1) El documento presenta un módulo de capacitación docente sobre álgebra de números reales y complejos. 2) Incluye tablas con fórmulas físicas, ejercicios de representación algebraica y sucesiones numéricas. 3) Los ejercicios propuestos abarcan temas como expresiones algebraicas, identidades, permutaciones, sucesiones aritméticas y construcción de figuras con cerillas.

1. Ministerio de Educación
Plan nacional de capacitación docente
Especialización de docentes de matemática de tercer ciclo y educación media.
Módulo 1
“Álgebra de los números reales y complejos”
Tarea correspondiente a las semanas 1 y 2
Luis Alexander Fuentes
San Miguel, febrero de 2015

2. Tabla 2, página 10
Declaración verbal de la situación o
ley física
Variables intervinientes Fórmula
La velocidad se define como la
distancia recorrida por unidad de
tiempo
v: velocidad
d: distancia
t: tiempo
𝑣 =
𝑑
𝑡
La intensidad de la fuerza entre dos
esferas cargadas es directamente
proporcional al producto de sus
cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que los
separa.
F: fuerza
Q1 = Carga 1
Q2 = Carga 2
d = distancia
𝐹 ∝
𝑄1 𝑄2
𝑑2
La densidad de un cuerpo es
numéricamente igual a la masa de
una unidad de volumen del cuerpo
ρ: densidad
m: masa
v: volumen
𝜌 =
𝑚
𝑣
La presión es el cociente entre la
fuerza y el área de la superficie sobre
la que actúa.
p: presión
F: fuerza
S: área
𝑝 =
𝐹
𝑆
La presión hidrostática que ejerce un
líquido sobre cierto punto es igual al
producto de la densidad del líquido,
el factor de peso, y la altura del
líquido medida a partir de ese punto.
p: presión
ρ: densidad del líquido
g: 9.8 N/kg
h: altura
𝑝 = 𝜌𝑔ℎ
La presión manométrica es igual a la
diferencia entre la presión absoluta y
la presión atmosférica.
pm: presión manométrica
pa: presión absoluta
patm: presión atmosférica
𝑝 𝑚 = 𝑝 𝑎 − 𝑝 𝑎𝑡𝑚
Ejercicios de la página 14
1. Represente en diferentes contextos las expresiones algebraicas siguientes
a. 5𝑥: Cinco veces el dinero de mi amigo
b. 4𝑥𝑦: un paralelepípedo de dimensiones y, 4 y x.
c. 4𝑥2
𝑦
El descuento x aplicado al descuento x de y multiplicado por 4
d. 𝑥2
+ 3𝑦
x 3
x y
e. 4𝑥(3 + 𝑏)
El interés simple de sobre el capital 3+b en el tiempo x.
f. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
c
b
a

3. g. 𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 𝑧2
h. 𝑥 + 𝑦
El número de horas trabajadas en un día en dos trabajos distintos.
i. 𝑥𝑦
El volumen de un paralelepípedo de aristas x, y y 1.
j. 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
c
b
a
-
𝑥2
xy xy xy
𝑧2

4. 3.
a. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd b. (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
c. (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
d. (𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2

5. e. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
f. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

6. g. (𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
h. (𝑎 − 𝑏)3
= 𝑎3
− 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
− 𝑏3

7. i. 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)
4. Utilizando áreas demuestre las siguientes identidades
a. 𝑥2
+ 𝑎𝑥 = (𝑥 +
𝑎
2
)
2
− (
𝑎2
2
)
2
b. (𝑎 + 𝑏)2
+ (𝑎 − 𝑏)2
= 2(𝑎2
+ 𝑏2)

8. 5. Dados dos segmentos 𝑎 y 𝑏, calcular o contruir los segmentos siguientes: 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎𝑏 𝑦
𝑎
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑎
𝑏

9. Tarea de la semana 2
Ejercicios 11 y 12 de la sección 2.8
11. ¿Cómo deben disponerse cuatro unos para obtener el número más grande posible?
1111
12. ¿Cómo deben disponerse cuatro doses para obtener el número más grande posible?
2222
Ejercicios 4, 5, 9 y 10 de la sección 2.9
4. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha
comunicado a otras 3 y cada una de estas otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así
sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?
Solución
𝑎0 = 3
𝑎1 = 3 ∙ 3 = 32
𝑎2 = 3 ∙ 32
= 33
𝑎3 = 3 ∙ 33
= 34
⋮
𝑎12 = 3 ∙ 312
= 313

