 reduce la longitud x
como se muestra en la figura 1.18(c).
Se dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de
longitud x está relacionado con la fuerza aplicada como
F= kx
donde k es una constante, conocida como la constante de resorte o rigidez
de resorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza
requerida para producir una deflexión unitaria (alargamiento o reducción de
la longitud) en el resorte.

5. Cuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensión (o
compresión), de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton,
se desarrolla una fuerza de restauración de magnitud 2 F (o 1 F)
opuesta a la fuerza aplicada.
Si trazamos la gráfica entre F y x, el resultado es una línea recta de
acuerdo con la ecuación (1.1). El trabajo realizado (U) al deformar un
resorte se almacena como deformación o energía potencial en el
resorte, y está dado por
U =1/2 kx2

6. Resortes no lineales
La mayoría de los resortes que se utilizan en sistemas prácticos
presentan una relación fuerza deflexión no lineal, en particular
cuando las deflexiones son grandes. Si un resorte no lineal
experimenta deflexiones pequeñas puede ser reemplazado por
un resorte lineal con el procedimiento explicado mas adelante
En el análisis de vibración, comúnmente se utilizan resortes no
lineales cuyas relaciones de fuerza-deflexión están dadas por
F = ax + bx3, a > 0

7. En la ecuación (1.3), a indica la constante asociada con la parte
lineal y b indica la constante asociada con la de no linealidad
(cúbica). Se dice que el resorte es duro si b > 0, lineal si b = 0, y
suave si b < 0. En la figura 1.19 se muestran las relaciones de
fuerza-deflexión correspondientes a varios valores de b.

8. Algunos sistemas, con dos o más resortes, pueden presentar una relación fuerza-
desplazamiento no lineal aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos
ejemplos de dichos sistemas se muestran en las figuras 1.20 y 1.21. En la figura
1.20(a), el peso (o fuerza) W se desplaza libremente a través de los espacios libres
c1 y c2 del sistema. Una vez que el peso se pone en contacto con un resorte
particular después de pasar por el espacio libre correspondiente, la fuerza de
resorte se incrementa en proporción a la constante del resorte particular (vea la
figura 1.20(b)).

9. En la figura 1.21(a), los dos resortes, rigideces k1 y k2, tienen diferentes longitudes.
Observe que, por sencillez, el resorte con rigidez k1 se muestra en la forma de dos
resortes paralelos, cada uno con una rigidez de k1/2. Los modelos de sistemas de
resortes de este tipo se pueden utilizar en el análisis de vibración de paquetes y
suspensiones que se utilizan en los trenes de aterrizaje de aviones.
Cuando el resorte k1 se deforma en una cantidad x = c, el segundo resorte entra en
acción y proporciona rigidez adicional k2 al sistema. La relación fuerza-
desplazamiento no lineal se muestra en la figura 1.21(b).

10. Liberalización de un resorte no lineal
Los resortes reales son no lineales y obedecen la ecuación (1.1) sólo hasta
determinada deformación. Más allá de un cierto valor de deformación (después
del punto A en la figura 1.22), el esfuerzo excede el punto cedente o de
deformación del material y la relación entre fuerza y deformación se hace no lineal
[1.23, 1.24]. En muchas aplicaciones prácticas suponemos que las deflexiones son
pequeñas y utilizamos la relación lineal de la ecuación (1.1).

12. Para valores pequeños de Dx, las derivadas de mayor orden se ignoran para obtener
Dado que F = F(x*), podemos expresar DF como
donde k es la constante de resorte linealizado en x* dada por

13. Ejemplo 1.2 Constante de resorte linealizado equivalente
A una fresadora que pesa 1000 lb la soporta un apoyo de montaje de caucho. La
relación fuerza-deflexión del apoyo de montaje de caucho está dada por
F = 2000x + 200x3
donde la fuerza (F) y la deflexión (x) están medidas en libras y pulgadas,
respectivamente. Determine la constante de resorte linealizado equivalente del
apoyo de montaje de caucho en su posición de equilibrio estático.
Solución: La posición de equilibrio estático del apoyo de montaje de caucho (x*),
bajo el peso de la fresadora, se determina por la ecuación (E.1):
1000 = 2000x + 200x3

