El capítulo 8 se centra en la formulación y solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden en circuitos eléctricos que contienen elementos de almacenamiento de energía. Se presentan diversos métodos, como el de sustitución y el del operador, para obtener estas ecuaciones y se discuten las respuestas naturales y completas en función de condiciones iniciales. Se ejemplifican circuitos RLC y su comportamiento según el tipo de respuesta natural que se presenta.

1. Circuitos Eléctricos
Capítulo 8
Respuesta Completa de Circuitos con dos elementos de almacenamiento de
energía
En este capítulo cuando planteamos ecuaciones diferenciales ahora debemos
tener en cuenta que se va agregar un elemento de almacenamiento de energía,
provocando que la ecuación diferencial sea de segundo orden. La solución de una
ecuación diferencial de segundo orden implica respetar estrictamente el método
matemático, puesto que parte de la solución implica encontrar dos condiciones
iniciales para la variable a estudiar, sea de voltaje o de corriente.
Nosotros vamos a proponer el planteamiento matemático de dos formas, tal como
se vio en el capítulo anterior. Uno es el planteamiento en el dominio del tiempo y
otro en el dominio de la frecuencia. Ambas formas nos deben de llevar a la misma
solución, luego para que ello se cumpla, es muy importante saber plantear la
ecuación diferencial de segundo orden
Se proponen varios métodos, pero en cualquiera de los casos tiene que esta bien
hecho. No necesariamente hay que usar todos, sino que el alumno decide según
la característica del circuito eléctrico para establecer el planteamiento apropiado.
Hay modelos circuitales, el cual uno se limita a escribir la solución sin plantear
nada, pero implica un relativo dominio de la teoría para que ahorre tiempo.
Además la solución de una ecuación diferencial puede tener sólo respuesta
natural cuando el circuito eléctrico no tiene fuentes externas independientes; y
respuesta completa cuando los haya. Insistimos: para encontrar los coeficientes
de la solución natural hay que aplicar el concepto de condición inicial. En algunos
casos es simple de encontrar pero en otros puede tomar tiempo.
Dado el siguiente modelo circuital:
i
if R L C
Vamos a encontrar la ecuación diferencial para la variable de voltaje en el
condensador C.
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2. Circuitos Eléctricos
Sabemos que:
V 1 dV
+ [ ∫ Vdt + i (0)] + C = if
R L dt
Esto es por la aplicación de la LKC en el nodo correspondiente, y derivando con
respecto del tiempo para eliminar la integral obtenemos:
d 2V 1 dV V di f
C 2 + + =
dt R dt L dt
Es la forma típica de una ecuación diferencial (ED) de segundo orden. Note que el
miembro derecho de la ED contiene la derivada de la función de la fuente externa
if.
Al dividir por C ambos miembros, obtenemos estrictamente la ecuación diferencial
para el voltaje V en el capacitor.
d 2V 1 dV V 1 di f
+ + =
dt 2 RC dt LC C dt
Las unidades es voltios por segundo al cuadrado (V / s2)
7.1 Métodos para la obtención de la ecuación diferencial de segundo orden
Tenemos tres modelos:
Método de sustitución
Método del operador y el
Método de la variable de estado.
Antes de comentar cada método podemos adelantar que para nuestro nivel
usaremos cualquiera de los dos primeros métodos, el método de la variable de
estado se usa en cursos más avanzados como la Ingeniería de Control, puesto
que la solución se usa software porque usa mucho el concepto de matrices.
7.1.1 Método de sustitución
Pasos del método de sustitución:
1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solución.
2.- Escribimos la ecuación diferencial en términos de la variable utilizada x1 y de
una segunda variable x2.
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3. Circuitos Eléctricos
3.- Obtenemos una segunda ecuación adicional para la segunda variable en
términos de la variable deseada x1 como x2=f(x1).
4.- Sustituimos x2=f(x1) en la ecuación según el paso 2.
5.- Si se incluye el término integral que proviene del paso 4, derivamos la ecuación
para obtener una ecuación diferencial de segundo orden.
