1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con rectas y secciones cónicas en el plano. Incluye problemas para determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos y pendientes dados, calcular distancias, y encontrar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas y secciones cónicas dadas diferentes condiciones como puntos, pendientes, tangencias, y focales.
3. También incluye verificar propiedades geométricas y relaciones entre
Este documento presenta la solución a 8 problemas relacionados con circunferencias. En cada problema se dan los datos, se realizan los cálculos necesarios y se obtienen las ecuaciones de las circunferencias solicitadas. Los problemas involucran conceptos como tangencia, radios, centros y puntos de intersección.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
1) El documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las circunferencias. Define una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro.
2) Presenta la ecuación canónica de una circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 = r2, donde (a, b) son las coordenadas del centro y r el radio.
3) Explica cómo determinar si una ecuación de segundo grado representa o no una circunferencia en función de los coeficient
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de elipses como ecuaciones de elipses, longitud de ejes, centros, focos y vértices. Las preguntas requieren calcular estas propiedades o determinar la ecuación de una elipse dada cierta información sobre sus características geométricas.
Este documento trata sobre geometría analítica y curvas cónicas. Explica los elementos y ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos, y cómo resolver problemas aplicando ecuaciones de parábolas.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
Este documento presenta la solución a 8 problemas relacionados con circunferencias. En cada problema se dan los datos, se realizan los cálculos necesarios y se obtienen las ecuaciones de las circunferencias solicitadas. Los problemas involucran conceptos como tangencia, radios, centros y puntos de intersección.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
1) El documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las circunferencias. Define una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro.
2) Presenta la ecuación canónica de una circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 = r2, donde (a, b) son las coordenadas del centro y r el radio.
3) Explica cómo determinar si una ecuación de segundo grado representa o no una circunferencia en función de los coeficient
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de elipses como ecuaciones de elipses, longitud de ejes, centros, focos y vértices. Las preguntas requieren calcular estas propiedades o determinar la ecuación de una elipse dada cierta información sobre sus características geométricas.
Este documento trata sobre geometría analítica y curvas cónicas. Explica los elementos y ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos, y cómo resolver problemas aplicando ecuaciones de parábolas.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
1) Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante al centro se llama radio.
2) Existen tres ecuaciones para representar una circunferencia: la ecuación ordinaria, la ecuación canónica y la ecuación general. La ecuación general es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F dependen de las coordenadas del centro y el radio.
3) Se presentan varios ej
El documento describe los elementos de la circunferencia y el círculo. Una circunferencia es el conjunto de puntos que equidistan de un punto central llamado centro. Un círculo es la figura formada por una circunferencia más su área interior. El documento explica conceptos como radio, diámetro, cuerda, arco, tangente, secante, y ángulos asociados a la circunferencia como el ángulo del centro y el ángulo inscrito. También presenta la ecuación general de una circunferencia.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
El documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente y ángulo de inclinación de una recta, y la ecuación general de una recta.
Este documento describe las traslaciones de ejes cartesianos y cómo cambian las coordenadas de los puntos bajo una traslación. Explica que las coordenadas de un punto P(x,y) se transforman a (x',y') mediante las fórmulas x=x'+h e y=y'+k, donde (h,k) son las coordenadas del nuevo origen O'. Incluye varios ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas para encontrar nuevas coordenadas y ecuaciones de rectas y curvas después de una traslación.
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyDaniel Vliegen
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos de geometría analítica. Incluye problemas relacionados con puntos, rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Cada problema está explicado con un método y las fórmulas necesarias para resolverlo. El documento proporciona soluciones concisas y paso a paso para comprender mejor los conceptos de geometría analítica.
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
Este documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las parábolas. Explica que la ecuación normal de una parábola contiene información sobre su vértice, foco y directriz. También muestra cómo graficar parábolas a partir de sus ecuaciones en forma normal y cómo deducir la ecuación de una parábola dados sus elementos geométricos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de las parábolas en diseños ópticos.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y cómo determinar el tipo de curva que representan en función de sus coeficientes. Explica que las cónicas son intersecciones de un cono de revolución con un plano, y que las ecuaciones de segundo grado representan elipses, parábolas e hipérbolas. Detalla cómo usar los coeficientes A, B y C, y el discriminante para identificar el tipo de curva en cada caso. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
El documento define conceptos geométricos como puntos, rectas, distancias entre puntos, pendientes de rectas, ecuaciones de rectas y circunferencias. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, encontrar el punto medio de un segmento, hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos sobre ella, y obtener la ecuación canónica de una circunferencia a partir de su centro y radio.
