Este documento presenta conceptos clave de cálculo vectorial y su aplicación al análisis de fluidos. Explica operadores diferenciales vectoriales como rotacional, gradiente y divergencia. Define campos vectoriales irrotacionales y conservativos, y cómo la divergencia mide flujo entrante y saliente. El objetivo es establecer un marco teórico de cálculo vectorial para el estudio de fluidos incompresibles no viscosos.

1. Una aplicación de cálculo vectorial en mi carrera
FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO
TRABAJO FINAL
UNIVERSIDAD POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSION SAN CRISTOBAL
C.I: 25.713.002
ESCUELA: 44
Alumnos: ENGEL EDDRIAN ESCOBAR
RAMIREZ
Fecha de entrega
11/02/2016
3° SEMESTRE

2. 1
El Cálculo es una herramienta fundamental para muchos temas de estudio de un ingeniero, ya que permite
modelar matemáticamente situaciones reales como por ejemplo con aplicación a la industria.
De esta manera una aplicación, por ejemplo en el campo de Ingeniería Electrónica, aplicado a la industria
es lo que respecta a fasores y al comportamiento de una señal eléctrica; así un fasor representa la magnitud
y el desfase de un ángulo entre dos señales y èste presta un medio sencillo para analizar circuitos lineales
excitados por fuentes senoidales en AC (corriente alterna). El fasor se relaciona con los vectores, solo que
se llama fasor en lugar de vector, porque se basa mas en el tiempo que en el espacio y èste se puede
representar en forma exponencial, polar o rectangular, así se puede aplicar en un circuito en el cual se
busca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientes corresponden a una función seno y
tienen la misma frecuencia. La representación fasorial es una transformación del dominio del tiempo al
dominio de la frecuencia.
Podemos ver que esto se relaciona directamente con el cálculo ya que un fasor es un vector que es utilizado
para representar una onda de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para
determinar la magnitud y fase de varias ondas. Así como se mencionaba antes aplicado a la Electrónica los
fasores se utilizan habitualmente en el análisis de circuitos en AC. Los fasores se usan para resolver
problemas tal como, si existen varias ondas de frecuencia similar pero cada una de ellas tienen fases y
amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, lo que se pregunta es què puedo hacer yo para
solucionar èsto y la respuesta es básicamente dibujar un fasor para cada una de las ondas y después aplicar
la suma de vectores sobre ellos, así la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia, permite
leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante
v(t)=Vmcos(wt+b)
Lo anteriores la representación en el dominio del tiempo,ahora bien,lo quese trabaja como ya seha mencionado
variasveces,es la representación en el dominio fasorialtrabajando con la frecuencia y esto es:
CÁLCULOVECTORIAL
El cálculo vectorialproporciona una notación precisa para representarlasecuacionesmatemáticasquesirven como
modelo de las distintassituacionesfísicasy,ayuda en gran medida a formar mentalmentela imagen de los conceptos
físicos.
1.1 MAGNITUDESESCALARES Y VECTORIALES
Se llame magnitudesescalares a aquellasquequedan determinadasúnicamenteporsu valornumérico.Son
magnitudesescalares,porejemplo:la temperatura,la masa de un cuerpo,el volumen,etc.
Para definir otrasmagnitudes,ademásesnecesario precisarotrascaracterísticas,como su dirección y sussentido.
Esta clase de magnitudessellaman vectorialesy se representan gráficamentepormedio de vectores. Ejemplosde
magnitudesvectorialesserían la velocidad,la aceleración,o la fuerza.
1.1.1 DEFINICIÓN DEVECTOR:
Un vector es un segmento orientado en el espacio.Se puedecaracterizarpor cuatro elementosdiferenciadores,que
son:
--Punto deaplicación u origen.
--Dirección o línea de acción,que es la recta quecontiene al vector.
--Sentido delvector.
--Módulo delvector,quees su longitud.
Clasificaremoslosvectoresen libres, deslizantes,fijosy axiales.

