Espero sea de utilidad para todos aquellos que cursan C{alculo Diferencial o Matemática I. Recuerden que en la perseverancia esta el exito, y disfruten de cada cosa que hagan, total " a mal tiempo buena cara"

1. UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
SATELITE
Fuerza de atraccion
Gravitacional F
X Km
TIERRA
LICENCIADO : GONZALO FERNÁNDEZ ROMERO

2. I. EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
Definición.-Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por
dos puntos diferentes de una curva.
Recta Tangente
Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda
completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente
a una curva dada, por un punto de está, se reduce a encontrar la pendiente de la
recta.
Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y f ( x) ,
donde f es una función continua. Se desea trazar la recta tangente, LT , en un
punto P( x0 , y0 ) dado de la curva. Sea LPQ la recta secante que pasa por los
puntos P( x0 , y0 ) y Q(x, y) de la curva.

3. y
La figura (1) muestra que ms es la pendiente de la secante LPQ , i.e.
x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 )
ms ,
x x0 h
FIGURA 1

4. Cuando h 0 , P permanece fijo y Q se mueve sobre la curva acercándose a P ; la
secante LPQ va girando alrededor de P hasta que llega a su posición límite que es la
tangente LT a la curva en el punto P : Así la secante geométrica se transforma en la
tangente geométrica, m , i.e.
f ( x0 h) f ( x0 )
lím mS lím m( x0 ) .
h 0 h 0 h
Concepto de Continuidad: Una función es continua en un intervalo I si su gráfica
no tiene roturas, saltos o agujeros en dicho intervalo.
Definición de Continuidad: La función f es continua en x0 si f está definida en
x0 , y
lím f ( x) f ( x0 ) .
x x0
La función f es continua en un intervalo I si es continua en todo punto del
intervalo I .

5. II. DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
a) Derivada de una Función en un Punto
Definición.-Sea f : I R R una función real y x0 I (I es un intervalo). La
f ( x) f ( x0 )
derivada de f en el punto x0 , denotada por f ´( x0 ) , es el lím si este
x x0 x x0
límite existe, i.e.
f ( x) f ( x0 )
f ´( x0 ) lím .
x x0 x x0
Si en la definición anterior se sustituye x x0 por h , entonces h 0 cuando
x x0 y x x0 h . Luego
f ( x0 h) f ( x0 )
f ´( x0 ) lím ,
h 0 h
si este límite existe.
Nota: La función f es derivable en x0 si f ´( x0 ) existe.

6. b) Recta Tangente ( LT )
La derivada de f en x0 , si existe, es la pendiente de la recta tangente a la curva
y f ( x) en el punto P ( x0 , f ( x0 )) . La ecuación de esta recta es:
LT : y f ( x0 ) f ´( x0 )( x x0 ) .
Si f ´( x0 ) 0 , la tangente a la curva y f ( x) en el punto ( x0 , f ( x0 )) es una recta
horizontal.

7. c) Función Derivable
Si f ´( x ) existe para cada x en un intervalo I , I R , se dice que la función f es
derivable en I .
Definición.-Si f es una función derivable en un intervalo I , I R , entonces f ´
es una nueva función llamada la función derivada de f , cuya regla de
correspondencia es:
f ( x h) f ( x )
f ´( x) lím .
h 0 h
El dominio de f ´ esta formado por todos los números del dominio de f para los
que existe f ´ ( Df ´ Df ) .
1
Ejemplo: Si f ( x) x con x 0 , entonces f ´( x) está definida únicamente
2 x
para x 0 , es decir, Df ´ (0, ) .

8. Notaciones para la derivada de una función
La derivada de y f ( x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera
de los símbolos:
df dy
f ´( x); ( x); Dx f ( x); y´; ; Dx y .
dx dx
a) Dx f ( x) se lee: derivada de f ( x) respecto a x .
dy
b) se lee: derivada de y respecto a x .
dx
c) f ´( x ) se lee: f prima de x .

