Este documento trata sobre el cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida. Explica cómo calcular el área entre dos curvas utilizando sumas de Riemann y presenta la fórmula general para este cálculo. También introduce conceptos sobre volúmenes de cuerpos con sección transversal conocida y volúmenes de sólidos de revolución. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de áreas.

1. Cálculo integral
Semestre 3
Fascículo No. 4
Tabla de contenido
Contenido
Áreas y volúmenes
Áreas
Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas
Volúmenes
Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida
Volumen de un sólido por revolución
Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las
arandelas)
Método de las capas o cascarones
Resumen
Bibliografía recomendada
Nexo
Autoevaluación formativa

2. Áreas y volúmenes
Vamos ahora a tratar una de las más importantes aplicaciones de la integral
definida: el problema del cálculo de áreas y volúmenes generados por curvas en el
plano. Se aclara que éstas no son las únicas aplicaciones de la integral definida,
pues más adelante vamos a tratar más aplicaciones geométricas y físicas de la
integral definida.
Indicadores de logros
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Deduce, construyendo sumas de Riemann, las fórmulas para el cálculo de
•
áreas y de volúmenes.
Adapta las fórmulas para el cálculo de volúmenes de acuerdo con la situación
•
concreta del problema a resolver.
Calcula áreas de regiones limitadas por curvas en el plano.
•
Calcula volúmenes de cuerpos sólidos.
•

3. Áreas
Vamos ahora a tratar el problema de calcular el área entre dos curvas;
y = f ( x) y y = g ( x) para a ≤ x ≤ b , geométricamente esto es:
Y
y=f(x)
Área
A
y=g(x)
X
a b
Para resolver este problema vamos a efectuar una partición sobre el intervalo [a ,
b]:
a < x0 < x1 < x2 ... < xi > ... < xn = b , de mod o que queda dividido en
sub int ervalos [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n

4. Sea Δxi = xi − xi −1 la longitud de cada sub int ervalo elijamos un punto arbitrario
en cada sub int ervalo, x , x ∈ [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n .
* *
i i
Consideremos con respecto a cada subintervalo, un rectángulo de ancho
Δxi = xi − xi −1
y alto f ( xi* ) − g ( xi* ) , i = 1,2, ... , n . De manera que el área de cada rectángulo esté
dada por:
[ ( ) ( )]
ΔAi = f xi* − g xi* Δxi para i = 1,2, ... , n .
Entonces una aproximación al área total comprendida entre las dos curvas entre a
y b será:
Y
y=f(x)
hi
y=g(x)
a xi-1 xi b
*
x
i
Una aproximación del área total entre las dos curvas entre a y b , es:
[ ( ) ( )]
n n
Área total : A = ∑ ΔAi = ∑ f xi* − g xi* Δxi
i =1 i =1

5. Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero,
P → 0 , y tendremos el valor exacto del área buscada:
A = lim ∑ [ f (x ) − g (x )]Δx = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx
b
n
* *
Área exacta : i i i
P → 0 i =1 a
Ejemplo
Hallar el área comprendida entre la parábola y = x 2 y la recta y = x .
En este caso la región, está limitada, superiormente, por la recta Y = x e,
inferiormente, por la parábola y = x2 , para x entre 0 y 1; siendo la gráfica de la
región la siguiente:

6. Entonces, el área estará dada por:
1
3⎤
⎡x 2
x
[ ] ⎡1 1 ⎤1
1
−
A = ∫ x − x 2 dx = ⎢ ⎥ = ⎢ − − 0⎥ =
⎣2 3 ⎦ 6
3⎦
⎣2
0
0
Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas
La fórmula general para calcular el área entre dos curvas, sin importar cuál es la
superior y cuál es la inferior está dada, considerando la altura de cada rectángulo

7. como el valor absoluto de la diferencia entre las dos funciones; por tanto el área
de un rectángulo será:
() ()
ΔAi = f xi* − g xi* Δxi
Y
y=f(x)
() ()
hi = f xi* − g xi*
y=g(x)
X
a xi-1 xi b
xi*
b
∫
A= f ( x) − g ( x) dx
Entonces,
a
Observación
Note que, en la práctica, esto significa dividir la integral según la propiedad de
aditividad, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto.