Ejemplo 7.1 Considerando un circuito RLC en serie, encuentre la ecuación
diferencial para la variable i:
+ V -
i
+ L C
Vf R
-
Solución:
Usamos x1 = V x2 = i
La relación entre V e i está dado por:
dV
i=C
dt
Se cumple que x2 = f(x1)
Aplicando la LKV en la malla correspondiente podemos escribir la siguiente
ecuación de Kirchhoff:
di
L + V + Ri = V f
dt
Pero las variables de voltaje y corrientes están mezcladas, entonces hacemos la
siguiente por sustitución:
di 1
dt C ∫
L + idt + Ri = V f
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4. Circuitos Eléctricos
d 2i 1 di dV f
L 2 + i+R =
dt C dt dt
Ordenando:
d 2i R di 1 1 dV f
+ + i=
dt 2 L dt LC L dt
Esta es la ecuación diferencial para la variable i del circuito. Note que las unidades
están en amperio por segundo cuadrado (A / s2)
También se pudo haber escrito la ecuación diferencial en función del voltaje en el
capacitor para este circuito RLC serie:
d 2V dV
LC 2 + RC +V = Vf
dt dt
7.1.2 Método del operador (s)
Pasos del método del operador:
d 2V R dV 1 1
+ + V= Vf
dt 2 L dt LC LC
1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solución.
2.- Escribimos la ecuación diferencial en términos de la variable utilizada x1 y de
una segunda variable x2.
3.- Obtenemos una segunda ecuación adicional en términos de la segunda
variable y primera variable.
d 1
s ∫
4.- Usamos el operador s = y = dt para obtener dos ecuaciones
dt
algebraicas en términos de s y de las variables x1 y x2.
5.- Usamos la regla de Cramer, despejamos la variable deseada de forma que
P( s)
x = f(s, fuentes) = donde P(s) y Q(s) son polinomios en s.
Q( s)
6.- Reordenamos la ecuación del paso 5 para que Q(s)x1=P(s).
7.- Convertimos los operadores de nuevo en derivadas en la ecuación del paso 6
para obtener la ecuación diferencial de 2do orden.
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5. Circuitos Eléctricos
Ejemplo 7.2 Para el circuito mostrado halle la ecuación diferencial para la
corriente i2
L1
+
Vf i1 R
i2 L2
-
Para el modelo
L1 = 1H
L2 = 2H
R = 1Ω
Solución
Obtenemos la ecuación diferencial para i1 e i2. Las ecuaciones de malla son:
di1 di1
L1 + R(i1 − i2 ) = V f + (i1 − i2 ) = V f
dt dt
di2 di2
R (i2 − i1 ) + L2 =0 (i2 − i1 ) + 2 =0
dt dt
Ordenando las ecuaciones tenemos y usando s:
di1
+ i1 − i2 = V f si1 + i1 − i2 = V f
dt
di2
− i1 + i2 + 2 =0 − i1 + i2 + 2si2 = 0
dt
Tenga en cuenta que al momento de usar s las ecuaciones son polinomios más
simples de manipular.
factorizando las ecuaciones:
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6. Circuitos Eléctricos
si1 + i1 − i2 = V f ( s + 1)i1 − i2 = V f (1)
− i1 + i2 + 2si2 = 0 − i1 + (2s + 1)i2 = 0 (2)
De la ecuación (2), se tiene que: i1= (2s+1)i2
En la Ecuación (1):
[( s + 1)(2s + 1) − 1]i2 = V f
La ecuación diferencial para la corriente i2 finalmente es:
(2s 2 2+ 3s )i2 = V f
d i di
2 2
2
+3 2
= Vf
dt dt
7.2 Solución de la Ecuación Diferencial de 2do orden - Respuesta Natural
Dado la forma de la ecuación:
d 2x dx
a2 2 + a1 + ao x = f (t ) (α)
dt dt
donde a2, a1 y a0 se conocen y f(t) es una función forzada.
La respuesta completa es x(t): x = xn + xfo
Donde x es de la forma Aest reemplazando en la ecuación (a) se tiene:
a2 As 2 e st + a1 Ase st + a0 Ae st = f (t )
La solución natural xn será:
a2 s 2 xn + a1sxn + a0 xn = 0
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7. Circuitos Eléctricos
(a2 s 2 + a1s + a0 ) xn = 0
Es necesario que:
(a2 s 2 + a1s + a0 ) = 0
Esta ecuación última se le llama ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
La ecuación característica se obtiene de la ecuación diferencial dominante de un
circuito, asignando a todas las fuentes independientes el valor CERO y
suponiendo una solución exponencial.
Al ser una ecuación de segundo grado puesto que es un polinomio, la solución es
esta ecuación está dado por:
− a1 + a12 − 4a2 a0
s1 =
2a2
− a1 − a12 − 4a2 a0
s2 =
2 a2
La solución natural es:
xn = A1e s1t + A2 e s2t
Note que como existen dos raíces, luego en la solución xn aparecen dos
exponenciales.
