Hormigon pretensado tema_5._perdidas_de

HORMIGÓN PRETENSADO
Tema 5. Pérdidas de la fuerza de pretensado
135
TEMA
5
PÉRDIDAS DE LA
FUERZA DE
PRETENSADO
Fuerza de pretensado
Pérdidas de fuerza en piezas
con armaduras postesas
Pérdidas de fuerza en piezas
con armaduras pretesas
5.1.
FUERZA DE PRETENSADO
5.1.1. Limitación de la fuerza
Según la Instrucción EHE, la tensión 0pσ producida por la fuerza de
tesado 0P sobre las armaduras activas no debe ser superior en ningún
punto al menor de los dos valores siguientes:
pkkmaxp f90,0f75,0 ′
Siendo:
kmaxpf Carga unitaria máxima característica.
pkf Límite elástico característico.

Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
Escuela de la Edificación
136
El objeto de las limitaciones anteriores es reducir diversos riesgos
constructivos, que dependen de las precauciones tomadas durante la
ejecución y del control que de ésta se realice.
La primera condición tiene por objeto reducir el riesgo de rotura de los
tendones al tesar. Cuando la sustitución de un tendón roto resulte muy
compleja o costosa, se debe imponer una limitación más conservadora.
La segunda condición tiene por objeto reducir el riesgo de introducir
deformaciones plásticas en el acero.
Además, con las dos limitaciones anteriores, se disminuye la
concentración de tensiones producida en el hormigón debido al anclaje
de las armaduras.
Independientemente de los riesgos anteriores, la incertidumbre sobre la
relajación de las armaduras aumenta con el valor de la carga de tesado.
De forma temporal, esta tensión puede aumentarse hasta el menor de
los valores siguientes:
pkkmaxp f90,0;f85,0
siempre que, inmediatamente después de anclar las armaduras en el
hormigón, se produzca una reducción de la tensión de modo que se
cumpla la limitación del párrafo anterior.
Las limitaciones establecidas en otros países de nuestro entorno son
más conservadoras que las establecidas en la Instrucción EHE. En el
texto de F. Sánchez Amillategui y C. González Pericot reseñado al final
del capítulo se ofrece información al respecto.
5.1.2. Novedades de la
Instrucción EHE
La principal modificación que ha realizado la Instrucción EHE en el
cálculo de las pérdidas de pretensado es el tratamiento por separado
que se hace entre piezas con armaduras pretesas y piezas con
armaduras postesas. El motivo se debe a que los procesos de
fabricación son diferentes y se deben tenerse en cuenta los efectos del
posible curado al vapor en las piezas pretensadas.

137
En el cálculo de las pérdidas instantáneas no se producen variaciones
relevantes, a excepción de los valores de los coeficientes de
rozamiento, que se proporcionan también para tendones de pretensado
exterior y para cordones engrasados típicos del pretensado no
adherente para forjados. Las pérdidas diferidas sí sufren un cambio en
su formulación, englobando todas ellas en una única expresión, de
modo que se tiene en cuenta la interacción entre fluencia, retracción y
relajación. Esta fórmula, obtenida mediante el método del coeficiente de
envejecimiento, es más realista que las precedentes y conduce a
pérdidas ligeramente inferiores.
En el caso de piezas pretensadas, el cálculo de las pérdidas por
relajación hasta la transferencia y de relajación adicional de la armadura
debido al proceso de calefacción son difíciles de obtener, ya que no
siempre se dispone de información suficiente. Por ello, en los
comentarios se indica que, a falta de información más precisa, estas
pérdidas pueden evaluarse de forma aproximada como la relajación a
las 106
horas o temperatura ambiente. Esto equivale a que las pérdidas
por relajación totales son el doble de las pérdidas a largo plazo por
relajación a temperatura ambiente.
5.2.
PÉRDIDAS EN PIEZAS CON
ARMADURAS POSTESAS
5.2.1. Clasificación y causas de
las pérdidas
La fuerza del tesado 0P aplicada a las armaduras activas, es trasferida
al hormigón introduciendo en él una fuerza de pretensado P con valor
característico kP .
Pero en el proceso de transferencia, la fuerza de tesado 0P sufre unas
pérdidas que hacen que la fuerza de pretensado inicial kiP que recibe el
hormigón sea inferior a 0P . Estas pérdidas se denominan instantáneas
iP∆ porque aparecen en el instante mismo de la transferencia como
consecuencia de tres tipos de causas:

138
∆P1: Pérdidas producidas por el rozamiento de las armaduras activas
postesas en sus cambios de trayectoria dentro de los conductos
por los que discurren (figura 5.1.).
Figura 5.1.
∆P2: Pérdidas de fuerza por deslizamiento de las armaduras activas en
sus anclajes debido a penetración de cuñas (figura 5.2.).
Figura 5.2.