8. Ejemplo
Calcule el área comprendida entre las curvas y = x y y = 2 − x 2 , para 0 ≤ x ≤ 2
La gráfica de la región aparece más abajo.
Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas:
⎧ y=x ⎫ ⎧ x = −2
⇒ x = 2 − x 2 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) = 0 ⇒ ⎨
⎨ 2⎬
.
⎩y = 2 − x ⎭ ⎩ x =1
En el problema, la intersección que es de nuestro interés es x = 1; puesto que:
( )
Para 0 < x < 1 , tenemos que x − 2 − x 2 < 0 ; mientras que para 1 < x < 2 ,
( )
tenemos que x − 2 − x > 0 2
Entonces,
∫ x − (2 − x ) dx = ∫ − [x − (2 − x )] dx ∫ [x − (2 − x )] dx
2 1 2
A= +
2 2 2
0 0 1

9. [( )] ∫ [x − (2 − x )] dx = − ∫ [x − 2 + x ] dx + ∫ [x − 2 + x ] dx =
1 2 1 2
A = − ∫ x − 2 − x 2 dx + 2 2 2
0 1 0 1
1 2
⎡ x2 x3 ⎤ ⎡ x 2 x3 ⎤
− 2x + ⎥ + ⎢ − 2x + ⎥
= −⎢ =
⎣2 3⎦ ⎣2 3⎦
0 1
1⎞
8⎞ ⎛1
⎛4
1⎞
⎛1 1
81
1
1
= −⎜ − 2 + ⎟ + 0 + ⎜ − 4 + ⎟ − ⎜ − 2 + ⎟ = − + 2 − + 2 − 4 + − + 2 − =
3⎠
3⎠ ⎝ 2
⎝2
3⎠
⎝2 3
32
3
2
=3
Ejemplo
Calcular el área comprendida entre las curvas y 2 = x y y = x − 2 .

10. (Ver figura)
Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas.
⎧y=2
⎧ y2 = x ⎫
⎬ ⇒ y = y + 2 ⇒ y − y − 2 = 0 ⇒ ( y − 2)( y + 1) = 0 ⇒ ⎨
2 2
⎨
⎩ y = −1
⎩ x = y + 2⎭
En nuestro problema, los puntos de corte son: (1,−1) y (4,2) .
En este problema (véase la figura); al trabajar en función de “x”, vemos que la
curva superior es siempre la rama superior de la parábola,

11. ( )
y = + x , y 2 = x ⇒ y = ± x ; mientras que la curva inferior cambia, pues para
y = − x , mientras que para 1 < x < 4 y = x−2 .
0 < x < 1 es es
En este caso, lo más apropiado es trabajar el problema en función de “y”. Esto es,
considerar a y como la variable independiente y las curvas expresadas en la
forma x como función de y; es decir, x = y 2 y x = y + 2 , para − 1 ≤ y ≤ 2 .
Entonces (véase la gráfica) los rectángulos se tomarán en forma horizontal, siendo
la curva “superior” la que está a la derecha y la “inferior” la que está a la izquierda.
Entonces el cálculo del área entre las dos curvas se llevará a cabo planteando y
calculando la siguiente integral:

12. 2
3⎤
⎡ 2
[y + 2 − (y )] dy = ∫ [y + 2 − y ] dy = ⎢ y + 2 y − y ⎥
2 2
∫
A= =
2 2
3⎦
⎣2
−1 −1
−1
⎛ 8⎞ ⎛1 1⎞ 9
=⎜ 2 + 4 − ⎟ − ⎜ − 2 + ⎟ =
⎝ 3⎠ ⎝ 2 3⎠ 2
Observación
En general, la fórmula para el cálculo de áreas entre dos curvas en función de y
es:
d
∫
A= f ( y ) − g ( y ) dy
c
Actividad 4.1
1. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje X en el
intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:
a. f ( x) = x 2 + 3 , − 1 ≤ x ≤ 2 b. y = x 3 − x + 2 , − 1 ≤ x ≤ 2
c. y = x 3 , − 1 ≤ x ≤ 1 d. y = 4 − x 2 , − 1 ≤ x ≤ 2