14. Las raíces de la ecuación cúbica (E.2) se pueden hallar (por ejemplo, utilizando las raíces
de función en MATLAB) como
x* = 0.4884, -0.2442 + 3.1904i y -0.2442-3.1904i
La raíz de la ecuación (E.2) x* = 0.4884 pulg proporciona la posición de equilibrio
estático del apoyo de montaje de caucho. La constante de resorte lineal equivalente del
apoyo de montaje de caucho en su posición de equilibrio estático se determina
aplicando la ecuación (1.7):
Nota: La constante de resorte lineal equivalente, keq = 2143.1207 lb/pulg, predice la
deflexión estática de la fresadora como
lo cual es algo diferente del valor verdadero de 0.4884 pulg.

15. Constante de resorte de elementos elásticos
Encuentre la constante de resorte equivalente de una varilla uniforme de longitud l,
área de sección transversal A y módulo de Young E sujeto a una fuerza de tensión (o
compresión) axial F como se muestra en la figura 1.24(a).

16. • Solución: El alargamiento (o acortamiento) d de la varilla sometida a una
fuerza de tensión (o compresión) axial F puede expresarse como:

17. • Ejemplo 1.4 Constante de resorte de una viga en voladizo
• Encuentre la constante de resorte equivalente de una viga en voladizo
sometida a una carga concentrada F en su extremo como se muestra
en la figura 1.25(a).

18. Solución: Suponemos, por simplicidad, que el peso (o masa) de la
viga es insignificante y que la carga concentrada F se debe al peso
de la masa puntual (W = mg). Por la resistencia de materiales
sabemos que la deflexión del extremo de la viga debido a una carga
concentrada F = W está dada por
donde E es el módulo de Young e I es el momento de inercia de la sección
transversal de la viga con respecto al eje de flexión

19. Combinación de resortes
En muchas aplicaciones prácticas se utilizan varios resortes lineales combinados.
Estos resortes pueden combinarse en un solo resorte equivalente como se
indica a continuación.
Caso 1: Resortes en paralelo. Para derivar una expresión para la constante
equivalente de los resortes conectados en paralelo, considere los dos resortes
que se muestran en la figura 1.27(a). Cuando se aplica una carga W, el sistema
experimenta una deflexión estática dst como se muestra en la figura 1.27(b).
Entonces el diagrama de cuerpo libre, mostrado en la figura 1.27(c), proporciona
la ecuación de equilibrio

21. Si keq indica la constante de resorte equivalente de la combinación de
los dos resortes, entonces para la misma deflexión estática dst, tenemos:
Las ecuaciones (1.8) y (1.9) producen
Por lo común, si tenemos n resortes en paralelo con constantes k1, k2,
..., kn, entonces la constante de resorte equivalente keq se obtiene como

22. Caso 2: Resortes en serie. A continuación derivamos una expresión para la
constante equivalente de resortes conectados en serie considerando los
dos resortes mostrados en la figura 1.28(a). Bajo la acción de una carga
W, los resortes 1 y 2 experimentan los alargamientos d1 y d2,
respectivamente, como se muestra en la figura 1.28(b). El alargamiento
total (o deflexión estática) del sistema, dst, es

23. Como ambos resortes están sometidos a la misma fuerza W, tenemos
el equilibrio que se muestra en la figura 1.28(c):
Si keq indica la constante de resorte equivalente, entonces para la
misma deflexión estática,

25. Como estamos en un sistema en equilibrio las ecuaciones (1.13) y (1.14) dan por resultado
o bien
Sustituyendo estos valores de d1 y d2 en la ecuación (1.12), obtenemos
Es decir

26. La ecuación (1.16) se puede generalizar al caso de n resortes en serie:
Ejemplo 1.5 k equivalente de un sistema de suspensión
La figura 1.29 muestra el sistema de suspensión de un carro de ferrocarril de
carga con un sistema de resortes en paralelo. Encuentre la constante de resorte
equivalente de la suspensión si los tres resortes helicoidales son de acero con un
módulo de cortante G= 80x109 N/m2 y cuenta con cinco vueltas efectivas,
diámetro medio de la espiral D=20 cm y diámetro del alambre d=2 cm

27. Solución: La rigidez de cada resorte helicoidal resulta de:
Ya que los tres resortes son idénticos y paralelos, la constante de resorte
equivalente del sistema de suspensión es

28. Ejemplo 1.6 Constante de resorte torsional de una flecha de
hélice
Determine la constante de resorte torsional de la flecha de hélice de acero que
se muestra en la figura 1.30.