139
∆P3: Pérdidas de fuerza por acortamiento elástico instantáneo del
hormigón bajo la compresión producida por la fuerza de
pretensado (figura 5.3.).
Figura 5.3.
En general, cualquier causa que produzca el acortamiento de las
armaduras tesadas, es decir, su destesado, produce pérdida de su
tensión y consecuentemente de la fuerza que ejercen sobre el
hormigón.
Además de las causas de carácter general indicadas, pueden existir
otras que producen pérdidas instantáneas, como:
• Acortamiento de los moldes en elementos prefabricados, por causas
térmicas o mecánicas.

140
• Elevación de temperatura en las armaduras activas respecto a la
estructura en que se anclan. Al no poder dilatarse más que ésta, las
armaduras se destesan (figura 5.4.).
Figura 5.4.
• Ajuste instantáneo de las juntas de las estructuras prefabricadas
construidas por dovelas o bloques (figura 5.5.).
Limitándonos a las causas de carácter general, las pérdidas
instantáneas resultan:
321i PPPP ∆+∆+∆=∆

141
y el valor característico de la fuerza inicial de pretensado queda en :
i0ki PPP ∆−=
Figura 5.5.
A partir de la trasferencia, la fuerza inicial de pretensado va
experimentando pérdidas diferidas difP∆ como consecuencia de la
retracción, y de la fluencia del hormigón, que producen su acortamiento
y consiguiente destesado de las armaduras, además de la relajación de
éstas.
La fuerza del pretensado en un instante t tiene el valor:
difkikt PPP ∆−=
Al cabo de un tiempo final ft = que corresponde a la vida útil de la
estructura (o a su valor estimado), la fuerza de pretensado alcanza su
valor final (el más reducido de su historia).
f,difkikf PPP ∆−=
Además de estas pérdidas diferidas de carácter general, pueden existir
otras: ajuste diferido de las juntas entre dovelas, etc.
En resumen, las pérdidas de la fuerza de pretensado pueden
clasificarse como indica el siguiente esquema:

142
Por rozamientos en
conductos de las
armaduras:
1P∆
Por penetración de
cuñas en anclajes: 2P∆
Por acortamiento
instantáneo del
hormigón:
3P∆
Instantáneas iP∆
Otras
Por retracción del
hormigón.
Por fluencia del
hormigón.
Por relajación de las
armaduras.
Pérdida de la fuerza
de pretensado
Diferidas difP∆
Otras.
La pérdida total de pretensado en piezas con armaduras postesas es
aproximadamente el 15-20% de la fuerza inicial de pretensado.
5.2.1.1. Pérdidas de fuerza por rozamiento
Este tipo de pérdidas no se produce en el pretensado con armaduras
pretesas (excepto por defectos de alineación) que es el más interesante
para el técnico de la Edificación por ser el procedimiento generalmente
utilizado en la producción de elementos prefabricados para forjados,
etc.
Su importancia se centra en el hormigón pretensado con armaduras
postesas de trayectoria curva.
Los rozamientos se producen fundamentalmente por dos causas:

143
a) Rozamiento originado por la fuerza N (figura 5.6.) con que las
armaduras, al ser tesadas, oprimen en los cambios de dirección el
conducto por el que discurren.
Siendo µ el coeficiente de rozamiento en curva entre armadura y
conducto, la fuerza de rozamiento es Nµ .
Consideremos (figura 5.6.) un punto A en que la armadura cambia
de dirección un ángulo α . Sea 1P la fuerza de pretensado que llega
a ese punto desde el extremo en que se efectúa el tesado, y 2P la
fuerza de pretensado que le queda a la armadura pasado el punto A,
después de sufrir la pérdida por rozamiento en ese punto (P2 < P1).
Figura 5.6.
La resultante R de ambas fuerzas se descompone según las
direcciones normal y tangencial a la trayectoria de la armadura en el
punto A , dando respectivamente la componente N que origina el
rozamiento, y la componente T que se transforma en deslizamiento
de la armadura hacia el instrumento de tesado.
El equilibrio de fuerzas en las direcciones normal y tangencial en A
a la trayectoria de la armadura exige:
( )
2
senPP
2
senP
2
senPN 2121
α
+=
α
+
α
=
( )
2
cosPP
2
cosP
2
cosPN 2121
α
−=
α
−
α
=µ