Estos valores de las raíces de la ecuación característica contienen toda la
información necesaria para determinar el carácter de la respuesta natural. Como
en las raíces s1 y s2 puede contener cualquier naturaleza en su valor real, es decir
puede ser real o complejo y dependiendo de sus valores numéricos existen sólo
tres posibilidades como respuesta natural. Esto lo abarcaremos debidamente.
Si la ecuación diferencial fuera de orden 3 por ejemplo entonces la forma general
de la solución sería:
xn = A1e s1t + A2 e s2t + A3e s3t
Y así por el estilo. Lo complicado será encontrar los valores de A1, A2, A3, ...
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8. Circuitos Eléctricos
Ejemplo 7.3 Hallar la respuesta natural de la corriente i2. Use operadores s.
8Ω 2H
+
Vf i1 4Ω i 1H
- i2
Solución
Aplicando LKV
Por mallas
di1
12i1 + 2 − 4i2 = V f
dt
di2
− 4i1 + 4i2 + 1 =0
dt
d
Usando operadores: s=
dt
12i1 + 2 si1 − 4i2 = V f (12 + 2 s )i1 − 4i2 = V f (1)
− 4i1 + 4i2 + si2 = 0 − 4i1 + (4 + s )i2 = 0 (2)
Tenemos que por la ecuación (2):
1
i1 = ( s + 4)i2
4
Reemplazando en (1)
(12 + 2 s)( s + 4)
[ − 4]i2 = V f [( s + 6)( s + 4) − 8]i2 = 2V f
4
( s 2 + 10 s + 16)i2 = 2V f
De esta ecuación, obtenemos la ecuación característica:
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9. Circuitos Eléctricos
La ecuación característica es:
s 2 + 10 s + 16 = 0
Las raíces son: s1 = -2 s2= -8
La solución natural será:
xn = A1e −2t + A2 e −8t
Esta es la característica de respuesta natural, esto es de acuerdo a los resultados
de la obtención de las raíces de la ecuación característica.
Observación: Las constantes de tiempo valen 1/2 y 1/8 s.
7.3 Respuesta Natural del circuito RLC en paralelo no forzado
Tomaremos el circuito RLC paralelo puesto que los planteamientos en la ecuación
diferencial y cálculo de las condiciones iniciales son simples.
v
i
R L C
Tenemos que:
Aplicando la LKC en el nodo V
V 1 t dV
+ ∫ Vdt + i (0) + C =0
R L 0 dt
d 2V 1 dV 1
C 2 + + V =0
dt R dt L
Un circuito de segundo orden tiene una ecuación diferencial homogénea que
contiene un término de segundo grado, debido a la presencia de dos elementos
independientes de almacenamiento de energía.
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10. Circuitos Eléctricos
Usando el operador s, se tiene la ecuación característica:
1 1
s2 + s+ =0
RC LC
Las raíces son:
1 1 2 1 1 1 2 1
s1 = − + ( ) − s2 = − − ( ) −
2 RC 2 RC LC 2 RC 2 RC LC
De acuerdo a las expresiones de las raíces, definimos:
1 1
α= y ω0 =
2
2 RC LC
Donde ωo se le denomina frecuencia natural de oscilación o frecuencia
resonante. Reemplazando α y ωO
s1 = −α + α 2 − ω 0
2
s2 = −α − α 2 − ω 0
2
Note la característica algebraica de las raíces, luego se definen tres situaciones:
1. α > ωo Respuesta sobre amortiguada
2. α = ωo Respuesta críticamente amortiguada
3. α < ωo Respuesta sub-amortiguada
Analizaremos cada una de las respuestas para saber sobretodo cómo son las
gráficas típicas y cómo se interpretan.
Luego la respuesta natural:
Vn = A1e s1t + A2 e s2t (1)
adicionalmente,
dVn
= A1s1e s1t + A2 s2 e s2t (2)
dt
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11. Circuitos Eléctricos
La razón de la ecuación (2) es porque por el método matemático para la solución
de la ecuación diferencial, es necesario evaluar la derivada de la función V en este
caso. No se puede obviar estas ecuaciones porque sirven para encontrar las
constantes A1 y A2.
7.3.1 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en
paralelo
Sobre amortiguado.
Para t = 0
Vn (0) = A1 + A2 (3) Por la ecuación (1)
Vn (0) dV (0)
+ i ( 0) + C n =0 (4) Por la LKC en el circuito
R dt
Como la variable es V debemos encontrar V(0 y V’(0)
Por lo general i(0) y V(0) son conocidos.
