Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
El documento describe el movimiento armónico simple. Explica que un oscilador armónico oscila entre dos puntos equidistantes de la posición de equilibrio, alcanzando su máxima velocidad en el punto medio y deteniéndose en los extremos. Define las ecuaciones que rigen este movimiento periódico en términos de amplitud, frecuencia, fase y posición. Describe cómo varían la velocidad, aceleración, fuerza elástica y energía cinética y potencial durante una oscilación.
El documento presenta información sobre derivadas de funciones, incluyendo ejemplos de funciones derivadas, propiedades de derivadas, reglas para calcular derivadas como la regla de la cadena, y aplicaciones de derivadas como determinar el crecimiento de una función. Se explican conceptos como máximos, mínimos, concavidad, puntos de inflexión y optimización.
Este documento describe las características del movimiento ondulatorio y la clasificación de las ondas. Explica que un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación a través del espacio sin transporte de materia, solo de energía. Clasifica las ondas según el tipo de energía, dimensión, forma del frente de ondas y dirección de propagación. Las ondas pueden ser mecánicas, electromagnéticas, unidimensionales, bidimensionales, planas, circulares, esféricas, longitudinales o transversales.
Este documento describe los elementos básicos de un vector, incluyendo su longitud, dirección y sentido. Explica cómo representar vectores utilizando componentes cartesianas y cómo calcular su módulo. También cubre conceptos como la suma y resta de vectores, vectores unitarios, y representar vectores en términos de vectores unitarios en los ejes x, y y z.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial en funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial de una función, derivadas direccionales y gradiente. Explica funciones reales de varias variables reales, su dominio e imagen, y cómo representarlas de forma explícita, implícita o paramétrica. También describe la gráfica de una función y los conjuntos de nivel.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas. Explica la tasa de variación media en un intervalo y cómo se usa para calcular la variación promedio de una función. También define la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño, y cómo la derivada representa la pendiente de la recta tangente. Además, explica reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
El documento describe el movimiento armónico simple. Explica que un oscilador armónico oscila entre dos puntos equidistantes de la posición de equilibrio, alcanzando su máxima velocidad en el punto medio y deteniéndose en los extremos. Define las ecuaciones que rigen este movimiento periódico en términos de amplitud, frecuencia, fase y posición. Describe cómo varían la velocidad, aceleración, fuerza elástica y energía cinética y potencial durante una oscilación.
El documento presenta información sobre derivadas de funciones, incluyendo ejemplos de funciones derivadas, propiedades de derivadas, reglas para calcular derivadas como la regla de la cadena, y aplicaciones de derivadas como determinar el crecimiento de una función. Se explican conceptos como máximos, mínimos, concavidad, puntos de inflexión y optimización.
Este documento describe las características del movimiento ondulatorio y la clasificación de las ondas. Explica que un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación a través del espacio sin transporte de materia, solo de energía. Clasifica las ondas según el tipo de energía, dimensión, forma del frente de ondas y dirección de propagación. Las ondas pueden ser mecánicas, electromagnéticas, unidimensionales, bidimensionales, planas, circulares, esféricas, longitudinales o transversales.
Este documento describe los elementos básicos de un vector, incluyendo su longitud, dirección y sentido. Explica cómo representar vectores utilizando componentes cartesianas y cómo calcular su módulo. También cubre conceptos como la suma y resta de vectores, vectores unitarios, y representar vectores en términos de vectores unitarios en los ejes x, y y z.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial en funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial de una función, derivadas direccionales y gradiente. Explica funciones reales de varias variables reales, su dominio e imagen, y cómo representarlas de forma explícita, implícita o paramétrica. También describe la gráfica de una función y los conjuntos de nivel.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas. Explica la tasa de variación media en un intervalo y cómo se usa para calcular la variación promedio de una función. También define la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño, y cómo la derivada representa la pendiente de la recta tangente. Además, explica reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
El documento describe los polinomios y sus operaciones básicas. Los polinomios están formados por la suma o resta de monomios y se utilizan ampliamente en álgebra, ciencia y tecnología. Para operar con polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se multiplican o dividen los monomios y polinomios de acuerdo con reglas algebraicas específicas.
