Capitulo 5 PERDIDAS DE PRESFUERZO.pptx usf

CAP 5 PERDIDAS DE PREESFUERZO
1.- INTRODUCCION.-
La historia de la construcción informa que la falta de éxito en los
primeros intentos del empleo del hormigón preesforzado, se debió a la
falla en la apreciación de las pérdidas de la fuerza pretensora. Freyssinet
fue uno de los primeros estudiosos de este tema y sus puentes de la
década de los años 40 tuvieron tanto éxito que a partir de aquel evento
la ingeniería comenzó a aceptar que las pérdidas de preesfuerzo,
jugaban un papel preponderante en el diseño del hormigón
preesforzado. Se vió por ejemplo que era posible calcular las pérdidas y
que mediante una selección cuidadosa de los materiales podía
minimizarse sus efectos.
Universidad Mayor Real y Pontificia de San Francisco Xavier de Chuquisaca
Facultad de Ingeniería Civil

En general se puede señalar que las pérdidas de preesfuerzo pueden
agruparse en dos categorías:
1. Pérdidas instantáneas: Impropiamente llamadas de ese modo, son
aquellas que ocurren inmediatamente de ocurrida la transferencia de la
fuerza de pretensado al hormigón, es decir durante la construcción del
miembro.
Para abundar en detalles dentro de esta categoría se pueden
mencionar por ejemplo las pérdidas producidas en el momento de la
transferencia de la fuerza pretensora, de los gatos a los accesorios de
anclaje que sujetan el tendón (caso del hormigón postensado),
existiendo un inevitable deslizamiento cuando se asientan las cuñas. A
este tipo de pérdida se suele llamar deslizamiento del anclaje.
En piezas pretensadas existe también la misma situación, ya que se
emplean grilletes temporales en los apoyos de aplicación del gato
mientras se vacía el hormigón. La pérdida por deslizamiento de
anclajes en vigas pretensadas vaciadas por línea larga puede
considerarse despreciable.

Otra pérdida instantánea se debe al acortamiento elástico del concreto al pasar
a éste la fuerza de preesfuerzo. Este tipo de pérdida ocurre siempre en el
sistema pretensado y en postensado se presenta cuando son más de dos los
tendones que se tesan y cuando el tesado es realizado secuencialmente.
La fricción que ocurre entre el acero de preesfuerzo y su conducto ocasiona otra
pérdida casi inmediata en hormigones postensados.
La suma de todas estas pérdidas consiguen que la fuerza pretensora aplicada al
gato de valor Pj se reduzca a un valor menor Pi.
2. Pérdidas a largo plazo: Resultan ser aquellas que se presentan a través de un
extenso período de tiempo. Se las denomina también pérdidas diferidas y se ha
comprobado que a medida que transcurre el tiempo, la fuerza pretensora Pi se
reduce gradualmente; primero rápidamente y luego más lentamente. Los
factores que inciden en este cambio pueden resumirse a tres:
Contracción del concreto: Debido al acortamiento de longitud creada por el
esfuerzo de compresión sostenido, ligado a la evaporación del agua después del
amasado.
Escurrimiento plástico: Del hormigón debido al mismo efecto anterior y que se
traduce en una reducción del esfuerzo y una deformación del acero.

Relajamiento del acero: El acero experimenta un relajamiento gradual de
esfuerzo al mantenerse bajo una deformación permanente.
Los tres factores mencionados que dependen del tiempo hacen que la
fuerza de pretensado inicial Pi se reduzca gradualmente a una fuerza
efectiva denominada Pe .
Por todo lo expuesto se puede concluir señalando que para el diseñador
resulta secundario conocer el valor de aún cuando deben estimarse
las pérdidas instantáneas, de modo que se pueda definir la fuerza que se
aplicará a los gatos. En realidad lo que interesa conocer es la fuerza
pretensora inicial Pi inmediatamente después de la transferencia y la
fuerza pretensora efectiva Pe después de ocurridas todas las pérdidas.
La relación que existe entre estos dos valores se puede escribir:
Pe= R Pi
Donde:
R =Relación de efectividad.

En general todas las pérdidas dependientes del tiempo, que afectan
tanto a miembros pretensados como a postensados quedan incluidos en
el valor del coeficiente R.
Las pérdidas pueden ser estimadas en diferentes niveles de precisión.
Para la mayoría de los casos de diseño práctico no es necesario un
cálculo detallado, de tal forma que es posible adoptar cantidades
globales razonablemente precisas.
Cuando el diseño de miembros requiera de mayor precisión deben
estimarse las pérdidas por separado, para este objeto deben
considerarse: la geometría de la sección, las propiedades de los
materiales, así como la metodología empleada en la construcción.
3. DEFINICION DE PÉRDIDAS.
En general se puede definir a las pérdidas de preesfuerzo como a “las
disminuciones que sufre una determinada fuerza pretensora debido a una
serie de factores que involucran a: la geometría del miembro, propiedades
de los materiales, forma de ejecución de la pieza, etc”. Dichas pérdidas
podrán producirse casi inmediatamente o a través del tiempo. La omisión de
las pérdidas puede traer fatales consecuencias.