9. III. RAZÓN DE CAMBIO (INSTÁNTÁNEO)
(Interpretación física de la derivada)
La pendiente de la recta secante de f sobre el intervalo a, b esta dada por:
f (b) f (a)
Razon.de.cambio. promedio.de. f .
b a
y f ( x0 x) f ( x0 )
El cociente
x x
es la razón promedio de cambio de y con respecto a x , sobre el intervalo
x0 , x0 x .
La derivada de f en x0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto ( x0 , f ( x0 )) , ( x h) :
f ( x0
h) f ( x0 ) dy
f ( x0 ) lím ,
h 0 h dx
y da la razón de cambio instantánea de f en x0 .
La segunda derivada de f , denotada por f , es la derivada de f .

10. Ejemplos de funciones que dependen del tiempo t :
1) N N (t ) : Cantidad de una sustancia radioactiva, en cualquier instante.
2) T T (t ) : Temperatura de un cuerpo en cualquier instante.
3) E E (t ) : Cantidad de dinero, en miles de euros, depositado en una cuenta del BCP.
ds
La velocidad de P, en un instante t es: v .
dt
i) Si v 0 , P se mueve en la dirección creciente de s (P se aleja de O ).
ii) Si v 0 , P se mueve en la dirección decreciente de s (P se acerca a O ).
iii) Si v 0 , P está en reposo en dicho instante (partícula estacionaria).
Notas:
1) Rapidez velocidad
2) La rapidez nos indica únicamente cuan rápido se mueve la partícula, mientras que la
velocidad instantánea nos indica además, la dirección del movimiento.
dv d 2s
La aceleración de P, en un instante t es: a 2
.
dt dt
Si a 0 , v aumenta; Si a 0 , v disminuye.

11. Matemática I Lic. Gonzalo Fernández Seminario Nº
3
PROBLEMA 1:
El Problema del Satélite
1. El módulo lunar SCANFCNM pesa 4 toneladas cuando está sobre la superficie lunar, pero pierde
peso cuando es colocado en órbita lunar. Si el radio de la luna es de 3800 Km:
a) ¿Cuánto pesará el SCANFCNM cuando esté a 200 Km sobre la superficie lunar?
b) ¿A qué razón está “perdiendo peso” el SCANFCNM cuando se encuentra a 200 Km de la
superficie lunar?
Nota: La atracción gravitacional entre la Luna y el satélite es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre sus centros.

12. SOLUCION
SATELITE
Fuerza de atraccion
Gravitacional F
X Km
TIERRA

13. Matemática I Lic. Gonzalo Fernández Seminario Nº 3
Por la Ley de atracción gravitacional del inverso del cuadrado; F 1 :
x2
F K , K : constante de proporcionalidad F ( x) K , donde:
x2 x2
F : Fuerza gravitacional (en kg.) que ejerce la Luna sobre el satélite cuando esta se encuentra a
una distancia de x km del centro de la Luna.
Calculando la constante K :
El satélite pesa 4 toneladas (4000 kg.) antes de ser lanzado, y el radio de la Luna es de 3800 km:
F (3800) 4000 4000 K K 4000 38002 . Por lo tanto:
38002
4000 38002 dF 2(4000 38002 )
F ( x) x2 x3
dx
a) Cuando el satélite está a 2000 km sobre la Luna, se encuentra a 3800+200 = 4000 km del
centro de la Luna, entonces su peso es:
F (4000) 4000 38002 3610 kg.
40002
b) Parecerá estar perdiendo peso (signo negativo) a una razón aproximada de:
dF 2(4000 38002 )
1,8 kg / km .
dx 40003
Nota.- El signo negativo indica que la atracción gravitacional, entre la Luna y el satélite,
disminuye cuando el satélite se aleja del centro de la Luna.

14. PROBLEMA 2:
EL PROBLEMA DE LA POLEA
Una cuerda de 32 pies de largo está amarrada a un peso y pasa por una polea que está a
16 pies sobre el suelo. Desde el suelo se jala del otro extremo de la cuerda a la
velocidad de 3 pies/seg. ¿A qué velocidad sube el peso en el instante en que el otro
extremo de la cuerda está a 12 pies del punto inicial?
Solución:
dy
Datos (ver gráfico): 3 pies / seg
dt
dx
Velocidad de elevación: ?
dt
Si y = 12 pies