3. 2
*Vectores libres.Vienen determinadosporsustrescomponentescartesianas,tomamoscomo basedeeste sistema la
basecanónica,formada porlosvectores y,j y k, perpendicularesentre sí y unitarios.
Los vectoreslibres pueden trasladarsu origen a cualquierpunto del espacio manteniendo elmódulo y el sentido
constantesy su dirección paralela.
Son ejemplosdevectores libres el momento deuna fuerza o el vectorque representa la fuerza queejerce el viento
sobreuna cierta superficie.
*Vectores deslizantes. Pueden trasladarsu origen a lo largo desu línea de acción y vienen determinadosporsustres
componentescartesianasy porsu rectasoporteo línea de acción.Un ejemplo sería la fuerza quese ejerce sobreun
sólido rígido.
*Vectores fijos. Para determinarlosesnecesario conocersuscuatro elementoscaracterísticos; vienen dadospuespor
su módulo,dirección,sentido y punto deaplicación.Como ejemplo se puedecitar la velocidad de una partícula móvil
o la fuerza aplicada en un punto.
*Vectores axiales. Son vectoresquerepresentan una magnitud angular.Elmódulo del vectorindica el valor numérico
de esa magnitud,la dirección del vector señala el ejede rotación,y el sentido del vectorse hace correspondercon el
sentido de giro a través deun convenio quese expresa mediantela regla de Maxwell:el sentido de la rotación es el
sentido de giro deun sacacorchoscuando esteavanza en elsentido queindica el vector.La velocidad angulardeuna
partícula sometida a movimiento circulares un ejemplo de vectoraxial.
Otrasdefinicionesde vectoresson las siguientes:
1.-Vectores equipolentes son aquellosvectoreslibres quetienen el mismo módulo,la misma dirección y el mismo
sentido.
2.- Los vectoresde cualquierclase que tienen el mismo módulo,la misma dirección y sentidoscontrariosse llaman
vectoresopuestos.
1.2. Operacionescon vectores.
La sumao resultante de dosvectores v1 y v2 es el vectorque se obtienede unir el origen de v1 con el extremo de v2,
cuando éstese aplica en el extremo del primero.
La definición vista para suma devectoresse llama regla de paralelogramo. La diferencia de dosvectoresse define
como el vectorque resultade sumarel primero con el opuesto delsegundo.
El producto deun número real k porun vectorv es otro vectorkv quetiene la misma dirección que v, el mismo
sentido quev o el contrario,según que k sea positivo o negativo,y un módulo queresulta demultiplicar k por el
módulo dev.
Todo vector se puedeexpresarcomo el producto desu módulo porun vector unitario quetenga la misma dirección y
el mismo sentido queél.
1.2.3 PRODUCTOESCALARDE DOSVECTORES
El productoescalar de dosvectores a y b es el producto desusmódulosporel coseno del ángulo queesosvectores
forman entresí.
El producto escalardedos vectoreses un escalar,y no un vector.
--El producto escalardedosvectores es igualque el producto escalarde uno de ellos por el vector de proyección
ortogonaldelotro sobre él.
--El módulo dela proyección ortogonalde a sobreb es igual al producto escalarde a porb, dividido porel módulo de
b, cuando la proyección an y b tienen el mismo sentido.
--Sia y b son distintosde cero y ab es igual a cero, entonceslos vectores a y b son perpendiculares.
1.2.4 PRODUCTOVECTORIALDEDOS VECTORES
El producto vectorialde a y b se designa poraxby tiene las siguientescaracterísticas:
--El módulo del producto vectorialesigual al producto delos módulosdelos dosvectorespor el seno del ángulo que
forman.
--La dirección de axbes la de la recta perpendiculara los vectores a y b.
--El producto vectorialno es conmutativo.
1.2.4.2. APLICACIONESDELPRODUCTOVECTORIAL
*Momento de un vector respecto de un punto. El momentose definecomo el producto vectorialdel vector de
posición del origen del vectorrespecto de O por el propio vector.