144
Sustituyendo en la segunda el valor de N dado por la primera:
( ) ( )
( )2121
2121
PP
2
tgPP
2
cosPP
2
senPP
+
α
⋅µ=−
α
−=
α
+µ
En la realidad las variaciones angulares α son muy pequeñas y
podemos tomar ( )2tg α ≃ 2/α radiantes. Por otra parte 21 PP −
es la pérdida de la fuerza de pretensado, es decir:
211 PPP −=∆
( ) ( )111211 PPP
2
1
PP
2
1
P ∆−+αµ=+αµ=∆
11 P
2
1
P
α
µ
+
µα
=∆ que puede simplificarse para
1,0pαµ 11 PP αµ≈∆
valor de 1P∆ aproximado por exceso, con α en radianes.
b) Rozamiento parásito en recta, producido contra la superficie interior
del conducto, en tramos rectos, por desviaciones de la armadura.
Cuando el conducto es una vaina demasiado estrecha o flexible, el
hormigón fresco puede deformarla haciendo que presione contra la
armadura. Un acodalamiento entre sí de las armaduras que forman el
tendón (figura 5.7.) puede producir, al tesar, presiones adicionales
contra el conducto.
Estos rozamientos parásitos en recta se evalúan como producto de
un coeficiente K de rozamiento parásito, por la longitud a que se
refieren.
La Instrucción EHE recoge en la siguiente expresión las pérdidas por
rozamiento entre las armaduras y las vainas o conductos de
pretensado:
( )[ ]Kx
01 e1PP +αµ−
−=∆

145
Figura 5.7.
Esta expresión da la pérdida por rozamiento acumulada entre el
extremo de la armadura en el anclaje activo (desde donde se efectúa
el tesado) y la sección para la que se evalúa la pérdida, situada a
una distancia x (en metros) de dicho anclaje (figura 5.8.). Las
pérdidas dependen de la variación angular total α, del trazado del
tendón entre la sección considerada y el anclaje activo, de la
distancia x entre dos secciones, del coeficiente µ del rozamiento en
curva y del coeficiente κ del rozamiento en recta o rozamiento
parásito. El tipo de trayectoria sinusoidal representado aparece en
vigas continuas.
Figura 5.8.
La fuerza P1 considerada anteriormente (figuras 5.1. y 5.6.) es ahora la
de tesado Po que aún no ha sufrido ninguna otra pérdida.

146
En un arco parabólico (figuras 5.8. y 5.9.), de flecha a y luz l , se
tienen los siguientes valores: variación angular entre un extremo y el
punto central αc = arc tg (4a/l); variación angular entre ambos
extremos αc = 2 arc tg (4a/l). Para a/l ≦ 0,045, se puede
tomar tg α ≃ α, es decir, αc = 4a/l y αe = 8a/l.
Figura 5.9.
Los datos correspondientes a los valores de µ y de k deben definirse
experimentalmente, habida cuenta del procedimiento de pretensado
utilizado. A falta de datos concretos pueden utilizarse los valores
experimentales sancionados por la práctica.
Para pretensado interior, los valores de µ dependen,
fundamentalmente, del estado de las superficies en contacto y su
naturaleza: vainas o conductos en el hormigón, acero de pretensado,
lubricación eventual, etc. A falta de datos experimentales, cuando todos
los elementos (alambres, cordones, etc.) del tendón se tesan
simultáneamente, pueden utilizarse los valores de µ dados por la tabla
5.10.
Si los elementos del tendón se tesan por separado, los valores de µ
son mayores que los de la tabla 5.10. y hay que obtenerlos
experimentalmente.
En cuanto al coeficiente de rozamiento parásito K , depende, entre
otros factores, de la rigidez del conducto. Lo que más influye en la
rigidez del conducto es su diámetro por lo que, en una primera
aproximación, pueden emplearse los valores de la tabla 5.11 para
determinar el valor de K a partir del de µ .

147
Naturaleza de los aceros constitutivos
de las armaduras
Disposición de las
armaduras en las vainas
Estado superficial de
las armaduras Alambres o
cordones
trefilados
Barras
laminadas
lisas
Barras
laminadas
corrugadas
Sin lubricar 0,21 0,25 0,31
1) Tendón formado por
varios elementos
agrupados en una
misma vaina de acero
sin tratamiento
superficial
Con lubricación ligera
(aceite solubre)
0,18 0,23 0,27
Sin lubricar 0,18 0,22 0,282) Tendón formado por
un único elemento
aislado, en una vaina
sin tratamiento
Con lubricación ligera
(aceite solubre)
0,15 0,20 0,24
Tabla 5.10. Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva
27
Diámetro interior del
conducto (mm)
30 40 50 60 < 60
K / µ 0,016 0,012 0,009 0,007 0,006
Tabla 5.11. Obtención del valor de K a partir del valor de µ.
En el caso de destesar parcialmente la armadura, los coeficientes de
rozamiento al reducirse la carga son diferentes y, en general, mayores
que los que aparecen en el proceso de tesado creciente. Se podrá tener
en cuenta este hecho en los cálculos, deduciendo los nuevos valores de
µ y de K a partir de resultados experimentales.
Para pretensado interior con armadura no adherente, de acuerdo con la
experimentación y la experiencia práctica disponible, como valores de µ
y K pueden tomarse los indicados en la tabla 5.12.
µ K / µ
Cordones individuales con
protección plástica
0,05 – 0,07 0,006 – 0,01
Tabla 5.12. Valores de µ y de K para pretensado interior con armadura
no adherente
27
Los valores de la tabla 5.10. aumentan hasta en 0,10 si el tendón muestra
alguna oxidación en su superficie, incluso aunque esté lubricado.