La circunferencia en geometria analiticaLarry Lituma
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas sus ecuaciones en varias formas, cómo determinar el centro y radio a partir de la ecuación general, y las posibilidades de intersección entre dos circunferencias. También introduce las familias de circunferencias definidas por ecuaciones con un parámetro arbitrario.
Este documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente de una recta, el ángulo entre rectas y las ecuaciones de rectas.
1. Este documento presenta fórmulas y conceptos básicos de geometría analítica, incluyendo ecuaciones para puntos, rectas, cónicas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas.
2. Se describen las ecuaciones generales y particulares para cada figura, así como los datos geométricos importantes como centros, vértices y focos.
3. También incluye fórmulas para calcular ángulos, pendientes, distancias y áreas de polígonos.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
Este documento presenta varios ejercicios de geometría analítica que involucran vectores y puntos en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se describe un itinerario usando vectores y coordenadas. En el segundo, se analizan viajes por un río descritos por una expresión vectorial. El documento continúa resolviendo ejercicios sobre sumas y diferencias de vectores, puntos medios de segmentos, y si puntos están alineados o no.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con vectores en el plano y en el espacio, incluyendo determinar vectores entre puntos, operaciones entre vectores como suma y diferencia, vectores unitarios, producto escalar y producto vectorial, y aplicaciones geométricas como área y volumen. Contiene 37 ejercicios que abarcan diferentes temas sobre vectores.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con puntos, rectas y ecuaciones en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta y las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Luego, proporciona ejemplos para practicar estos conceptos.
1) Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante al centro se llama radio.
2) Existen tres ecuaciones para representar una circunferencia: la ecuación ordinaria, la ecuación canónica y la ecuación general. La ecuación general es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F dependen de las coordenadas del centro y el radio.
3) Se presentan varios ej
El documento describe los elementos de la circunferencia y el círculo. Una circunferencia es el conjunto de puntos que equidistan de un punto central llamado centro. Un círculo es la figura formada por una circunferencia más su área interior. El documento explica conceptos como radio, diámetro, cuerda, arco, tangente, secante, y ángulos asociados a la circunferencia como el ángulo del centro y el ángulo inscrito. También presenta la ecuación general de una circunferencia.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
El documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente y ángulo de inclinación de una recta, y la ecuación general de una recta.
Este documento describe las traslaciones de ejes cartesianos y cómo cambian las coordenadas de los puntos bajo una traslación. Explica que las coordenadas de un punto P(x,y) se transforman a (x',y') mediante las fórmulas x=x'+h e y=y'+k, donde (h,k) son las coordenadas del nuevo origen O'. Incluye varios ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas para encontrar nuevas coordenadas y ecuaciones de rectas y curvas después de una traslación.
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyDaniel Vliegen
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos de geometría analítica. Incluye problemas relacionados con puntos, rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Cada problema está explicado con un método y las fórmulas necesarias para resolverlo. El documento proporciona soluciones concisas y paso a paso para comprender mejor los conceptos de geometría analítica.
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
Este documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las parábolas. Explica que la ecuación normal de una parábola contiene información sobre su vértice, foco y directriz. También muestra cómo graficar parábolas a partir de sus ecuaciones en forma normal y cómo deducir la ecuación de una parábola dados sus elementos geométricos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de las parábolas en diseños ópticos.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y cómo determinar el tipo de curva que representan en función de sus coeficientes. Explica que las cónicas son intersecciones de un cono de revolución con un plano, y que las ecuaciones de segundo grado representan elipses, parábolas e hipérbolas. Detalla cómo usar los coeficientes A, B y C, y el discriminante para identificar el tipo de curva en cada caso. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
El documento define conceptos geométricos como puntos, rectas, distancias entre puntos, pendientes de rectas, ecuaciones de rectas y circunferencias. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, encontrar el punto medio de un segmento, hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos sobre ella, y obtener la ecuación canónica de una circunferencia a partir de su centro y radio.
