Este documento introduce los conceptos básicos de las matrices y su aplicación en el análisis de estructuras. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones y fuerzas y desplazamientos en una estructura. También define conceptos como la matriz de rigidez, flexibilidad y sus propiedades como la simetría. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de la matriz de rigidez de una viga.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA
COMPUTACIÓN APLICADA
ALUMNA:
PAMELA HERRERA
DÉCIMO «B»

2. INTRODUCCIÓN A LA
NOTACIÓN DE
MATRICES

3. Los métodos matriciales son una
herramienta necesaria utilizada en el
método de elementos finitos para los
propósitos de
simplificación de la formulación de las
ecuaciones de rigidez.

4. El propósito es dar solución a los ejercicios
que se efectúan manualmente y, lo más
importante, para su uso en la programación
del método para ordenadores electrónicos
de alta velocidad.

5. La notación matricial representa una
notación simple y fácil de usar para escribir
y resolver conjuntos de simultánea
ecuaciones algebraicas.

6. Matriz.- Se denomina matriz a todo
conjunto de números o expresiones
dispuestos en forma rectangular,
formando filas y columnas.
columnas
filas

7. Cada uno de los números de que consta la
matriz se denomina elemento. Un elemento
se distingue de otro por la posición que
ocupa, es decir, la fila y la columna a la que
pertenece.
elemento

8. El número de filas y columnas de una matriz se
denomina dimensión de una matriz. Así, una
matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la
matriz tiene el mismo número de filas que de
columna, se dice que es de orden: 2, 3, etc.
4 columnas
B= 2 filas

9. El conjunto de matrices de m filas y n
columnas se denota por Amxn o (aij), y un
elemento cualquiera de la misma, que se
encuentra en la fila i y en la columna j, por
aij.
columna
fila s

10. RIDIGEZ
Es la capacidad de un objeto sólido o
elemento estructural para soportar
esfuerzos sin adquirir grandes
deformaciones o desplazamientos.

11. COMPRESIÓN FLEXIÓN
TRACCIÓN

12. CORTE TORSIÓN

13. Ejemplo: Los componentes de fuerza (F1x; F1y; F1z; f2x;
F2y; F2z;. . . ; Fnx; Fny; Fnz) actúan en los distintos nodos
o puntos (1, 2,. . . ; n) en una estructura y su
correspondiente juego de desplazamientos nodales (d1x;
d1y; d1z; d2x; d2y; d2z;. . . ; dnx; dny; dnz) pueden ambos
ser expresados como matrices
F1x d1x
F1y d1y
F1z d1z
f2x ;
F2y d2x
F2z d2y
F = F .
d = d d2z
= . = .
Fnx .
Fny dnx
Fnz dny
dnz

14. Las adherencias a la derecha de F y d identifican
el nodo y la dirección de la fuerza o
desplazamiento, respectivamente. Por ejemplo:
F1X
denota la fuerza en el nodo 1 aplicado en
la dirección x.
3
2
1 4
Z
Y
X

15. Las matrices F y d se denominan matrices de
columna y tienen un tamaño de n 1.
La notación llave se utiliza en todo el texto para
indicar una columna matriz.
F1x d1x
F1y d1y
F1z d1z
f2x ;
F2y d2x
F2z d2y
F = F .
d = d d2z
= . = .
Fnx .
Fny dnx
Fnz dny
dnz

16. Todo el conjunto de valores de fuerza o
desplazamiento en la matriz columna es
representado simplemente por
F d
F1x d1x
F1y d1y
F1z d1z
f2x ;
F2y d2x
F2z d2y
F = .
d = d2z
. .
Fnx .
Fny dnx
Fnz dny
dnz

17. Una notación más compacta para representar una
formación rectangular es el subrayado de la
variable, como F y d denotan matrices generales
(posiblemente matrices columna o rectangulares)
F1x d1x
F1y d1y
F1z d1z
f2x ;
F2y d2x
F2z d2y
F = .
d = d2z
. .
Fnx .
Fny dnx
Fnz dny
dnz

18. El caso más general de una matriz rectangular
conocida se indica mediante el uso de
la notación de corchetes.

19. Para esta instancia la matriz de rigidez de elementos y la matriz
de rigidez global de la estructura se representa por matrices
cuadradas
Coeficiente de
k11 k12 … k1n influencia de
rigidez
k21 k22 … k2n
k = k=
. . … .
kn1 kn2 … knn
K11 K12 … K1n
K = K= K21 K22 … K2n
. . … .
Kn1 Kn2 … Knn

20. COEFICIENTES DE
INFLUENCIA DE RIGIDEZ
Un coeficiente de influencia de rigidez para
una estructura, kij, se define como la fuerza en
un grado de libertad i, resultante de un
desplazamiento unitario impuesto en el grado
de libertad j, mientras que los desplazamientos
de los otros grados de libertad bajo
consideración son cero.

