Este documento describe los elementos básicos de un vector, incluyendo su longitud, dirección y sentido. Explica cómo representar vectores utilizando componentes cartesianas y cómo calcular su módulo. También cubre conceptos como la suma y resta de vectores, vectores unitarios, y representar vectores en términos de vectores unitarios en los ejes x, y y z.

1. Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos:
Los vectores  , representa la medida del vector y se expresa mediante un
• Longitud o módulo, v sus características
y
valor numérico. Se denomina vector unitario al que tiene módulo 1.
• Dirección es la de la recta sobre la que se apoya el vector.Indica su inclinación.
• Sentido, indicado por la flecha entre los dos posibles de cada dirección.
• Origen o punto donde comienza el vector
sentido
 Podemos representar un vector respecto a
a los típicos ejes cartesianos (x,y si estamos
 en un plano o x,y,z si estamos en el espacio).
módulo a En un plano, quedaría el vector representado
dirección
por un par de números que son su
proyección sobre cada uno de los ejes y
reciben el nombre de COMPONENTES.
Las COMPONENTES DE UN VECTOR se obtienen restando las coordenadas
del extremo del vector (donde está la flecha) menos las del origen o punto
de aplicación del vector.
Para calcular el MÓDULO del vector basta con aplicar Pitágoras.

2. En x 5-1=4 luego la componente x es 4
En y 5-2=3 luego la componente y es 3
y  (a 2
+ aY =
2
) (4 2
+ 32 ) =5
a
El módulo queda:
5
 X
Y
ay β
Los ángulos serán: aY aX
α sen α = cos α =
2 a a
X

ax
aX aY
1 5 x sen β = cos β =
a a
Los vectores se pueden sumar y restar.
Sumar un vector es hallar otro vector llamado RESULTANTE que produzca los
mismos efectos que los vectores sumados si actuasen simultáneamente.
Para realizar la suma de vectores completa hay que hacerla numérica y gráficamente.
Numéricamente se calcula el módulo del vector resultante, mientras que gráficamente se
dibuja el vector resultante según su dirección y sentido, para realizar la suma de vectores
correctamente se deben hacer ambas cosas.
Para sumar varios vectores lo primero que hay que hacer es hacer coincidir sus orígenes.
Si se trata de vectores paralelos entre si (igual dirección) puede ocurrir que:
a)Vayan en el mismo sentido con lo que basta con sumar sus módulos.
b)Vayan en sentidos contrarios, con lo cual sus efectos se oponen y por lo tanto se
restan sus módulos y el vector resultante va en el sentido del mayor de ellos.

3. Así se observa que con vectores
la resta es en realidad una suma
en la que a uno de los vectores se
    le ha cambiado de sentido, al que
a +b a −b
lleva el signo menos delante.
EL SIGNO DELANTE DE UN VECTOR INDICA SU SENTIDO, UN SIGNO MENOS
DELANTE DEL VECTOR (es como multiplicarlo por –1 ) CAMBIA SU SENTIDO.
-Si se trata de vectores perpendiculares entre si es fácil tanto la suma como la resta
ya que se sigue LA REGLA DEL PARALELOGRAMO y el Teorema de Pitágoras para
hacer los cálculos.
(a 2
+ b 2 ) -Si los vectores forman entre si un ángulo
cualquiera se sigue empleando la regla del

a paralelogramo para hacer el dibujo pero para los
 cálculos hay que utilizar el Teorema del coseno
b (hay que tener en cuenta que el Teorema de
Pitágoras es un caso particular del Teorema del
coseno