La circunferencia en geometria analiticaLarry Lituma
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas sus ecuaciones en varias formas, cómo determinar el centro y radio a partir de la ecuación general, y las posibilidades de intersección entre dos circunferencias. También introduce las familias de circunferencias definidas por ecuaciones con un parámetro arbitrario.
Este documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente de una recta, el ángulo entre rectas y las ecuaciones de rectas.
1. Este documento presenta fórmulas y conceptos básicos de geometría analítica, incluyendo ecuaciones para puntos, rectas, cónicas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas.
2. Se describen las ecuaciones generales y particulares para cada figura, así como los datos geométricos importantes como centros, vértices y focos.
3. También incluye fórmulas para calcular ángulos, pendientes, distancias y áreas de polígonos.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
Este documento presenta varios ejercicios de geometría analítica que involucran vectores y puntos en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se describe un itinerario usando vectores y coordenadas. En el segundo, se analizan viajes por un río descritos por una expresión vectorial. El documento continúa resolviendo ejercicios sobre sumas y diferencias de vectores, puntos medios de segmentos, y si puntos están alineados o no.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con vectores en el plano y en el espacio, incluyendo determinar vectores entre puntos, operaciones entre vectores como suma y diferencia, vectores unitarios, producto escalar y producto vectorial, y aplicaciones geométricas como área y volumen. Contiene 37 ejercicios que abarcan diferentes temas sobre vectores.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con puntos, rectas y ecuaciones en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta y las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Luego, proporciona ejemplos para practicar estos conceptos.
El documento describe conceptos matemáticos relacionados con ecuaciones de rectas, incluyendo la forma general de una ecuación de recta, cómo calcular la pendiente de una recta a partir de su ecuación, y las posibles relaciones entre dos rectas como paralelas, secantes o perpendiculares. También presenta ejemplos gráficos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe la ecuación de una recta, incluyendo cómo se puede presentar en forma principal o general, cómo calcular la pendiente e intercepto, y cómo determinar la ecuación de una recta a partir de puntos o la pendiente.
Este documento explica la ecuación principal de una recta (y = mx + n) y cómo calcular la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) a partir de dos puntos dados o cuando se conoce la pendiente y un punto. También muestra cómo determinar si un punto pertenece a una recta dada y cómo graficar rectas.
La recta tiene una pendiente negativa cuando la línea desciende de izquierda a derecha, una pendiente cero cuando la línea es horizontal, y una pendiente positiva cuando la línea asciende de izquierda a derecha.
Este documento presenta una introducción teórica a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, crecimiento, funciones polinómicas y otros tipos de funciones. Luego, proporciona ejercicios resueltos sobre cómo hallar el dominio de funciones, calcular la inversa de funciones y otros conceptos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar conceptos básicos sobre funciones a través de ejemplos y problemas resueltos paso a paso.
Este documento presenta 18 problemas resueltos sobre ecuaciones de rectas. Los problemas cubren conceptos como puntos sobre ejes, pendientes, ordenadas en el origen, ecuaciones de rectas, puntos de corte, paralelas y perpendiculares. Cada problema contiene la solución explicando los pasos para determinar la respuesta correcta.
El documento habla sobre las funciones y explica que para que una relación sea función, cada elemento del conjunto de partida debe asignarse a un único elemento en el conjunto de llegada. El documento también indica que el estudiante ha completado los ejercicios de funciones y debería volver a revisar los contenidos.
Ecuación de la recta prof. Mónica Lordikaricanteros
El documento explica los conceptos básicos de la ecuación de una recta, incluyendo la pendiente, la ordenada al origen, y cómo calcularlos a partir de la ecuación de la recta o de dos puntos en la recta. También cubre cómo determinar si un punto pertenece a una recta dada y cómo encontrar la ecuación de una recta a partir de dos puntos conocidos en la recta.
La pendiente de una recta representa su grado de inclinación y se denota con la letra m. Una pendiente positiva indica una recta ascendente, una negativa una descendente y una de valor cero una horizontal. El cálculo de la pendiente a partir de dos puntos o de la ecuación general de la recta permite determinar las características geométricas de una recta.