15. Del gráfico:
y2 = (16+x)2 -162 ; y2 = 32x + x2 ..........(1)
Derivando implícitamente con respecto a t:
dy dx dx
2y 32 2x
dt dt dt
dy dx
y (16 x) .......... ...( 2)
dt dt
En (1) Si y = 12  122 = 32x +x2 ; x2 + 32x – 144 = (x+36)(x-4) = 0
pero x 0, x = distancia en pies  x = 4
Luego si y = 12  x =4 ........(3)
dx dx
Reemplazando (3) en (2) : 12(3) = (16+4) 36 20
dt dt
dx 9
pies / seg .
dt 5

16. IV. CONCEPTOS, DEFINICIONES Y TEOREMAS IMPORTANTES PARA
MÁXIMOS Y
MÍNIMOS Y GRÁFICA DE FUNCIONES
Funciones Crecientes y Funciones Decrecientes
Una función f es creciente si los valores de f ( x) crecen cuando las x crecen.
Una función f es decreciente si los valores de f ( x) decrecen cuando las x
crecen.
La gráfica de una función creciente asciende vista de izquierda a derecha.
La gráfica de una función decreciente desciende vista de izquierda a derecha.
Concavidad
La gráfica de una función es convexa (cóncava hacia arriba) si se dobla hacia
arriba, vista de izquierda a derecha.
La gráfica de una función es cóncava (cóncava hacia abajo) si se dobla hacia
abajo, vista de izquierda a derecha.
Una recta no es convexa ni cóncava.

17. Información dada por las derivadas:
 Si f ( x) 0 sobre un intervalo I , entonces f es creciente sobre dicho
intervalo.
 Si f ( x) 0 sobre un intervalo I , entonces f es decreciente sobre dicho
intervalo.
 Si f ( x) 0 sobre un intervalo I , entonces f es convexa sobre dicho
intervalo.
 Si f ( x) 0 sobre un intervalo I , entonces f es cóncava sobre dicho
intervalo.

18. FIGURA 2.1 Funciones crecientes y decrecientes

19. FIGURA 2.2 Funciones crecientes y decrecientes

20. FIGURA 3.1 Convexidad y Concavidad de una gráfica.

21. FIGURA 3.2 Convexidad y Concavidad de una gráfica.

22. FIGURA 4 El punto (0,0) es punto de inflexión de la
gráfica de la función f ( x) x .
3

23. Máximos y Mínimos Relativos o Locales:
f tiene un máximo local en x0 si f ( x0 ) es mayor o igual a los valores de f en
puntos cercanos a x0 (i.e. en un entorno de x0 ).
f tiene un mínimo local en x0 si f ( x0 ) es menor o igual a los valores de f en
puntos cercanos a x0 (i.e. en un entorno de x0 ).
Máximos y Mínimos Absolutos o Globales:
f tiene un máximo global en x0 si f ( x0 ) es mayor o igual a los valores de f en
cualquier punto del intervalo.
f tiene un mínimo global en x0 si f ( x0 ) es menor o igual a los valores de f en
cualquier punto del intervalo.

24. Un punto crítico de una función f es un punto x0 en el dominio de f donde
f ( x0 ) 0 o f ( x0 ) no está definido.
Teorema: Un máximo o mínimo relativo, que no ocurre en los extremos del
dominio, ocurre en los puntos críticos.
La Prueba de la Prime ra Derivada para Máximos y Mínimos Relativos:
 Si f cambia de negativo a positivo en x0 , entonces f tiene un mínimo
relativo en x0 .
 Si f cambia de positivo a negativo en x0 , entonces f tiene un máximo
relativo en x0 .

25. La Prueba de la Segunda Derivada para Máximos y Mínimos Relativos:
 Si f ( x0 ) 0 y f ( x0 ) 0 entonces f tiene un mínimo relativo en x0 .
 Si f ( x0 ) 0 y f ( x0 ) 0 entonces f tiene un máximo relativo en x0 .
 Si f ( x0 ) 0 y f ( x0 ) 0 entonces la prueba no informa nada.
Para encontrar el máximo o mínimo absoluto de una función en un intervalo
comparamos los valores de f en todos los puntos críticos y en los extremos del
intervalo (si el intervalo está acotado, o con lím f ( x) si el intervalo no esta
x
acotado).
Un punto de inflexión de f es un punto donde la gráfica de f cambia de
concavidad; f es cero o no está definida en un punto de inflexión.