4. 3
*Momento de un par de vectores respecto de un punto. Se llama par de vectores al conjunto formado pordos
vectoresque tienen el mismo módulo,la misma dirección y sentidoscontrarios.La suma o resultantede ambosesel
vectornulo.
*Momento de un vector con respecto a un eje. Se definecomo la proyección sobredicho eje del momento deese
vectorcon respecto a un punto cualquiera del eje.El momento esindependientedel punto elegido sobreel eje.
1.3 DERIVACIÓN VECTORIAL.
Cuando a cada punto (x,y,z) del espacio se le puedeasociarun escalarque dependedesuscoordenadas,F(x,y,z),se
dice que hemosdefinido un campoescalar F. Un ejemplo de campo escalarsería el definido porlas temperaturasen
cada punto dela tierra en un instantedeterminado.
Cuando un campo escalaresindependientedel tiempo se llama campo escalarpermanenteo estacionario.
Cuando un campo vectoriales independientedeltiempo se llama campo vectorialpermanenteo estacionario.
VARIOS
--Cuando decimosdeuna función quees derivablese quiere indicarque esa función tiene las primerasderivadas
parciales continuas

5. 4
FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO
Objetivos
Marco de Referencia
os conceptos de cálculo vectorial de los cuales se harán uso en el presente trabajo deben quedar
bien definidos para el buen entendimiento de la teoría de fluidos. Para ello comenzaremos por
definir lo que es un operador diferencial vectorial.
Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre
una variedad diferenciable.
Algunos ejemplos son
 Operador rotacional
 Operador gradiente
 Operador divergencia
 Operador laplaciano
El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la
curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
rot F⃗ =∇×F⃗
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que
carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo
puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un
potencial (es decir, es conservativo):
∇×f=0 en Ω simplemente conexo ⇒f=∇ϕ
L

6. 5
La divergenciade un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un
campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene
"fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
 Si div(F)<0 diremos que es un punto pozo o sumidero (compresion del fluido)
 Si div(F)>0 diremos que es un punto fuente (expansion de un fluido)
 Si div(F)=0 diremos que es un campo soleinoidal o incompresible (fluido incompresible)
El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un
punto genérico del dominio de ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente
y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se
representa con el operador diferencial nabla seguido de la función. También puede representarse
mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a
campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
El operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como
Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto
dominio.Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas
parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del
símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un campo
vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:
 Si div (grad (f))=0 diremos que es una función armónica
Marco de Referencia
El análisis aerodinámico de un vehículo se ha venido
haciendo a través de la historia y hasta la actualidad
utilizando el tradicional túnel de viento y las técnicas de
ensayo en ruta. Este procedimiento tiene la ventaja que
estamos frente a la observación experimental, tiene como
inconvenientes el hecho de insumir un gran tiempo de
desarrollo, un esfuerzo humano importante y un costo
considerable para encontrar efectivamente lo que en

7. 6
definitiva es el objetivo del diseño de un vehículo, satisfacer la demanda del consumidor.
Sin embargo, para el diseño de cualquier vehículo dígase un avión, automóvil, hasta en la construcción de
un barco, es de suma importancia el análisis detallado de los flujos de los fluidos que están en contacto con
la superficie del móvil ya que, de esta forma se puede mejorar las medidas de seguridad y en otros casos la
eficiencia de las maquinas.
Sabemos que los efectos viscosos quedan confinados, en flujos a altos números de Reynolds1(especialmente
en flujos externos), dentro de la capa limite cerca de las superficies sólidas y a regiones desprendidas y
estelas que aparecen cuando hay gradiente adverso de presiones. El flujo fuera de la capa limite es,
esencialmente, no viscoso e incompresible.
Un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad. En dinámica de
fluidos hay problemas que se pueden resolver fácilmente mediante el supuesto simplificador de un flujo no
viscoso, por lo que esta técnica nos brinda un análisis en cierto caso no tan detallado del flujo de un fluido,
pero sin embargo muy útil en el
diseño geométrico de superficies
sólidas.
Como se muestra en la figura la
teoría no viscosa debería funcionar
bien para los flujos externos de la
figura, especialmente cerca de la
parte frontal del cuerpo. Si hay
desprendimiento de la capa limite en
la parte posterior, la corriente
desprendida deflactará y modificara
las líneas de corriente no viscosas.
Para el desarrollo de dicha teoría se tendrá que recurrir a las principales ecuaciones del movimiento para
un flujo no viscoso e incompresible, que son las de continuidad y cantidad de movimiento. En el presente
trabajo, obtener dichas formulas no es nuestra prioridad por lo que no se explicaran a detalle su desarrollo.
Desarrollo
Campo de velocidad
En el instante t, la velocidad u de cada elemento fluido
centrado en (x, y, z) es una función vectorial u(x,y,z,t), que
1Número adimensional que relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, y nos
indica si un flujo es laminar o turbulento

