Este documento describe conceptos y propiedades de los campos vectoriales. Define un campo vectorial como una función que asigna vectores a puntos en el plano o espacio. Explica que las líneas de flujo son trayectorias tangentes a la dirección del campo en cada punto. También define la rotación y divergencia como generalizaciones de la derivada aplicadas a campos vectoriales, que miden cantidades físicas como flujo neto.

1. Conceptos y propiedades de los campos vectoriales

2. LOS CAMPOS VECTORIALES DEFINICIONES Un campo vectorial en el Plano es una función F (x,y) que aplica puntos de R 2 en el conjunto de vectores bidimensionales, se escribe: F (x,y) = ( f 1 (x,y) , f 2 (x,y)) = f 1 (x,y) i + f 2 (x,y) j En el espacio , un campo vectorial es una función F ( x,y,z) que aplica puntos en R 3 en el conjunto de puntos tridimensionales, se escribe: F (x,y,z) = ( f 1 (x,y,z) , f 2 (x,y,z) , f 3 (x,y,z)) = = f 1 (x,y,z) i + f 2 (x,y,z) j + f 3 (x,y,z) k

3. EL CAMPO GRADIENTE

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA En general la representación gráfica de campos vectoriales se realiza en ordenadores, pero podemos obtener una idea de la misma obteniendo las líneas de flujo. Definición : Una línea de flujo de un campo vectorial es una trayectoria, cuya derivada está en la dirección del campo vectorial, esto es son líneas tangentes en todo punto a la dirección del campo.

5. EJEMPLO

6. ROTACIONAL Y DIVERGENCIA El rotacional y la divergencia son generalizaciones de la noción de derivada aplicadas a los campos vectoriales. Ambas miden directamente cantidades físicas importantes relacionadas con el campo vectorial F (x,y,z).

7. El rotacional de un campo vectorial en un punto siempre produce un vector paralelo al eje de rotación de las líneas de flujo cercanas al punto, y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha. Si el x F = 0 , se dice que el campo vectorial es irrotacional en ese punto. La divergencia de un campo vectorial en un punto ( x, y, z ) corresponde al flujo neto del fluido afuera de una caja pequeña centrada en ( x, y , z ). Si la divergencia es positiva, la cantidad de fluido que sale es mayor que la que entra ( como en el ejemplo) y el punto ( x, y , z ) puede llamarse fuente. Si la divergencia es negativa, la cantidad de fluido que entra es mayor que la que sale y el punto ( x, y , z ) puede llamarse sumidero . Si la divergencia es cero entonces se dice que el campo vectorial F es una fuente libre o incompresible.