Por la ecuación (4) despejamos la derivada de V con respecto al tiempo:
dVn (0) V (0) dVn (0) V (0) i (0)
C =− n − i (0) =− n − (α)
dt R dt RC C
Por (2) sabemos que:
Ecuación típica RLC //
dVn (0)
= A1s1 + A2 s2 (β)
dt
De (3), (α) y (β) obtenemos las dos ecuaciones para obtener A1 y A2
Ejemplo 7.4 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta
natural v(t) para t > 0.
v
R = 2/3Ω i
L = 1H
C = 0.5F
V(0) = 10V R L C
i(0) = 2A
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12. Circuitos Eléctricos
Solución: La ecuación característica es:
1 1
s2 + s+ =0
RC LC
1 1
Con RC = y LC =
3 2
Reemplazamos en la ecuación característica y resulta lo siguiente:
s 2 + 3s + 2 = 0
Resolviendo el polinomio, tenemos: s1 = -1 y s2 = -2
La respuesta natural:
Vn (t ) = A1e − t + A2 e −2t (1)
como en t = 0
Vn (0) = 10 = A1 + A2 (α)
Usamos la condición de la derivada de Vn para encontrar la otra ecuación para A1
y A 2.
V (0) i (0) 10 2
V n ' (0) = s1 A1 + s 2 A2 = − − =− − = −30 − 4 = −34
RC C 1 1
3 2
Si derivamos la ecuación (1) y lo evaluamos en cero
V n ' (0) = − A1 − 2 A2 = −34 (β)
Las ecuaciones (α) y (β) son permiten encontrar las constantes A1 y A2
A1 + A2 = 10
A1 = −14 A2 = 24
− A1 − 2 A2 = −34
Luego:
Vn (t ) = (−14e − t + 24e −2t )V
Graficando esta señal se observa l siguiente.
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13. Circuitos Eléctricos
Vn(t)
10
t
1 2 3
7.3.2 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en
paralelo
Críticamente amortiguado.
Un detalle particular es que la parte del radicar se anula, es decir
α = ωo
1 1
=
2 RC LC
Luego las raíces s1 = s2
Supuestamente la solución sería:
Vn (t ) = A1e s1t + A2 e s2t = A3 e s1t
A3 = A1 + A2
Sin embargo la solución propuesta no cumple las expectativas desde el punto de
vista matemático. Entonces proponemos una solución para este caso:
Asumamos que la forma de la función Vn(t) es:
Vn (t ) = g (t )e s1t
donde g(t) es un polinomio en t es: B2 + B1t. Y s es la raíz de la ecuación
característica.
Vn (t ) = ( B1t + B2 )e s1t
La forma de solución ya es conocida.
Como comentario, una solución propuesta para una ecuación diferencial debe
cumplir a dicha ecuación, si no es así debe de proponerse otra opción. En nuestro
estudio particular no hay mucha complicación al adoptar una forma de solución u
otra por las condiciones circuitales.
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14. Circuitos Eléctricos
Ejemplo 7.5 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta
natural v(t) para t > 0.
v
R = 1Ω i
L = 1H
C=¼F
V(0) = 5V R L C
i(0) = -6A
Solución: La ecuación característica es:
1 1
s2 + s+ =0
RC LC
1 1
Con RC = y LC =
4 4
s 2 + 4s + 4 = 0 s1 = s2 = −2
Al tener raíces iguales, entonces la solución natural es:
Vn (t ) = ( B1t + B2 )e −2t (1)
En t = 0
Sabemos por la condición inicial que Vn(0) = 5.
Y por la ecuación (1), se deduce que B2 = 5
Fíjese que para encontrar B2 no fue necesario sacar primero el par ecuaciones
con las constante B1 y B2, sino que se obtuvo directamente. Para este tipo de
respuesta siempre será así.
Para hallar la otra constante B1, determinamos Función derivada en t =0:
dVn (0)
dt
Para ello, hay que hallar la función Vn(t) a partir de la ecuación (1) porque es la
forma encontrada a partir del valor de las raíces en la ecuación característica.
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15. Circuitos Eléctricos
dVn
= −2 B1te − 2t + B1e − 2t − 2 B2 e − 2t
dt
En t = 0:
dVn (0) V (0) i (0) 5 − 6
= B1 − 2 B2 = − n − = − =4
dt RC C 1 1
4 4
B1 − 2 B2 = 4
Resolviendo:
B1 = 14
Y finalmente
Vn (t ) = e −2t (14t + 5)V
La gráfica para esta solución natural para Vn(t) se da:
Vn(t)
5
2.
t
1 2
7.3.3 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en
paralelo
Subamortiguado.