148
Para los tendones utilizados en pretensado exterior, las pérdidas por
rozamiento se concentran en los desviadores y, por lo tanto, están
fuertemente influenciadas por las características de éstos. A falta de
datos específicos pueden utilizarse los valores indicados en la tabla
5.13., que corresponden al caso de tendones de cordones múltiples.
Características de los desviadores y de los
cordones del tendón:
µ K µ/
1) Cordones secos sobre tubo de acero 0,25 – 0,30
2) Cordones engrasados sobre tubo de acero 0,20 – 0,25
3) Cordones secos sobre tubo de plástico 0,12 – 0,15
4) Cordones enfilados en un desviador de
plástico
0,05 – 0,07
0,00
Tabla 5.13. Valores de los coeficientes de rozamiento para pretensado exterior
Cuando en la expresión
( )
[ ]Kx
01 e1PP +µα−
−=∆
resulta el exponente
Kx+αµ < 30,0
puede tomarse:
1P∆ ≃ ( )x0 KP +αµ
5.2.1.2. Pérdidas por penetración de cuñas
Una vez realizado el tesado, se aprietan las cuñas de los anclajes
activos a fin de sujetar las armaduras y se liberan éstas del aparato con
que se las ha traccionado. Las armaduras intentan acortarse, tirando de
las cuñas y haciéndolas penetrar en su alojamiento una longitud a
(figura 5.2.). Como consecuencia el apriete aumenta hasta impedir
totalmente el deslizamiento de las armaduras. Las armaduras se habrán

149
acortado en la longitud a y consecuentemente se habrán destesado en
la medida correspondiente.
En los anclajes pasivos las armaduras deben estar sujetas por las
cuñas antes de iniciar el tesado y la penetración de éstas se produce
durante el mismo, de modo que, al terminar el tesado se habrá
producido todo el deslizamiento que se habrá traducido en un mayor
recorrido del gato sin pérdida de la fuerza 0P aplicada por éste.
Siendo l la distancia entre el anclaje activo y el pasivo, el acortamiento
a de un tendón recto da lugar a una deformación relativa de éste.
l
a
=ε
al que corresponde una tensión
pp E
l
a
E =ε=σ
que aplicada al área Ap de la sección del tendón se traduce en una
pérdida de fuerza dada por la siguiente expresión que es la que aparece
en el articulado de la Instrucción EHE:
=∆ 2P pp A·E
L
a
=
Donde:
a Penetración de la cuña.
l Longitud total del tendón recto.
pE Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa
pA Sección de la armadura activa
A igualdad de los restantes parámetros, 2P∆ es menor cuanto mayor
sea l . Por esta razón, entre otras, interesa que la longitud de las pistas
de prefabricados pretensados sea la mayor posible.
La anterior expresión de 2P∆ es aplicable en el caso de armaduras
pretesas en que no hay rozamientos en los conductos al estar al aire
libre las armaduras durante el tesado, y en el caso de tendones rectos
postesos de corta longitud en que el rozamiento parásito sea
despreciable.

150
En los restantes casos, los rozamientos que al tesar obstaculizaban el
deslizamiento del tendón hacia el anclaje activo, reduciendo
paulatinamente, a partir de éste, los alargamientos y en consecuencia la
fuerza de pretensado, al destesar obstaculizan el deslizamiento en
sentido contrario reduciendo las pérdidas 2P∆ .
En una primera aproximación se puede plantear el problema como
sigue:
Debido a las pérdidas por rozamiento 1P∆ , a una distancia x del
anclaje activo el tendón recibe al concluir el tesado, solamente una
parte xP de la fuerza de tesado 0P aplicada.
( )[ ] ( )Kx
0
Kx
0010x ePe1PPPPP +αµ−+αµ−
=−−=∆−=
La figura 5.14. representa la variación de xP que se supone lineal por
sencillez del dibujo.
Figura 5.14.
Al reducirse, por penetración de cuñas, la fuerza en el anclaje activo al
valor:
)0(20 PP ∆− siendo, pp)0(2 AE
l
a
P =∆
se produce un cierto deslizamiento (con sus correspondientes
rozamientos) de sentido inverso al de tesado, resultando un diagrama
de destesado.