4. ESTIMACIONES GLOBALES DE LAS PÉRDIDAS.
El ACI del año 58 recomendó el uso de expresiones aproximadas para la
estimación de las pérdidas en los casos corrientes, tanto para miembros
pretensados como para postensados. Estos valores incluyen pérdidas debidas a
acortamiento elástico, contracción y escurrimiento plástico del hormigón, así
como relajamiento del acero, sin embargo excluyen las pérdidas debidas a
fricción y deslizamiento del anclaje.
Los valores mencionados pueden observarse en la Tabla 5.1
Tabla 5.1
ESTIMACION DE PERDIDAS SEGUN ELACI
FORMA DE EJECUCION PERDIDA TOTAL DE
ESFUERZO
Pretensado 35000 Lbrs/pulg2
Postensado 25000 Lbrs/pulg2

Se insiste en que las pérdidas totales de la Tabla 5.1 engloban a las señaladas en
el párrafo anterior a la Tabla.
Las pérdidas debidas a fricción tienen aplicación solamente para miembros
postensados, debiendo ser calculados por separado mediante el empleo de
expresiones que serán analizadas en el inciso correspondiente.
Lo señalado hasta aquí ha sido utilizado en infinidad de estructuras con
resultados satisfactorios, por lo que se podría asegurar que las bases de cálculo
tienen un
sólido fundamento.
La AASCHTO en una determinada época adoptó estos mismos valores para el
diseño de puentes carreteros, habiéndose construido muchos puentes que
actualmente se encuentran en servicio.
Sin embargo en la especificación del año 1975 la propia AASCHTO introdujo
algunas modificaciones que son mostradas en la Tabla 5.2

Tabla 5.2
PÉRDIDAS TOTALES SEGUN AASHTO 75
Nota: En la Tabla no se incluyen pérdidas por fricción
La Tabla 5.2 sirve para resistencias de 4000 a 5000 Lbrs/pulg2, sin embargo
los valores de pérdidas totales pueden emplearse en miembros con
resistencias de hormigón ± 500 Lbrs con lo que los valores de resistencia
tope pueden tomarse entre 3500 y 5500 Lbrs/pulg2

5. UNA APROXIMACION DETALLADA DE LAS PÉRDIDAS DE
PREESFUERZO.-
Se ha señalado que para los casos en los cuales no resultan adecuadas las
estimaciones globales de pérdidas, como las descritas en el inciso anterior,
es necesario estimar cada una de las pérdidas en forma separada. Para este
efecto se puede emplear información supuesta o mediante datos
recopilados de obras similares. Cualquiera que sea el método seguido, a1
final del cálculo, para tener el total, se debe sumar cada una de estas
pérdidas.
Como se podrá comprender el cálculo de pérdidas de preesfuerzo debidas
a los diferentes factores resulta complicado debido a la velocidad con la que
cada una de ellas se desarrolla y que afecta a su vez a la realización de la
otra. Así por ejemplo:
El relajamiento en el acero es afectada por los cambios de longitud que se
deben al escurrimiento plástico del hormigón. La velocidad de este
escurrimiento a su vez es afectado por el cambio de esfuerzo en el tendón.

Seguidamente se tratarán los seis tipos de pérdidas de modo que se
tenga la base teórica para calcular cada una de ellas.
6. DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE.
Cuando se transfiere la fuerza pretensora del gato de preesfuerzo a los
anclajes del hormigón del miembro como es el caso del postensado,
inevitablemente existirá una pequeña cantidad de deslizamiento
después de la transferencia. Este deslizamiento será realizado en la
medida como se acomodan las cuñas dentro de los tendones o en
la medida en que se deforma el dispositivo de anclaje.
En hormigón pretensado ocurre una situación similar cuando la
fuerza se transfiere de los gatos a los anclajes permanentes de la cama de
colado a través de las calzas alrededor de los cables.
Cualquiera que sea el método de preesfuerzo, la pérdida por
deslizamiento de anclajes se puede compensar por medio de un
sobreesfuerzo si es que fuera conocida su magnitud.

