Cap6 i-r 98-123

Cuaderno de Actividades: Física II

6) CORRIENTE Y
RESISTENCIA, FUERZA
ELECTROMOTRIZ Y
CIRCUITOS

6.1) Intensidad de corriente eléctrica, I

q v q v
I:

F
E I

intensidad de corriente
• Es la cantidad de carga por A en la unidad de tiempo

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 98


i) Intensidad media, Im

∆Q
Im =
∆t

ii) Intensidad instantánea, I=i(t)

i (t ) = lim ∆t →0 { I m }
dq
i (t ) = ; q=q(t)
dt
u=[i]=C/s=ampere=A

*Vector densidad de corriente eléctrica, J

I → J, generaliza a las cargas.

v v a

q
q
J
I

I = ∫ J .d a ___

A
/ J = Nqv

 __  A
u J  = 2
  m

u
r
J ≡ N + .q+ .v+ + N − .q− .v−
1 24 1 24
4 3 4 3
J+ J−

__ n
→ J = ∑ Ji
i =1



r r
La I se interpreta como el φ de J a través de la superficie analizada. El J
contiene la información de los diversos portadores de carga en el sistema.

V+ V-
q q-
+

J+ J-

E

6.2) Procesos de conducción (Ley de Ohm)
i) Macroscópico
I
I
∆V I
E ∆V1 I1
∆V2 I 2
T, Geo
M M
∆V ∆V



1 
I =   ∆V ; R: resistencia del cuerpo
R

Definición
__ _
− ∫ E.d r
∆V R=
R= → __ __
I
∫ J .d a
A

Medios óhmicos: l, i ,h

__ __
J =σ E σ: conductividad eléctrica

__ __
− ∫ E .d a %
I ( ∆V )
R= R= = ∆V%
σ ∫ E.da I
A

R=R( geometría, medio ,T )

Ejemplo:

q v
∆V
I R=
F I
E
σ r

∆V

1 __ r r
∆V = V1 − V2 = − ∫ E .dr E = cte
2



J I Il
∆V = V1 − V2 = El = l ; J = =
σ A Aσ

Il 1 1 l 1 l
R=( ) = = ρ : resistividad R=ρ
σA I σ A σ A

ii) Microscópica

Modelo de Drude-Lorentz: gas de electrones.

v

f Fe
q=e
E

f: caracteriza la oposición del medio

__ __ __
F R = F e + f = ma

Equilibrio:
__ __ __
f = Fe = q E
__ __ m
f =bv b=
τ

[b] = MT −1

m : masa de q
τ : oposición { q, nucleos, impurezas}

__
m __ __
f = vd = q E .....(1)
τ
__
__ __ __
J __ __
J = Nq v d → v d = ......(2) J = σ E .....(3)
Nq

De (1) y (2) y (3):



__
m J __ __  Ne 2τ  __ Ne2τ
→ =qE → J =  E → σ =
τ Nq  m  m

6.3) Combinación de R

R l,A

R
<>

i) En serie

R R R Req

<>
I I I
I
I
∆V
∆V

Características
j) Conservación de q { → I}.

I = I1 = I 2 = I 3 .....(1)

jj) Conservación de E { → ∆V }

∆V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V.3 .........(2)



De (1) y (2) más ∆V = RI

n
Req = R1 + R2 + R3 , para n Rs
ara Req = ∑ Ri
i =1

ii) En paralelo

I1 R1

Req
I2 R2 I
<> I
I
∆V
I3 R3

∆V

Req = Req { R1 , R2 , R3 }

Características

j) I = I1 + I 2 + I 3 ..........(3)

jj) Conservación de ∆V

∆V = ∆V1 = ∆V2 = ∆V3 ...(4)

De (3) y (4) más ∆V = RI

n
1 1 1 1 1 1
= + + → =∑
Req R1 R2 R3 Req i =1 Ri

6.4) Sistemas eléctricos
Se estudiarán sistemas eléctricos (circuitos eléctricos) compuestos por fuentes
de energía (fem: fuerza electromotriz), R, C y L (inductores, basados en



interacciones magnéticas).El principal problema de estos sistemas es resolver
las intensidades sobre cada uno de los elementos. Ejemplos,

R R

ε S –P : Leyes de conservación
R R
3

R R

R R

R ε2
R
Leyes de conservación
→ Leyes de Kirchhoff
ε ε3 R
1

R

R Leyes de conservación
→ Leyes de Kirchhoff
L

i) Elementos de los circuitos eléctricos

j) Fuentes de energía (fem) ε
Son las fuentes de energía que convierten cualquier energía no-
electrostática en energía eléctrica EE.



