Este documento presenta varios ejemplos de problemas de toma de decisiones que pueden resolverse mediante métodos cuantitativos. Se describen problemas de asignación de personal, inventarios, inversión financiera y producción que involucran variables, restricciones y funciones objetivo. Además, se explican conceptos clave como sistemas, modelos, tipos de modelos (normativos, descriptivos, determinísticos, probabilísticos, estáticos, dinámicos) y se menciona la programación lineal como un método formal para resolver algunos de estos

1.  Cap. 3 :
METODOS CUANTITATIVOS
PARA LA TOMA DE
DECISIONES

2. INTRODUCCION
 Todos los días construimos modelos:
 - Modelos mentales de una situación.
 - Modelos a escala que tratan de representar la
situación real.
 Nos interesa los MODELOS ECONOMICOS y
MODELOS DE OPTIMIZACION RESTRINGIDA
que también tratan de representar la realidad.

3. SISTEMA
 Sistema es un conjunto de actividades
interrelacionadas entre si y que persiguen un
objetivo común.
 Los SISTEMAS sin depender su tamaño son
complejos. Una microempresa es afectada por
los elementos externos y una multinacional por
los factores internos.

4. MODELOS
 Un sistema real es complejo por lo que para
estudiar problemas tomamos un MODELO.
 La construcción de un Modelo es una Arte y
Ciencia.
 Debe tomarse en cuenta todas las variables. Y el
comportamiento del modelo debe ser similar al
comportamiento del sistema real.

5.  Una empresa posee tres plantas de producción: una en
Santa Cruz, otra en Sucre y otra en La Paz. Los costos
de producción en cada planta son los mismos, pero los
costos de transporte difieren significativamente.
 Los principales puntos de demanda están en
Cochabamba, Tarija y El Alto.
 El problema consiste en decidir cuánto se debe producir
en cada planta con el fin de minimizar los costos de
distribución del producto.

6.  Un gerente de un banco debe decidir cuántas cajas
debe abrir para atender a sus clientes.
 Si abre muchas cajas el servicio será muy eficiente, pero
los costos se incrementarán fuertemente.
 Si abre pocas cajas es posible que los clientes tengan
que hacer largas colas para ser atendidos, y podría ser
que prefieran ir a otro banco.
 Se debe decidir cuántas cajas se van a abrir.

7.  Un gerente de un supermercado está convencido de que
se deben mantener altos niveles de inventarios, ya que
cuando un cliente no encuentra un producto irá a
conseguirlo en algún supermercado competidor.
 Pero esto implica altos costos, sobre todo en el caso de
algunos productos difíciles de conservar.
 Su pregunta consiste en cuál debe ser el nivel adecuado
de inventarios.

8.  Un empresario está considerando efectuar una inversión
en un nuevo producto con el fin de lanzarlo al mercado.
 El nuevo producto podría comercializarse dos modos:
 1. Regalar pequeñas muestras de nuevo producto y
 2. Colocar algunos anuncios en revistas y televisión.
 El empresario debe escoger el plan que maximice las
ventas, a un costo y riesgo aceptables.

9. TIPOS DE MODELOS
CUANTITATIVOS
NORMATIVOS Y DESCRIPTIVOS
 - Descriptivo: Este modelo solo describe la
situación y su variación.
 - Normativo: establecen un curso de acción para
arribar a la mejor solución y alcanzar objetivos. Las
partes de este modelo son: - Variables de
decisión y Parámetros. - Restricciones y – Función
Objetivo.
DETERMINISTICOS Y PROBABILISTICOS
Es por la naturaleza del parámetro (si es de origen
estocástico o probabilístico el Modelo es
probabilístico y si es variable cuantificada con
precisión es Modelo Determinístico.)

10. TIPOS DE MODELOS
CUANTITATIVOS
ESTATICOS Y DINAMICOS
- Estático: Este modelo hace abstracción del
tiempo no cambian las condiciones en el
periodo de estudio.
- Dinámico: Este modelo al igual que el mundo
es dinámico establecen periodos de análisis
múltiple donde parámetros y recursos cambian
con el tiempo.
FORMALES Y NO FORMALES
Es formal cuando el problema se adecue a una
técnica ya existente y es no formal cuando el
problema es único y se tiene que desarrollar
nuevos procedimientos.