La magnitud del deslizamiento del anclaje depende sobretodo de dos factores:
• Sistema empleado en el preesfuerzo y
• Dispositivo de anclaje.
En el mercado de la construcción existe una gran variedad de anclajes que
evitan que se pueda generalizar algún valor. Lo más aconsejable es confiar en
la información que proporciona el fabricante o mejor aún, recurrir a pruebas de
laboratorio. Esta última alternativa en nuestro medio queda totalmente
restringida debido a la carencia de laboratorios que efectúen estos ensayos.
Cuando se conoce la característica del deslizamiento del dispositivo de anclaje
especificado, la pérdida por este concepto es posible calcular por medio de la
siguiente expresión:
donde:
∆fanc= Pérdida por deslizamiento del anclaje.
∆l = Magnitud del deslizamiento.
l = Longitud del tendón.
Ep = Módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo.

La anterior ecuación supone que el deslizamiento se encuentra
uniformemente distribuido en la longitud del tendón. Esta suposición es
válida tanto para pretensado como para postensado. Sin embargo debe
también señalarse que las pérdidas por deslizamiento pueden concentrarse
en los extremos En caso de que las pérdidas por fricción resulten altas, lo
que se da cuando los ductos que albergan a los tendones tienen excesivas
deformaciones.
En general se dirá que la importancia de las pérdidas por deslizamiento
de anclaje depende de la longitud del miembro. Para hormigones
postensados con tendones muy cortos los anclajes producen elevadas
pérdidas, en cambio para tendones largos postensados las pérdidas son
insignificantes. En el caso de hormigones pretensados sucede una
situación similar dependiendo de la magnitud de la cama de colado.
7. ACORTAMIENTO ELASTICO DEL HORMIGON.-
En el momento en que se transfiere la fuerza pretensora al miembro, se
producirá un acortamiento elástico del hormigón a medida que éste se
comprime.

Para hormigones postensados en los que se tensan todos los tendones
simultáneamente, la deformación elástica del hormigón se produce cuando se
aplica la fuerza en el preesfuerzo existiendo una compensación prácticamente
automática del acortamiento elástico, no existiendo necesidad de calcular
nada. Sin embargo cuando se tengan varios tendones tensados
consecutivamente es imprescindible la realización de cálculos que
cuantifiquen estas pérdidas.
En el caso de hormigones pretensados en los que el acero se encuentra
embebido en el hormigón y por lo tanto adherido a él en el momento de la
transferencia, se considera que la deformación del acero es la misma que la
deformación por compresión en el hormigón en el nivel del centroide del
acero. Este dato es el que sirve para calcular las pérdidas por acortamiento
elástico.
Si se obtiene el esfuerzo de compresión fcs en el hormigón al nivel del
centroide del acero en el momento en el que actúa el preesfuerzo
excéntrico y e1 peso propio del miembro, inmediatamente después de
la transferencia resulta que:

donde:
Pi = Fuerza pretensora inicial.
Ac= Área de la sección del hormigón.
Mo=Momento debido a peso propio
e = Excentricidad del centroide del acero con relación al centroíde
del hormigón.
r = Radio de giro de la sección de hormigón.
Ic = Momento de inercia de la sección de hormigón

Si la relación de módulos de elasticidad es:
np= Ep/Ec la pérdida de esfuerzo ∆fae en el tendón por acortamiento elástico
del hormigón esta dado por:
∆𝑓𝑎𝑒 = 𝑛𝑝𝑓𝑐𝑠
Para el cálculo de np es necesario emplear el Módulo de elasticidad del
concreto Ec en el momento del tensado.
La fuerza pretensora Pi que debe tomarse en cuenta en la ecuación de fcs
corresponde a aquella fuerza que actúa después de que han ocurrido las
pérdidas que se van a calcular. Generalmente se suele estimar Pi, con un valor
más o menos 10 % del valor de Pj . Más adelante puede refinarse esta
aproximación, aunque no se justifica tal refinamiento.

Con el objeto de aclarar algo más sobre las pérdidas por acortamiento
elástico se dirá que: en miembros pretensados si bien la pérdida varía a lo
largo de la luz, generalmente resulta suficiente calcular éstas en la sección
de máximo momento. En cambio en miembros postensados, cuando todos
los tendones se tesan a la vez no se debe tomar en cuenta las pérdidas por
acortamiento elástico, sin embargo cuando se tesan los tendones en
secuencia deben calcularse las pérdidas.
Lo que ocurre es lo siguiente: el primer tendón que se tese sufrirá pérdida
de esfuerzo cuando se tese el segundo, ambos tendones sufrirán pérdida
cuando se tese el tercero y así sucesivamente hasta el último tendón para el
que no existirá pérdidas. El procedimiento que puede seguirse es calcular la
pérdida por cada tendón empezando por el último, sin embargo el trabajo
es tedioso, sobretodo cuando existen varios tendones y se complica aún
más cuando no se sabe en que momento actúa el peso propio del miembro.
Un valor práctico que se suele adoptar es tomar la mitad del valor obtenido
con el empleo de las ecuaciones de fcs y ∆fae