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las series de potencias y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1) Explica cómo determinar el radio de convergencia de una serie de potencias usando el criterio del cociente. 2) Distingue entre puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial. 3) Describe cómo obtener soluciones analíticas en torno a un punto ordinario usando series de potencias.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
El método de Newton es un método iterativo para encontrar las raíces de una función. Se basa en aproximar suavemente la función mediante una tangente y usar el punto de intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación. Esto genera una sucesión de valores que converge cuadráticamente a la raíz si se cumplen ciertas condiciones sobre la derivada segunda de la función. El método se interpreta gráficamente como seguir la trayectoria de las tangentes, y se demuestra su convergencia localmente bajo condiciones sobre el signo de
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento introduce la definición de la derivada de una función. Define la derivada como el límite de la razón de incrementos de la función y el argumento cuando este último tiende a cero. Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la tangente a la curva gráfica de la función en un punto, e ilustra esto con un ejemplo. También presenta algunas aplicaciones físicas de la derivada, como la velocidad y la intensidad de corriente eléctrica.
Articulo de Variable Compleja: Un Paseo a través de lo InéditoMynorRios
El documento presenta una introducción a los números complejos y funciones analíticas, incluyendo definiciones de funciones derivables, analíticas y armónicas. Explica las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo se pueden expresar en coordenadas polares. También menciona aplicaciones de las funciones analíticas en física y la relación entre funciones analíticas y armónicas. El objetivo general es proponer una línea educativa sobre variable compleja dirigida a estudiantes universitarios.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento presenta la ley de Gauss y la ley de Coulomb. Explica que la ley de Gauss se usa para describir el campo eléctrico creado por una distribución de carga. También resuelve problemas aplicando estas leyes, como calcular la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico se anula en equilibrio, y aislantes, donde se establece un campo polarizado
Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
1. El documento presenta fórmulas de cálculo diferencial que incluyen reglas para derivar funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas.
2. También presenta fórmulas para derivar funciones compuestas, potencias, cuocientes y productos.
3. Se proporcionan expresiones para derivar funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos y arctan.
Este documento resume las leyes de Gauss y Coulomb, así como sus aplicaciones. Explica que la ley de Gauss relaciona la densidad de carga eléctrica con el campo eléctrico, mientras que la ley de Coulomb describe la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Luego, presenta un ejemplo de cálculo de la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico
1) Se resuelven 11 problemas sobre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables.
2) Se estudia el límite doble en el origen y se aplican cambios a coordenadas polares cuando es necesario.
3) Se analiza la existencia de derivadas parciales y se determina si las funciones son o no continuas y diferenciables en determinados puntos.
Este documento presenta la Unidad VI de un curso de matemáticas sobre la aplicación de la derivada. La unidad cubre conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, tangentes y normales a curvas, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada gráficamente y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y otras aplicaciones.
Espero sea de utilidad para todos aquellos que cursan C{alculo Diferencial o Matemática I. Recuerden que en la perseverancia esta el exito, y disfruten de cada cosa que hagan, total " a mal tiempo buena cara"
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
Este documento trata sobre el cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida. Explica cómo calcular el área entre dos curvas utilizando sumas de Riemann y presenta la fórmula general para este cálculo. También introduce conceptos sobre volúmenes de cuerpos con sección transversal conocida y volúmenes de sólidos de revolución. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de áreas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades básicas de números reales, operaciones, desigualdades y valor absoluto.
2) También introduce conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y derivadas.
3) El documento proporciona esta información fundamental de manera concisa para servir de referencia en cálculo.
El documento describe los polinomios y sus operaciones básicas. Los polinomios están formados por la suma o resta de monomios y se utilizan ampliamente en álgebra, ciencia y tecnología. Para operar con polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se multiplican o dividen los monomios y polinomios de acuerdo con reglas algebraicas específicas.
