Resumen de la fortma del calculo del periodo de oscilación de osciladores no armónicos, con aproximación armónica

1. C´lculo del Periodo de osciladores no arm´nicos,
a o
por aproximaci´n de potencial arm´nico
o o
Miguel Bustamante S.
email: miguel.bustamante@uai.cl
May 9, 2011
Abstract
En este documento se presenta la forma de c´lculo del periodo de los
a
osciladores no arm´nicos. En general, los osciladores no son arm´nicos ya
o o
que el potencial no corresponde al del tipo cuadr´tico; de hecho, la soluci´n
a o
es una aproximaci´n arm´nica a un potencial del tipo no arm´nico.
o o o
1 Introducci´n
o
En la ense˜anza de sistemas oscilantes, siempre se reduce a la soluci´n del
n o
sistema resorte masa, o un an´logo a este. Esto debido a que la forma de
a
modelar la fuerza del resorte (Ley de Hooke) corresponde a una relaci´n lineal
o
con el desplazamiento f (r) = −k∆r. Con la aplicaci´n de la segunda ley de la
o
din´mica, se obtiene una ecuaci´n diferencial correspondiente a la del oscilador
a o
arm´nico
o
¨
r + w2 r = 0 (1)
k m
donde w = m o un periodo T = 2π k [1, 3]. La frecuencia w s´lo
o
depende de la constante el´stica y de la masa, y de ning´n otro par´rametro
a u a
como la posici´n inicial o la velocidad inicial.
o
El potencial (Energ´ potencial) asociado a este tipo de fuerza es
ıa
1 2
U (r) = kr
2
Perturbemos esta fuerza, de modo que el potencial que act´a est´ dado por
u a
la ralaci´n (ver figura 1)
o
1
U (x) = kx2 + βx3 (2)
2
en la figura 1, el valor de k=10 y β es 0.05 y -0.05
El periodo viene dado por la expresi´n [2]
o
x0
dx
T (x0 ) = 4 (3)
2
0
m (E0 − U (x))
El periodo en funci´n de la perturbaci´n β en 3 , da cuenta de que tan grande
o o
es la perturbaci´n, como se observa en la figura 2
o
1

2. Figure 1: Potencial arm´nico con perturbaci´n
o o
Figure 2: Periodo en funci´n de la condici´n inicial
o o
2

3. Si expandismos la funci´n de la integral ecuaci´n 3, el periodo da una funci´n
o o o
en x0 y β
 
x0 kx30
T (x0 ) = 4 m/2  + √ 3/2
+ . . .
kx2 3 3 2 ((k + 2βx0 ) (x2 ))
2 + βx0
0
0
2
Si el potencial fuese de la forma U (r) = V0 e−αr
tiene como punto de equilibrio r = 0 . Calculemos el periodo en torno del
equilibrio r=0, mediante una expansi´n de Taylor.
o
U (r) = V0 + αV0 r2 + . . . (4)
Si aplicamos la ecuaci´n 3 al potencial para U0 = −10 y α = 0.1 se tiene
o
que el periodo depende de la condici´n del desplazamiento; y la aproximaci´n
o o
parab´lica, el periodo no cambia, ya que corresponde a un potencial arm´nico.
o o
Figure 3: Periodo en funci´n de la perturbaci´n y el periodo de la aproximaci´n
o o o
arm´nica
o
Es claro que dentro de la aproximaci´n, el potencial no arm´nico se puede
o o
aproximar a un arm´nico en torno del punto de estabilidad. Como se sabe
o
k
que la frecuencia angular de la oscilaci´n arm´nica viene dado por w = m .
o o
Entonces, si conocemos la masa m del cuerpo, debemos conocer el valor de la
constante el´stica k asociado al potencial no arm´nico.
a o
En una expansi´n de Taylor en torno el punto de equilibrio del potencial,
o
hasta un segundo orden, se obtiene:
∂U (r) 1 ∂ 2 U (r)
U (r) = U (r0 ) + |r=r0 + |r=r0 (r − r0 )2 + . . .
∂r 2 ∂r2
3

4. Figure 4: Potencial, con serie de Taylor asociado
∂U (r)
En el punto de estabilidad r = r0 , la fuerza es nula, y por lo tanto ∂r |r=r0 = 0.
El potencial aproximado se resume a la expresi´n o
1 ∂ 2 U (r)
U (r) = U (r0 ) + |r=r0 (r − r0 )2 ) (5)
2 ∂2r
Como se aprecia en la expresi´n 5, la aproximaci´n corresponde a un potencial
o o
2
arm´nico donden la constante del resorte asociado es k = ∂ ∂r(r) |r=r0 En el
o U
2
caso del potencial anterior, la expansi´n 4, la constante el´stica es k = 2V0 α
o a
Apliquemos el desarrollo anterior al potencial radial del tipo
a
U (r) = + br
r
a
. El m´
ınimo ocurre cuando r = b, la expansi´n de Taylor es:
o
a 2
2a a r− b
+
a a3
b b
3
cuya constante el´stica es k = a
a b/a (figura 4)
2 Conclusi´n
o
Como se ha visto, podemos conocer las oscilaciones de sistemas no arm´nicos
o
mediante una aproximaci´n arm´nica. Es necesario tener en cuenta que es s´lo
o o o
una aproximaci´n, y que es cerca al punto de equilibrio. Alejado del punto, el
o
periodo depende de las condiciones iniciales.
4

5. References
[1] Ecuaciones dieferenciales con aplicaciones, Dennis G. Zill,Loyola Mary-
mount University, ISBN 968-7529-21-0
[2] Mechanics, L.D. Laundau, E.M, Lifshitz, Volumen I,P´ginas 7-8, Reprint
a
2000, ISBN: 0750628960
[3] The Physics of Vibration and Waves, H.J. Pain, Jhon Wiley and Son, ISBN
0 470 01295 1
5