151
( ) ( )Kx
)0(20x ePPP +αµ+
∆−=′
Las pérdidas de 2P∆ vienen dadas por xx PP ′− para xP ≧ xP′ . La
penetración a se reparte en la distancia d .
Para un estudio más profundo del tema se recomienda consultar el
apartado 7.43. de la obra de Leonhardt “Hormigón Pretensado”.
5.2.1.3.
Pérdidas por acortamiento elástico
del hormigón
Procedimiento de la Instrucción EHE
Cuando la armadura activa esté constituida por varios tendones que se
van tesando sucesivamente, al tesar cada tendón se produce un nuevo
acortamiento elástico del hormigón que descarga, en la parte
proporcional correspondiente a este acortamiento, a los tendones
anteriormente anclados.
Cuando las tensiones de compresión al nivel del baricentro de la
armadura activa en fase de tesado sean apreciables, el valor de estas
pérdidas, 3P∆ , se podrá calcular, si los tendones se tesan
sucesivamente en una sola operación, admitiendo que todos los
tendones experimentan un acortamiento uniforme, función del número n
de los mismos que se tesan sucesivamente, mediante la siguiente
expresión dada por la Instrucción EHE:
∆ P3
cj
pp
cp
E
EA
n2
1n −
σ=
Siendo:
pA Sección total de la armadura activa.
cpσ Tensión de compresión, a nivel del centro de gravedad de las
armaduras activas, producida por la fuerza 210 PPP ∆−∆− y los
esfuerzos debidos a las acciones actuantes en el momento del
tesado.
pE Módulo de deformación longitudinal de las armaduras activas.

152
cjE Módulo de deformación longitudinal del hormigón para la edad j
correspondiente al momento de la puesta en carga de las
armaduras activas.
Cuando se tesan varios tendones simultáneamente (en grupos de m en
m), se debe entrar en la expresión anterior con:
m
tendonesdeºn
n =
Y entonces, n es el número de operaciones de tesado realizadas.
Se puede realizar una evaluación más exacta de la tensión cpσ
teniendo en cuenta el módulo de deformación cjE correspondiente al
instante de la introducción de cada una de las acciones.
Procedimiento ajustado
Al aplicar al hormigón la fuerza de pretensado, después de las pérdidas
sufridas,
210 PPP ∆−∆−
se produce en la pieza una deformación elástica instantánea:
cj
cp
c
E
σ
=ε
siendo:
cpσ Tensión de compresión producida por la fuerza 210 PPP ∆−∆− , a
nivel del centro de gravedad de las armaduras activas.
cjE Módulo instantáneo de deformación longitudinal secante del
hormigón para la edad j en que se aplica la fuerza de pretensado.
Las armaduras de las piezas experimentan la misma deformación
acortándose igual que el hormigón, es decir:
cj
cp
cp
E
σ
=ε=ε

153
perdiendo una tensión
cj
p
cppp
E
E
E σ=ε
que extendida al área pA de las armaduras supone una pérdida de
fuerza.
p
cj
p
cp3 A
E
E
P σ=∆
Bajo la única acción de una fuerza de pretensado P , aplicada con una
excentricidad e respecto al centro de gravedad 0 de una sección
(figura 5.15.) de área A y momento de inercia xI , la tensión en el
hormigón cσ para los puntos de ordenada y viene dada por:
y
I
eP
A
P
x
c
⋅
+=σ
La tensión cpσ a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas,
es decir con ordenada ey = , resulta:
xn
2
n
cp
I
eP
A
P n⋅
+=σ con 210 PPPP ∆−∆−=
en que los momentos de excentricidad, área y momento de inercia, se
han referido a la sección neta que se definirá más adelante.
Figura 5.15.

154
Recordando el valor del radio de giro de la sección:
n
xn
xn
A
I
i =
el valor de cpσ puede ponerse en la forma
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=σ 2
xn
2
n
nnxn
2
n
n
cp
i
e
1
A
P
AI
e
1
A
P
En realidad la fuerza aplicada al hormigón y que, al deformarlo, produce
la pérdida 3P∆ , queda reducida por la pérdida que ella misma provoca,
es decir en un cálculo ajustado deberá tomarse:
3210 PPPPP ∆−∆−∆−=
con lo que:
p
cj
p
2
xn
2
n
n
3210
p
cj
p
cp3 A
E
E
i
e
1
A
PPPP
A
E
E
P
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∆−∆−∆−
=σ=∆
operando y llamando:
cj
p
j
E
E
n = coeficiente de equivalencia a la edad j del hormigón
n
p
n
A
A
=ρ cuantía geométrica de la armadura activa referida a la
sección neta.
resulta:
( ) ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+∆−∆−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++∆ n
i
e
1PPPn
i
e
11P 2
xn
2
n
2102
xn
2
n
3
y finalmente:

155
( )210
2
xn
2
n
2
xn
2
n
3 PPP
n
i
e
11
n
i
e
1
P ∆−∆−
ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=∆
o bien:
( )2103 PPP
1
P ∆−∆−
β+
β
=∆ con ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=β n
i
e
1 2
xn
2
n
valor más ajustado que el dado por la Instrucción EHE.
Téngase en cuenta la importancia económica de ajustar las pérdidas,
especialmente al proyectar elementos prefabricados de los que se
producirán millones de unidades. A igualdad de tensión aplicada, la
pérdida debe compensarse con más acero con un costo que, por
repetición, resulta muy considerable. Este efecto multiplicador obliga a
afinar los cálculos al máximo, considerando hasta el más pequeño
factor económico que para una sola pieza resultaría despreciable.
En el caso de armaduras postesas constituidas por varios tendones que
se van tesando sucesivamente, el tesado de cada tendón produce un
acortamiento instantáneo del hormigón que destesa parcialmente los
tendones ya tesados anteriormente. En estas condiciones, y siendo m
el número de tendones, o grupos de tendones, que se tesan
sucesivamente, el cálculo de 3P∆ se realiza como sigue:
Si los m tendones se tesasen simultáneamente, cada uno aplicaría una
fuerza P/m , siendo P la fuerza total de pretensado. La pérdida ∆P3 se
podría repartir entre los m tendones, correspondiendo a cada uno una
pérdida ∆P3/m .
Como consecuencia del tesado sucesivo, cada tendón sufre una
pérdida adicional a la que él mismo produce, igual a mP3∆ por el
número de tendones que se tesan posteriormente. En orden de tesado
estas pérdidas son:
Tendón 1º ( )1m
m
P3
−
∆

156
Tendón 2º ( )2m
m
P3
−
∆
Tendón (m – 1)º ( )[ ]
m
P
1mm
m
P 33 ∆
=−−
∆
Tendón mº ( ) 0mm
m
P3
=−
∆
El valor medio de estas pérdidas se obtiene hallando la media del
primero y últimos términos (o del segundo y penúltimo, etc.).
( ) 3
3
P
m2
1m
01m
m
P
2
1
∆
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
∆
Para los m tendones, la pérdida adicional por tesado sucesivo será:
33 P
2
1m
P
m2
1m
m ∆
−
=∆
−
⋅
que se anula para 1m =
5.2.2. Pérdidas diferidas
Se denominan pérdidas diferidas a las que se producen a lo largo del
tiempo, después de ancladas las armaduras activas. Estas pérdidas se
deben esencialmente al acortamiento del hormigón por retracción y
fluencia y a la relajación del acero de las armaduras.
La fluencia del hormigón y la relajación del acero están influenciadas
por las propias pérdidas y, por lo tanto, la Instrucción EHE considera
este efecto interactivo.
La Instrucción EHE ofrece la siguiente expresión para evaluar de forma
aproximada las pérdidas diferidas:
∆ Pdif
( ) ( )
( )( )
P
0
c
2
pc
c
p
pr0cspcp0
A
t,t1
I
YA
1
A
A
n1
80,0t,tEt,tn
χϕ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
σ∆+ε+σϕ
=

157
Siendo:
py Distancia del centro de gravedad de las armaduras activas
al centro de gravedad de la sección.
n Coeficiente de equivalencia cp E/E= .
( )0t,tϕ Coeficiente de fluencia para una edad de puesta en carga
igual a la edad del hormigón en el momento de tesado
( )0t . Ver punto 39.8. de la EHE.
csε Deformación de retracción que se desarrolla tras la
operación de tesado. (Ver punto 39.7. de la EHE)
cpσ Tensión en el hormigón en la fibra correspondiente al centro
de gravedad de las armaduras activas debido a la acción
del pretensado , el peso propio y la carga muerta.
∆ prσ Pérdida por relajación a longitud constante. Puede
evaluarse utilizando la siguiente expresión:
∆ prσ
p
ki
t
A
P
ρ= Siendo fρ el valor de la relajación a
longitud constante a tiempo indefinido (Ver punto 38.9. de la
EHE) y pA el área total de las armaduras activas. kiP es el
valor característico de la fuerza inicial de pretensado,
descontadas las pérdidas instantáneas.
cA Área de la sección del hormigón
cI Momento de inercia de la sección de hormigón.
χ Coeficiente de envejecimiento. Simplificadamente, y para
evaluaciones a tiempo infinito, puede adoptarse 80,0=χ
El valor preciso de la pérdida de fuerza de pretensado debida a la
fluencia y retracción del hormigón y la relajación del acero resulta difícil
de obtener ya que las propias pérdidas disminuyen la tensión de
compresión en el hormigón y la tensión de tracción en el acero,
constituyendo éste un fenómeno interactivo de enorme complejidad.
En la fórmula simplificada de la Instrucción EHE, el numerador
representa la deformación debida a retracción y fluencia del hormigón y
relajación del acero, teniendo en cuenta de forma simplificada la
interacción antes aludida. El denominador representa la coacción de las
deformaciones diferidas debidas a la armadura activa adherente. Si el