Ecuaciones de la recta en el plano cartesianojuan20132012
1) Explica las diferentes formas de representar una recta en el plano cartesiano, incluyendo la ecuación general, reducida, simétrica y paramétrica. 2) Detalla cómo determinar la posición relativa de dos rectas mediante el análisis de su sistema de ecuaciones. 3) Resume los pasos para calcular el punto de intersección de dos rectas.
La función lineal es una función cuyo dominio y codominio son números reales y cuya expresión es un polinomio de primer grado de la forma f(x)=mx+b. La pendiente m y el punto de corte b determinan la inclinación y posición de la recta representativa de la función. Las funciones lineales tienen incrementos proporcionales y pueden ser crecientes, decrecientes o constantes dependiendo del signo de m.
Ejercicios resueltos de integrales indefinidasasble
El documento presenta ejercicios de cálculo de integrales resueltos mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, descomposición en fracciones simples y cambio de variable. Se calculan integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales, y se resuelven problemas que involucran hallar funciones a partir de sus derivadas o primitivas.
Ejercicios resueltos ecuacion de la rectaMagiserio
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre ecuaciones de rectas. Incluye problemas sobre hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos, clasificar triángulos, estudiar la posición relativa de rectas, encontrar vértices faltantes de figuras geométricas conocidos otros datos, y calcular ecuaciones y longitudes de diagonales de paralelogramos.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre álgebra y funciones lineales, incluyendo producto cartesiano, distancia entre puntos, coordenadas del punto medio de un segmento, pendiente de una recta, ecuación punto-pendiente, ecuación de dos puntos, ecuación general de una recta, rectas paralelas y perpendiculares. Se proveen ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Este documento presenta los objetivos de aprendizaje relacionados con la ecuación de la recta. Los estudiantes aprenderán a reconocer la expresión algebraica y gráfica de la ecuación de la recta, identificar la pendiente e intercepto, y analizar las posiciones relativas de dos rectas. También aprenderán a establecer las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y resolver problemas modelados con la ecuación de la recta.
Este documento define y explica las funciones lineales. Indica que una función lineal es una función cuyo dominio y codominio son los números reales y cuya expresión es un polinomio de primer grado. Proporciona ejemplos de funciones lineales y explica sus características clave, incluida la pendiente y cómo esta determina si la función es creciente o decreciente. También muestra cómo representar funciones lineales gráficamente.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de la geometría analítica. Explica cómo se representan gráficamente puntos, rectas y circunferencias mediante coordenadas cartesianas y ecuaciones algebraicas. Incluye fórmulas para calcular distancias, pendientes, ecuaciones de rectas y circunferencias, así como ejemplos de problemas resueltos.
El documento presenta una guía de cálculo I que incluye ejercicios resueltos sobre rectas, parábolas, elipses, hipérbolas y circunferencias. Los ejercicios involucran determinar ecuaciones de líneas y curvas dadas diferentes condiciones, calcular puntos y medidas geométricas, y graficar funciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, la pendiente y ecuación de una recta, y cómo graficar una recta a partir de su ecuación. También introduce conceptos sobre ángulos entre rectas y rectas paralelas y perpendiculares. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos presentados.
1. El tercer punto de la recta que pasa por los puntos A(3,7) y B(-1,-1) es (1,2).
2. La recta y=3-2x es paralela a la circunferencia x^2 + y^2 - 3x + 4y - 3 = 0.
3. La ecuación reducida de la hipérbola con focos en (7,0) y (-7,0) que pasa por (4,0) es x^2/49 - y^2/100 = 1.
Este documento presenta la teoría y ejercicios sobre la ecuación de la recta. Explica que una recta puede definirse mediante un vector director o la ecuación punto-vector. A continuación, proporciona 10 ejercicios resueltos como ejemplos para hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, son paralelas o perpendiculares a otras rectas, o forman ángulos determinados.
El documento explica los conceptos básicos del sistema cartesiano, incluyendo los ejes x e y, las coordenadas de los puntos, y las propiedades de distancia y punto medio de segmentos de recta. También introduce las ecuaciones de rectas, incluyendo la forma punto-pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y cómo encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.