4.  Teorema del coseno: r2= a2 + b2- 2.a.b.cos β
a como α + β = 180 º entonces cosα = -cosβ
α Luego r2 = a2 +b2 +2.a.b.cosα siendo α el ángulo
 entre los dos vectores
b β
Los más fácil es sumar por componentes ya que conociendo las componentes de los
vectores que se quiere sumar resulta mucho más fácil ya que basta con sumar las
componentes, componente a componente y el módulo del vector resultante se obtiene a
partir de las componentes resultantes. Restar sería restar las componentes.
• La suma de dos o más vectores es otro vector que se obtiene de forma geométrica
mediante dos métodos posibles
→
→ → → v3
v1 + v2 v2
→ →
v2 v1
→ → →
v1 + v2 + v3
→
v1
Método del paralelogramo: se sitúan Método del polígono: se sitúan
dos vectores en un origen común. El sucesivamente, el origen de un vector
vector resultante, se obtiene como la en el extremo del siguiente. El vector
diagonal del paralelogramo formado resultante se obtiene uniendo el origen
por dos vectores dados. del primero con el extremo del último

5. Medida de magnitudes físicas
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMER
O
→
v
• El producto de un vector por un número r , es otro vector de igual
dirección, cuyo módulo es el producto del módulo primitivo por el número.
El sentido depende del signo del número
→
v
→
v
→ →
3v − 3v
Si r es positivo, el vector Si r es negativo, el vector
resultante tiene el mismo resultante tiene sentido
sentido que el inicial contrario al inicial

6.  a  
 
u == ± a .u
a
a
VECTORES UNITARIOS
VECTORES UNITARIOS
Algo muy útil en Física son los llamados VECTORES
UNITARIOS. . Es evidente que un vector unitario es aquel
cuyo módulo es 1 pero ¿como se puede hacer que un vector
sea unitario?.
5
Si este vector a tiene, por ejemplo de componentes (3,4) su
a = ( 32 + 4 2 ) = 5
módulo es:

u
El vector unitario sale de dividir a entre su modulo por lo tanto
tiene de componentes (3/5, 4/5) que haciendo el módulo
queda:  2 2

 3  4
u =   +    = 1
 5   5  
 
SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO.
SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO.

 a
u= 
Entonces todo vector se puede representar a
como:
   por ejemplo
-Su módulo, que indica su valor numérico.
-Un vector unitario que indica la dirección. a = ± a .u  
-Un signo (+ o -) que indica el sentido. a = 5.u

7. De todos los posibles vectores unitarios , en todas las posibles direcciones del espacio los
que usarás con más frecuencia son los que se sitúan en los ejes cartesianos de referencia
ya que sirven para identificar las componentes de un vector.
El vector unitario en la dirección del eje xxse llama i i,el que se sitúa sobre el eje yyse llama j jyy
El vector unitario en la dirección del eje se llama ,el que se sitúa sobre el eje se llama
el que se sitúa sobre el eje zzse llama k.
el que se sitúa sobre el eje se llama k.

Si escribimos a = 5i + 3  + 3k
 
j significa
z
 que este vector tiene como componentes
 k sobre el eje x 5 , sobre el eje y 3 y sobre el
i eje z 2 o lo que es lo mismo que si
x
 colocamos su origen en el origen de
j y
coordenadas su extremo estaría en el punto
(5,3,2)
• Cualquier vectorde un plano se puede escribir como suma de un conjunto de

dos vectores { , j } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados
i  

por unos coeficientes numéricos: v = a i + b j

8. y → • Los coeficientes {a, b} se denominan
09 v
coordenadas cartesianas del vector y
→ se corresponden con sus proyecciones
v sobre los ejes cartesianos.
b
→
j α

a 2 + b2
→
O(0, 0 , 0) i x • Su módulo es: v =
a
• Cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un conjunto de tres
 
vectores { i , j, k } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados
 

por unos coeficientes numéricos: v = a i + b j + c k
z
b
a • Los coeficientes {a, b, c} se denominan
 coordenadas cartesianas del vector y
v se corresponden con sus proyecciones
c
→ γ sobre los ejes cartesianos.
k → β
→ j
i α y  2 2 2
• Su módulo es: v = a + b + c
x