8. PERDIDAS POR FRICCION.-
Cuando se van a tesar miembros postensados generalmente los tendones
son anclados en un extremo y mediante gatos se estiran desde el otro
extremo. E1 acero de preesfuerzo se desliza por su ducto empezando a
desarrollarse una resistencia por fricción que hace que la tensión en el
extremo anclado sea inferior al del extremo donde actúa e1 gato. En
general se señala que existen dos tipos de fricción, una debida a una
fricción natural que tienen los cables con los ductos y otra debida a la
forma geométrica de los cables en la viga.
Por estas razones se puede señalar que la pérdida total por fricción es la
suma de dos componentes y cada una de ellas deberá ser considerada en
forma separada y al final se tendrá que combinarlas:
Fricción debida a la deformación no intencional que ocurre en el ducto.
Debe notarse que la pérdida debida a la deformación del ducto será
necesario considerarla inclusive para tendones rectos con excentricidad
constante, ya que en la práctica el ducto no es perfectamente recto.
Normalmente éste tipo de pérdida depende de la clase de ducto, del tipo
de tendón que será empleado y de los cuidados que se adopten durante la
construcción.

Si llamamos dP a la pérdida diferencial de esfuerzo debida a la fricción
por deformación no intencional en el ducto y ella se produce a una
distancia diferencial dx del tendón, se podrá escribir la siguiente
ecuación:
dP=KPdx (5.1)
donde:
K = Coeficiente de fricción por deformación no intencional del
ducto
P = Fuerza pretensora en función de x
La anterior ecuación puede expresarse en libras de pérdida por cada
libra de fuerza pretensora y por pie de ducto.

Fricción debida a la curvatura intencional que adopta el tendón dentro del
miembro.
Para el cálculo de las pérdidas debidas a curvatura intencional del tendón se
recurrirá al Gráfico 5.1, donde se muestra un tendón curvo dentro de una
viga, a la que se somete a una fuerza pretensora en el extremo del gato
igual a Ps .
Si tomamos una distancia L1 del extremo la fuerza pretensora reducida a esa
distancia será Px.
En la práctica para el cálculo de las pérdidas por fricción la curva real del
tendón puede remplazarse por un arco de circunferencia, tal como se
muestra en el Gráfico 5.1.

gráfico 5.1
PERDIDA DE PREESFUERZO DEBIDAA CURVATURA INTENCIONAL DEL TENDON

La pequeña longitud definida por el cambio angular dα resulta ser la
pérdida de fuerza dP. Siendo P la fuerza pretensora en el punto
considerado, es posible representar el polígono de equilibrio de
fuerzas que actúan en el pequeño segmento y que indica que la
componente normal de la fuerza al tendón está dada por Pdα.
Si al igual que en el caso anterior se adopta un coeficiente por
fricción entre el tendón y el ducto μ, la pérdida diferencial de
esfuerzo dP debida a la curvatura será:
dP= μPdα (5.2)
Ambos valores K y μ se muestran en la Tabla 5.3 y tanto el ACI como
el PCI recomiendan la utilización de valores como los mostrados.

COEFICIENTES DE FRICCION PARA TENDONES POSTENSADOS
Si se combinan las ecuaciones (5.1) y (5.2) se puede tener las pérdidas totales
por fricción tomando en cuenta los efectos de deformación no intencional y
curvatura intencional del ducto en una longitud diferencial, es decir:
dP=KPdx+ μPdα
Sacando factores comunes del segundo miembro se tiene:
dP=P (Kdx+ μdα)

La relación dp/P expresa la pérdida por fricción en el punto que se considera y
si se efectúa una integración dentro de los límites correspondientes se tiene:
Resolviendo:
La relación entre Ps, en el gato y Px a una distancia l del extremo donde actúa
el gato permite escribir:
En esta expresión e es la base de los logaritmos naturales.
Considerando que las pérdidas por fricción son pequeñas, resulta adecuado
calcular ellas en función de Px a la distancia l . De este modo:

Despejando Ps y agrupando términos:
ps=px (1+kl+μα) (5.4)
Para el Código ACI la aproximación obtenida es válida sí : (Kl+ μα ) ≤0.30
Los valores de (5.3) y (5.4) pueden expresarse como pérdida de esfuerzo, en
lugar de pérdida de fuerza, es decir si tomamos la ecuación (5.3)
Con lo que la pérdida por fricción será:
Si dividimos entre Ap (área del tendón de preesfuerzo ) se encuentra la
pérdida de esfuerzo por fricción.