* Química 
* Solar 

 EE
* EM 
* Térmica 


Representación:

+
_
F WF

q ∆V = V+ − V− = =ε
q
-

 ε Ideales

∆Vab ≡ Va − Vb ≡ ε

r: Resistencia interna r = 0

 ε Reales

∆Vab ≡ Va − Vb < ε

r≠0

jj) Disipadores de energía: EElect { EMagn } → Radiación { Luz , termica : Q}

Radiación
P = RI 2 = (∆ V ) I

I


W

λ (um)
400 700

jjj) Almacenadores de Energía

EElect { EMagn } → EElectrica ó EMagn.

C
E Ec α E 2

L
2
EL α B

ii) Resolución de un circuito eléctrico
j) Reducción Serie – Paralelo
jj) Leyes de Kirchhoff
jjj) THEVENIN
NORTON
SUPERPOSICION

jj) Leyes de Kirchhoff



a b c
I1 I3
I2

f e d

1era Ley : Conservación de las I s

∀ nudo { nodo} → b, e

I1 = I 2 + I 3

2era Ley : Conservación de la E

∆V ⇔ W( EE )

∀ malla abefa, bcdeb

∆Vab + ∆Vbc + ∆Vef + ∆V fa ≡ 0

Convención:

Circulación

∆Vab = Vb − Va = ε
ε ε
ε -ε
a b a b

∆Vab R R
−RI RI
a b a b
I I


∆Vab
Q Q C Q
Q C −
C C
a b a b

S3P20) Calcule la resistencia de un conductor en forma de un tronco de cono
de bases circulares de radios a y b, longitud L y resistividad ρ.

a b

L

Solución:

y

Tronco de cono = suma planchas
a b
circulares
y

L x
x



dx
dR = ρ → y = y ( x)
π y2

b−a
y = a+( )x
L

ρ dx
⇒ dR = 2
 b−a 
π a + ( ) x
 L 
∫:
L
ρ dx
→R=∫ 2
 b−a 
0
π a + ( ) x
 L 
L
→R=ρ
π ab

S3P15) Un tubo cilíndrico de longitud L tiene un radio interior a y uno exterior b,
el material tiene resistividad ρ. La corriente fluye radialmente de la superficie
interior a la exterior.
a) Halle la resistencia
b) ¿Cuál es la resistencia de un filamento de carbón cuyas dimensiones son
a = 0,4 cm, b = 3 cm y L = 30 cm?

a
b

Solución:

ri = a re = b



ρ
2
r
J 1
L J r
uu
r
da
I

A
l,i,h

∆V %
I (∆V )
R= → R= = ∆V%
I I

r1 __ _
∆V = V1 − V2 = −∫ E .d r
__

r2 E =?
__ _
I = ∫ J .d a
A

__ __
I = ∫ | J |da = J ∫ da = J (2π rL)
A A

I __
Iρ
⇒J = =σE → E = ˆ
er
2π rL 2π rL

b Iρ 
⇒ ∆V = − ∫   dr
a
 2π Lr 

 I ρ   a dr  I ρ
∆V = −   ∫ = ln { b / a}
 2π L   b r  2π L

ρ
⇒R= ln(b / a )
2π L

S3P12)(CE) En el circuito eléctrico representado en la figura, se conoce ε = 4
V, r = 1 Ω y R = 2 Ω. Halle la indicación del amperímetro.



R a c R

R
ε R
R
r
A

R
b

Solución:
a c

r
I

b

(12/5)R (12/5)R+r

ε ε
i i
r

→ I = 4/(5.8) → IA=(2/5)I

S3P13)(CE) Encuentre las fems ε1y ε2 del circuito de la figura y la diferencia de
potencial del punto b con respecto al punto a.