Sabemos que β < ωO , es decir
LC < (2 RC ) 2
o también: L < 4R2C
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16. Circuitos Eléctricos
La solución Vn(t) es de la forma:
A1e s1t + A2 e s2t
Tal como se escribe en forma general
Donde el valor de las raíces s1 y s2 son respectivamente:
s1 = −α + α 2 − ω o
2
y s2 = −α − α 2 − ω o
2
Podemos escribirlo en forma conjunta las raíces como:
s1, 2 = −α ± j ω o − α 2
2
donde j = −1
Donde α representa el coeficiente de amortiguamiento, que determinará qué tan
rápido declinan las oscilaciones. Veremos oportunamente el por qué de esta
afirmación.
Llamamos:
ωa = ωo − α 2
2
Y se le llama ωa frecuencia resonante de amortiguamiento, rescribiendo las
raíces tenemos:
s1, 2 = −α + jω a
Reemplazando s1 y s2 en la expresión de Vn(t)
Vn (t ) = A1e −αt e jω at + A2 e −αt e − jω at
Vn (t ) = e −αt ( A1e jω a t + A2 e − jω at ) (a)
Por la identidad de Euler:
e ± jωt = cos ωt ± j sen ωt
Luego, reemplazando en la ecuación (a):
Vn (t ) = e −αt [ A1 cos ω a t + jA1 sen ω a t + A2 cos ω a t − jA2 sen ω a t ]
Ordenando las funciones seno y coseno se tiene lo siguiente:
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17. Circuitos Eléctricos
Vn (t ) = e −αt [( A1 + A2 ) cos ω a t + j ( A1 − A2 ) sen ω a t ]
Llamaremos B 1 = A 1 + A2 B2 = j (A1 - A2)
Vn (t ) = e −αt ( B1 cos ω a t + B2 sen ω a t )
Esta expresión es general para este tipo de respuesta subamortiguada, note la
−αt
componente exponencial negativa e que nos indica la duración de las
oscilaciones expresadas con los términos (B1cosωat + B2senωat).
Ahora bien para encontrar los coeficientes B1 y B2 recuerde el procedimiento
general matemático, tal como se explica a continuación.
Para t = 0
Al evaluar Vn(t) resulta que:
Vn (0) = B1
Encontramos la derivada de Vn(t) con respecto al tiempo, encontraremos
necesariamente la otra ecuación que nos permite encontrar B2.
Entonces al derivar la función Vn(t)
dVn (t )
= e −αt [(ω a B2 − αB1 ) cos ω a t − (ω a B1 − αB2 ) sen ω a t ]
dt
y al evaluar en t = 0:
dVn (0) V ( 0) i ( 0)
= ω a B2 − αB1 = − n −
dt RC C
Debido al modelo RLC paralelo
debidamente demostrado
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18. Circuitos Eléctricos
Ejemplo 7.6 Considere el circuito RLC en paralelo
v
R = 25/3 Ω i
L = 0.1H
C = 1m F
V(0) = 10V R L C
i(0) = -0.6A
Hallar la respuesta natural Vn(t), t > 0
Solución . Tenemos que:
1 1 1000 x3
α= = = = 60
2 RC 2 x(25 / 3) x1x10 −3 50
1
ωo =
2
= 10 4 ω o = 10 2 = 100rad / seg
LC
Observación: la unidad de α y ωa es también radianes por segundo (rad/s)
Como ωO < α, la respuesta es subamortiguada.
Luego:
ω a = ω o − α 2 = 1002 − 602 = 80rad / seg
2
Entonces las raíces s1 y s2 son numéricamente
s1 = −α + jω a = −60 + j80 s2 = −α − jω a = −60 − j80
Vn (t ) = B1e −60t cos 80t + B2 e −60t sen 80t
Ahora nos toca evaluar las condiciones iniciales en t = 0:
En t = 0
Vn (0) = 10 = B1
Para obtener B2, tenemos que:
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19. Circuitos Eléctricos
V (0) i (0)
ω a B2 − αB1 = − −
RC C
α V (0) i (0)
B2 = B1 − −
ωa ω a RC ω a C
Al reemplazar el resto de datos conocidos ya se obtiene que:
60 x10 10 − 0 .6
B2 = − − = 7.5 − 15 + 7.5 = 0
80 80 x(25 / 3000) 80 x10 −3
Finalmente la solución
Vn (t ) = 10e −60t cos 80t
El período de la oscilación amortiguada
2π 2π
Ta = = = 79ms
ωa 80
y la frecuencia fa:
1 ω a 80
fa = = = = 12.73Hz
Ta 2π 2π
Observación general. Para encontrar los coeficientes A1 y A2 o B1 y B2 según el
tipo de respuesta natural, siempre se calculan al final de la solución total.