158
denominador se supone igual a 1, se desprecia este efecto y se
sobreestiman las pérdidas.
Para una estimación pormenorizada, necesaria para la evaluación de
tensiones y deformaciones en procesos constructivos complejos,
pueden utilizarse los criterios expuestos en el Artículo 25º de la
Instrucción EHE.
5.3.
PÉRDIDAS DE FUERZA EN
PIEZAS CON ARMADURAS
PRETESAS
5.3.1. Procedimiento de la
Instrucción EHE
Para armaduras pretesas, las pérdidas desde el momento de tesar
hasta la transferencia de la fuerza de tesado al hormigón se deben a:
a) Penetración de cuñas
b) Relajación a temperatura ambiente hasta la transferencia.
c) Relajación adicional de la armadura debida, en su caso, al
proceso de calefacción.
d) Dilatación térmica de la armadura debida, en su caso, al proceso
de calefacción.
e) Retracción anterior a la transferencia.
f) Acortamiento elástico instantáneo al transferir.
Las pérdidas diferidas posteriores a la transferencia se obtendrán de
igual forma que en armaduras postesas, utilizando los valores de
retracción y relajación que se producen después de la transferencia.
Las pérdidas totales de pretensado en piezas con armaduras pretesas
es aproximadamente el 20-35% de la fuerza inicial de pretensado.

159
a. Penetración de cuñas
La penetración de cuñas en armaduras pretesas produce, debido a la
ausencia de rozamiento, una pérdida constante a lo largo de toda la
armadura, cuyo valor se obtendrá igual que en el caso de tendones
rectos postesos de corta longitud.
b. Relajación a temperatura ambiente hasta transferencia y c.
Relajación adicional de la armadura debida, en su caso, al proceso
de calefacción.
La pérdida por relajación adicional de la armadura debida, en su
caso, al proceso de calefacción se podrá calcular de acuerdo con la
información facilitada por el fabricante de la armadura.
En ausencia de dicha información se podrá adoptar como suma de
las pérdidas b) y c) el valor obtenido con la siguiente expresión:
P
ki
10pr
A
P
6ρ=σ∆
Siendo:
Pki
Valor característico de la fuerza inicial de pretensado,
descontando las pérdidas instantáneas.
6
10
ρ Valor de la relajación a las 106
horas a 20ºC.
AP Área total de la armadura activa.
d. Dilatación térmica de la armadura debida, en su caso, al proceso de
calefacción.
Esta pérdida puede evaluarse con la siguiente expresión:
( )acp TTEK −α
Siendo:
K Coeficiente experimental, a determinar en la instalación. En
ausencia de ensayos, puede tomarse 5,0K =
α Coeficiente de dilatación térmica de la armadura activa:
15
Cº1002,1 −−
⋅

160
pE Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa
cT Temperatura máxima de curado durante la fabricación
aT Temperatura media del ambiente durante la fabricación
f. Acortamiento elástico instantáneo al transferir.
La pérdida por acortamiento elástico del hormigón, cuando las
armaduras pretesas se liberan de sus anclajes, puede valorarse
teniendo en cuenta la deformación instantánea que se produce en el
hormigón en el centro de gravedad de las armaduras activas,
mediante la expresión:
cj
pp
cp
E
E·A
σ
5.3.2. Procedimiento simplificado
El siguiente procedimiento está publicado en la Guía de Aplicación de la
Instrucción EHE.
Según este documento, las pérdidas totales y hasta transferencia en
elementos pretesos, se pueden evaluar, en función de la cuantía
geométrica de la armadura activa y de la excentricidad relativa de la
armadura activa (cociente entre su excentricidad y el radio de giro de la
sección bruta de hormigón), de un modo sencillo que se expone a
continuación:
• Pérdida total de la fuerza de pretensado: su valor Σ∆Pf, se obtiene a
partir del gráfico de la figura 5.16.
• Pérdida hasta la transferencia: su valor viene dado por:
*
ft PΣ∆⋅η
Donde el coeficiente tη viene dado en la figura 5.17.

