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Instituto universitario Politecnico
Santiago Mariño- Sede Barcelona
Alumna:
Yoselyn Caripa
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Seccion EV
Tutor:
Prof. Ramón Aray
Las matrices y los determinantes son herramientas del
algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así
como su manejo.
Los Conceptos de matriz y todos los relacionados
fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por
matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur
Cayley y el irlandés William Hamilton.
Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los
que se trabaja con datos regularmente ordenados y
aparecen en situaciones propias de las Ciencias
Sociales , Económicas y Biológicas.
Definición y primeros ejemplos Una matriz es una tabla rectangular
de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la
matriz lleva dos subíndices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el
elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en
la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con
letras mayúsculas.
o Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
• Elemento de una matriz
Cada uno de los números de que consta la matriz se
denomina elemento.
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• Dimensión de una matriz
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• Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
• Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que
de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la
diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los
elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar
particular denominado determinante de A , denotado
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o Ejemplos: El calculo de los determinantes de orden
2 es bien sencillo, por ejemplo:
Para definir determinantes de matrices de orden mayor
que 2 es necesario introducir previamente algunos
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Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el
menor complementario de un elemento de A, aij , como
el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho
elemento aij . Se representa por Mij .
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complementarios de cada uno de los elementos de la
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• Determinante de orden uno
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suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
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determinante esté formada por elementos nulos,
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nulos).
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Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número
posible de elementos nulos y operaremos para que uno de
los elementos de esa línea sea un 1 ó n −1 (operando con
alguna línea paralela ). Dividiendo la línea por uno de sus
elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el
determinante por dicho elemento para que su valor no
varié. Es decir sacamos factor común en una línea de uno
de sus elementos. Tomando como referencia el elemento
base, operaremos de modo que todos los elementos de la
fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. Tomamos
el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un
determinante de orden inferior en una unidad al original.
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los elementos de la diagonal principal..
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• Matriz inversa
• Rango de una matriz nula
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no nula.
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_Actividades.html
• http://joseluislorente.es/2bac/temas/tema8.pdf
• http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
• http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdet
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Matrices y determinantes

  • 1. Republica Bolivarina de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educacion Instituto universitario Politecnico Santiago Mariño- Sede Barcelona Alumna: Yoselyn Caripa 27301077 Seccion EV Tutor: Prof. Ramón Aray
  • 2. Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los Conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.
  • 3. Definición y primeros ejemplos Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo: Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas. o Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
  • 4. • Elemento de una matriz Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. • Dimensión de una matriz El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...
  • 5. • Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. • Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
  • 6. • Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. • Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. • (At)t = A • (A + B)t = At + Bt • (α ·A)t = α· At • (A · B)t = Bt · At
  • 7. • Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. • Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
  • 8.
  • 9. A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A). o Ejemplos: El calculo de los determinantes de orden 2 es bien sencillo, por ejemplo:
  • 10. Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de A, aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento aij . Se representa por Mij . Ejemplo: En la matriz , los menores complementarios de cada uno de los elementos de la primera fila son: • Menor complementario de -2:M11 = • Menor complementario de 4:M12 = • Menor complementario de 5:M13 =
  • 11. • Determinante de orden uno |a 11| = a 11 • Determinante de orden dos • Determinantes de orden tres
  • 12. • Regla de sarrus Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
  • 13. • Menor Complementario Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n−1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. • Adjunto Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es − si i+j es impar. El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes. • Determinante de orden superior a tres Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó n −1 .
  • 14. Seguiremos los siguientes pasos: o Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos). o En caso negativo: Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó n −1 (operando con alguna línea paralela ). Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varié. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
  • 15. • Propiedades determinantes 1 |At|= |A| 2 |A|=0 Si: Posee dos líneas iguales Todos los elementos de una línea son nulos. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. 3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.. 4 Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5 Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7 Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. |A·B| =|A|·|B|
  • 16. • Matriz inversa • Rango de una matriz nula El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
  • 17.
  • 18. • http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes _Actividades.html • http://joseluislorente.es/2bac/temas/tema8.pdf • http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf • http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdet er/MatrDeter.htm • http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes. html

Notas del editor

  1. Agua con oleaje (Básico) Nota: esta plantilla de vídeo está optimizada para Microsoft PowerPoint 2010. En PowerPoint 2007, los elementos de vídeo se reproducirán, pero el contenido que se superponga a las barras de vídeo aparecerá cubierto por el vídeo en el modo de presentación. En PowerPoint 2003, el vídeo no se reproducirá, pero el marco de póster de los vídeos se conservará como imágenes estáticas. Vídeo: Se reproduce automáticamente tras cada transición de diapositiva. Tiene una duración de 15 segundos. Entra en bucle para una reproducción infinita. Para agregar diapositivas o modificar el diseño: Para agregar una nueva diapositiva, en la pestaña Inicio, grupo Diapositivas, haga clic en la flecha bajo Nueva diapositiva y, a continuación, haga clic en Tema de fondo en movimiento para seleccionar el diseño que prefiera. Para cambiar el diseño de una diapositiva existente, en la pestaña Inicio, en el grupo Diapositivas, haga clic en Diseño y, a continuación, seleccione el diseño que prefiera. Otros elementos animados: Los elementos animados que inserte se iniciarán después de la transición de la diapositiva y tras iniciar el vídeo de fondo. Diseños con efectos de vídeo: Los diseños „ (Verde) Título y contenido“ y „ (Púrpura) Título y contenido“ se crean utilizando una superposición de colores en el vídeo. Con el vídeo seleccionado, en Herramientas de vídeo, en la pestaña Formato, en el grupo Ajustar, seleccione Color y elija Verde azulado, Énfasis 6 claro (tercera fila, séptima opción desde la izquierda) o Azul tinta, Énfasis 5 claro (tercera fila, sexta opción desde la izquierda).