11. MODELOS FORMALES
 Clasificación de Eppen-Gould-Schmidt
TIPO DE MODELO CLASE DE
INCERTIDUMBRE
FRECUENCIA DE
USO
PROGRAMACION
LINEAL
D +
REDES (PERT CPM) D P +
INVENTARIOS D P +
SIMULACION D P +
PROGRAMACION
ENTERA, DINAMICA
D -
TEORIA DE JUEGOS
Y DE COLAS
P -
CADENAS DE
MARKOV
P -

12. Investigación de operaciones
 Enfoque científico y objetivo a la toma de
decisiones y solución de problemas
gerenciales
 Implica:
 Construcción de un modelo simbólico
 Analizar las relaciones entre las
decisiones, consecuencias y objetivos
 Desarrollar una técnica de decisión

13. Beneficios de los Métodos
Cuantitativos para la toma de
decisiones
 Provee herramientas lógicas
 Mayor precisión y cuantificación
 Visión mejorada
 Formalización
 Mejores sistemas de planificación, control,
organización y operación

14. Proceso de la investigación de
operaciones
1. Formulación y definición del problema
2. Construcción de un modelo
3. Solución del modelo
4. Validación del modelo
5. Implementación de los resultados

15. Programación Lineal
Programación Lineal es un Modelo Normativo,
determinístico y estático.

16. Naturaleza y estructura de los
modelos matemáticos
 Variables y parámetros de decisión
 Restricciones
 Función Objetivo

17. de
Problemas
 Una empresa dispone de 70 trabajadores con
cualificaciones diferentes (Economistas, Ingenieros,
Auxiliares Administrativos, etc..) a los que hemos
de asignar 70 actividades también diferentes. Para
decidir una determinada asignación de tareas
deberíamos escoger de entre un total de 70!
(Permutaciones de 70 elementos) aquella que
maximiza el resultado final de la empresa. Como 70!
es aproximadamente igual a 10100, aún revisando un
1 millón de asignaciones diferentes al segundo
necesitaríamos aproximadamente 1087 años para
revisar todas las asignaciones posibles.
 Este tipo de problemas requiere desarrollar
modelos de programación matemática, otros
métodos matemáticos, para llegar a algún tipo de

18. Características de la P. L.
1. Un único objetivo lineal a
optimizar (maximizar o minimizar)
2. Unas variables de decisión que
siempre son continuas y no
negativas
3. Una o más restricciones lineales
4. Un conocimiento exacto de los
parámetros y recursos utilizados en
la construcción del modelo.

19. Formulación de Modelos
Primero veremos como con la
programación lineal se puede expresar
matemáticamente.
 Ejemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes
de minerales, los cuales son sometidos a un proceso de
trituración, con tres grados: alto , medio y bajo. Las
compañías han firmado un contrato para proveer de mineral a
una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de
mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24
toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene
diferentes procesos de fabricación.
 Mina Coste por día (miles de $US.)
Producció(toneladas/día)
 Alto Medio Bajo
 X 180 6 3 4
 Y 160 1 1 6
 ¿Cuántos días a la semana debería operar cada empresa

20. Formulación matemática básica en un
problema de I.O.
Debemos buscar una solución que minimice el coste de
producción de las empresas, sujeta a las restricciones
impuestas por el proceso productivo así como el contrato
con la planta de fundición.
Traducción del problema en términos matemáticos
1. definir las variables
2. las restricciones
3. el objetivo

21. Formulación matemática básica en un
problema de I.O.
Variables
Representan las decisiones que
puede tomar la empresa:
Dx = número de días a la semana
que la empresa X produce
Dy= número de días a la semana
que la empresa Y produce
Notar que Dx0 y Dy0
Restricciones
Se recomienda primero plantear las
restricciones con palabras antes de
pasar a su formulación matemática
Restricción 1. Refleja el balance
entre las limitaciones productivas
de la fábrica y el contrato con la
planta de fundición
Grado
Alto 6Dx+1Dy12
Medio 3Dx+1Dy8
Bajo 4Dx+6Dy24
Restricción 2. Días de trabajo
disponibles a la semana
Dx5 y Dy5
Objetivo
Como objetivo buscamos
minimizar el coste

22. Formulación matemática básica en un
problema de I.O.
La representación completa del problema tomaría la
siguiente forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
Restriciones:
6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0

23. Algunas reflexiones
• Hemos pasado de la definición del problema a su
formulación matemática.
• Error de especificación, el error más frecuente consiste
en descuidar las limitaciones (restricciones,
características de las variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones
de día)
b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)
c) El objetivo y las restricciones son lineales
Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que
denominamos un problema de Programación Lineal PL

