Gradiente, Definición, Prepiedades, Ejercicios

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL
PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014

INFORME DE TRABAJO FINAL
I.

DATOS INFORMATIVOS

Carrera:
Modulo:
Área Académica:
Línea de Investigación:
Ciclo Académico:
Paralelo:4° “B”
Alumnos participantes:

Docente:
II.

Ingeniería Electrónica y Comunicaciones
Calculo Vectorial
Matemáticas
Electrónica y Comunicaciones
Septiembre 2013- febrero 2014
Yumizaca José
Cushpa Paulo
Manobanda Wilson
Cálculo Vectorial - Ing. Freddy Robalino

Tema:

Gradiente. Definición y propiedades, teoremas, ejercicios.
1.
2.

III.

PP
YY

Objetivos
General:

Conocer la definición de gradiente sus propiedades y teoremas en un campo vectorial.
Específicos:




IV.

Analizar cada propiedad y teorema presentados en el siguiente informe.
Denotar una dirección en el espacio según la cual se apreciara una variación de
una determinada propiedad.

MARCO TEÓRICO

Gradiente


Las magnitudes como el peso y la temperatura consisten en un número, como 15 grados o
1.000 kilogramos. Los científicos llaman a estas magnitudes escalares. Las medidas como la
velocidad y la fuerza, por otra parte, son vectores, y tienen dos datos: una magnitud y una
dirección. Por ejemplo, el reporte del clima dice que el viento sopla del este a siete kilómetros
por hora. Los científicos indican a los vectores con flechas, ya que las flechas tienen una
longitud (que indica la magnitud o intensidad de la medida) y apuntan en una dirección
específica. El gradiente es un vector que resulta de una operación delta en una superficie. Si la
superficie es plana, el gradiente es cero, su forma no cambia. Si la superficie tiene una colina,
el gradiente apunta hacia arriba. Cuando la superficie tiene depresiones y valles, el gradiente
apunta hacia abajo. Cuanto más grande sean las elevaciones o depresiones, mayor será la
magnitud del gradiente.

Definición
El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una
variación de una determinada propiedad o magnitud física.
En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o
variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución
física de una determinada magnitud o propiedad.

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o
altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.
El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector
definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo un vector unitario y
la derivada direccional de en la dirección de , que
informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:


Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por
cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se
expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la
curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura),
etcétera. Algunos ejemplos son:




Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo
escalar, de tal manera que en cualquier punto
, la temperatura es
. Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para
cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la
temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido
aumenta la temperatura en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El
gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de
inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la
pendiente.

Aproximación lineal de una función
El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la
función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

Donde

es el gradiente evaluado en x0.

Propiedades


El gradiente verifica que:







Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,


Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.
En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante
la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1,

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r,

) resulta

)

Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo
vectorial, siendo el gradiente de
desplazamiento

un tensor que da el diferencial del campo al realizar un

Este tensor podrá representarse por una matriz (3x3), que en coordenadas cartesianas está
formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.


V.

Desarrollo de ejercicios
 Ejemplo 1
Calcular el gradiente de la función:


 Ejemplo 2
Calcular el gradiente de la función:


 Ejemplo 3
Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie:
2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7
En el punto P0(1, -1, 2)
solución:
Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en
todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0,
todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí
que podamos hacer:
V→⋅(∇→ϕ)=0
Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos
considerar el vector :
P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ
Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2):
∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7
∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3
∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8
De donde se tiene:
(∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ
Con lo que podemos poner
P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8
Haciendo operaciones y simplificando nos queda:
7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0
Que es la ecuación del plano pedido.


 Ejemplo 4
Calcular el vector unitario perpendicular al plano:
A.x + B.y + C.z
Por consideraciones del gradiente.
Solución:
Este problema podríamos resolverlo sin tener en cuenta las propiedades del gradiente de una
función y considerar sólo el vector director del plano, que sabemos que es perpendicular a él,
pero como sabemos que un plano es una superficie, vamos a determinar su gradiente:

Este resultado coincide con el valor del vector director del plano dado por los coeficientes de las
variables.
Según las propiedades del gradiente, sabemos que el vector obtenido es perpendicular al plano,
por lo tanto, multiplicando dicho vector por un escalar que valga igual que el inverso de su
módulo, tendremos un vector unitario perpendicular al plano:

VI.

Conclusiones:





VII.

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual
se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.
Observamos como el vector gradiente de un punto genérico del espacio
indica la dirección en la cual la presión cambia más rápidamente.
Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno
(líneas "equiescalares") .
El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones
coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto se basa en
que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales.
Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector.

Referencias bibliográficas
 Calculo multivariable: STEWART JAMES 4 edición
 Calculo ll: LARSSON ROM
 Teoría de campos escalares y campos vectoriales: Miguel Ángel Pascual
Iglesias

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