26. V. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PROBLEMA 3:
MODELO MATEMATICO DE MINIMIZACION
Una hoja de papel tiene S cm² de material impreso, con márgenes superior e inferior de
4 cm. y márgenes laterales de 2 cm. Encuentre un modelo matemático que exprese el
área de la hoja de papel en función de una de las dimensiones del material impreso.
Determinar cuáles deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor
cantidad de papel.

27. Solución:
Material impreso : Scm2 ; Márgenes: superior e inferior: 4cm, laterales:2cm
Determinaremos las dimensiones de la
hoja, para usar la menor cantidad de papel.
Sea S = xy, x>0, y>0
 Máx. : A = (x+4)(y+8)
S
A = xy +8x + 4y + 32; xy = S  y =
x
4S
A = S + 8x + 32 A( x ) , x 0
x

28. dA 4S 4S
 8 8 0 , x 0
dx x2 x2
 4(2x2 -S)=0 2x2=S  x S/ 2 , x 0
S S S 2
y 2S y 2S , y 0
x S/2 S
Dimensiones de la hoja:
2S 2S 8
x 4 S/2 4 4 cm
2 2
y 8 2S 8 cm.

29. VI. GRÁFICA DE FUNCIONES
PROBLEMA 4:
LA CURVA DE GAUSS
x2
Analizar y graficar la curva de Gauss: y f ( x) e
Solución:
1° Análisis previo
a) Dominio : Df = R
b) La curva no intersecta al eje X. Intersecta al eje Y en (0,1)
c) La función es par luego, la gráfica será simétrica al eje Y. La función es continua
en todo R.
d) Asíntotas :
La recta y = 0 es una asíntota horizontal, pues:
x2 2
Lím e Lím 1/ ex 0
x x
La curva carece de asíntotas vertical y oblicua.

30. 2° Monotonía. Máximos y Mínimos
x2 x2
a. PC1: f ( x) e f '( x) 2xe
x2 x2
Si f '( x) 0  2 xe 0 luego x =0 (e 0, x R)
Por lo tanto, el punto crítico es: x = 0.
x2
b. Análisis del signo de la primera derivada, f '( x) 2xe :
Si x < 0: f '( x) 0 entonces, f es creciente
Si x > 0: f '( x) 0 entonces, f es decreciente.
Luego, x =0 es un punto de máximo local; f (0) 1 .

31. a. Tabla de variación
Máx.
x - ,0 x=0 0,
f’(x) f’(-1)>0:+ 0 f’(1)<0:-
Conclusión Creciente : 1 Decreciente :
f(x)
Máximo: x=0, y = f(0) = 1  ymáx = 1

32. 3° Concavidad y puntos de inflexión
x2 x2
a. PC2: f '( x) 2xe f ( x) 2e (2x2 1)
x2 1 1
Si f ( x) 0  2e (2x2 1) 0 luego x ó x .
2 2
x2
b. Análisis del signo de la segunda derivada, f ( x) 2e (2x2 1) :
Si x<-1/ 2 : f ( x) 0 entonces, f es convexa (cóncava hacia arriba)
Si -1/ 2 <x<1/ 2 : f ( x) 0 entonces, f es cóncava (cóncava hacia abajo).
Si x> 1 / 2 : f ( x) 0 entonces, f es convexa (cóncava hacia arriba).

33. Luego:
En x 1 tiene un punto de inflexión, pues ocurre cambio de concavidad;
f
2
f( 1 ) 1
e
.
2
En x 1
f tiene un punto de inflexión, pues ocurre cambio de concavidad;
2
f( 1 ) 1
e .
2

34. a. Tabla de variación
P.I. P.I.
x , -1/ 2 x= -1/ -1/ 2 , 1/ 2 x=1/ 2 1/ 2 ,
2
f”(x) f”(-1)>0 : + 0 f”(0)<0 : - 0 f”(1)>0:+
Conclusión Cóncava 1/ e Cóncava : 1/ e Cóncava :U
f(x) :U
1 1 1 1
Puntos de Inflexión: , y , .
2 e 2 e

35. Gráfica:
Curva de Gauss
x2
y= e
Nota: Es importante observar, que debido a la simetría de la curva de Gauss
respecto al eje Y, sería suficiente investigar el signo de la concavidad de esta
curva en el semieje positivo 0<x<+ .

36. “El corazón alegre hermosea el
rostro.”
Proverbios 15:13.