El documento describe las características geométricas y las ecuaciones analíticas de las principales curvas cónicas: elipse, hipérbola, parábola y circunferencia. Explica cómo representar estas curvas en un plano cartesiano y obtener sus ecuaciones a partir de las coordenadas de sus elementos característicos como focos, vértices y centros.
Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas cartesianas, fórmulas para calcular distancias entre puntos y puntos medios, ecuaciones de rectas en diferentes formas (punto-pendiente, general, explicita), conceptos de pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y ejercicios para practicar el cálculo de distancias, ecuaciones y clasificación de rectas. Explica de manera concisa pero completa los principales temas relacionados con rectas en el plano cartesiano.
El documento presenta 29 problemas relacionados con ecuaciones de rectas, circunferencias, parábolas y elipses en el plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular ecuaciones a partir de puntos y pendientes dados, determinar coordenadas de puntos y vértices, y representar gráficamente diferentes curvas.
1) El documento explica conceptos básicos de álgebra y funciones como el sistema de coordenadas cartesianas, puntos, rectas, ecuaciones de rectas, pendientes, rectas paralelas y perpendiculares.
2) Se proporcionan ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de pendientes, ecuaciones de rectas, y determinar relaciones entre rectas.
3) El resumen incluye 15 ejercicios para identificar y calcular elementos geométricos y algebraicos relacionados con rectas en el plano cartesiano.
1) El documento presenta conceptos básicos de álgebra y funciones como el sistema de coordenadas cartesianas, puntos, rectas, ecuaciones de rectas, pendientes, rectas paralelas y perpendiculares.
2) Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de pendientes, ecuaciones de rectas, y determinar si rectas son paralelas o perpendiculares.
3) Explica cómo calcular la distancia entre puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, y la ecuación de
El documento define una circunferencia como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto central es constante. Explica los elementos de una circunferencia, como su centro, radio, diámetro y ecuaciones. Presenta las ecuaciones canónica, ordinaria y general de una circunferencia, así como conceptos como tangentes, normales, y familias de circunferencias.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el sistema de coordenadas cartesianas, incluyendo la determinación de la posición de puntos en un plano, la distancia entre puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta, ecuaciones de rectas que pasan por puntos y/o tienen ciertas pendientes, rectas paralelas y perpendiculares, y ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta una guía de 150 problemas de geometría analítica divididos en 11 secciones, que abarcan conceptos como líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y ecuaciones paramétricas. La guía tiene como objetivo complementar los textos de geometría analítica impartidos en escuelas de nivel medio superior, y contiene problemas de distintos grados de dificultad para que los estudiantes practiquen y consoliden los conceptos teóricos vistos en clase. Se recom
Este documento explica cómo obtener la ecuación de una parábola a partir de su vértice y foco, o de su forma general. También describe cómo calcular la distancia, punto medio y pendiente entre dos puntos, y cómo determinar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro de un triángulo.
Este documento contiene 28 ejercicios de geometría analítica sobre rectas y puntos en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como ecuaciones de rectas en diferentes formas, vectores directores, pendientes, distancias entre puntos y rectas, ángulos entre rectas, rectas paralelas y perpendiculares, simetría respecto a una recta, mediatriz de un segmento, triángulos y paralelogramos.
Este documento presenta cuatro objetivos sobre elipse y hipérbola. El primer objetivo explica la definición y ecuación de la elipse. El segundo objetivo explica la definición y ecuación de la hipérbola. El tercer objetivo cubre la forma general de las ecuaciones de segundo grado que representan elipses e hipérbolas. Cada objetivo incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
Geometría analítica problemas sobre rectasLiceo Naval
1) El documento presenta 18 problemas de geometría analítica sobre rectas que involucran hallar ecuaciones de rectas, puntos, ángulos, áreas y distancias. 2) Los problemas propuestos son para ser resueltos en clase por los estudiantes de 5to grado de secundaria. 3) El documento fue elaborado por el profesor Justo Ríos Cabrera para el IV bimestre.