24. Algunas reflexiones
El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN
Hemos tomado una situación real y hemos construido su
equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO
Durante la formulación del modelo matemático nosotros
consideramos el método cuantitativo que (esperanzadamente)
nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de
manera gradual producen una solución numérica
Llegamos a una nueva definición de I.O.
Ciencia para la representación de problemas reales mediante
modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos
permiten obtener una solución numérica a los mismos

25. Dificultades
Dificultades de este tipo de enfoques:
•Identificación del problema (debemos ignorar partes o
tratar el problema entero)
•Elección del modelo matemático adecuado así como el
algoritmo adecuado para resolverlo (validación del
algoritmo)
•Dificultades en la implementación
•Velocidad (costes) que supone llegar a una solución
•Calidad de la solución
•Consistencia de la solución

26. EJEMPLO DE ASIGNACION DE
PERSONAL
 Farmacias Bolivia en sus 9 sucursales ha
decidido ampliar su servicio a 24 horas, con la
consiguiente necesidad de nuevo personal de
atención al cliente.
 La gerencia de la Empresa ha estimado las
necesidades mínimas de personal por tramos
horarios para poder cubrir los requerimientos
de los clientes que se presenten. Se definieron
6 tramos de 4 horas. La necesidad mínima de
personal en cada tramo se indica en el Cuadro.
 Por otro lado, el departamento de recursos
humanos ha informado a la gerencia que los
contratos laborales han de ser de ocho horas
seguidas, según normativa laboral,
independientemente de los horarios de entrada
y salida del personal.

27. REQUERIMIENTO DE PERSONAL
J
1
00:00 -
04:00
2
04:00 -
08:00
3
08:00 -
12:00
4
12:00 -
16:00
5
16:00 -
20:00
6
20:00 -
24:00
PERSONA
L
N j
9 5 3 7 5 6

28. Formulación del problema
En primer lugar, se tienen que
definir las variables del modelo
que queremos desarrollar.
Como se controlará el número
de personal en cada turno,
definimos Xj como la cantidad
de personal que entra a trabajar
en el turno j, en donde varía
j=1,...,6. Es decir, hay una

29.  Las restricciones del modelo tienen que reflejar la
necesidad de que la cantidad de personal que
entren en el periodo j más el número de personas
que entraron a trabajar en el turno j-1 sean
suficientes para cubrir las necesidades del turno j
(Nj).
 Esta situación queda reflejada en el Cuadro 2. En
esta tabla, un trabajador que entra a trabajar, por
ejemplo, a las 4:00, trabajará en los turnos 2 y 3, y
por tanto, contribuirá a cubrir las necesidades de
estos dos turnos.
 En otras palabras, el turno j estará siendo atendido
por Xj-1 y Xj. En consecuencia, tendremos que Xj-1
+ Xj (el personal que trabaja durante el turno j) tiene
que ser, como mínimo, igual a Nj, que es el número
mínimo de personal de la farmacia que sería

30.  El objetivo de la gerencia consiste en la
minimización del número total de personal de
atención necesario para cubrir las necesidades
diarias. Este número será igual a X1 +X2 +X3 +X4
+X5 +X6 que representa la suma del número de
personal que entra en cada periodo.
 Finalmente, el modelo matemático es el siguiente:
6
min Z = ∑ Xj
j=1
 Con las restricciones: X6 + X1 ≥ 9 Xj > 0, j=
1,...,6
X1 + X2 ≥ 5
X2 + X3 ≥ 3
X3 + X4 ≥ 7

31. 1
00:00 -
04:00
2
04:00 -
08:00
3
08:00 -
12:00
4
12:00 -
16:00
5
16:00 -
20:00
6
20:00 -
24:00
0:00 X1 X1
04:00 X2 X2
08:00 X3 X3
12:00 X4 X4
16:00 X5 X5
20:00 X6 X6
Persona
l
Nj
9 5 3 7 5 6

32. Financiera
 El Banco BISA SA está preparando su
plan de inversiones para los próximos dos
años. Actualmente, la empresa tiene 1,5
millones de dólares para invertir y espera
ingresar, gracias a inversiones pasadas,
un flujo de dinero al final de los meses, 6
12 y 18 próximos.
 Por otra parte, la empresa quiere
expandirse y tiene dos propuestas sobre
la mesa.
 La primera es asociarse con la empresa
Minera San Cristobal y la segunda con la