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las series de potencias y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1) Explica cómo determinar el radio de convergencia de una serie de potencias usando el criterio del cociente. 2) Distingue entre puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial. 3) Describe cómo obtener soluciones analíticas en torno a un punto ordinario usando series de potencias.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
El método de Newton es un método iterativo para encontrar las raíces de una función. Se basa en aproximar suavemente la función mediante una tangente y usar el punto de intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación. Esto genera una sucesión de valores que converge cuadráticamente a la raíz si se cumplen ciertas condiciones sobre la derivada segunda de la función. El método se interpreta gráficamente como seguir la trayectoria de las tangentes, y se demuestra su convergencia localmente bajo condiciones sobre el signo de
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento introduce la definición de la derivada de una función. Define la derivada como el límite de la razón de incrementos de la función y el argumento cuando este último tiende a cero. Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la tangente a la curva gráfica de la función en un punto, e ilustra esto con un ejemplo. También presenta algunas aplicaciones físicas de la derivada, como la velocidad y la intensidad de corriente eléctrica.
Articulo de Variable Compleja: Un Paseo a través de lo InéditoMynorRios
El documento presenta una introducción a los números complejos y funciones analíticas, incluyendo definiciones de funciones derivables, analíticas y armónicas. Explica las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo se pueden expresar en coordenadas polares. También menciona aplicaciones de las funciones analíticas en física y la relación entre funciones analíticas y armónicas. El objetivo general es proponer una línea educativa sobre variable compleja dirigida a estudiantes universitarios.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento presenta la ley de Gauss y la ley de Coulomb. Explica que la ley de Gauss se usa para describir el campo eléctrico creado por una distribución de carga. También resuelve problemas aplicando estas leyes, como calcular la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico se anula en equilibrio, y aislantes, donde se establece un campo polarizado
Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
1. El documento presenta fórmulas de cálculo diferencial que incluyen reglas para derivar funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas.
2. También presenta fórmulas para derivar funciones compuestas, potencias, cuocientes y productos.
3. Se proporcionan expresiones para derivar funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos y arctan.
Este documento resume las leyes de Gauss y Coulomb, así como sus aplicaciones. Explica que la ley de Gauss relaciona la densidad de carga eléctrica con el campo eléctrico, mientras que la ley de Coulomb describe la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Luego, presenta un ejemplo de cálculo de la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico
1) Se resuelven 11 problemas sobre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables.
2) Se estudia el límite doble en el origen y se aplican cambios a coordenadas polares cuando es necesario.
3) Se analiza la existencia de derivadas parciales y se determina si las funciones son o no continuas y diferenciables en determinados puntos.
Este documento presenta la Unidad VI de un curso de matemáticas sobre la aplicación de la derivada. La unidad cubre conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, tangentes y normales a curvas, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada gráficamente y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y otras aplicaciones.
Espero sea de utilidad para todos aquellos que cursan C{alculo Diferencial o Matemática I. Recuerden que en la perseverancia esta el exito, y disfruten de cada cosa que hagan, total " a mal tiempo buena cara"
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
Este documento trata sobre el cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida. Explica cómo calcular el área entre dos curvas utilizando sumas de Riemann y presenta la fórmula general para este cálculo. También introduce conceptos sobre volúmenes de cuerpos con sección transversal conocida y volúmenes de sólidos de revolución. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de áreas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades básicas de números reales, operaciones, desigualdades y valor absoluto.
2) También introduce conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y derivadas.
3) El documento proporciona esta información fundamental de manera concisa para servir de referencia en cálculo.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para aproximar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Además, incluye ejemplos resueltos demostrando cómo aplicar los métodos.
Este documento presenta el método numérico de bisección para aproximar la única raíz α de la ecuación senx + ln x = 0 en el intervalo [0.5, 0.6]. Luego, aplica los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para obtener aproximaciones de α con una precisión de 5 cifras decimales. Finalmente, aproxima las cuatro raíces reales simples de la ecuación polinómica p(x) = x4 + 2.8x3 - 0.38x2 - 6.3x - 4.2 usando
Este documento describe diferentes métodos numéricos para la integración como las reglas del trapecio, Simpson y sus versiones compuestas. Explica cómo implementar estas reglas en MATLAB mediante funciones. También cubre temas como coeficientes indeterminados, cuadratura gaussiana y comandos básicos de integración en MATLAB como quad, trapz e int. Finaliza proponiendo ejercicios sobre integración múltiple, método de Romberg y cuadratura gaussiana de orden tres.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
El documento describe las funciones hiperbólicas, incluyendo sus definiciones, gráficas, dominios y rangos, y propiedades. Define el coseno y seno hiperbólico en términos de exponenciales y explica cómo estas funciones se relacionan con la hipérbola unitaria. También cubre identidades clave y las funciones hiperbólicas inversas.