1.00 Ω 20.0 V
6.00 Ω

1.00 A
4.00 Ω 1.00 Ω ε1
+
a b
1.00 Ω ε2
2.00 A
2.00 Ω



Solución:

1 2
6
0 c
d
1 1
1
ε1
1
a b
4 1
2

e f
1 ε2 2

a) 1ra de Kirchhoff : I ab = 1
2da. de kirchhoff :

abcda: 1*5-ε1 -1*7 + 20 = 0 → ε1 = 18
efbae: −ε 2 − 3 × 2 − 5 ×1 + ε1 = 0 → ε2 = 7

b) ∆Vab = Vb − Va = −13

6.5) Circuitos RC
R

q
ε c
i



• 2da de Kirchhoff
q
ε − Ri − =0
C
dq q
ε − R − = 0........(1)
dt C

Sea:

q
u =ε −
........(2)
C
du 1 dq
→ =− .....(3)
dt C dt
(2) Y (3) en (1)

 du  ∫: du 1
u − R −C  = 0
 dt 
∫ u
= ∫−
RC
dt

du 1
u + RC =0 ln(u ) = t +ç
dt RC
 1 
du = − u  dt t = 0
 RC  c.i 
q(0) = 0
du 1
→ =− dt → ç = ln(ε )
u RC



u  1
ln   = − t
 ε RC
1
q − t
→ u = ε − = ε (e) RC
C

t
−
→ q (t ) = ε (1 − e RC
)

ε − RC
t
→ i (t ) = e
R

Gráficas
t
−
q (t ) = ε (1 − e RC
)

q

ε
C

t



ε − RC
t
i (t ) = e
R
i

ε/
R

0 t

6.6) Energía en circuitos eléctricos

Concepto previo

*Potencia eléctrica, P

∆V

Dispositivo
Eléctrico
I

dW
P= ← W = q (∆V )
dt
→ P = ∆V ( I )

Si el dispositivo eléctrico es óhmico → P = RI 2



Veamos el circuito RC:
R

q
ε c
i

RC: cte de t que caracteriza al circuito RC
y determina el ‘t’ de carga {descarga} del
C, tc

tc : 6 – 7(RC){ 6 – 7RC }∞

_

Durante el funcionamiento del sistema se produce emisión de energía por R y
almacenamiento en C. Esto es, parte de la energía de la ε se almacena como
campo E en el C.
1
Econd = Cε 2
2

ER = Radia

ε 2 RC ε 2C
∞ ∞ ∞
ER = =
R 2 2
ER = ∫ dE = ∫ Pdt = ∫ Ri 2 dt
ε C
2
0 0 0 → ER =
∞ 2 2
 ε − RC 
t
= R ∫  e  dt
0
R  1 1
⇒ Eε = Cε 2 R + Cε 2 = Cε 2
ε  2 ∞
−
2t
 2 2
C
E R = ∫ e RC
dt 
R 0 
→ Eε = Cε 2



Aplicaciones:
S3P20) En el circuito de la figura,
s 1,2 Ω
a) ¿Cuál es la intensidad inicial de
la corriente suministrada por la
batería inmediatamente después
50V 600 kΩ 2,5 µF
de cerrar el interruptor S?
b) ¿Y al cabo de un largo tiempo
de cierre de S?
c) Si el interruptor ha estado
cerrado durante un largo tiempo y luego se abre, determine Ia
variación de la intensidad de corriente a través de la resistencia de
600 kΩ en función del tiempo.

SOLUCION:

Asumiendo corrientes en las mallas según la figura,

s 1,2 Ω

q2
50V I1 600 kΩ I2 2,5 µF

Aplicando la 2da de Kirchhoff a la de la izquierda, en sentido horario,

50 − 1, 2 I1 − 600 × 103 ( I1 − I 2 ) = 0

Ahora a la de la derecha,

q2
+600 ×103 ( I1 − I 2 ) − ≡0
2,5 ×10−6

Generalizando estas ecuaciones para poder analizar y comparar,

ε − rI1 − R ( I1 − I 2 ) ≡ 0 …….. (1)

q2
R ( I1 − I 2 ) − ≡0 …….. (2)
C

ε + RI 2
De (1): ≡I …….. (3)
( r + R) 1



 ε + RI 2
  q

(3) en (2): R  − I2  − 2 ≡ 0
( r + R)
  C


R
{ ε − rI 2 } −
q2
≡ 0 , entonces, despejando I2,
( r + R) C

dq2 ε ( r + R ) dq2
I2 ≡ ≡ − q2 → dt ≡
dt r rRC ε ( r + R)
− q2
r rRC

−
( r + R ) dt ≡ du , u≡
ε ( r + R)
− q2
rRC u r rRC

( r + R ) t ≡ ln  ε − ( r + R ) q  % ε 
∫:− rRC

r rRC
2

%
 + C ; t ≡ 0, q2 ≡ 0 → C ≡ − ln  
r 

→−
( r + R ) t ≡ ln 1 − ( r + R ) q 
 
ε RC
2
rRC  

→1−
( r + R) q ≡e
−( r + R )
rRC
t
→ q2 (t ) ≡
ε RC 

1 − e
−( r + R )
rRC
t 


ε RC
2 ( r + R) 
 