13. 2. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje Y en el
intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:
a. f ( y ) = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1 b. x = y 2 + 2 , − 1 ≤ y ≤ 3
3. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas en el
intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:
a. f ( x) = x 2 + 3 , g ( x) = − x ; − 2 ≤ x ≤ 2
b. x = −2 , x = y 2 + 1 ; −2≤ y ≤3
4. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas (halle el
intervalo de integración determinando los cortes entre las curvas); bosqueje la
gráfica de la región S:
a. f ( x) = 2 − x 2 , g ( x) = − x b. y = x 2 − 2 , y = x + 4
c. x = 3 − y 2 , y = x − 1 d. y = x , y = −x + 6 , y = 0
e. y = x3 − x 2 − 6 x , y = 0 f. y = x−4 , y = 0, x =8
g. y = x 2 − 4 x + 3 , x − y = 1 h. y = 2 x , y = 2 x − 4 , x = 0
i. x = 4 − y 2 , x + y = 2 j. x = y 2 − 3 y , x − y + 3 = 0
k. 2 x − y 2 = 0 , y 2 + 4 x − 12 = 0 l. x = y 4 , x = 2 − y 4

14. 5. Calcule el área de la región S; bosqueje la gráfica de la región S:
{(x, y ) 2 x − x }
a. S = ≤ y ≤ x, x + y ≤ 2
2
{(x, y ) 0 ≤ y ≤ e }
−x
b. S = ,− 4 ≤ x ≤ y
Volúmenes
En esta sección vamos a tratar el problema del cálculo de volúmenes.
Comenzaremos con el caso del volumen de un cuerpo con sección transversal
conocida y posteriormente trataremos otros casos.
Para tratar este problema es necesario recordar las fórmulas para el volumen de
algunas figuras geométricas conocidas: el paralelepípedo y el cilindro.
Volumen del paralelepípedo
Volumen = AxBxC
C
B
B
A

15. Volumen del cilindro
radio r
Volumen = Área de la base x altura
altura h
Volumen del cilindro circular = π r 2 h
Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida
Sea A(x) una función que expresa el área de la sección transversal como función
de x.
Eje X
a b
A(x) , a ≤ x ≤ b .
Efectuemos una partición del segmento [a , b]; esto es,

16. a < x 0 < x1 < x 2 ... < x i > ... < x n = b , de mod o que queda dividido en
[x i −1 , x i ] , i = 1,2, ... , n
sub int ervalos
Sea Δxi = xi − xi −1 la longitud de cada sub int ervalo elijamos un punto arbitrario
en cada sub int ervalo, x , x ∈ [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n .
* *
i i
El cuerpo queda dividido en “rebanadas” de grosor Δxi ; cada “rebanada” puede
considerarse aproximadamente como un cilindro de altura Δxi y área de la base
dada por A( xi* ) :
Área de la sección: A( xi* )
Δxi
De modo que el volumen de cada elemento (“rebanada”) de la partición esté dado
por:
ΔVi = A( xi* ) Δxi , para i = 1,2, ... , n .
Entonces, una aproximación del volumen total del cuerpo será:
n n
Volumen total : V = ∑ ΔVi = ∑ A( xi* ) Δxi
i =1 i =1
Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero,
P → 0 , y obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo:

17. b
n
Volumen exacto : V = lim ∑ A( xi* ) Δxi = ∫ A( x) dx
P → 0 i =1 a
Ejemplo
4
π R3 .
Muestre que el volumen de una esfera de radio R es
3
El radio r de cualquier sección será: r = R 2 − x 2
R
r
x X
( )
El área de cualquier sección será: A( x) = πr = π R − x
2 2 2
Entonces el volumen buscado es:
R
⎛ 2 x3 ⎞ ⎛⎛ ⎞
R3 ⎞
( )dx = 2π ⎜ R x − ⎟
R
2 4
V = 2∫ π R 2 − x 2 = 2π ⎜ ⎜ R 3 − ⎟ − 0 ⎟ = 2π R 3 = πR 3
⎜ 3⎟
⎜⎜ ⎟ ⎟
⎝⎝ 3⎠ 3 3
⎠
⎝ ⎠
0
0
Volumen de un sólido por revolución
Sea un sólido (cuerpo) engendrado al rotar una región en el plano XY alrededor
de uno de los ejes coordenados.