Este documento presenta 7 ejemplos de cálculo integral resueltos usando diferentes técnicas como sustitución de variables, completar cuadrado, integración trigonométrica, fracciones impropias, separación de fracciones, multiplicación por una forma de uno, y eliminación de raíces cuadradas. Los ejemplos ilustran cómo aplicar estas técnicas para evaluar integrales definidas.
Bitácora N°2 (07 Feb - 10 Feb) Topología IMiriJaneth
Este documento presenta una introducción a la topología a través de los espacios métricos. Define conceptos fundamentales como métrica, distancia, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado en un espacio métrico. Incluye demostraciones de teoremas como que toda bola abierta es un conjunto abierto y toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Finalmente, propone tres tareas que verifican propiedades de métricas y describen geométricamente las bolas en el plano cartesiano con la métrica de Manhattan
La teoría de los números estudia las propiedades de los números enteros. Trata temas como los números primos, su distribución y cantidad. Figuras importantes como Euclides, Euler, Riemann y otros han estudiado y contribuido a esta rama de las matemáticas. La hipótesis de Riemann, formulada en 1859, es un famoso problema sin resolver sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann.
1) El documento explica cómo realizar un giro de los ejes de coordenadas para simplificar ecuaciones de curvas cónicas. 2) Se presentan las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un punto antes y después del giro. 3) Se muestran ejemplos de aplicación de estas ecuaciones para simplificar una ecuación de elipse y eliminar un término en una ecuación cónica.
El documento introduce el concepto de derivada. Explica que la derivada surge de querer encontrar la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, lo que llevó al análisis de rectas secantes que se acercan cada vez más a dicho punto. Finalmente, la derivada se define como el límite de la pendiente de estas rectas secantes a medida que se acercan a la tangente, representando así la pendiente de la recta tangente.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones del tema 0 de Mecánica de Fluidos de la Universidad Técnica de Loja. Introduce conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial como suma, multiplicación por escalar, producto punto y cruz de vectores, y diferenciación e integración de funciones vectoriales.
1. El documento trata sobre métodos aditivos y combinatorios en teoría de números, en particular el método de criba. 2. El método de criba consiste en contar el número de términos de una sucesión que no son divisibles por ningún primo perteneciente a un conjunto determinado. 3. Se presentan ejemplos de aplicación del método de criba a problemas como contar primos gemelos menores que x.
Este documento explica la transformada discreta de Fourier (DFT), que permite representar señales de tiempo discreto como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Describe cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier para señales periódicas y aperiódicas. También analiza ejemplos como ondas cuadradas y senos, y cómo reconstruir parcialmente las señales originales a partir de un número limitado de términos de la serie.
Este documento describe la teoría y aplicaciones de la proyección isométrica y las coordenadas homogéneas en álgebra lineal para gráficos de computadora. Se explica cómo proyectar objetos tridimensionales en un plano bidimensional, y cómo esto se puede usar para dibujar figuras como un cubo unidad. También incluye ejemplos de cómo calcular proyecciones y matrices de proyección para diferentes figuras geométricas.
1) El documento describe las funciones trigonométricas seno y coseno, incluyendo sus definiciones geométricas y gráficas. También explica cómo estas funciones están relacionadas a través de identidades trigonométricas fundamentales.
2) Luego, describe las funciones exponenciales con base b, incluyendo sus propiedades y ejemplos. Finalmente, introduce la función exponencial natural con base e.
3) Las funciones exponenciales y trigonométricas son funciones importantes que aparecen con frecuencia en matemáticas, ci
1. Resume los resultados sobre la convergencia de la serie según los valores de x. Converge si |x|<2, diverge si |x|>2, y diverge también para x=2 y x=-2.
2. Explica que usa el criterio de la raíz para determinar las condiciones de convergencia en función de x, y analiza los casos límite x=2 y x=-2.