7.4 Respuesta Forzada de un circuito RLC
La ecuación diferencial para el circuito RLC está dado por:
d 2x dx
+ a1 + ao x = f (t ) (1)
dt 2 dt
Donde xfo es la respuesta forzada y debe de satisfacer la ecuación (1).
La ecuación diferencial de la ecuación (1) interviene el término f(t) que es la
función que representa una o más fuentes independientes externas, esto quiere
decir que la solución forzada xfo es de la misma naturaleza que f(t).
Dada la función forzada f(t), la solución supuesta xfo(t) será:
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20. Circuitos Eléctricos
f(t) xfo(t)
1) K A
2) Kt At + B
3) Kt2 At2 + Bt + C
4) Ksenωt Asenωt + Bcosωt
5) Ke-at Ae-at
Como se puede observar, las cantidad de formas de onda son concretos y
suficientes para analizar en los circuitos eléctricos correspondientes.
Ejemplo 7.7 Dado el circuito mostrado, determinar la ifo(t) si:
v
i If = 8e-2t
R=6Ω
ifu(t) R L C L=7H
C = 1/42 F
Solución. En el nodo V aplicamos la LKV
V dV
if = i + +C (1)
R dt
Donde:
di
V =L (2)
dt
- Note que estamos planteando la LKC en el dominio del tiempo, queda para el
alumno resolver este ejercicio por el método de los operadores s
Como la variable es ifo, luego debemos de despejar V en función de i, por la
ecuación (2):
dV d 2i
=L 2
dt dt
Y lo reemplazamos en (1)
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21. Circuitos Eléctricos
d 2i 1 di 1 1 Ecuación diferencial para i
+ + i= if en el dominio del tiempo
dt 2 RC dt LC LC
Reemplazando valores diversos R, L y C:
1 1 1
=7 (
6 x(1 / 42)
= 7) y =6 (
1
= 6)
RC LC 7 x(1 / 42)
Entonces:
d 2i di
+ 7 + 6i = 48e − 2t (α)
dt 2 dt
La respuesta forzada ifo(t) será de la forma: ifo = Be-2t
y reemplazando en (α)
4 Be −2t + 7(−2 Be −2t ) + 6 Be −2t = 48e −2t (β )
como observamos, se eliminan las exponenciales en la ecuación (β)
− 4 Be −2t = 48e −2t B = −12
Luego i fo (t ) = −12e −2t A
Ejemplo 7.8 Dado la ecuación diferencial para t > 0
d 2V dV
+5 + 6V = V f
dt 2 dt
Determine la respuesta forzada Vfo para t > 0 si
a) Vf = 8V b) Vf = 3e-4t c) Vf = 2e-2t
Solución:
a) para Vf = 8V (es una DC o señal constante)
las derivadas correspondientes valen cero:
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22. Circuitos Eléctricos
dV d 2V
= 2 =0
dt dt
La ecuación diferencial queda reducida a:
8
6V fo = 8 V fo = V
6
b) Para Vf =3e-4t, se tiene que Vfo = Be-4t
como no es una señal constante, entonces encontraremos las respectivas
derivadas:
dV fo d 2V fo
= −4 Be − 4t y = 16 Be − 4t
dt dt 2
Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial resulta que:
16 Be −4t + 5(−4 Be −4t ) + 6 Be −4t = 3e −4t
2 Be −4t = 3e −4t 3
B=
2
La respuesta forzada es:
3 − 4t
V fo = e V
2
c) para Vf= 2e-2t, se asume que Vfo = Ae-2t
las derivadas correspondientes son:
dV fo − 2t d 2V fo
= −2 Ae y = 4 Ae − 2t
dt dt 2
Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial, resulta:
4 Ae −2t + 5(−2 Ae −2t ) + 6 Ae −2t = 2e −2t
Se anula la parte izquierda de la igualdad, y resulta una inconsistencia.
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23. Circuitos Eléctricos
La solución propuesta no cumple la ecuación diferencial.