10. 5. Imagina una pareja especial de conejos que pueden reproducirse cuando tienen dos meses pero
no antes. Imagina que cada mes, desde que son maduros (a los dos meses), tienen una pareja de
hijos siempre macho y hembra. Cuando son jóvenes son grises y cuando maduran se vuelven
marrones. Si partiéramos de una sola pareja de conejos jóvenes, ¿Cuántas parejas tendremos al
comienzo de cada uno de los meses siguientes?
Solución
Para ilustrarlo utilizaremos para representar las parejas jóvenes, y para las parejas
maduras.
Mes 0 mes 1 mes 2 mes 3 mes 4 mes 5
1 1 2 3 5 8
9. Dada la sucesión: 3, 8, 15, 24, 35,…, represéntela utilizando configuraciones puntuales, escriba
al menos un desarrollo aritmético, encuentre el término general de la sucesión.
Solución
Al analizar la diferencia entre cada término sucesivo
3 8 15 24 35
5 7 9 11
2 2 2
Vemos que se trata de una sucesión aritmética de segundo grado, por lo tanto el término general
viene dado por
𝑠(𝑛) = 𝑎𝑛2
+ 𝑏𝑛 + 𝑐
𝑎0 = 1
𝑎1 = 1
𝑎2 = 2 = 1 + 1 = 𝑎0 + 𝑎1
𝑎3 = 3 = 1 + 2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑎4 = 5 = 2 + 3 = 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−1
Vemos que

11. Luego
𝑠(0) = 𝑐 = 3
𝑠(1) = 𝑎 + 𝑏 + 3 = 8
𝑠(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 3 = 15
De donde se obtiene el sistema de ecuaciones
{
2𝑎 + 𝑏 = 6
𝑎 + 𝑏 = 5
→ {
𝑎 = 1
𝑏 = 4
Y el término general está dado por
𝑠(𝑛) = 𝑛2
+ 4𝑛 + 3
Si hacemos otro análisis utilizando configuraciones puntuales tenemos lo siguiente
Vemos que resulta el área de un cuadrado menos una unidad.
Podemos establecer la siguiente secuencia
𝑎1 = 22
− 1
𝑎2 = 32
− 1
𝑎3 = 42
− 1
⋮
𝑎 𝑛 = (𝑛 − 1)2
− 1

12. 10. Cuántas cerillas se necesitan para construir un cuadro de 20 x 20 siguiendo el procedimiento
de la sucesión mostrada en la figura?
𝑎1 = 4, 𝑎2 = 12, 𝑎3 = 21, 𝑎4 = 40, …
𝑎1 = 4 × 1
𝑎2 = 4 × 2 + 2 × 2
𝑎3 = 4 × 3 + 3 × 4
𝑎4 = 4 × 4 + 4 × 6
𝑎4 = 4 × 5 + 5 × 8
⋮
𝑎 𝑛 = 4𝑛 + 2𝑛(𝑛 − 1)
Luego
𝑎20 = 4(20) + 2(20)(19) = 840
Se necesitan 840 fósforos.

13. Ejercicios 13, 14 y 15 de la guía de ejercicios 2.10
13. Ana eligió 3 dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos
sin repetir. Luego sumó todos los números que obtuvo. Sabiendo que la suma de los tres dígitos
originales es 14, encuentre la suma obtenida por Ana.
Solución.
Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 los tres dígitos elegidos por Ana tal que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 14.
Los números que formó con la permutación de los dígitos tenían la siguiente forma
𝑎𝑏𝑐, 𝑏𝑎𝑐, 𝑏𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐𝑏𝑎, 𝑎𝑐𝑏
Donde
𝑎𝑏𝑐 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 +
𝑏𝑎𝑐 = 100𝑏 + 10𝑎 + 𝑐 +
𝑏𝑐𝑎 = 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑎 +
𝑐𝑎𝑏 = 100𝑐 + 10𝑎 + 𝑏 +
𝑐𝑏𝑎 = 100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 +
𝑎𝑐𝑏 = 100𝑎 + 10𝑐 + 𝑏 +
𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑎𝑐 + 𝑏𝑐𝑎 + 𝑐𝑎𝑏 + 𝑐𝑏𝑎 + 𝑎𝑐𝑏
= 200𝑎 + 200𝑏 + 200𝑐 + 20𝑎 + 20𝑏 + 20𝑐 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 𝑆
𝑆 = 200(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 20(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 200(14) + 20(14) + 2(14) = 3108
Por lo tanto la suma que obtuvo Ana es 3108