18. Al efectuar una partición sobre el intervalo [a , b], tenemos que cada “rebanada” o
elemento de la partición tiene aproximadamente la forma de un cilindro circular
con
ΔX i
ΔVi = π ri Δxi donde ri = f ( xi* )
2
r
[ ]
ΔVi = π f ( xi* ) Δxi

19. [ ]
b
n
V = lim ∑ π f ( xi* ) Δxi = ∫ π [ f ( x)] dx
2 2
Entonces,
P → 0 i =1 a
Análogamente, si la región está dada en función de y
Y
X
En este caso la fórmula estará dada por:
[ ]
d
n
V = lim ∑ π f ( y ) Δyi = ∫ π [ f ( y )] dy .
2 2
*
i
P → 0 i =1 c

20. Ejemplo
Hallar el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región S alrededor del ejeY.
{(x, y ) 0 ≤ x ≤ }
S= y ,0≤ y≤4 .
Hagamos la gráfica de la región e indiquemos el radio de rotación.
Entonces el cálculo del volumen propuesto se realiza a partir de:
[ y ] dy
4
V = ∫π
2
0

21. 4
3
[ y ] dy = ∫ πy y
4 4
43 64
V = ∫π
2
dy = π =π =π
2
3 3
3
0 0
0
Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las arandelas)
Sea la región S comprendida entre dos curvas en función de x, y puesta a rotar
alrededor del eje X; sea f(x) la curva exterior y g(x) la curva interior.
a rext rint b

22. hueco
a b
Podemos observar, que el cuerpo se encuentra entre dos superficies, la externa
está generada por la curva superior que determina el radio exterior (rext ), y la
interna que está determinada por la curva inferior que determina el radio interior
(rint ) .
Es obvio que el volumen buscado será la diferencia entre el volumen determinado
⎡ ⎤
b
por la superficie exterior ⎢Vexterior = ∫ π [ f ( x)] dx ⎥
2
y el volumen determinado por la
⎣ ⎦
a
⎤
⎡ b
superficie interior (éste será el volumen del hueco) ⎢Vint erior = ∫ π [g ( x)] dx ⎥ , por
2
⎦
⎣ a
tanto, obtenemos la fórmula:
{[ f ( x)] − [g ( x)] }dx
b
V = ∫π
2 2
a

23. Ejemplo
Hallar el volumen del cuerpo que se engendraal rotar alrededordel eje X la región
limitada por las curvas y = x y y = x 2 .
Las curvas se cortan en los puntos (0,0) y (1,1);
Radio interior
Radio exterior

24. Por tanto el volumen se calculará mediante la integral:
1
5⎤
⎡x 3
{ [ ] }dx = ∫ π [x x
]
1 1
V = ∫ π [x ] − x 2 −
2
− x 4 dx = π ⎢ π
2
⎥ =
2 2
15
5⎦
⎣3
0 0
0
Análogamente, si la región entre dos curvas está dada en función de y y rota
alrededor del eje Y, entonces la fórmula es:
{[ f ( y)] − [g ( y)] }dx
d
V = ∫π
2 2
c
Método de las capas o cascarones
Este método de calcular volúmenes se emplea cuando tenemos la región dada
con respecto a un eje (variable) y rota alrededor del otro eje.

25. Y
X
a b
Sea una región S dada en la forma S = {( x, y ) 0 ≤ y ≤ f ( x) , a ≤ x ≤ b } ; y rota
alrededor del eje Y, generando un cuerpo, como se muestra en la figura.
Si efectuamos una partición sobre el intervalo [a, b], tendremos que la parte del
[xi −1 , xi ]
cuerpo que corresponde a cada subintervalo forma una capa o cascarón
Δxi , que es la diferencia
de forma aproximada a un anillo cilíndrico de grosor
entre el radio exterior y el radio interior; y altura h determinada por la función f(x).