33.  En el Cuadro se muestra el flujo de caja (MILES
DE DOLARES)del Banco BISA SA si entrara con un
100% en cada uno de los proyectos.
INICIAL 6 MESES 12
MESES
18
MESES
24
MESES
INVERSIONE
S PASADAS
500 400 380
MINERA
SAN
CRISTOBAL
- 1000 - 700 1800 400 600
GRAVETAL
S.A.
- 800 500 -200 - 700 2000

34.  Debido a regulaciones, al Banco BISA SA no se le
permite pedir préstamos directos.
 Pero si que puede, cada seis meses, invertir sus
fondos excedentes (es decir, aquellos que no ha
invertido en ningún proyecto) en un fondo que le
daría un 7% cada seis meses.
 Por otro lado, BISA SA puede participar en cada
uno de los proyectos con un nivel inferior al 100%
y, consecuentemente, el flujo de caja se reducirá
en la misma proporción. Es decir, que si decide
entrar por ejemplo con el 50% en el proyecto de
Gravetal, el flujo correspondiente también se
reducirá en la misma proporción.
 El problema que se plantea BISA SA es cuanto
invertir en cada proyecto para maximizar el dinero
en efectivo que tendrá la empresa en dos años

35. Formulación del problema
 Una vez el problema ha sido identificado
y los parámetros del modelo han sido
definidos, se tienen que definir las
variables.
 Sea X1 el porcentaje de participación en
el proyecto Minera San Cristobal y X2 el
porcentaje de participación en el
proyecto Gravetal SA (0 ≤ X1 ≤ 1, 0 ≤ X2 ≤
1). Por otro lado, sean S0, S6, S12 y S18
el dinero que se depositará en el fondo
en los periodos 0, 6 12 y 18
respectivamente.

36.  Para formular las restricciones del modelo se
utilizará un razonamiento secuencial.
 La empresa dispone de 1,5 millones de dólares
hoy (periodo 0) y las quiere gastar considerando
las opciones siguientes:
 1. participar en el proyecto Minera San Cristobal,
que implicaría desembolsar 1.000.000X1 dólares
en el periodo 0;
 2. participar en el proyecto Gravetal SA, teniendo
que gastar 800.000X2;
 3. depositar el dinero al 7%
 Estas opciones no son excluyentes entre ellas.
Por lo tanto, se tiene que cumplir la siguiente
ecuación de equilibrio:
1.500 = 1.000X1 + 800X2 + S0

37.  Al cabo de seis meses, la empresa ingresará
500.000 dólares, gracias a inversiones
realizadas anteriormente.
 También el dinero depositado en el fondo en el
periodo anterior estará a disposición junto con
los intereses: S0 + 0,07S0 .
 Por otra parte, el proyecto Gravetal SA dará
una entrada de dinero igual a 500.000X2. Con
este dinero tendrá que hacer frente al
compromiso adquirido con Minera San
Cristobal, 700.000X1, y depositar lo que quede
al 7% una vez más.
 Matemáticamente:
500 + 500X2 + 1,07S0 = 700X1 + S6

38.  En el periodo 12, la empresa recibirá
400.000 dólares, de inversiones
anteriores, y 1.800000X1 del proyecto
Minera San Cristobal y el dinero del
fondo junto con los intereses.
 Con estos ingresos tendrá que cubrir el
compromiso del proyecto Gravetal SA,
200X2 y depositar S12 en el fondo.
 En términos matemáticos:
400 + 1.800X1 + 1,07S6 = 200X2 + S12

39. En el periodo 18, los ingresos que
tendrá la empresa vendrán de
inversiones anteriores (380.000), del
proyecto Minera San Cristobal
(400.000X1) y del depósito realizado
en el periodo anterior incluyendo los
intereses (1,07 S12 ). Con este
dinero tendrá que realizar un gasto
de 700.000 X2 en el proyecto
Gravetal y el resto puede volver a
ponerlo en el fondo (S18). Es decir:
380 + 400X1 + 1,07S12 = 700X2 +

40.  Finalmente, al cabo de dos años (periodo
24), el BISA tendrá únicamente ingresos
y no tendrá ningún gasto. Los ingresos
provienen de los dos proyectos (600.000
X1 + 2.000.000 X2) y del dinero
depositado en el periodo anterior, 1,07
S18.
 Si se define Z como los ingresos
realizados en el periodo 24 en miles de
dólares, tendremos que:
Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18
 Este es el objetivo del problema:
Maximizar los ingresos al cabo de dos