14. 14. Ernesto tiene 321 en billetes de 1, 5 y 25. Si tiene igual cantidad de billetes de 1 que de 5,
determine cuántos billetes de cada clase puede tener.
Solución
Sea x: la cantidad de billetes de 1; y: la cantidad de billetes de 5 (x=y); z: la cantidad de billetes de
25.
Como tiene 321 en billetes de 1, 5 y 25 obtenemos que
𝑥 + 5𝑥 + 25𝑧 = 321 → 𝑧 =
321 − 6𝑥
25
Como x y z deben ser enteros, 321 − 6𝑥 ≥ 25 → 𝑥 < 49
Al evaluar todos los casos posibles con excell
x= 1 y= 1 z= 12.6
x= 2 y= 2 z= 12.36
x= 3 y= 3 z= 12.12
x= 4 y= 4 z= 11.88
x= 5 y= 5 z= 11.64
x= 6 y= 6 z= 11.4
x= 7 y= 7 z= 11.16
x= 8 y= 8 z= 10.92
x= 9 y= 9 z= 10.68
x= 10 y= 10 z= 10.44
x= 11 y= 11 z= 10.2
x= 12 y= 12 z= 9.96
x= 13 y= 13 z= 9.72
x= 14 y= 14 z= 9.48
x= 15 y= 15 z= 9.24
x= 16 y= 16 z= 9
x= 17 y= 17 z= 8.76
x= 18 y= 18 z= 8.52
x= 19 y= 19 z= 8.28
x= 20 y= 20 z= 8.04
x= 21 y= 21 z= 7.8
x= 22 y= 22 z= 7.56
x= 23 y= 23 z= 7.32
x= 24 y= 24 z= 7.08
x= 25 y= 25 z= 6.84
x= 26 y= 26 z= 6.6
x= 27 y= 27 z= 6.36
x= 28 y= 28 z= 6.12

15. x= 29 y= 29 z= 5.88
x= 30 y= 30 z= 5.64
x= 31 y= 31 z= 5.4
x= 32 y= 32 z= 5.16
x= 33 y= 33 z= 4.92
x= 34 y= 34 z= 4.68
x= 35 y= 35 z= 4.44
x= 36 y= 36 z= 4.2
x= 37 y= 37 z= 3.96
x= 38 y= 38 z= 3.72
x= 39 y= 39 z= 3.48
x= 40 y= 40 z= 3.24
x= 41 y= 41 z= 3
x= 42 y= 42 z= 2.76
x= 43 y= 43 z= 2.52
x= 44 y= 44 z= 2.28
x= 45 y= 45 z= 2.04
x= 46 y= 46 z= 1.8
x= 47 y= 47 z= 1.56
x= 48 y= 48 z= 1.32
x= 49 y= 49 z= 1.08
Vemos que las únicas posibilidades enteras son
x= 16 y= 16 z= 9
x= 41 y= 41 z= 3

16. 15. Encuentre todos los números naturales de dos cifras, tales que el producto de sus cifras más el
doble de la suma de sus dígitos sea igual al mismo número.
Solución
Sean a y b los dígitos del número natural de dos cifras 𝑛 = 10𝑎 + 𝑏
Debe cumplir que
𝑎𝑏 + 2(𝑎 + 𝑏) = 10𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏 + 2𝑎 + 2𝑏 = 10𝑎 + 𝑏
𝑏 = 8𝑎 − 𝑎𝑏
𝑎 =
𝑏
8 − 𝑏
; para que a sea entero 𝑏 ≥ 4
Al evaluar los casos posibles y seleccionar los que permitan que a y b sean enteros obtenemos
𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑛 = 14
𝑎 = 3, 𝑏 = 6, 𝑛 = 36
𝑎 = 7, 𝑏 = 7, 𝑛 = 77
Por tanto los números son 14, 36 y 77