8. 7
también indicaremos en forma compacta con u( xi,t) o u(r,t) donde r=(x,y,z). El campo de velocidad es un
campo vectorial. Un ejemplo es el campo de velocidad de un fluido que rota con velocidad angular uniforme
w alrededor de un eje ew. Este campo está representado en la figura
Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
La ecuación de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasa de cambio
de la cantidad de movimiento de una dada porción de fluido es igual a la resultante de las fuerzas que
actúan sobre esta porción. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de escribir esta ley.
 Forma integral lagrangiana (volumen material)
Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente también material) S. La cantidad de
movimiento contenida en V es
Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es:
 De forma diferencial
El potencial de velocidad
El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler (cantidad de
movimiento):
Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas situaciones de interés práctico, los efectos de la
viscosidad de los fluidos reales quedan limitados a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde
tienen lugar fuertes gradientes de la velocidad, mientras que en el grueso del flujo los efectos de la
viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer ideal. En las regiones materiales de flujo ideal no
se crea ni se destruye vorticosidad2, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue siendo nula en
todo otro momento, es por eso que estos flujos son irrotacionales, es decir que ∇ × = u 0 en todos los puntos
del fluido. Si además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones
2Es una magnitud física empleada en mecánica de fluidos y en el mundo meteorológico para cuantificar la rotación de un fluido.

9. 8
La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que v deriva de un potencial de velocidad φ, esto
es
Donde la función escalar es el potencial de velocidades. La ecuación de la continuidad se convierte en la
de Laplace
Y la de la cantidad de movimiento en la de Bernoulli
Muchos flujos de interés son esencialmente bidimensionales es decir, una de las tres coordenadas espaciales
es ignorable y la correspondiente componente de la velocidad es nula (o unaconstante). Los flujos planos y
los flujos con simetría axial son ejemplos de esta clase de flujos Consideremos los flujos planos. Es habitual
elegir z como la coordenada ignorable, y que el flujo se desarrolla en el plano (x, y). En estos casos es útil
introducir el concepto de la función corriente. Volvamos por un momento al caso general de un flujo
incompresible en tres dimensiones. En virtud de la incompresibilidad, podemos siempre introducir una
función vectorial A tal que:
En general el interés práctico de A es escaso, dado que estamos sustituyendo el campo de velocidad a
determinar por otro campo vectorial, con lo cual no se hace un progreso significativo. Pero en el caso de
los flujos planos, sí existe una ventaja, pues el campo de velocidad tiene sólo las componentes ux y uy que
además no dependen de z. Por este motivo, la única componente no nula de A es Az ≡ψ, y de acuerdo a la
ecuación de arriba se cumple que:
La función ψ se denomina función corriente y representa, como hemos visto, la componente perpendicular
al plano del flujo del potencial vectorial A. Cabe observar que es posible introducir la función corriente
para todos los flujos bidimensionales incompresibles (sean o no viscosos y sean o no irrotacionales), pues
basta que el flujo cumpla la condición
∇⋅u = 0. Por el contrario, el potencial de
velocidad sólo se puede introducir para
flujos irrotacionales (que por lo tanto son
necesariamente invíscidos, barotrópicos y
gobernados por fuerzas de volumen
conservativas), pero no está limitado a
los flujos bidimensionales.
Soluciones elementales en flujos planos