Este documento contiene varios problemas de álgebra que involucran ecuaciones de rectas y circunferencias. Se piden hallar ecuaciones de rectas dadas diferentes condiciones como puntos o pendientes, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, y encontrar ecuaciones y propiedades de circunferencias dadas puntos, centros o radios.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con estadística y probabilidad. Incluye tres conjuntos de datos y solicita calcular medidas de tendencia central, dispersión, construir gráficos y determinar probabilidades para diversos experimentos aleatorios simples y compuestos.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con la construcción y cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades de cuerpos geométricos regulares y de revolución. Se pide construir y analizar tetraedros, hexaedros, octaedros, prismas, pirámides y otros sólidos, así como calcular áreas, volúmenes, radios y otras medidas. También incluye ejercicios sobre cuerpos de revolución como conos, cilindros y esferas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con triángulos, polígonos y figuras circulares. Incluye ejercicios sobre la construcción y resolución de triángulos, el cálculo de áreas y perímetros, y propiedades geométricas de figuras como circunferencias, cuadrados y rombos. Los problemas abarcan temas como semejanza, congruencia, teorema de Pitágoras y relaciones métricas en figuras planas.
1. El documento presenta una serie de ejercicios de números complejos que incluyen cálculos, demostraciones y conversiones entre las diferentes formas de representación de números complejos.
2. Se piden determinar valores, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, calcular determinantes, y expresar números complejos en forma polar, rectangular y exponencial.
3. También se incluyen ejercicios geométricos que implican representar números complejos en el plano complejo y aplicaciones como descomposición en factores y desigualdades.
1. El documento presenta ejercicios sobre matrices y operaciones matriciales. Incluye problemas para hallar determinantes, inversas, sumas y productos de matrices. También contiene sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución.
2. Se piden determinar propiedades como si matrices son diagonales, ortogonales o semejantes. También involucra funciones matriciales y ecuaciones matriciales para hallar valores desconocidos.
3. Los ejercicios abarcan diversos temas sobre álgebra line
El documento presenta ejercicios sobre ángulos y funciones trigonométricas. Incluye preguntas sobre ángulos, transformación entre grados y radianes, gráficas y valores de funciones trigonométricas elementales, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. El documento proporciona material para practicar conceptos básicos de trigonometría.
El documento presenta varios ejercicios relacionados con conceptos matemáticos como números irracionales, operaciones binarias, relaciones de orden, expresiones algebraicas y valor absoluto. Algunos de los ejercicios propuestos incluyen determinar si una proposición es verdadera o falsa, simplificar expresiones algebraicas, hallar el resultado de operaciones y comparar números reales.
El documento parece ser un conjunto de ejercicios de lógica y álgebra que incluye: 1) preguntas de opción múltiple sobre proposiciones lógicas y sus valores de verdad, 2) ecuaciones y expresiones algebraicas con sus dominios de definición y valores, 3) conjuntos y operaciones entre ellos. El documento contiene la solución a cada ejercicio planteado.
El documento presenta la historia del desarrollo de los números complejos. El matemático Diofanto planteó un problema geométrico en el siglo III d.C. que involucraba raíces cuadradas de números negativos, el cual no pudo resolver. En los siglos XVI y XVII, matemáticos como Cardano, Bombelli y Descartes comenzaron a explorar las propiedades de estas raíces. En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 como i. Finalmente, en su tesis de 1799, Gauss demo
Este capítulo presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. Introduce proposiciones, tablas de verdad, operadores lógicos como negación, conjunción, disyunción y condicional. Explica formas proposicionales, implicación lógica y equivalencia lógica. Luego cubre conjuntos, operaciones entre conjuntos, cuantificadores, relaciones y funciones.
1. 869pág.
10.1 Rectas en el plano
6. Determine la ecuación de la recta vertical cuya intersección con el eje X
es el punto P(-1/2, 0).
1. Determine la distancia y el punto medio entre los siguientes pares de
puntos:
a. (1, 2) ; (-2, 3)
b. (0, 3) ; (1, 5)
c. (-2, -1) ; (-3, 4)
d. (2, 4) ; (3, 4)
e. (-4, 6) ; (-7, 6)
f. (a, 1) ; (2a, 1) ; a ∈
g. (5a, 2a) ; (a, 3a) ; a ∈
2. Encuentre las ecuaciones paramétricas, Punto-Pendiente y general de la
recta que contiene los siguiente pares de puntos:
a. (-2, 3) ; (-3, 1)
b. (2, 0) ; (4, 5)
c. (-1, 1) ; (1, 1)
d. (-2, 4) ; (1, 4)
e. (-4, 5) ; (-4, 2)
3. Halle la ecuación de una recta si se conoce que contiene el punto (1, 3) y
tiene pendiente 9.