d ε RC ( r + R ) −(rRCR ) t
r+
ε
−( r + R )
→ I2 ≡ q2 ≡ × e → t
I2 ( t ) ≡ e rRC

dt ( r + R ) r RC r

ε  R −( r +R ) t 
 
→ I1 ( t ) ≡ 1 + e rRC 
( r + R) 
 r 


Ahora, calculando,

50 50 500 125
a) I1 ( 0 ) ≡ ≡ ≡ ≡ : 41, 6 → I1 ( 0 ) : 41, 6
r 1, 2 12 3

50 50
b) I1 ( t → ∞ ) ≡ ≡ : 8,3 ×10−5 → I1 ( t → ∞ ) : 8,3 ×10−5
r + R 600001, 2



ε RC
c) q2 ( t → ∞ ) ≡
( r + R)

ε RC − RCt
q '2 ( t ) ≡ e
( r + R)
ε −
t
50 −
t

→ I '2 ( t ) ≡ − e RC → I2 ( t ) ≡ −
'
e 1,5
( r + R) 600001, 2

t
−
→ I ( t ) : −8,3 × 10 e
'
2
−5 1,5

S3P19) Dos capacitores enserie se cargan con S a
una batería de 12,0 V con una resistencia +
interna de 1,00 Ω. Hay una resistencia de ε = 12.0 V 3.00 µF
5,00 Ω en serie entre los capacitores,
a) ¿Cuál es la constante de tiempo del R
circuito, que se está cargando? r = 1.00 Ω
b) Después de que se cierra el circuito,
para el tiempo calculado en (a) ¿cuál 6.00 µF
es el voltaje en el capacitor de 3,00 b
µF?

SOLUCION:

Asumiendo corriente en la malla y considerando S a
que C1 y C2 están en serie, +
ε = 12.0 V 3.00 µF
C1 q
q q
+ε − − Ri − − ri ≡ 0
c1 c2 I R
r = 1.00 Ω

1 1  C2 6.00 µF
ε −( R + r) i − q  +  ≡ 0 q
 c1 c2  b

q CC
ε − Re i − ≡ 0 / Re ≡ R + r ∧ Ce ≡ 1 2
Ce C1 + C2

ε − t / RC
( )
q ( t ) ≡ Ceε 1 − e − t / ReCe → i ( t ) ≡
Re
e

18 
a) τ ≡ ReCe ≡ 6 ×   ≡ 12 µ s → ι ≡12 µs

9



b) ∆V1 ≡
q Ceε 1 − e
≡
(− t / Re Ce
)
→ ∆V1 ≡
C2
ε ( 1 − e − t / Re Ce )
C1 C1 C1 + C2

6
∆V1 ( t ≈ ) ≡≡ ×12 ( 1 − e −1 ) →
 1
∆V1 ≡ 8 1 − 
9  e

S3P17) Una plancha de metal de conductividad σ se
dobla hasta formar un cuarto de anillo de
b
radio interno a, radio externo b y espesor t.
a) Pruebe que la resistencia del sector entre
las superficies horizontales es: a σ
4t
R=
σ π (b 2 − a 2 )
90° t
b) Determine la resistencia entre las
superficies verticales curvadas.
c) Determine la resistencia entre las superficies verticales rectas.

SOLUCION:

l 1 t 4t
R≡ρ ≡ × →R≡
a) A σ 1 π b2 − a 2
( )
σπ b 2 − a 2 ( )
4
b)
∆V r r
a J  1 I ← J ≡σE
R≡ , ∆V ≡ − ∫ E.dr ≡ − ∫  dr  ≡ − ∫ dr
I b
σ  σ A( r ) ← I ≡ JA

A( r ) ≡
{ 2π r} t ≡ π tr
4 2
a
2 I a dr 2I b 
σπ t ∫b r π tσ  a 
r b
→ ∆V ≡ − ≡ /n 

2 b 
→R≡ ln  
π tσ  a 

π r 
 
c) l 2  A
dR ≡ ρ ≡
A σ tdr
0 a r b



b 1 b σ 2tdr 2tσ b dr 2tσ  b  1
R −1 ≡ ∫ ≡∫ ≡ ∫ ≡ ln   ≡
a dR a π r π a r π a  R

π
→R≡
b 
2σ tln  
a 


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