Funcion cuadratica

1. 1
Función Cuadrática
Poda función de segundo grado es una parábola
Para Graficar una Parábola:
1. Hacia donde se Habré
2. Coordenadas del Vértice
3. Distancia del Foco hacia el Vértice (P)

2. 2
Elementos característicos de una función cuadrática
Los elementos de mayor relevancia para poder representar gráficamente una función
polinómica de segundo grado son las raíces, la ordenada en el origen, las coordenadas del
vértice y el eje de simetría.
Concavidad
Está dada por el signo del coeficiente principal a. Es decir que si a>0, la concavidad es
positiva y si a<0 , la concavidad es negativa.
Ordenada en el origen
Es la ordenada del punto de intersección entre la parábola y el eje de las ordenadas. Se halla,
calculando la imagen de cero, f(0).
Si la función se encuentra expresada en forma polinómica la ordenada en el origen coincide
con el término independiente «c».
Raíces
Son los valores del dominio para los cuales la función vale cero. Se hallan resolviendo la
ecuación cuadrática ax2+bx+c=0.

3. 3
Eje de simetría
Es la recta paralela al eje Oy que divide a la curva en dos ramas simétricas.
Se halla como x=−b2a
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. Las coordenadas del
vértice V(xv,yv) se hallan:
xv=−b2a yv=f(xv)

4. 4

5. 5
Discriminante de la Ecuación Cuadrática
El discriminante de la ecuación de segundo grado tiene el siguiente símbolo matemático: «Δ» y
está relacionado directamente con la fórmula general. La fórmula del discriminante se
representa así:
Δ = b2
– 4ac
Estudiamos el discriminante de la ecuación de segundo grado porque de él dependerá cómo será
la naturaleza de los valores de las raíces de una ecuación cuadrática.
Antes, veamos un ejemplo para calcular el discriminante de una ecuación cuadrática:
Ejemplo 04:
Hallar el discriminante de la ecuación:
2x2
– 3x + 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores de los coeficientes de la ecuación, tenemos: a = 2, b = -3, c = 1;
Reemplazando en:
Δ = b2
– 4ac
Δ = (-3)2 – 4(2)(1)
Δ = 9 – 8
∴ Δ = 1
Análisis del Discriminante
Se analiza el discriminante de la ecuación cuadrática para conocer como serán las raíces de
dicha ecuación. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces.
P(x) = ax2
+ bx + c = 0; a ≠ 0
Sean las raíces de la ecuación: x1 y x2 y el Δ = b2
– 4ac.
Se obtienen los siguientes casos:
 i) Primer Caso (Δ > 0):
» Las raíces son reales y diferentes.
» Entonces: x1 ≠ x2.
 ii) Segundo Caso (Δ = 0):
» Las raíces son reales e iguales.
» Se le conoce como solución única
» Se cumple que: x1 = x2 = – b/2a
 iii) Tercer Caso (Δ < 0):
» Las raíces x1 y x2 no son Reales, son Imaginarias(complejas) y Conjugadas.
» Se sabe que i es la unidad imaginaria.
» Teorema: i2
= -1; i = √-1 (teorema de Euler).

6. 6
Gráfica de una Ecuación de Segundo Grado
La gráfica de la ecuación cuadrática es una parábola, dependiendo del valor del discriminante y
del coeficiente principal “a” de la ecuación de segundo grado podemos obtener los siguientes
gráficos:
Gráficas de la ecuación cuadrática en
función del discriminante y el valor de «a»
Propiedades de una Ecuación Cuadrática
En toda ecuación cuadrática de la forma:
ax2
+ bx + c = 0; a ≠ 0
Con sus raíces x1, x2 se cumplirán las siguientes propiedades:
 a) Suma de Raíces:
x1 + x2 = -b/a
 b) Producto de Raíces:
x1 . x2 = c/a
 c) Resta de Raíces:
|x1 – x2| = √Δ / |a|
 d) Suma de inversas de raíces:
1/x1 + 1/x2 = -b/c
Una propiedad muy importante que se debe conocer cuando se opera con las raíces, es
la Identidad de Legendre, el cual relaciona suma, diferencia y producto de raíces. Veamos:
(x1 + x2)2
– (x1 – x2)2
= 4 x1.x2