21. Suponiendo que a la estructura se le obliga a tener
una deformación unitaria en el nudo 1 y en el resto de
nudos una deformación =0 se concluye que:
d1=1 F1=K11
d2=0 F2=K21
dn=0 Fn=Kn1

22. La primera columna de la matriz de rigidez
representa las fuerzas necesarias para producir una
deformación unitaria en el nudo 1 sin que se
muevan los otros nudos

26. La Matriz de rigidez global es igual al producto de
la fuerza nodal global y el desplazamiento nodal
global
F= Kd
Ecuación de rigidez global

27. ECUACIÓN DE RIGIDEZ GLOBAL
F= KD
Representa un conjunto de ecuaciones
simultáneas
Es la ecuación básica formulada en el
método de la rigidez o el desplazamiento de
análisis.

28. F= Kd
K11 K12 … K1n
K21 K22 … K2n
K =
. . … .
Kn1 Kn2 … Knn d1x
F1x
d1y
F1y
F d = .
.
=
dnz
Fnz

29. F= Kd
F1x K11 K12 … K1n d1x
F1y K21 K22 … K2n d1y
=
. . . … . .
Fnz Kn1 Kn2 … Knn dnz

30. EJEMPLO DE RIGIDECES

34. La matriz de rigidez, como la matriz de flexibilidad,
es una matriz simétrica; esto es kij=kji. Su simetría
puede ser probada por medio del teorema de
Maxwell - Betti.

35. MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz es simétrica cuando es una matriz
cuadrada (m=n ) y es igual a su traspuesta (aij=aji)

36. NÓTESE QUE LA SIMETRÍA ES RESPECTO A LA
DIAGONAL PRINCIPAL

37. MATRIZ TRASPUESTA

38. MATRIZ DE RIGIDEZ DE
UNA VIGA DE CELOSÍA

39. EN UN SÓLIDO ELÁSTICO, EL TRABAJO REALIZADO POR UN
SISTEMA DE FUERZAS PI AL APLICAR UN SISTEMA DE FUERZAS QJ
ES IGUAL AL TRABAJO REALIZADO POR EL SISTEMA QJ AL APLICAR
PI
La principal consecuencia de este resultado es que los
coeficientes de influencia recíprocos son iguales. En
efecto, supongamos que tanto Pi=Qj=1.
dij=dji
Pi Qj
Aj Ai

40. PRIMER TEOREMA DE
CASTIGLIANO
Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura
linealmente elástica y la energía de deformación U se
expresa como una función de los desplazamientos en los
puntos de aplicación de las cargas y actúa en sus
direcciones, la derivada parcial de U con respecto a uno de
estos desplazamientos δi es igual a la carga (esfuerzo)
correspondiente P . ∂U / ∂δi = Pi

41. SEGUNDO TEOREMA
DE CASTIGLIANO
La derivada parcial de la energía de deformación con
respecto a una fuerza que actúa en un cuerpo es igual al
desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en la
dirección de dicha fuerza.
∂U / ∂Pi =δi

42. La matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad
La matriz de flexibilidad permite identificar la respuesta dinámica
de la estructura

43. FLEXIBILIDAD
Supongamos que tenemos una estructura donde hemos
establecido tres direcciones como las indicadas en la
figura, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor
unitario.

44. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por
vez y observaremos los desplazamientos que se
producen como consecuencia del estado de carga

45. Los desplazamientos originados en cada dirección
los denominaremos flexibilidades y que
indicaremos fij, donde i indica la dirección donde
se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo
produce.

46. La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i
producido por una causa estática unitaria que
actúa en j.

47. Basándonos en la anterior definición de
flexibilidades y aplicando el principio de
superposición, los desplazamientos totales Ui que
se producirán cuando actúan cargas

48. Expresado estas ecuaciones en forma matricial
tenemos:

49. Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que
actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos
que ocurren en las mismas direcciones. Esta relación lineal
se establece a través de matriz F, que es independiente de
las cargas P y sólo depende de la estructura y de las
direcciones elegidas.
La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está
integrada por las flexibilidades fij.

50. BIBLIOGRAFÍA
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html
http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpingtcn&tipo=i
mprimir&titulo=Imprimir%20Art%EDculo&xref=20070822klpingtcn_172.Kes
http://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez
http://es.scribd.com/doc/52024677/89/MATRIZ-DE-FLEXIBILIDAD-DE-UNA-
ESTRUCTURA-F
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
Importante
http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/fuerzas/metodo-matricial-de-la-
rigidez
http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4100685/unidad_1/pdf
/und1.pdf
http://www.ing.unlp.edu.ar/estruc3b/flr.pdf