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TOPOGRAFÍA 2
UNIDAD 3
Cálculo de Poligonales
3-1 INTRODUCCION
Los ángulos o las direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden
comprobarse fácilmente antes de dejar el campo. Las medidas lineales,
aun cuando se repitan, tienen mayores probabilidades de error y deben
verificarse mediante el cálculo, que generalmente se hace en la oficina,
para determinar si la poligonal compensa la precisión exigida.
Los procedimientos usuales que se siguen en el cálculo de poligonales son:
(1) Ajuste de los ángulos o direcciones a condiciones geométricas fijas,
(2) determinación de rumbos o acimut,
(3) cálculo de proyecciones y ajuste de estas por errores de cierre,
(4) cálculo de las coordenadas rectangulares de las estaciones y
(5) cálculo de las longitudes y azimut de los lados de la poligonal después
de su ajuste.
3-2 COMPENSACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al
total geométrico correcto aplicando uno de los dos métodos siguientes:
1. Aplicación de una corrección media, o promedio, a cada
ángulo para los que hubo condiciones de observación aproximadamente
iguales en todas las estaciones. La corrección se determina dividiendo el
cierre total angular entre el número de ángulos.
2. Aplicación de correcciones mayores a los ángulos a los que hubo
condiciones de observación deficiente.
De estos dos métodos el primero es el más empleado.

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3.3 CALCULO DE RUMBOS Y ACIMUT PRELIMINARES
Después de ajustar los ángulos, el siguiente paso es calcular los rumbos o
acimuts preliminares. Esto obliga a suponer o conocer la dirección de por lo
menos una línea de la poligonal. En algunos cálculos es suficiente conocer
una dirección, y en ese caso el procedimiento es asignar la dirección norte
a una de las líneas de la poligonal. En ciertos levantamientos el rumbo
magnético de una línea puede determinarse y usarse como referencia
para orientar los otros lados. Sin embargo en la mayoría de los casos, como
ocurre en los levantamientos de linderos de predios, se necesitan las
direcciones verdaderas. Este requisito puede satisfacerse:
(1) Incorporando en la poligonal una línea cuya dirección verdadera
haya sido determinada en un levantamiento anterior.
(2) Incluyendo un extremo de una línea de dirección conocida como
estación de la poligonal.
(3) Determinando la dirección verdadera de una línea de poligonal
por medio de observaciones astronómicas, de posicionamiento
global, o en general por algunos otros medios.
3.4 PROYECCIONES ORTOGONALES
Después de ajustar los ángulos y calcular los acimut preliminares, se verifica
el cierre de la poligonal calculando las proyecciones X i Y de cada línea.
La proyección X es igual a la longitud de una línea multiplicada por el seno
del acimut o rumbo, se le llama también proyección este o proyección
oeste.
La proyección Y es igual a la longitud de una línea multiplicada por el
coseno del acimut o rumbo, se le llama también proyección norte o
proyección sur.
Pr oyeccionX =L * SenAz
Pr oyeccionY =L *CosAz
Los acimut que se emplean en el cálculo de las proyecciones varían de 0º a
360º, y los signos algebraicos de los senos y cosenos producen
automáticamente los signos algebraicos correctos de las proyecciones X i Y.

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3.5 CONDICIONES DE CIERRE
Para una poligonal cerrada, es claro que si todas las distancias y ángulos se
midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones X i Y de
todos sus lados debería ser igual a cero. Como las mediciones no son
perfectas y existen errores, las condiciones antes mencionadas rara vez se
cumplen. Las magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se
denominan Error de cierre de la proyección X i Error de cierre de la
proyección Y. Sus valores se calculan sumando algebraicamente las
proyecciones X i Y, y comparando los totales con las cantidades requeridas.
Las magnitudes de los errores de cierre de las proyecciones en poligonales
cerradas dan una indicación de la “precisión” que existe en las distancias y
ángulos medidos.
3.6 ERROR DE CIERRE LINEAL Y PRECISIÓN RELATIVA
Debido a errores en las distancias y ángulos medidos de una poligonal, si se
empieza en un punto A de una poligonal, cerrada y se sigue midiendo
progresivamente la distancia de cada línea a lo largo de su acimut, se
retornará no finalmente al punto A sino a otro punto cercano A’. Ambos
puntos diferirán y a esa diferencia se le llama Error de cierre lineal (Ecl), y se
calcula:
E (E X )2 L (E Y)2 CL CL CL = +
La Precisión relativa se expresa como la fracción:
ecisiónrelativa E Longitudpoligonal CL Pr = /
3.7 AJUSTE DE POLIGONALES
En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse
entre todo el polígono para cerrar la figura, aún cuando al trazar la
poligonal a la escala del plano, el error de cierre sea insignificante. Existen
varios métodos elementales para ajustar poligonales pero el más
comúnmente usado es el de la regla de la brújula (método de Bowditch).