7. 7
Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática
Reconstruir una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces se puede realizar siempre y
cuando tengamos los valores de las raíces o en su defecto la suma y el producto de raíces de
la ecuación. Veamos: Si la ecuación a reconstruir tiene como raíces: x1 y x2 entonces la
ecuación de segundo grado será:
x2
– (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Ejemplo 05:
Reconstruir la ecuación de segundo grado si las raíces son:
x1 = -9 ; x2 = 2
Resolución:
La ecuación cuadrática tendrá la siguiente forma:
x2
– (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Reemplazando:
x2 – (-9 + 2)x + (-9.+2) = 0
Resolviendo, tenemos:
∴ x2
+ 7x – 18 = 0
Teoremas Especiales
A. Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes
Dos Ecuaciones son equivalentes cuando tiene las mismas raíces.
Sean las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0
mx2 + nx + p = 0
Se cumple:
x2
– (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
B. Ecuaciones Cuadráticas con una Raíz Común
Esta es una propiedad que solo se usa cuando dos ecuaciones tienen una raíz en común.
Si las ecuaciones :
ax2
+ bx + c = 0
mx2
+ nx + p = 0
Admiten una raíz común, entonces se cumplirá:
(a.n – m.b)(bp – nc) = (a.p – m.c)2

8. 8
Ejercicios Resueltos
Problema 01
Una ecuación cuadrática tiene como raíces a:
«Δ + 4» y «Δ – 2»
Calcular la suma de las cifras al multiplicar estas raíces, siendo «Δ» el discriminante de la ecuación
cuadrática.
Resolución:
Conocemos las raíces de la ecuación, entonces podemos reconstruir la ecuación cuadrática.
Por teoría conocemos:
x2
– (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Reemplazando:
x2
– (Δ + 4 + Δ – 2)x + (Δ + 4)(Δ – 2) = 0
Operando y ordenando:
x2 – (2Δ + 2) + (Δ 2 + 2Δ – 8) = 0
De esta ecuación sacamos el discriminante:
Δ = [- 2Δ + 2)]2
– 4(1)(Δ 2
+ 2Δ – 8) = 0
Operando tenemos: Δ = 36
⇒ x1 = Δ + 4 = 36 + 4 = 40
⇒ x2 = Δ – 2 = 36 – 2 = 34
⇒ x1.x2 = 40*34 = 1360
∴ Σ (cifras) = 1 + 3 + 6 + 0 = 10
Problema 02
Calcular «n» tal que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación:
x2
+ (n – 2)x n – 3 = 0
Tenga el menor valor.
Resolución:
Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación cuadrática. Nos piden calcular «n», cuando: x1
2
+ x2
2
tenga
el menor valor. Por propiedad de raíces se tiene:
x1 + x2 = -(n – 2) x1.x2 = -n – 3
Aplicando la suma de binomio al cuadrado :
(x1 + x2)2 = x1
2 + x2
2 + 2x1x2
⇒ x1
2 + x2
2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Reemplazando:
⇒ x1
2 + x2
2 = (-(n – 2))2 – 2(-n – 3)
Resolviendo:
⇒ x1
2
+ x2
2
= (n – 2)2
+ 2(n + 3)
⇒ x1
2 + x2
2 = n2 – 2n + 10
⇒ x1
2
+ x2
2
= (n – 1)2
+ 9
Analizamos esta expresión, para que x1
2
+ x2
2
tenga el menor valor posible, se debe cumplir:
(n – 1)2 = 0. ⇒ n – 1 = 0

9. 9
∴ n = 1
Problema 03
Si x1 y x2 son raíces de la siguiente ecuación:
x2
– 2(m-1)x + 3 = 0
Calcular la suma de valores que puede tomar «m» para que satisfaga la siguiente relación:
x1/x2 + x2/x1 = 1
Resolución:
Desarrollando lo que nos piden:
x1
2 + x2
2 = x1.x2
De la suma de binomio al cuadrado :
(x1 + x2)2
= x1
2
+ x2
2
+ 2x1x2
(x1 + x2)2 = 3x1x2 …. (1)
De la ecuación cuadrática, podemos conocer la suma y producto de raíces, veamos:
x1 + x2 = 2(m – 1)
x1.x2 = 3
Reemplazando estas expresiones en (1):
(2(m -1))2
= 3.3
Resolviendo la ecuación:
4m2 – 8m – 5 = 0
La suma de valores que puede tomar «m» equivale a decir la suma de raíces de esta
ecuación, entonces:
m1 + m2 = -b/a = – (-8)/4 = 2
∴ La suma de valores que puede tomar «m» es 2
https://cienciamatematica.com/algebra/ecuaciones/ecuaciones-de-segundo-grado