fs en la expresión anterior es el esfuerzo en el gato.
Si tomamos ahora la ecuación (5.4), podemos encontrar que:
Que es aproximadamente igual a:
O expresado como esfuerzo:
En el caso de que se tengan miembros con perfiles en los que existen
segmentos rectos y curvos, las pérdidas por fricción se calculan
progresivamente a partir del extremo del gato. En cada segmento la fuerza
más próxima al gato equivale a Ps que es igual a la fuerza reducida Px
obtenida para el extremo del segmento anterior.
No se debe dejar de mencionar que el problema geométrico corriente en el
cálculo de las pérdidas por fricción se debe a la búsqueda de un arco de
circunferencia que pase por tres puntos no conocidos ( dos puntos en los
extremos y un punto en el centro de la luz ), esto se resuelve adoptando las
siguientes consideraciones (ver Gráfico 5.2)
∆ffr=fs (Kl+μα)

Gráfico 5.2
CALCULO APROXIMADO DELANGULO CENTRAL DE UN TENDON DE
PREESFUERZO
La curva normalmente es suave y en vista de esto es posible calcular el ángulo
central tomando:

donde:
α= Angulo central del tendón
m = Distancia aproximada igual al doble de la flecha y
x = Distancia horizontal entre los puntos extremos
Para ángulos pequeños la tangente es igual al ángulo en radianes, luego:
α/2=4y/x medido en radianes
9. ESCURRIMIENTO PLASTICO DEL HORMIGON.-
Debido a que el hormigón se encuentra sometido a una fuerza permanente
de compresión, existe al principio una deformación elástica, posteriormente
la pieza continuará deformándose durante un período adicional de tiempo, a
este fenómeno se conoce con el nombre de escurrimiento plástico del
concreto. El coeficiente de escurrimiento plástico último fue definido en el
Capítulo 2 del texto (ver inciso 11.b) como la relación:

donde:
Cep= Coeficiente de escurrimiento plástico último
εac= Deformación adicional del concreto
εie= Deformación inicial elástica
En la práctica se ha visto que los valores de se encuentran entre 2 y 4.
Cuando no se dispone de información precisa es posible utilizar un valor
promedio de 2.35.
Las pérdidas por escurrimiento plástico en hormigón preesforzado resultan
importantes debido a que el esfuerzo de compresión a nivel del acero es
permanente.
Por otro lado considerando que existe interdependencia entre las pérdidas
debidas al tiempo, la fuerza de compresión que ocasiona el escurrimiento
plástico del hormigón no es constante, sino que disminuye con el tiempo,
debido a otros factores como: contracción del hormigón, relajamiento del
acero, cambios en la longitud del miembro, etc. Todo este panorama podría
motivar a que el cálculo de pérdidas dependientes del tiempo debería
realizarse mediante pasos sucesivos.
Cep

El PCI suele emplear cuatro intervalos de tiempo para el cálculo del escurrimiento.
El cálculo se basa en tomar el esfuerzo del concreto en el nivel del centroide del acero en
el momento en el que actúan la fuerza pretensora excéntrica y todas las cargas
sostenidas, pudiéndose emplear la ecuación:
Todos los valores de esta ecuación son conocidos y la única condición que se da es que
el valor de Mo debe englobar a todas las cargas muertas e inclusive a la fracción de carga
viva que se considere permanente.
Un cálculo aproximado de éstas pérdidas que toma en cuenta la reducción gradual de la
fuerza pretensora cuando se producen: escurrimiento plástico, relajamiento y contracción
señala que en lugar de Pi debe emplearse 0.90Pi.
Para el caso de piezas prefabricadas que recibirán posteriormente una cubierta de
hormigón como es el caso de losas vaciadas in situ, el cálculo de esfuerzos en el concreto
requiere el empleo de la sección compuesta ( momento de inercia, etc).

Finalmente, una vez encontrado fcs la pérdida de esfuerzo en el acero que se
encuentra ligada al escurrimiento plástico del hormigón se puede encontrar
mediante:
donde:
n = EP / Ec
Las pérdidas por escurrimiento plástico generalmente son calculadas en las
secciones de momento máximo.
Para piezas de hormigón postensado sin adherencia, la reducción en el
esfuerzo del acero será uniforme a lo largo de toda la longitud del tendón.
En este caso particular es posible emplear un valor promedio entre anclajes

10. CONTRACCION DEL HORMIGON.-
En el inciso 11.a) del Capítulo 2 del texto se mencionó que la contracción del
concreto se debe al secado de los materiales que lo conforman después de su
amasado.
Esta contracción provoca una reducción en la deformación del acero que es
igual a la deformación por contracción del hormigón.
Los valores de las deformaciones últimas del hormigón ocasionadas por el
secado oscilan entre 500x10-6 a 1000x10-6. Estos valores como se conoce
dependen de la forma de curado, por ejemplo un valor que puede emplearse
para hormigones curados con humedad, cuando no se tienen datos
específicos es 800x10-6 y para hormigones curados con vapor puede tomarse
730x10-6
La velocidad de variación de la contracción para los casos de curados con
humedady vapor puede obtenerse de las siguientes ecuaciones:
Para hormigones curados con humedad:

Donde:
εc = Deformación debida a la contracción
t = Tiempo en días
εs= Valor de deformación patrón puede tomarse 800x10-6
Para hormigones curados con vapor puede utilizarse la ecuación:
En esta ecuación εs= 730x10-6
Cuando las condiciones de humedad sean diferentes a las estándar se
pueden realizar las siguientes correcciones:
Para 40 < H< 80 % Fcc = 1.40-0.010H
Para 80 < H ≤ 100 % Fcc = 3.00-0.030H
Donde:
H = Humedad relativa
Fcc= Factor de corrección por contracción

Para hormigones pretensados la transferencia de la fuerza pretensora al
miembro generalmente se realiza después de 24 horas después del
vaciado, por lo que la contracción ocurre posteriormente a este tiempo.
En cambio en miembros postensados muy rara vez se esfuerzan antes de los
siete días. Por experimentación se obtiene que a los siete días es probable
que haya ocurrido una contracción del 10 al 15 %. A los 28 días se tendrá
una contracción del orden del 35 al 40 %.
Para efectuar el cálculo de pérdidas por contracción debe señalarse que la
contracción que ocurre en un intervalo de tiempo resulta ser la diferencia
entre las contracciones al inicio y al final del intervalo.
Definida la deformación por contracción es posible encontrar la pérdida de
esfuerzo en el acero empleando la siguiente ecuación:
Δfch=Ep εc
donde:
εc = Es la deformación por contracción en el intervalo considerado

11. RELAJAMIENTO DEL ACERO.-
En el inciso 6 del Capítulo 2 del texto se mencionó el hecho de que los
tendones de acero se encuentran esforzados permanentemente durante la
vida útil del miembro debiendo su longitud ser constante. Si bien existe un
acortamiento de la longitud de la pieza debido a la contracción y
escurrimiento plástico del hormigón. Por otro lado existirá una reducción
gradual del esfuerzo en el acero debido a un relajamiento propio del material,
aún cuando la longitud se mantenga casi constante.
La magnitud del relajamiento del acero depende de varios factores entre los
que se mencionan:
• Tipo de acero empleado
• Intensidad del esfuerzo en el acero
• Tiempo de ocurrencia de la solicitación
Para un acero relevado de esfuerzos la relación que existe entre el esfuerzo
reducido fp y el esfuerzo inicial fpi puede escribirse mediante la siguiente
ecuación:

donde:
fpy= Esfuerzo efectivo de fluencia
t = Tiempo en horas después del tesado
El log t es en base 10 y la relación fpi/ fpy debe ser mayor que 0.55
Con lo que la pérdida de esfuerzo por relajamiento del acero puede escribirse:
Si el método de cálculo de las pérdidas es por el de pasos sucesivos, el
incremento de pérdida por relajamiento en cualquier intervalo de tiempo está
dado por:
donde:
tn = Tiempo al final del intervalo
tr = Tiempo al inicio del intervalo

La ecuación anterior es también válida para hormigones pretensados, en
cuyo caso es importante conocer las pérdidas por relajamiento que ocurren
antes de que se vacíe el hormigón. En general las pérdidas por relajamiento
disminuirán por los efectos de contracción y escurrimiento plástico del
hormigón que reducen la intensidad del esfuerzo en el acero. Por este
motivo es posible reemplazar en las ecuaciones anteriores el valor 0.90fpi en
lugar de fpi.
Finalmente se dirá que la tecnología moderna se encuentra abocada a la
fabricación de aceros especiales con un bajo relajamiento. Estos aceros
permiten que los valores señalados en las ecuaciones correspondientes sean
reducidos a una cuarta parte.

12. EJEMPLO DE APLICACIÓN.-
Una viga en T de hormigón postensado tendrá 12 cables de ½”de
diámetro de Grado 270 que serán colocados dentro de un solo ducto. La
tensión en el gato se ha estimado en 300 Klbrs aplicada en forma
simultánea en todos los cables. El tiempo de transferencia que ha sido
establecido en especificaciones señala 28 días. El tesado se realizará
solamente desde un extremo y se ha previsto que el anclaje pueda tener
un deslizamiento de 0.10 pulg.
Se solicita determinar cada una de las pérdidas de preesfuerzo en forma
separada al cabo de 5 años debiéndose tomar al peso propio como carga
permanente. Para el cálculo solicitado se tomará en cuenta todo lo
señalado en el presente Capítulo la geometría de la sección es la
siguiente:

EJEMPLO DE APLICACION
La viga mostrada en la figura 6.3 debe de postensarse usando 12 cables
de 1/2 pulg. de diámetro, grado 270 en un único dueto flexible. La
tensión total del gato de 300 kilolibras (1334 kN) se aplicará
simultáneamente a todos los cables, cuando el concreto tiene 28 días. El
tensado sólo se hará desde un extremo, y se ha previsto mediante pruebas
que en el anclaje puede existir un deslizamiento de 0.10 pulg. (2.54 mm).
Los demás datos de diseño son:
𝐴𝑝= 12 x 0.153 = 1.836 𝑝𝑢𝑙𝑔.2
(1185𝑚𝑚2
)
𝐴𝑐= 524 𝑝𝑢𝑙𝑔.2 (33S x 103 mm.2)
𝐼𝑐= 22,040 pulg4 (9.17 a 199 mrn4)
𝑟2 = 42.06 𝑝𝑢𝑙𝑔.2 (27.1 a 103 mm2)
𝑊
𝑜= 546 Lb/pie (7.97 KN/m)
𝐸𝑐=4,000,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
(27.6 x 103 KN/mm2)
𝐸𝑝=27,000.000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
(186 a 103 kN/mm2)
𝑓𝑐= 5000 Lb/pulg2 (34 kN/mm2 )
𝐶𝑒𝑝=2.35

FIGURA 6.3 Viga para el ejemplo del
calculo de pérdidas del artículo 6.10
(a) (b) Sección transversal.
Hallar las contribuciones por separado de las pérdidas de la fuerza
pretensora al final de un período de 5 arios, durante el cual se pueden
roncarías cargas sostenidas como el peso propio de la viga.
La estimación de la pérdida de presfuerzoo se basará en la
consideración de cada una de las contribuciones a la pérdida total por
separado, tal corno se describió en los artículos 6.4 a 6.9. La
interdependencia de las pérdidas de flujo plástico, contracción y
relajamiento, se tomará en cuenta de manera aproximada mediante un
ajuste por el cual se disminuye la fuerza para la cual se calculan las
pérdidas.

(A) Pérdidas por deslizamiento en el anclaje
De la ecuación (6.1), con el deslizamiento estimado de 0.10 pulg.
∆𝑓𝑎𝑛𝑐 =
∆𝐿
𝐿
∗ 𝐸𝑝 =
0.10
50 𝑥 12
𝑥 27 𝑥 106
= 4500 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
(31𝑁/𝑚𝑚2
)
(B) Pérdidas por acortamiento elástico
Con los 12 cables tensadas simultineamente con un solo gato, el
acortamiento elástico del concreto ocurrirá durante la operación del
tensado, y se compensará totalmente mediante una extensión adicional del
gato, corno consecuencia de esto, la perdida por acortamiento.
∆𝑓𝑒𝑙 = 𝑛 ∗ 𝑓𝑐𝑠 = 0
(C) Perdida por fricción
Para el calculo de las pérdidas por fricción, el perfil parabólico del tendón
real se aproximara mediante, rae un arco circular. De la ecuación (6.8). El
angulo central para el arco circular en más o menos igual a

∝=
8 𝑥 12.23
50 𝑥 12
= 0.163 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛
Consultando la tabla 6.2 para los valores del coeficiente de fricción por
deformación no intencional del ducto y del coeficiente de fricción por curvatura
para el cable de 7 alambres dentro de un ducto flexible, se seleccionan valores
representativos de K = 0.0010 y 𝜇= 0.20. El parámetro.
(Kl + 𝜇 ∝) = (00010 x 50 + 0,20 x 0.163)= 0.0826
es bastante menor que 0.30, lo cual indica que se puede usar la ecuación
aproximada (6.7) para calcular las pérdidas por fricción. El esfuerzo en el acero
del tendón en el extremo del gato en este estado es igual a la tensión en el
gato menos la pérdida por deslizamiento en el anclaje. Con 𝑓𝑝𝑗 =300,000/1.836
= 163,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
, el esfuerzo en el gato es:
𝑓𝑠 = 163.000 — 4500 = 158,500 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
y; de la ecuación (6.7),
∆ffr, =𝑓𝑠 ∗ 𝐾 ∗ 𝑙 + 𝜇 ∗ 𝛼 = 158,500 x 0.0826
= 13,100 Lb/pulg.2(90 N/mm2)

Esto genera un esfuerzo inicial en el acero, después de ocurridas todas las
perdidas instantáneas, pero antes de ocurridas las pérdidas dependientes
del tiempo de:
𝑓𝑝𝑖= fpj — ∆fanc — ∆fel — ∆ffr
𝑓𝑝𝑖=163.000 —4500 --0— 13.100
𝑓𝑝𝑖= 145,400 Lb/pulg.2 (1003 N/mm2)
el cual corresponde a una fuerza pretensora inicial de
𝑃𝑖 = 145,400 x 1.836 x
1
1000
𝑃𝑖= 267 kilolibras ( 1188 kN)
(C) (D) Pérdida por flujo plástico
La pérdida de tensión por flujo plástico del concreto se calculará para la
sección de máximo momento en el centro del claro, para la condición de
presfuerzo mas peso propio. Con el objeto de tomar en Cuenta de rnanera
aproximada, la reducción gradual de la fuerza pretensora debida al flujo
plástico, a la contracción, y at relajamiento, a medida en que ocurre el flujo
plástico, la fuerza pretensora a usarse en los cálculos se reducirá a 0.90 Pi o
240 kilolibras. El máximo momento producido por el peso de la viga es:

𝑀𝑜 =
1
8
𝑥 546 𝑥502 = 171,000
𝑙𝑏
𝑝𝑖𝑒
y, de la ecuación (6.2), 51 esfuerzo en el concreto al nivel del centroide del
acero es:
𝑓𝑐𝑠 = −
240,000
524
1 +
12.232
42.06
+
171,000 𝑥 12 𝑥 12.23
22,040
= −948 𝐿𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
Entonces, de la ecuación (6.9), con 𝑛𝑝 = 𝐸𝑝/𝐸𝑐= 6.75, la pérdida de esfuerzo en
el acero proveniente del flujo plástico del concreto es
∆fcr, = Cep*n*fcs=2.35 x 6.75 x 948
= 15,000 Lb/pulg.2(103 N/mm.2)
(E) pérdida por contracción
E calculo de la pérdida por contracción se basará en una deformación última
de contracción supuesta para el concreto de 800 x 10−6
la magnitud de la
contracción que afecta al esfuerzo en el tendón es aquella que ocurre después
de tensar y anclar el acero al concreto de 28 días.

De la figura 2.15, puede notarse que, para concretos curados con humedad,
puede preveerse que ocurrirá el 44 por ciento de la contracción última
antes de aquel tiempo. En consecuencia, la con tracción remanente es 800
x 10−6 x 0.56 = 448 x 10−6, y de la ecuación (6.10) la pérdida en el esfuerzo
del acero asociada con esta reducción de deformación es:
∆fsh, = Ep*𝜀𝑠=27 x 106 𝑥 448 𝑥10−6=12,100 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (83 𝑁/𝑚𝑚2)
(F) Pérdida por relajamiento
La reducción gradual de esfuerzo en el acero proveniente de los efectos
combinados del flujo plástico, la contracción, el relajamiento se tomará en
cuenta en la determinación de las pérdidas por relajamiento usando un
valor reducido de fuerza pretensora de 0.90 𝑃𝑖 en los cálculos. El esfuerzo
correspondiente en el acero es 0.9 x 145.000 = 131.000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Haciendo
referencia a la figura 2.4 vemos que el esfuerzo efectivo de fluencia para
cables del grado 270 es 𝑓𝑝𝑦 =230,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
• Entonces, de la ecuación
(6.11), a los 5 años o 44,000 horas. La perdida de esfuerzo en el acero
debida al relajamiento se estima ser

∆frel = 𝑓𝑝𝑖 ∗
log 𝑡
10
∗
𝑓𝑝𝑖
𝑓𝑝𝑦
− 0,55 =131,000 x
4.64
10
131
230
− 0.55
∆frel =1200 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 ∗ (8 𝑁/𝑚𝑚2)
(D) Resumen y comparación con las estimaciones de las pérdidas totales
Las pérdidas de presfuerzo debidas a todas las causas se sintetizan en la tabla 6.3.
El esfuerzo inicial en el gasto 𝑓𝑝𝑗 de 163,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
se reduce debido a las
pérdidas instantáneas por deslizamiento, acortamiento, y fricción, a un pres. fuerzo
inicial f pi de 145,400 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Después de un período de 5 años desde la
transferencia, aquella tensión inicial se reduce aún más por los efectos del flujo
plástico, la contracción, y el relajamiento hasta un presfuerzo efectivo fpe de
117,100 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Las pérdidas también se expresan como un porcentaje del esfuerzo inicial f pi , en
la tabla 6.3. Puede verse que las pérdidas instantáneas totalizan 12 por ciento, en
tanto que las pérdidas dependientes del tiempo son el 19 por ciento de f pi La
relación de efectividad R de la viga es 117,100/145,400 = 0.81.

Es interesante comparar los resultados de los cálculos con las estimaciones
de las pérdidas totales basadas en las recomendaciones del ACI y la
AASHTO. Para la suma total de pérdidas, incluyendo aquellas debidas al
acortanmiento elástico, al flujo plástico, a la contracción y al relajamiento,
para vigas postensadas, los Comentarios al Código ACI dan un valor de
25,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
, en tanto que la suma total de pérdidas de la AASHTO de
la tabla 6.1 da 33,000 Lb/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Para los cálculos recién terminados, la cifra
correspondiente es 28,300 300 Lb/pulg2.
Puede concluirse que. por lo menos para el caso preseje, el uso de
cualquiera de las sumas totales sería satisfactorio.

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