Luego tomamos Vfo = Ate-2t
Las derivadas en este caso no son tan triviales:
dV
= Ae − 2t − A(2t )e − 2t = Ae − 2t (1 − 2t )
dt
d 2V
2
= −2 Ae − 2t − 2 A(e − 2t − 2te − 2t ) = e − 2t (−4 + 4t )
dt
Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial:
Ae −2t (−4 + 4t ) + 5 Ae −2t (1 − 2t ) + 6 Ate −2t = 2e −2t
Ae −2t (−4 + 4t + 5 − 10t + 6t ) = 2e −2t
A=2
Finalmente la respuesta forzada Vfo resulta:
V fo = 2te −2t
7.5 Respuesta Completa de un circuito RLC
La respuesta completa es la suma de las respuestas natural y la forzada, es
decir:
x = xn + x fo
Nada más que el procedimiento es más extenso en los circuitos de segundo orden
que en los sistemas de primer orden.
Como casa procedimiento ya es conocido, pasamos a completar este tópico con
un ejemplo completo.
Las condiciones iniciales para este tipo de respuestas completas siempre de
aplican al final de la solución total de x(t), recuerde que las constantes de la
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24. Circuitos Eléctricos
solución natural no se conocen cuando se hallan las respuestas naturales y
forzadas.
Ejemplo 7.9 Dado un circuito RLC en paralelo y su ecuación diferencial está dado
por:
d 2V dV
2
+5 + 6V = V f
dt dt
Con las siguientes condiciones:
V (0) = 10V
dV (0) V f = 4e − t
= −2 V
dt s
Determinar V(t)
Solución:
a) encontramos la solución natural:
s 2 + 5s + 6 = 0
( s + 2)( s + 3) = 0
Vn (t ) = A1e −2t + A2 e −3t
b) La solución forzada Vfo = Be-t
Tenemos que las derivadas de Vfo son:
dV fo −t
d 2V fo
= − Be y 2
= Be −t
dt dt
reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial, resulta:
Be − t + 5(− Be − t ) + 6 Be − t = 4e − t
2 Be − t = 4e − t B=2
Luego la solución forzada es:
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25. Circuitos Eléctricos
V fo = 2e − t
c) la respuesta completa es:
V = Vn + V fo
V (t ) = A1e −2t + A2 e −3t + 2e − t
d) Aplicación de las condiciones iniciales en t = 0
en t = 0 V(0) se tiene la siguiente relación:
10 = A1 + A2 + 2
A1 + A2 = 8 (α)
Para V’(0) tenemos lo siguiente:
dV (0)
= −2 A1 − 3 A2 − 2 = −2
dt
2 A1 + 3 A2 = 0 (β)
De (α) y (β): A1 = -16 y A2 = 24
Finalmente:
V (t ) = 24e −2 t − 16e −3t + 2e − t
7.6 Método de la Variable de Estado en el Análisis de Circuitos
para encontrar la solución a una variable x(t) existe un método alternativo que se
denomina Variable de Estado.
Las Variables de Estado de un circuito son el conjunto de variables asociadas con
la energía de los elementos de almacenamiento de energía del circuito. La palabra
estado significa condición.
El método de la variable de estado utiliza una ecuación diferencial de primer orden
por cada variable de estado, para determinar la respuesta completa del circuito.
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26. Circuitos Eléctricos
7.6.1 Método de la Variable de Estado en el Análisis de Circuitos.
1. Identificamos las variables de estado como los voltajes del capacitor y las
corrientes del inductor.
2. Determinamos las condiciones iniciales en t = 0 de los voltajes del capacitor y
las corrientes del inductor.
3. Obtenemos una ecuación diferencial de primer orden para cada variable de
estado por medio de la LKC o LKV.
d
4. Usamos los operadores para sustituir
dt
5. Obtenemos la ecuación característica del circuito, observando que puede
hacerse igualando a cero el determinante de la regla de Cramer.
6. Determinamos las raíces de la ecuación característica, que a su vez determi-
nan la forma de la respuesta natural.
7. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden (o mayor) para la variable
x seleccionada por la regla de Cramer.
8. Determinamos la respuesta forzada Xfo suponiendo una forma apropiada de la
misma y hallando la constante sustituyendo la solución supuesta en la
ecuación diferencial de segundo orden.
