Este documento explica las bases covariantes y contravariantes en cálculo vectorial. Indica que un vector puede expresarse en términos de sus componentes contravariantes respecto a una base o sus componentes covariantes respecto a la base recíproca. También establece las relaciones entre los componentes covariantes y contravariantes de un vector.

1. BASES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES.
Cálculo Vectorial
2013-1

2. RECORDANDO…
 Un escalar es una cantidad cuya especificación en
cualquier sistema de coordenadas requiere solamente
de un número.
 Un vector es una cantidad cuya especificación requiere
de tres números (en el caso de R3), sus componentes
son respecto a alguna base.
 Una base es un espacio tridimensional (en el caso de
R3 )a cualquier conjunto de tres vectores linealmente
independientes entre si.
 Si tomamos como base de nuestro espacio
tridimensional a e1,e2,e3; ortogonales entre si, en vez de
ellos se acostumbra utilizar i,j,k en vez de la base antes
mencionada. Por lo que un vector lo podemos expresar
como:
a=a1j+a2j+a3k

3. BASES RECIPROCAS.
 Bases reciprocas:
 Consideremos A un vector arbitrario que se puede
expandir con respecto a tres vectores no coplanares
e1,e2,e3 que ni son ortogonales ni unitatios. Entonces la
expansion en coeficientes A1,A2,A3 puede ecribirse
como:
A=A1e1+A2e2+A3e3
 El problema se reduce a hacer la proyección de A sobre
los ejes de un sistema coordenado y resolver el sistema
resultante de tres ecuaciones escalares para las
incognitas A1,A2,A3. Esto se resuelve directamente
mediante el método de bases reciprocas.
 Dos bases e1,e2,e3 y e1,e2,e3 se dicen reciprocas si
satisfacen la siguiente condición:

4.  Cada vector de una base es perpendicular a dos vectores de
otra base.
 Si construimos los paralelipedos generados por las dos bases
cuyos volúmenes son |V|= e1 · (e2 x e3) y |V’|= e1 · (e2xe3),
entonces las caras cuyos volúmenes de cada paralelípedo
son perpendiculares al borde del otro. Puesto que la relación
antes mencionada implica la magnitud de cada vector de una
base es igual al reciproco de la altura paralela del
paralelepípedo generado por la base recíproca.
 Para construir explícitamente las bases reciprocas e1,e2,e3
correspondientes a una base dada e1,e2,e3 procedamos como
sigue: el vector e1 debe ser perpendicular a los vectores e2 y
e3. Por ello:
e1=m(e2 x e3)
 donde m es un escalar que se puede determinar por la
condición e1·e1=1

5. 

6.  Entonces podemos encontrar los coeficientes
incógnitas A1, A2, A3. siempre y cuando la base
e1,e2,e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1,e2,e3. Por ello:

7. COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
 Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
 Con respecto a una de las bases e1,e2,e3, y
 Con respecto a la base reciproca e1,e2,e3. Los
números Ai . Se llaman componentes
contravariantes de A y los números Ai se llaman
componentes covariantes de A

9.  En el cálculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como , el cual lo diferencia de
la base . Con esta notación, la relación de
reciprocidad anterior sería:
 Donde es la delta de Kronecker.

10. RELACIÓN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
 Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei, entonces obtenemos:
 Si introducimos la notacion:

11.  Podemos escribir la notación en forma
 Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en términos de sus
componentes contravariantes y viceversa

12.  Como el nombre lo sugiere, las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante, mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atrás. Por lo cual depende de si uno está usando
cualquier fondo fijo — de hecho, eso cambia el
punto de vista.

13. EN RESUMEN…
 Los vectores base covariantes de su sistema recíproco son:
 Note que incluso si ei y ei no son ortonormales, esto sigue
siendo válido por definición de mutuamente ortonormal:
 Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier
vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto
punto de v con los vectores base contravariantes:
 De igual manera, las componentes covariantes de v pueden
ser obtenidas a partir del producto punto de v con los
vectores base covariantes.

14.  Entonces v puede ser expresado en dos formas
(recíprocas).
 Es decir, el vector v es una combinación líneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente.

15.  Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes, así que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes, y todos los índices
son superíndices.