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3.7.1 Método arbitrario
Se distribuye el error lineal de cierre arbitrariamente, de acuerdo
con el análisis del topógrafo a cerca de las condiciones que
prevalecieron en el campo, es decir hacer que la suma algebraica
de las proyecciones en X y en Y sean iguales a cero.
3.7.2 Regla de la Brújula
Esta regla ajusta las proyecciones ortogonales de las líneas de
poligonal en proporción a sus longitudes. Aunque no es tan rigurosa
como el método de los mínimos cuadrados, conduce a resultados
lógicos.
3.7.3 Regla del tránsito
Esta regla produce poligonales corregidas, pero raras veces se
emplea en la práctica, porque los resultados dependen
arbitrariamente de los rumbos o acimuts de los rumbos y acimut de
las líneas.
3.7.4 Método de Crandall
Se distribuye primero el error de cierre angular en partes iguales
entre todos los ángulos medidos. Luego se mantienen fijos los
ángulos ajustados y se asignan todas las correcciones restantes a
las medidas lineales, siguiendo un procedimiento de mínimos
cuadrados ponderados.
3.7.5 Método de los mínimos cuadrados
Se basa en la teoría de la probabilidad que modela la ocurrencia
de los errores aleatorios. Esto conduce a valores ajustados con la
probabilidad mas grande. Proporciona el ajuste mejor y más
riguroso de poligonales, pero no se ha usado ampliamente debido
a los extensos cálculos. Las mediciones de distancias y ángulos se
ajustan simultáneamente.

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3.8 COORDENADAS RECTANGULARES
Las coordenadas rectangulares X i Y de un punto dan su posición
respecto a un par de ejes de referencia mutuamente perpendiculares,
seleccionados arbitrariamente. En topografía el eje Y está en la
dirección norte-sur, el eje X va de este a oeste. Dadas las coordenadas
rectangulares de un determinado número de puntos sus posiciones
relativas quedan definidas en forma única.
3.9 MÉTODOS ALTERNATIVOS
Pueden adoptarse procedimientos para calcular poligonales algo
diferentes a los descritos. Una alternativa es ajustar rumbos o acimuts
en vez de ángulos. Otra es aplicar los ajustes con la regla de la brújula
directamente a las coordenadas.
3.10 CÁLCULO DE LONGITUDES Y DIRECCIONES MODIFICADAS
En el ajuste de poligonales las correcciones se aplican a las
proyecciones ortogonales, estos a su vez se usan para encontrar las
coordenadas X i Y de las estaciones de poligonal. Al cambiar las
proyecciones en el proceso de ajuste, sus longitudes y acimuts
también cambian. En muchos tipos de levantamientos es necesario
calcular las longitudes y direcciones modificadas o ajustadas.
3.11 USO DE POLIGONALES ABIERTAS
Aunque no se recomiendan, hay situaciones en que es conveniente
usarlas y luego calcular la longitud y dirección de la línea de cierre.
Se debe tener mucho cuidado al efectuar las mediciones porque
no hay verificación posible. Lo mismo puede decirse respecto a los
cálculos, aunque se puede tener una verificación burda dibujando
cuidadosamente la poligonal y escalando la longitud de la línea de
cierre y el ángulo de deflexión.
3.12 CÁLCULO DE POLIGONALES USANDO COMPUTADORAS
Las calculadoras de bolsillo pueden llevarse directamente al
campo, lo cual permite al topógrafo hacer los cálculos y verificar

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los datos de campo por cierre antes de regresar a la oficina o
gabinete.
Los topógrafos disponen de un gran número de programas para
computadoras. Las hojas de Cálculo EXCEL, AUTOCAD LAND,
SURFEY, TOPOGRAPH, etc. Además de efectuar cálculos rutinarios
como el cálculo de poligonales, las computadoras personales
tienen otras valiosas aplicaciones en las oficinas de topografía e
ingeniería. Por ejemplo se usan programas para el dibujo (CAD) de
mapas y curvas de nivel y para el procesamiento de programas del
sistema de información geográfica.
3.13 CAUSAS DE ERROR
- Ajuste inapropiado de ángulos y proyecciones.
- Cálculo de las correcciones a un número de cifras
decimales mayor que el de las medidas originales.
3.14 EQUIVOCACIONES
- No ajustar los ángulos antes de calcular los rumbos.
- Aplicar los ajustes angulares en la dirección errónea y no
verificar la suma de los ángulos según el total geométrico
correcto.
- Intercambiar proyecciones, o sus signos.
- Confundir los signos de las coordenadas.
- Efectuar correcciones más allá del número de lugares
decimales de las mediciones originales.

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