161
Figura 5.16. Pérdida total de la fuerza de pretensado (Σ∆Pf)
En ambos casos, el cálculo de pérdidas exige la obtención previa de los
siguientes valores:
e Excentricidad del centro de gravedad de la armadura activa.
q Cuantía geométrica de la armadura activa.
c
p
A
A
q =
r Radio de giro de la sección bruta de hormigón.
c
c
A
I
r =

162
cI Momento de inercia de la sección bruta de hormigón.
pA Área de armadura activa.
cA Área de la sección bruta del hormigón.
El valor de la fuerza final de pretensado se obtiene como:
−0P Σ∆Pf
donde 0P es la fuerza inicial de pretensado.
Figura 5.17. Coeficiente tη

163
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
5.1.
Figura 5.18.
La figura representa una viga de hormigón pretensado de la que
se dibuja la mitad correspondiente al extremo desde el que se
ejerce el tesado. En ella aparece el trazado de un tendón de
trayectoria parabólica, simétrica respecto a la sección central. La
luz de la viga es m00,10l = , y la flecha del trazado parabólico
del tendón cm25a = .
El tendón está formado por varios elementos agrupados, sin
lubricar, y discurre por una vaina de mm30 de diámetro interior.
Se pide: Determinar, en función de la fuerza de tesado 0P , el valor
de las pérdidas acumuladas 1P∆ , desde el anclaje activo hasta la
sección central.
5.2. La pieza cuya sección se representa en la figura posee una
armadura activa postesa recta constituida por 6 alambres Ø 7 mm
Y 1670 C cuya tensión de tesado es 2
po mm/N1250=σ . Los
datos de la sección son:
2
n cm110A = ; 4
xn cm4300I = ; cm5,2en −=
Los alambres se tesan de 2 en 2. La resistencia del hormigón a la
edad de recibir la fuerza de pretensado es 2
cj mm/N25f = .
Las pérdidas por penetración de cuñas se han evaluado en 1440
N.
Se pide: Hallar la pérdida de fuerza por acortamiento elástico del
hormigón ( )3P∆ .

164
Figura 5.19.
5.3. En una fábrica de viguetas de hormigón pretensado, con
armaduras rectas pretesas, la distancia entre las bancadas de
anclaje activo y las de anclaje pasivo es de 100 m. Siendo la
penetración de cuñas en el anclaje activo igual a 6 mm,
Se pide: Determinar la pérdida de fuerza 2P∆ que experimenta un
alambre de 5 mm de diámetro.
5.4. Obtener, mediante el procedimiento simplificado de la Guía de
Aplicación de la Instrucción EHE, las pérdidas totales y las
pérdidas hasta transferencia de la armadura pretesa de una
vigueta constituida por 4 alambres de diámetro 5 mm.
Datos de la sección bruta de hormigón:
110Ac = cm2
4
c cm4300I =
Excentricidad de la armadura: mm20
Fuerza inicial de pretensado: N110000

165
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
5.1. 10,0
1010
254
l
a4
2
=
⋅
⋅
=
0997,010,0tgarc
l
a4
tgarcc ===⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=α radianes
como 045,0025,0
1010
25
l
a
2
<=
⋅
= , se podría haber tomado
010,0c =α con bastante precisión.
21,0=µ ; 3
1036,321,0016,0K −
⋅=⋅= ; 0997,0=α radianes
m00,52
1x ==
+=⋅⋅+⋅=+µα −
0209,000,51036,30997,021,0Kx 3
0377,00168,0 =+
( ) 0
0377,0
01 P0370,0e1PP =−=∆ −
Dado que 30,0Kx <+µα , podría aplicarse
1P∆ ≃ ( ) 00 P0377,0KxP =+µα
5.2. 22
2
p mm231cm31,2
4
7,0
6A ==π=
N2887502311250P0 =⋅=
N1440P2 =∆
N2873101440288750PPPP 210 =−=∆−∆−=

166
2
n
xn2
xn cm1,39
110
4300
A
I
i ===
23
cj mm/N27264)825(8500E =+=
3
2
6
n ==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⋅⋅
+=σ
1,39
5,2
1
11000
287310
i
e
1
A
P
K
eeP
A
P 2
2
xn
2
n
nn
nn
n
cp
2
mm/N29,30=
N17109
27264
102231
32
13
29,30P
5
3 =
⋅⋅
⋅
−
=∆
5.3. 2
2
p cm20,0
4
5,0
A =π= ;
25
p mm/N100,2E ⋅= ;
cm10100l 2
⋅= ;
cm6,0a =
N24020,0100,2
10100
6,0
AE
l
a
P 5
2pp2 =⋅⋅
⋅
==∆

167
5.4. Pérdida total de la fuerza de pretensado ( fPΣ∆ )
cm25,6
110
4300
A
I
r
c
c
===
32,0
25,6
2
r
e
==
007,0
110
4
5,0
4
A
A
q
2
c
p
=
⋅π⋅
==
Del gráfico de la figura 5.16., se obtiene: % pérdidas = 26,5 %.
Siendo la pérdida total de la fuerza de pretensado:
N29150110000265,0Pf =⋅=Σ∆
Pérdida hasta la transferencia ( )tPΣ∆ .
Del gráfico de la figura 5.17, se obtiene:
62,0t =π
Siendo la pérdida de fuerza hasta la transferencia:
N180732915062,0PtP ft =⋅=Σ∆⋅π=Σ∆

168

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