3. Revisa la convergencia para valores específicos de x estudiando la serie resultante en cada caso.
O documento descreve a restinga do Rio Grande do Norte, abordando sua localização, clima, solo, relevo, vegetação e áreas de preservação, como a RPPN Mata Estrela, RDS Ponta do Tubarão e o Parque das Dunas. Conclui que a restinga enfrenta processo de abandono e grande risco de extinção devido à falta de políticas de conservação e ao desenvolvimento urbano.
O documento descreve a formação e características das restingas ao longo da costa brasileira. Apresenta as principais adaptações da flora e fauna a este ecossistema costeiro arenoso, sujeito a fatores como salinidade, variações térmicas e escassez hídrica. Detalha também a classificação e transição entre diferentes zonas de vegetação ao longo da planície costeira, incluindo dunas móveis e fixas.
O documento descreve técnicas de substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo funções trigonométricas e radiciais. Apresenta exemplos de como substituir x por funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente para calcular integrais definidas. Também discute como decompor frações racionais em frações parciais para calcular suas integrais.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
[1] O documento discute o conceito de integral definida e apresenta suas propriedades fundamentais. [2] Uma integral definida representa a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites e pode ser aproximada por somas de retângulos. [3] O valor exato da integral é obtido fazendo a partição tender a zero e somando as áreas dos retângulos.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para a integral ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com esses casos.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
1) O documento apresenta uma revisão sobre funções exponenciais e logarítmicas e introduz o número e.
2) É feita uma revisão sobre potências com bases reais positivas e expoentes reais. Logaritmos são definidos como o expoente ao qual se eleva a base para obter o valor.
3) O número e é definido como o limite de uma sequência e demonstrado que é irracional.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
O documento apresenta as noções de derivada como inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função e novas regras de derivação, como a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. É introduzido o conceito geométrico de derivada ligado à aproximação linear local de uma função por sua tangente e são mostradas equações de retas tangentes e normais a curvas.
1) O documento discute velocidade instantânea e derivadas. É introduzida a noção de velocidade instantânea como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
2) A derivada de uma função é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável independente quando esta última tende a zero.
3) Regras para calcular a derivada de funções como xn são apresentadas, assim como notações comuns para representar derivadas.
1. Aula 12
Derivando fun»~es trigonom¶tricas
co e
Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»~es trigonom¶tricas. Estaremos tam-
co e
b¶m apresentando as fun»~es trigonom¶tricas inversas e deduzindo suas derivadas.
e co e
Admitiremos que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶
co e a ³nuas nos pontos onde
est~o de¯nidas.
a
Recordemo-nos de que, pela proposi»~o 11.1, aula 11, temos o primeiro limite
ca
fundamental,
sen h
lim =1
h!0 h
Como conseqÄ^ncia, deduziremos agora as derivadas das fun»~es seno e cosseno.
ue co
Teorema 12.1
(sen x)0 = cos x
(cos x)0 = ¡ sen x
Demonstra»~o. Seja f(x) = sen x. Consideremos ent~o, fazendo ¢x = h,
ca a
¢f f (x + h) ¡ f (x) sen(x + h) ¡ sen x
= =
¢x h h
sen x cos h + sen h cos x ¡ sen x
=
h
cos h ¡ 1 sen h
= sen x ¢ + cos x ¢
h h
f (x + h) ¡ f (x)
f 0 (x) = lim
h!0 h
cos h ¡ 1 sen h
= sen x ¢ lim + cos x ¢ lim
h!0 h h!0 h
101
2. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 102
sen h
Agora, temos lim = 1, e
h!0 h
cos h ¡ 1 (cos h ¡ 1)(cos h + 1) (cos2 h ¡ 1)
lim = lim = lim
h!0 h h!0 h(cos h + 1) h!0 h(cos h + 1)
2
¡ sen h sen h ¡ sen h 0
= lim = lim ¢ lim =1¢ =0
h!0 h(cos h + 1) h!0 h h!0 cos h + 1 2
Portanto, f 0 (x) = (sen x) ¢ 0 + (cos x) ¢ 1 = cos x.
Assim (sen x)0 = cos x, para todo x 2 R.
