Cap5 con densadores y dielectricos

Cuaderno de Actividades: Física II

5) Capacidad eléctrica y
Condensadores

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 81


5.1) Capacidad eléctrica. C
Es la capacidad que poseen los conductores eléctricos para almacenar carga
eléctrica. Esta característica de los sistemas de conductores dependerá de su
geometría así como del medio que los contiene. Esta capacidad de
almacenamiento de carga también puede entenderse como capacidad de
almacenar energía en la distribución de cargas, como vimos en el capitulo
anterior.

i) C de un conductor: Caso esfera de radio R.
Si se realiza el experimento de cargar una esfera metálica de radio R, se
observaría que la carga se distribuye homogéneamente en la superficie
alcanzando la esfera un potencial de equilibrio igual a,

Q

q kQ
V≡
R

En este caso la carga q se trae desde el ∞ de tal forma que el cociente
entre Q y ∆V=V-0 se mantiene constante. Recuerde que el potencial de
q en el ∞ es cero. Definiendo la capacidad eléctrica de la esfera como,

Q
C≡
∆V

La C de la esfera es,

Q Q Q
C≡ ≡ ≡ ≡ 4πε 0 R
∆V V k Q
R
C ≡ 4πε 0 R

Como se indico depende del medio y de la geometría. Además
proporciona información importante acerca de la capacidad de un
sistema para almacenar energía por medio de la carga.



ii) C para dos conductores: Caso condensador.
Son sistemas eléctricos constituidos por 2 conductores de tal forma que
al imponerse una ∆V entre ellos, las líneas de fuerza salgan de uno e
ingresen completamente al otro. Se encuentran en influencia eléctrica
total.

-Q
Q
V+
C=
∆V
+Q V-
 ∆V: ∆V aplicada a los conductores

∆V = V+-V- =V2 – V1
 Informa sobre la cantidad
C de carga {o energía} capaz de ser almacenada en el sistema.

u[C] = C / V = farad =F ( esta cantidad puede estar en mF, µF, pF )

j) Capacidad de ciertos condensadores

k) Condensador de placas paralelas

Q -Q r
E
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
d + -

∆V



ε o ∫ Eda
Q
C= = GC
1
V
− ∫ Edr
2

C = C(E)
Q 1
C= =
∆ V = Q∆ V ' ∆ V '

Q
σ 1
σ σd
E cond
= → ∆V = − ∫ Edr = − ∫ { i}.{dxi} =
ε0 2 d
ε0 ε0
Q Q ε A → C=
ε0A
C= = = 0
σ d AdQ d d

ε0 ε0

kk) Condensador Cilíndrico

Q
C=
∆V
H ∆V = Q ∆V '
1
r r
∆V = − ∫ E.dr
2

Aplicando LG,



h
r r r Q
v q ne H
ÑE.da = ε o = SLat E.da = E {2π r h} ≡ ε 0
∫
SG
∫
r Q
→ E =
2π rε o H
1 R1
r r Q
→ ∆V = − ∫ E.dr = − ∫ { ˆ ˆ
er }.{drer }
2 R2 2π rε o H

R
Q 1
dr Q R
∆V = {− ∫ } = Ln{ 2 }
2πε o H R2 r 2πε o H R1
Q
C=
1 R
∆V = Q{ Ln{ 2 }
2πε o H R1
2πε o H
C=
R2
ln{ }
R1

C 2πε o
=
H ln{ R2 }
R1

kkk) Condensador Esférico

El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos
conductores concéntricos, de espesores despreciables, de radios R1
y R2 (R2>R1). Suponga que la esfera interior se carga a Q+,
mientras que la exterior se carga a Q-. Si en la región entre esferas
existe vacío como aislante, entonces se calcula el campo eléctrico
en ésa región, aplicando la ley de Gauss, eligiendo como superficie
gausiana una superficie esférica concéntrica de radio genérico r,

v q r Q r Q
Ñ∫
SG
E.da = ne = E {4π r 2 } ≡ → E ≡
εo ε0 4π r 2ε 0

Con lo cual, la diferencia de potencial queda como:



1 R1
r r Q
∆V ≡ − ∫ E.dr = − ∫ { ˆ ˆ
er }.{drer }
2 R2 4π r 2ε o

R
Q 1
dr Q 1 1 
∆V ≡ −{ } ∫ { 2 } → ΔV≡{ } - 
4π ε o R2 r 4π εo  R1 R2 

Para obtener una capacidad de:

Q Q
C≡ → C≡ 4π εo R1R2
ΔV Q  1 1 → C≡
{ } -  R 2 − R1
4π εo  R1 R2 

jj) Energía del condensador. E=Epel=U

Q+ Q-
σ+ σ-  ρ=σ : E del condensador

V1 V2

1
Econd = E pel ,σ = E pel ,σ + + E pel ,σ − =
2σ∫ σ daV
1 1
Econd =
2 ∫ σ + daV1 + 2 ∫ σ −daV2 :las superficies son equipotenciales
1
{ 1
}
= V1 ∫ σ + da + V2 ∫ σ − da
2 2
{ }
1 1
= V1Q+ + V2Q−
2 2
Q+ = +Q
Q− = −Q
1 1
Econd = Q V1 − V2 = Q∆V
2 2