26. ΔVi = πrexeriort h − πrint erior h =
2 2
( )
= π rexterior − rint erior h
2 2
= π (rext + rint )(rext − rint )h
(rext + rint ) (r − rint )h
= 2π ext
2
= 2π ri h Δri
*
Por tanto, una aproximación del volumen total de la figura es:
n n n
Volumen total : V = ∑ ΔVi = ∑ 2π ri* h Δri =∑ 2π xi* f ( xi* ) Δxi
i =1 i =1 i =1
Efectuando el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a
cero, P → 0 , obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo:
b
n
Volumen exacto : V = lim ∑ 2π x f ( x ) Δxi = ∫ 2π x f ( x) dx
* *
i i
P → 0 i =1 a
Ejemplo
Hallar el volumen del cuerpo generado al rotar la región S alrededor del eje Y:
S = {( x, y ) 0 ≤ y ≤ x ; 0 ≤ x ≤ a }

27. S
0 a
a
3
x
a a
2
Volumen exacto : V = ∫ 2π x ( x) dx = ∫ 2π x 2 dx = 2π = π a3
3
3
0 0
0
Se le deja propuesto al alumno que obtenga las fórmulas correspondientes
a:
(1) Región en función de y, y rota alrededor del eje X
(2) Región comprendida entre dos curvas (sólido con hueco)
Actividad 4.2
1. Halle el volumen del sólido generado al rotar la región S alrededor del eje o
recta indicada:
a. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; eje X
b. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; eje Y

28. c. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; x = 3
d. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; y = −1
{(x, y ) y = }
e. S = cos x , x = 0 , y = 0 ; eje X
{(x, y ) x = }
f. S = 4 − y , x = 0 , y = 0 ; eje X
{(x, y ) x = }
g. S = 4 − y , x = 0 , y = 0 ; eje Y
{(x, y ) xy = 1 = }
S= 4 − y , x = 0, y = 1 , y = 2 ;
h.
b) eje Y c) x = −2 , d ) y = 2
a) eje X
{(x, y ) y = 3x − x , y = x};
S= 2
i.
a ) eje X b) eje Y
{(x, y ) y = 3 + x , y = 4};
S= 2
j.
a) eje X b) eje Y c) x = −1 d ) y = 1
2. La base de un sólido está dentro del círculo x 2 + y 2 = 9 . Encuentre el volumen
del sólido si cualquier sección transversal perpendicular al eje X es un cuadrado.
La base de un sólido es la región acotada por y = 1 − x 2 y y = 1 − x 4 . Las
3.
secciones del sólido que son perpendiculares al eje X son cuadrados. Halle
el volumen del sólido.

29. 4. Halle el volumen del sólido formado por la intersección de dos cilindros
circulares de radio cuyos ejes se intersectan perpendicularmente.
5. La base de un sólido es la región S acotada por y = x y y = x 2 . Cada sección
perpendicular al eje X es un semicírculo con diámetro inscrito en S. Halle el
volumen del sólido.
Resumen
En este fascículo hemos tratado lo referente al cálculo de áreas y volúmenes
mediante la integral definida; en todos los casos fue fundamental la construcción
de una suma de Riemann que nos llevara a la definición de integral definida. Es
importante que el alumno sea capaz de identificar estas fórmulas con las
situaciones particulares que representan y pueda variarlas para otras situaciones
análogas, pero no idénticas.
Bibliografía recomendada.
Stewart, James. Cálculo, trascendentales temprano. Editorial Thomson, tercera
edición, capítulo 6, sección 6.1 – 6.3; páginas 380 - 402.
Nexo
En estas aplicaciones de la integral definida hemos trabajado, fundamentalmente,
con situaciones que nos llevan a integrales definidas de funciones racionales y
alguna que otra función trigonométrica. En el próximo tema vamos a comenzar a

30. tratar lo referente a los métodos de integración, que nos darán mayor amplitud en
la posibilidad de resolución de integrales indefinidas, sobre todo al trabajar con
funciones trascendentes. Con ello estaremos en condiciones de poder resolver
una mayor cantidad de problemas diferentes.

31. Autoevaluación formativa
1) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas
y = x − x 3 y y = −3 x . Bosqueje la gráfica de la región S.
2) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas
x = y 2 − 2 y y x = −2 , para − 1 ≤ y ≤ 3 . Bosqueje la gráfica de la región
S.
3) Halle el volumen del sólido que se engendra al rotar la región S en la
forma indicada:
{(x, y ) y = 1 + 2 x − x , y = 1 };
S= 2
b) eje Y c) x = 2 , d ) y = 1
a ) eje X
4) La base de un sólido está inscrita en un círculo de radio 2 y cualquier
sección transversal al eje X es un triángulo equilátero. Halle el volumen de
dicho sólido.