¡ ¢
Agora, cos x = sen ¼ ¡ x . Por deriva»~o em cadeia,
2
ca
h ³¼ ´i0
(cos x)0 = sen ¡x
³ ¼2 ´ ³ ¼ ´0
= cos ¡x ¢ ¡ x = (sen x) ¢ (¡1) = ¡ sen x
2 2
Proposi»~o 12.1
ca
(tg x)0 = sec2 x
(cotg x)0 = ¡ cosec2 x
(sec x)0 = sec x tg x
(cosec x)0 = ¡ cosec x cotg x
Demonstra»~o. Para deduzir estas novas f¶rmulas, basta fazer uso das rela»oes
ca o c~
sen x cos x 1 1
tg x = ; cotg x = sec x = ; cosec x =
cos x sen x cos x sen x
³ u ´0 u0 v ¡ uv 0
e aplicar a regra de deriva»~o de um quociente,
ca = . Deixamos o prazer
v v2
da descoberta para o leitor.
12.1 Fun»oes trigonom¶tricas inversas
c~ e
e suas derivadas
A fun»~o arco-seno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um ¶nico arco
ca u u
orientado ®, ¡¼=2 · ® · ¼=2, tal que sen ® = a.
Dizemos que ® ¶ o arco cujo seno ¶ a, ou que ® ¶ o arco-seno de a, e denotamos
e e e
isto por
® = arc sen a
Sumarizando,
3. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 103
(
sen ® = a
® = arc sen a se e somente se
¡¼=2 · ® · ¼=2
y
α = arc sen a
a π /2
α
x
O A
- π /2
Assim, por exemplo (con¯ra),
p µ ¶
¼ 3 ¼ 1 ¼ ¼
arc sen 1 = ; arc sen = ; arc sen ¡ =¡ ; arc sen(¡1) = ¡
2 2 3 2 6 2
A fun»~o arco-cosseno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um unico arco
ca u ¶
orientado ¯, 0 · ¯ · ¼, tal que cos ¯ = a.
y β = arc cos a
β
π
x
a O
Dizemos que ¯ ¶ o arco cujo cosseno ¶ a, ou que ¯ ¶ o arco-cosseno de a, e
e e e
denotamos isto por
¯ = arccos a
Sumarizando,
(
cos ¯ = a
¯ = arccos a se e somente se
0·¯·¼
4. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 104
p
Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos( 2=2) = ¼=4, arccos(¡1=2) = 2¼=3,
arccos(¡1) = ¼.
A fun»~o arco-tangente. Para cada n¶mero real a, ¡1 < a < +1, existe um unico
ca u ¶
arco orientado °, ¡¼=2 < ° < ¼=2, tal que tg ° = a.
Dizemos que ° ¶ o arco cuja tangente ¶ a, ou que ° ¶ o arco-tangente de a, e
e e e
denotamos isto por
° = arc tg a
y y'
γ = arc tg a π /2
a
γ
x
O
- π /2
Sumarizando,
(
a = tg °
° = arc tg a se e somente se
¡¼=2 < ° < ¼=2
Assim, de¯nem-se as fun»~es arc sen x e arccos x, para ¡1 · x · 1, e arc tg x para
co
todo x 2 R. Algumas calculadoras cient¶ ³¯cas chamam essas fun»oes pelas teclas INV
c~
SIN , INV COS , INV TAN , e µs vezes pelas teclas SIN , COS¡1 , TAN¡1 .
a ¡1
Proposi»~o 12.2
ca
1
(arc sen x)0 = p ; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arccos x)0 = ¡ p ; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arc tg x)0 = ; ¡1 < x < +1
1 + x2
Demonstra»~o.
ca
Sendo ¡1 < x < 1,
y = arc sen x se e somente se sen y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
5. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 105
ca ³cita da equa»~o sen y = x, temos
Por deriva»~o impl¶ ca
(sen y)0 = 1 ) (cos y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = =p =p
cos y 1 ¡ sen2 y 1 ¡ x2
1
Portanto (arc sen x)0 = p .
1 ¡ x2
Para ¡1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < ¼.
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita temos
(cos y)0 = 1 ) ¡(sen y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = ¡ =p = ¡p
sen y 1 ¡ cos2 y 1 ¡ x2
1
Portanto (arccos x)0 = ¡ p .