29. Solución: Tenemos que considerar los segmentos 12 y 23 de la flecha como resortes
en combinación. De acuerdo con la figura 1.30, el par de torsión inducido en
cualquier sección transversal de la flecha (como AA o BB) puede verse que es igual
al par de torsión T aplicado en la hélice. Por consiguiente, las elasticidades (resortes)
correspondientes a los dos segmentos 12 y 23 se tienen que considerar como
resortes en serie. Las constantes de resorte de los segmentos 12 y 23 de la flecha ( y
kt23) kt12 resultan de

30. Como los resortes están en serie, la ecuación (1.16) da por resultado

31. Ejemplo 1.7 k equivalente de un polipasto
Un polipasto, que funciona con un cable de acero, está montado en el extremo
de una viga en voladizo como se muestra en la figura 1.31(a). Determine la
constante de resorte equivalente del sistema cuando la longitud suspendida del
cable es l. Suponga que el diámetro de la sección transversal neta del cable es d
y que el módulo de Young de la viga y el cable es E.

33. Solución: La constante de resorte de la viga en voladizo está
dada por
La rigidez del cable sometido a una carga axial es

34. Como tanto el cable como la viga en voladizo experimentan la misma
carga W, como se muestra en la figura 1.31(b), se modelan como
resortes en serie, como se ve en la figura 1.31(c). La constante de
resorte equivalente keq está dada por
o bien

35. Ejemplo 1.8 k equivalente de una grúa
La pluma AB de la grúa que se muestra en la figura 1.32(a) es una barra de
acero uniforme de 10 m de longitud y 2,500 mm2 de sección transversal.
Un peso W cuelga mientras la grúa está estacionaria. El cable CDEBF es de
acero y su sección transversal es de 100 mm2. Ignore el efecto del cable
CDEB y encuentre la constante de resorte equivalente en la dirección
vertical.
Solución: La constante de resorte equivalente se determina por medio de
la equivalencia de energías potenciales de los dos sistemas. Como la base
de la grúa es rígida, se considera que el cable y la pluma están fijos en los
puntos F y A, respectivamente.

36. Un desplazamiento vertical del punto B hará que el resorte
(pluma) y el resorte (cable) se deformen una cierta cantidad. La
longitud del cable FB, l1, está dada por la figura 1.32(b):
El ángulo q satisface la relación

37. La energía potencial total (U) almacenada en los resortes k1 y k2 se
expresa utilizando la ecuación (1.2) como

38. Como el resorte equivalente en la dirección vertical experimenta una
deformación x, la energía potencial del resorte equivalente (Ueq) está dada por
Si se establece U=Ueq, obtenemos la constante de resorte equivalente del
sistema como

39. Ejemplo 1.9 k equivalente de una barra rígida conectada por resortes
Una barra rígida de longitud l acoplada a una bisagra está conectada por dos
resortes de rigideces k1 y k2 y sometida a una fuerza F como se muestra en la
figura 1.33(a). Suponiendo que el desplazamiento angular de la barra (q) sea
pequeño, encuentre la constante de resorte equivalente del sistema que
relaciona la fuerza aplicada F con el desplazamiento resultante x.

40. Solución: Para un desplazamiento angular pequeño de la barra rígida (q), los
puntos de fijación de los resortes k1 y k2 (A y B) y el punto de aplicación (C) de la
fuerza F experimentan los desplazamientos lineales u horizontales l1senq, l2senq y l
senq , respectivamente. Como q es pequeño, los desplazamientos horizontales de
los puntos A, B y C se pueden aproximar como x1=l1q, x2=l2q y x=lq,
respectivamente. Las reacciones de los resortes, k1x1 y k2x2, serán las indicadas en
la figura 1.33(b). La constante de resorte equivalente del sistema (keq) referida al
punto de aplicación de la fuerza F se determina considerando el equilibrio de
momentos de las fuerzas con respecto al punto conectado a la bisagra O:

41. Al expresar F como keq x, la ecuación (E.1) se escribe como
Utilizando x1= l1q, x2 = l2 q y x= lq, la ecuación (E.2) da el resultado deseado