10. 9
Se puede construir varios flujos potenciales de interés a partir de tres tipos de soluciones elementales.
1. Corriente uniforme
2. Fuente o sumideros
3. Torbellinos
Se pueden sumar los potenciales y las funciones de corriente de estos tres casos para generar varios
resultados útiles. Para hacer esto contamos con el principio de superposición, que es válido por que la
ecuación de Laplace es lineal. Sin embargo nuestro principal objetivo es definir los tres flujos potenciales
más importantes.
Corriente uniforme.
Una corriente de velocidad U∞ constante tiene derivadas espaciales nulas y, por tanto, satisface
idénticamente la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supongamos primero que la
corriente es en la dirección del eje x, las funciones φ y ψ resultantes son:
Integrando, obtenemos
Como las constantes C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, las ignoraremos
Esto es útil para problemas de perfil con ángulo de ataque.3
(a) Corriente en la dirección x, (b) Corriente a un ángulo α
Fuentes o sumideros
Supongamos un tubo delgado situado en el eje z, que
estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal
3Ángulo que forman la cuerda geométrica de un perfil alar con la dirección del aire incidente.

11. 10
uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, veríamos un flujo radial como se muestra
esquemáticamente en la figura. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie
cilíndrica de radio r, cualquiera y longitud b es constante.
ó
Donde m es una constante. Si m es positivo tenemos una línea de fuentes o fuente bidimensional y un
sumidero bidimensional si m es negativo. Obviamente las líneas de corriente de la fuente apuntan hacia
afuera como se muestra en la figura, y la velocidad tangencial vϴ=0. Podemos obtener φ y ψ en
coordenadas polares.
Integrando, obtenemos
Línea de fuentes o sumideros: las cuales tienen una forma más simple que las
cartesianas.
Torbellino bidimensional
Supongamos ahora que invertimos los papeles de φ y ψ en la ecuación tendremos
Derivando cualquiera de ellas se obtiene la velocidad
Es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que disminuye como 1/r. Esta tiene una
singularidad en el origen, donde la velocidad es infinita y φ y ψ no están definidas. De nuevo el núcleo del
torbellino debe estar oculto en el interior de un cuerpo. La intensidad del torbellino K tiene las mismas
dimensiones que la intensidad m de la fuente, esto es, velocidad por longitud.

12. 11
Conclusiones
Este trabajo demuestra la importancia del cálculo vectorial en la carrera de mecánica, principalmente en
mecánica de fluidos, aunque no solo se limita en mecánica sino tiene diversas aplicaciones en la mayoría
de las ramas de la ingeniería, ya que nos facilita problemas comunes en la vida cotidiana.
En lo que concierne al tema desarrollado, la mecánica de fluidos es una ciencia un tanto compleja y
abstracta que tienen una gran importancia en el mundo físico, y para poder comprenderla se requiere una
serie de conocimientos previos y puntuales sobre matemáticas, en este caso hicimos uso de los conceptos de
cálculo vectorial para explicar de un manera muy somerauna técnica para el análisis detallado de los
flujos, el cual dichos análisis son importantes en el diseño de diversas piezas sólidas, desde un vehículo,
bombas, hélices, turbinas, hasta en el construcción de rascacielos, ya que todas ellas se presentan en
continuo contacto con un fluido, ya se liquidó o gaseoso; si no se considerasen dichos análisis y cálculos,
los efectos serian catastróficos para los individuos. Sin embargo, algunos de los elementos a diseñar, el
flujo de un fluido no provoca efectos considerables por lo que se hace uso de la técnica de cierto modo más
sencilla para el análisis de flujos incompresibles no viscosos,donde un flujo no viscoso es el flujo de un
fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad.
Como conclusión final, cabe mencionar que se cumplieron los objetivos planteados, que me ayudaron a
conocer más sobre lo que más adelante me espera en mi carrera, también me enriqueció en cuanto a ver las
cosas de otra perspectiva, en tener un buen entendimiento interdisciplinario y relacionar todas las materias
para que al final se concentren diversas herramientas que me ayudaran a solucionar cualquier problema
que se me presente durante mi vida profesional.
Blibliografia y mesografia
 Frank M. White. (1979). Mecánica de fluidos. USA: McGraw-Hill.
 Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Potenciales. 2014, de Universidad Nacional del Centro
de la Provincia de Buenos Aires Sitio web:
http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/6FlujosPotenciales.pdf
 Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Ideales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de
la Provincia de Buenos Aires Sitio web:
http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/5FlujosIdeales.pdf

13. 12