1  C=Q/∆V
Econd = Q∆V
2

De tal forma que si los procesos de carga son a ∆V= cte o Q= cte, se obtendrían,

1 1 Q2
E cond = C∆V 2 E cond =
2 2 C
jjj) Ensamblaje de condensadores

k) Ensamblaje en serie

Características:

j) Conservación de la q

q1 = q2 =q3=q

jj) Conservación de la Energía

∆V= ∆V1+∆V2+∆V3

De i ), ii) y C= Q/V

Ceq -1 = C1-1 +C2-1+C3-1

Para n Cs

i =n
1
Ceq1 = ∑{ }
−

i =1 Ci



kk) Ensamblaje en paralelo

Características:

j) Q = cte

q1+ q2+ q3 =q

jj) E=cte

∆V= ∆V1=V2=∆V3

Si j), jj) y C=Q/V

Ceq = C1+ C2+ C3

Para n Cs

Ceq = ∑ Ci
i

5,2) Ley de Gauss con dieléctricos

Concepto Previo: Dieléctrico (aislante)

AISLANTE  Polarización

La polarización del dieléctrico se puede caracterizar usando cantidades micro- macro
adecuadas.



MICRO: p  p: dipolo eléctrico

E

≡ p

MACRO: P: vector de polarización {E, P, D}

E
P

r dpr
P=
dV

MEDIOS DIELECTRICOS:

σp
E n

= P = ρp
σ p = P.n
ˆ
ρ p = −∇.P
ρp σp
E DIE
=E +E

Ley de Gauss con dieléctricos



r r q
Ñ∫
SG
E.da = NE
ε0

q NE = ql + q p
DIE
SG
qN ∆V  ql = carga libre
qp = carga de polarización

r r q + qp r r  ρ + ρp 
Ñ∫
SG
E.da = l
ε0
→ Ñ .da =  i
∫
SG
E
 ε0 
 ∆V

 1  r r {ρ i + ρ p }
  Ñ .da =
∫E
 ∆V  SG ε0
 1  {ρ + ρ p }
∆ V → 0 ∆V Ñ∫ 
lim  Eda  = i
 SG
ε0
r {ρ + ρ p } r
∇.E = i → ε 0 (∇.E ) + ∇.P = ρl
ε0
r
 ∇.(ε 0 E ) + ∇.P = ρ L
v
 ∇.{ε 0 E + P} = ρ L

r
Definiendo, D: Vector desplazamiento eléctrico, D =ε0 E + P

r Ley de Gauss en forma diferencial
∇ .D = ρ L

Caso particular: Materiales l.i.h.

l: lineales (P ≠ P (E local))
i: isotrópicos ( no depende del sistema X ,Y,Z)



h: homogéneos P ≠ P (moléculas)

r r
Entonces, estas condiciones conducen a que, P Z Z E , de tal forma que,

P = ε0 χ E

χ: Chi, susceptibilidad eléctrica

D = ε0 E +ε0 xE ={ε0 ( x +1)}E
ε = ε0 ( x +1) : Permitividad eléctrica del medio
D =εE

Con lo que la forma integral de la LG:

r r q
Ñ∫
SG
E.da = l , ql = qle
ε

OBSERVACIONES:

i) Definición de constante dieléctrica, K

ε
K= = (1 + χ )
ε0

Carga q en el seno del dieléctrico:

r r q q q K
Ñ
∫
sg
E.da = i =
ε K ε0
=
ε0
+
+ + +
- - - +P E
Lic.+ - -.
Percy Víctor Cañote Fajardo q/ 91
+ - - - +q k
+ +
+ + K K=1


q q/K

ii) Energía con dieléctrico, EK

CK C : con dieléctrico
K= → CK = KC0  K
C0 C0 : sin dieléctrico(vacio)
1 1
→ EK = C ∆V 2 = { KC0 } ∆V 2 = KE0
2 2

EK = KE0

Esto es, siempre que pueda seguirse cargando el condensador la energía
aumentara con dieléctrico.

5,3) Energía almacenada en el E

Usemos el condensador de placas paralelas,



Q C:A,d

∆V

1
E cond = C∆ 2V
2
ε
1  A
=  0  Ed }
{ 2

2 d 
1
= ε ( Ad ) E 2
0
2

Econd 1
= u → u ≡ ε0E 2
Vcond 2
u : densidad volumetrica
de energía en el condensador

En general, dada una distribución de cargas que crea un campo eléctrico en el
espacio,

ρ
E

1 r r
Eel = ∫3 D.E dV
2R

Si asumimos l.i.h. : D= εE



1 
Eel = ∫ 2 ε E
2
 dV
R3 

C 
S3P34) Se tiene una línea de carga de densidad λ   ”sumergida” en un
m
r r r
medio dieléctrico de constante ε. Determine los vectores E , D y P .