9. Obtenemos la solución completa x = xn + xfo.
10. Usamos las condiciones iniciales de las variables de estado junto con la serie
dx(0)
de ecuaciones diferenciales de primer orden (paso 3) para obtener.
dt
dx(0)
11.-Usando x(0) y para cada variable de estado, hallamos las constantes
dt
arbitrarias A1, A2,.. An para obtener la solución completa x(t)
Ejemplo 7.10 para el modelo, y bajo las siguientes condiciones:
R1 R2 R3
1 2
+ + + +
Vau(t) V1 C1 V2 C2 Vbu(t)
- - -
-
Va = 10V Vb = 6V
V1(0) = 5V V2(0) = 10V
Además: R1C1 = 1, R2C1 = 1, C2R3 = 1 y C2R2 = 1/2
Halle V1(t) para t > 0
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27. Circuitos Eléctricos
Solución:
Aplicando la LKC en el nodo 1 y en el nodo 2 tenemos el de ecuaciones:
dV1 Va − V1 V2 − V1
Nodo 1: C1 = +
dt R1 R2
dV2 Vb − V2 V1 − V2
Nodo 2: C2 = +
dt R3 R2
Rescribiendo las ecuaciones, tenemos:
dV1 V V V V
+ 1 + 1 − 2 = a
dt C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1
dV2 V V V V
+ 2 + 2 − 1 = b
dt C2 R3 C2 R2 C2 R2 C2 R3
Reemplazando los productos R1C1, R2C1, R2C2, R3C2 en las ecuaciones:
dV1
+ 2V1 − V2 = Va (1)
dt
dV2
− 2V1 + + 3V2 = Vb (2)
dt
Note que las ecuaciones diferenciales son de primer orden y según el método de
variable de estado, es más apropiado dejarlos bajo esta forma, puesto que para el
cálculo de las condiciones iniciales para la derivada del voltaje V1(t) o V2(t) en t = 0
es más simple de evaluar tal como se observan en las ecuaciones (1) y (2).
Usando operadores matemáticos
( s + 2)V1 − V2 = Va
− 2V1 + ( s + 3)V2 = Vb
Tenga en cuenta que los valores de Va y Vb son han sido reemplazados, para que
cuando se obtenga la respuesta forzada, no cometamos error en calcular otro
valor numérico para el voltaje V1fo o V2fo . tenga en cuenta que éstos voltajes son
DC.
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28. Circuitos Eléctricos
Va −1
Vb ( s + 3) ( s + 3)Va + Vb
V1 = = (3)
( s + 2) −1 s 2 + 5s + 4
−2 ( s + 3)
( s + 2) V a
− 2 Vb ( s + 2)Vb + 2Va (4)
V2 = =
( s + 2) −1 s 2 + 5s + 4
−2 ( s + 3)
Como vamos a encontrar el voltaje V1(t), escribimos la ecuación diferencial en s
( s 2 + 5s + 4)V1 = ( s + 3)Va + Vb (5)
También lo escribimos en el dominio del tiempo:
d 2V1 dV dV
+ 5 1 + 4V1 = a + 3Va + Vb (6)
dt 2 dt dt
Teniendo definido la ecuación diferencial para V1(t), encontramos la ecuación
característica para encontrar las raíces y escribir la solución natural para V1(t).
La ecuación característica: s2+5s+4=0
s1 = −4
s2 = −1
La respuesta natural es:
V1n = A1e −t + A2 e −4t
Ahora encontraremos V2fo, note por la ecuación (5) ó (6) que las fuentes externas
dVa
Va y Vb son constantes, entonces la derivada para Va , valdrá CERO .
dt
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29. Circuitos Eléctricos
dV2 fo d 2V2 fo
V2fo = K (constante) luego las derivadas y valdrán CERO
dt dt 2
Reemplazando en (6):
0 + 0 + 4 K = 3Va + Vb = 0 + 3(10) + (6) = 36V K = 9V
Luego:
V1 = V1n + V1 fo = A1e −t + A2 e −4t + 9 (7)
Aplicamos condiciones iniciales para V1
Para t = 0
V1 (0) = 5 = A1 + A2 + 9 A1 + A2 = −4 (α )
Además, por la ecuación (1):
dV1 dV1
+ 2V1 − V2 = Va = Va − 2V1 + V2
dt dt
dV1 (0)
= Va (0) − 2V1 (0) + V2 (0) = 10 − 2(5) + 10 = 10V
dt
Por la ecuación (7):
dV1 (t )
= − A1e −t − 4 A2 e − 4t
dt
Comparando las expresiones de la derivada en t = 0 sale la otra expresión de la
relación de los coeficientes A1 y A2
10 = -A1-4A2 (β )
Resolviendo (α) y (β) A1 = -2 y A2 = -2
finalmente:
V1 (t ) = −2e − t − 2e −4t +9
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