1 ¡ x2
Finalmente, para x 2 R,
y = arc tg x se e somente se tg y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita temos
(tg y)0 = 1 ) (sec2 y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = = 2 =¡
sec 2y 1 + tg y 1 + x2
1
Portanto (arc tg x)0 = .
1 + x2
12.2 Problemas
1. Sendo f (x) = sen x, mostre que f 0 (x) = cos x, fazendo uso da f¶rmula
o
p¡q p+q
sen p ¡ sen q = 2 sen cos
2 2
para calcular o limite de
¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) sen(x + ¢x) ¡ sen x
= =
¢x ¢x ¢x
quando ¢x ! 0.
6. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 106
y
O ϕ A
x
d
Figura 12.1.
2. A dist^ncia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶til alcan»a, quando disparado
a e c
de um canh~o com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^ngulo
a a
de eleva»~o ' em rela»~o ao ch~o (horizontal), ¶ dada pela f¶rmula
ca ca a e o
v0
d= sen 2'
g
sendo g a acelera»~o da gravidade local. Qual ¶ o ^ngulo ' que proporciona
ca e a
±
alcance m¶ximo? Resposta. 45 .
a
3. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = sec x ¡ 1 (b) y = cosec(x2 + 4)
(c) y = cotg(x3 ¡ 2x) (d) f (x) = cos 3x2
cos 4x
(e) y = (f) g(x) = cos2 3x (cos2 a signi¯ca (cos a)2 )
1 ¡ sen 4x
(g) y = tg2 x sec3 x (h) f (x) = tg3 (3x + 1)
(i) y = x2 sec2 5x (j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj
p
(k) y = e¡3x tg x (l) g(x) = ln(ln sec 2x)
(m) y = xsen x (n) f (x) = ln j sec x + tg xj
p p
sec
x¡1 tg x¡1
Respostas. (a) p
2 x¡1
(b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4)
4
(c)¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x) (d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen 4x (f) ¡3 sen 6x
(g) 3 tg3 x sec3 x + 2 tg x sec5 x (h) 9 tg2 (3x + 1) sec2 (3x + 1)
¡3x 2p p
(i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec x ¡ 3e¡3x tg x (l)
p
x
2 tg 2x ¡ ¢
ln sec 2x (m) xsen x cos x ¢ ln x + sen x
x (n) sec x
4. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3 (c) f (x) = ln arc tg x2
3
(d) y = 3arc sen x (e) g(x) = (tg x)arc tg x
p p p
Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 + arccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2
3 p
(c) (1+x4 )2x tg x2 (d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6
arc
(e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )]
5. Determine y 0 por deriva»~o impl¶
ca ³cita.
(a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex
7. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 107
x y
Respostas. (a) y 0 = 1¡x cos y (b) y 0 = ee sen y+xey
sen y
x
cos y¡e
p
1 ¡ y 2 (yex ¡ arc sen y ¡ 2x)
(c) y 0 = p
x ¡ ex 1 ¡ y 2
6. Esboce os gr¶¯cos das fun»~es, analisando-as previamente atrav¶s de derivadas e
a co e
limites apropriados.
(a) y = x + sen x (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x
Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.)
a co
(a) y 0 = 1 + cos x, y 00 = ¡ sen x. Ao pesquisar retas ass¶
³ntotas do gr¶¯co, voc^ vai se
a e
deparar com os limites lim sen x . Use o seguinte racioc¶
x ³nio. Como ¡1 · sen x · 1
x!§1
para todo x 2 R, temos ¡1 · sen x · x , para todo x > 0. Da¶ usando um teorema de
x x
1
³,
³che), temos lim x = 0. Calcule tamb¶m lim sen x .
confronto (sandu¶ sen x
e x
x!+1 x!¡1
1 ¡2x 1 ¡2x
(b) y 0 = 1+x2
, y 00 = (1+x2 )2
(c) y 0 = 1 + 1+x2
, y 00 = (1+x2 )2
(a) (b)
y y
3π
π /2
2π π /4
x
0 1
π
x - π /2
π 2π 3π
(c)
y
π
π /2
- π /2 x
π /2 π
- π /2