SOLUCION:

λ z A
lih r
E
ε
r
E SG r
y λ y
ˆ
er
SG ˆ
er

x x

Aplicando la LG para dieléctricos,
r
obtenemos el E ,

r r q
Ñ∫
SG
E.ds = LE , qLE : c arg a libre encerrada
ε

r λ
E (r ) ≡ ˆ
er
2πε r
r
El vector desplazamiento eléctrico, D , lo obtenemos recordando que estamos
r
en un medio lih, donde se relaciona con E ,
r r
D = ε E ← ε ≡ ε 0 (1 + χ ) , donde χ es la susceptibilidad eléctrica del medio,

r λ
D(r ) ≡ ˆ
er
2π r
r r
Y el vector de polarización lo obtenemos de P ≡ ε 0 χ E



r ε χλ (ε − ε 0 )λ
P(r ) ≡ 0 er ≡
ˆ ˆ
er
2πε r 2πε r

S3P35) Una varilla cilíndrica de longitud L y base B tiene una polarización dada
r 2 ˆ C
por P ≡ ( a + bx ) i 2 .Determine las densidades de carga.
m

SOLUCION:

ˆ
er
r
P
−n1
ˆ ˆ
n1 x
B
L

Según la definición de densidades de carga de polarización,
r
σ p = P.n
ˆ
r
ρ p = −∇.P

Las densidades superficiales estarían descritas por:

σ p = −(a + b(0)) ≡ −a
En la base ubicada en x=0, ,

σ p = (a + b( L) ) ≡ a + bL2
2
En la base ubicada en x=L,

σ
En la superficie lateral no existe p .
Y la densidad volumétrica es dada por,

r ∂P
ρ p = −∇.P ≡ − x ≡ −2bx
∂x

S3P36) Determine la energía electrostática almacenada por una densidad
volumétrica de carga uniforme, ρ, almacenada en una esfera de radio R.

SOLUCION:

ρ

R


1
W ≡ E pe = ∫3 ε E dv
2

2R

Determinamos E con Gauss en todo el espacio,

Dentro de la esfera
r r q(r )
Ñ
∫ E.ds ≡
ε0

…¿?

S3P31) Un condensador se compone de dos láminas parciales de 25 cm2 de
superficie separadas por una distancia de 0,2 cm. La sustancia
interpuesta entre ellas tiene una constante dieléctrica de 5. Las
láminas del condensador están conectadas a una batería de 300 v.
a) ¿Cuál es la capacidad del condensador?
b) ¿Y la carga sobre cada lámina?
c) ¿Y la energía del condensador cargado?
d) ¿Cuál es la polarización en el dieléctrico?



e) ¿Y el desplazamiento (D) en el mismo?
f) ¿Y su densidad de energía?
g) Encuentre todas las preguntas anteriores si el condensador es esférico
de radio interno 12 cm y radio exterior 15 cm

SOLUCION:

Datos: A = 25 cm2 ,K=5
d=0,2m , ∆V=300

ε
A K= ≡ 1+ χ
C0 = ε 0 ε0
a) d → Ck = KCo;
b) Q = C∆V = Ck. ∆V → QK = CK ∆V

1
c) Ek ≡ KE0 ; E0 = Co ∆V
2
r r
ˆ
d) P = ? ; P = Pi (2 placas paralelas)

σ Q
P = ε 0 χ E ; χ = K −1 , E ≡ ,σ ≡ K
ε A
r
e) D = ?

r r σ 
D = ε E; D = ε   → D ≡σ
ε 

1 Econd
f) u = ε 0 E =
2

2 Vcond

g) Datos del condensador esférico R1 = 12cm ; R2 = 15cm , idem…¿?

S3P2) Una carga puntual q0 se encuentra en el centro de Y
un cascarón dieléctrico esférico de radios a y b (b >
a)
a) Halle el campo eléctrico para todos los puntos del
espacio.
b) La densidad de carga inducida en la superficie
interior y exterior.
r r
SUG: Use la ley de gauss en la forma Ñ g = q0
∫ D ds D

z x
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo K 97


SOLUCION:

- + Qp
a q0 - + E r
-+
b - +

a) E=? ; ∀r en R:
r
E = E er ← LG
ˆ
↑

kq0 1
I) E = ; k= , 0<r<a
r 2
4πε 0
kq 1
II) E = 20 ; k = ; ε = K ε 0 , a<r<b
r 4πε

kq0 1
III) E = ; k= , r>b
r2 4πε 0
r
b) σ p = P.n
ˆ

r r
P = ε 0 χ E ← lih

+
r
Q p : σ p + = ε 0 ( K − 1) EII .n ≡ ε 0 ( K − 1) ( EII ( r = b ) er ).er ≡ +
ˆ ˆ ˆ
( K − 1) q0
4π Kb 2

−
r
Q p : σ p − = ε 0 ( K − 1) EII .n ≡ ε 0 ( K − 1) ( EII ( r = a ) er ).(−er ) ≡ −
ˆ ˆ ˆ
( K − 1) q0
4π Ka 2


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