41.  Finalmente, como solo se puede invertir un
máximo de 100% en cada proyecto, las
variables X1 y X2 no pueden exceder la unidad.
Por lo tanto, hay que añadir las restricciones
siguientes:
X1 ≤ 1 X2 ≤ 1
 El programa lineal se escribe de la forma
siguiente:
Max Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18
 Con restricciones:
 1000X1 + 800X2 + S0 = 1.500
 700X1 -500X2 -1,07S0 + S6 = 500
 -1.800X1 + 200X2 -1,07S6 + S12 = 400
 -400X1 + 700X2 -1,07S12 + S18 = 380

42. Métodos de Resolución
 Un modelo matemático de decisión, por muy
bien formulado que esté, no sirve de nada
sino podemos encontrar una solución
satisfactoria.
 Una de las características de la programación
lineal es que, gracias a sus propiedades
matemáticas, se consigue la solución óptima
sin muchas dificultades.
 En primer lugar se verá el método gráfico, un
sistema limitado a problemas con dos
variables, y a continuación el método Simplex,
el algoritmo más común para solucionar
problemas lineales con muchas variables y

43.  Un modelo matemático de decisión, por muy
bien formulado que esté, no sirve de nada sino
podemos encontrar una solución satisfactoria.
 Una de las características de la programación
lineal es que, gracias a sus propiedades
matemáticas, se consigue la solución óptima
sin muchas dificultades.
 En primer lugar se verá el método gráfico, un
sistema limitado a problemas con dos
variables, y a continuación el método Simplex,
el algoritmo más común para solucionar
problemas lineales con muchas variables y
restricciones.

44.  Anatina Toys fabrica 2 tipos de juguetes de
madera, autitos y rompecabezas.
 Un autito se vende en Bs. 54 y requiere 20 Bs. de
materia prima. Cada autito que se fabrica
incrementa la mano de obra variable y los costos
globales en 28 Bs.
 Un rompecabezas se vende en Bs. 42 y requiere
18 Bs. de materia prima. Cada rompecabezas
incrementa la mano de obra variable y costos
globales en 20 Bs.
 Para la fabricación se requiere mano de obra
especializada: carpintera y acabados. Un autito
requiere 2 h de acabado y1 h de carpinteria. Un
rompecabezas requiere 1h acabado y 1h de

45.  Todas las semanas Anatina Toys consigue todo el
material , pero solo 100h de trabajo de acabado y
80h de trabajo de carpinteria.
 La demanda de rompecabezas es ilimitada y solo
se vende 40 autitos por semana.
 Anatina Toys debe maximizar las utilidades
semanales (ingresos – costos)
 Diseñar un modelo matemático y resolver por el
metodo grafico.
 X1 = cantidad de autitos fabricados cada semana
 X2 = cantidad de rompecabezas fabricados a la
semana

46.  La función objetivo será: Los ingresos
semanales menos los costos de materia prima y
menos los costos varables.
 Ingresos por semana = 54 X1 + 42 X2
 Costos materia prima semana = 20 X1 + 18 X2
 Costos variables semana = 28 X1 + 20 X2
 Entonces Anatina Toys quiere maximizar:
(54 X1 + 42 X2)-(20 X1 + 18 X2)-(28 X1 + 20 X2) =
Max Z = 6 X1 + 4 X2
Los coeficientes para X1 es 6 y para X2 es 4 que es
la utilidad.

47. RESTRICCIONES
 Restricción 1: 100h de trabajo de acabado
2 X1 + X2 ≤ 100
 Restricción 2: 80h de trabajo de carpintería
X1 + X2 ≤ 80
 Restricción 3: Debido a la demanda limitada
de autitos no debe producirse mas de 40
autitos.
X1 ≤ 40
 Restricción 4 De signo: La producción no
puede ser negativa. Entonces:
X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

48. REGION FACTIBLE
Es el conjunto de todas las soluciones que
satisfacen las restricciones. Por ej. Para X1 =
40 y X2 = 20 Cumple
Para X1 = 15 y X2 =70 No Cumple
Para X1 = 10 y X2 = 70 Cumple
Para X1 = 20 y X2 = 60 Cumple
SOLUCION OPTIMA:
En Maximización es el punto donde el valor
es el mas alto en la función objetivo
En minimización es lo contrario.
En nuestro caso el máximo es en Max Z = 6 X1 +
4 X2

49. SOLUCION GRAFICA