4. Halle la ecuación de una recta que contiene el punto (0, 6) y es:
a. Paralela al eje X.
b. Paralela al eje Y.
c. Paralela a la recta 3x - 2y = 6.
d. Perpendicular a la recta -2x + y -1= 0.
5. Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o
FALSA. En caso de ser VERDADERA, DEMUÉSTRELA; y en caso de ser
FALSA, justifique su respuesta con un CONTRAEJEMPLO.
a. El vector (a, b) es paralelo a la recta definida por la ecuación
ax+by+c=0.
b. El vector (2a, 2b) es perpendicular a la recta definida por la ecuación
ax+by+c=0.
c. Si se tienen las rectas L1: A1x + B1y + C1= 0 y L2: A2x + B2y + C2= 0, tales
que L1 ∩ L2 = ∅, entonces para algún k real se cumple que A1=kA2, B1= kB2
y C1≠ kC2 .
d. Si L es una recta que tiene ecuación y=kx+b, entonces la pendiente de
la recta L es k.
e. Si W = {(x, y) / x = x0 + at ∧ y = y0 + bt, t ∈ }, entonces W es una recta
paralela al vector (a, b) que contiene al punto (x0 , y0).
CAPÍTULO DIEZ10 Ejercicios propuestos
2. 870pág.
10. Si se tiene una recta L que contiene al punto P0 (1, 2) y que es perpendicular
al vector V=(-2, -4) entonces es VERDAD que:
a) P(-1, -2) ∈L
b) L = {(x,y) ∈ 2
/x + 2y - 5 = 0}
c) La pendiente de L es -2.
d) L es perpendicular a la recta 2x + 5y - 1 = 0.
9. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (3, -5) y es
paralela al vector (-4, 2).
8. Se definen los vectores V1 y V2 en el plano, tales que V1=(2, -3) y V2=(4,1).
Determine la ecuación de la recta L que es paralela al vector V1-V2 y
contiene al punto P(1,2).
11. Una recta contiene los puntos (-1, 1) y (3, 9), entonces su intersección
con el eje X es:
a) - 3
2
b) - 2
3
c) - 2
5
d) 2 e) 3
12. La ecuación de la recta que tiene la misma intersección con el eje X que
la recta 2x - 5y + 6 = 0, y que es paralela a la recta 4x - 2y - 5 = 0, es:
a) 2x - y - 6 = 0 b) x - 2y + 3 = 0 c) 2x + y + 6 = 0
d) 2x - y + 6 = 0 e) 2y - x - 3 = 0
13. Dada la ecuación que define a la recta L: 3x + 2y - 5 = 0, entonces es
verdad que:
a) L tiene pendiente 3/2.
b) L interseca al eje Y en el punto (0, -5).
c) L es perpendicular a la recta 2x - 3y - 15 = 0.
d) L es paralela a la recta 3x - 2y + 5 = 0.
e) El punto (3, 2) ∈L.
14. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia
f (x) = ax + b, entonces es verdad que:
a) Si a = 0, entonces f es estrictamente creciente.
b) Si b = 0, entonces f es par.
c) Si a < 0, entonces f es decreciente.
d) f (a) es igual a a2
+ b2
.
7. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (5, -1) y que es
paralela a la recta 2x + y -1 = 0.
3. 871pág.
19. Calcule la distancia entre la recta L: 3x-4y+12=0 y el punto P(4,-1).
20. Si una recta tiene como su punto más cercano al origen a P1(1, 3)
entonces, una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) La pendiente de la recta es -1/3.
b) Un vector normal a L es n=(1, 3).
c) El punto P(2, 3) ∈L.
d) La ecuación de L es x + 3y - 10 = 0.
e) La distancia de la recta al origen es igual a 10.
16. Hace 6 años se compró una casa por $59 000. Este año fue avaluada en
$95 000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente
con el tiempo, determine cuál de las siguientes expresiones relaciona el
valor de la casa y($) para cualquier tiempo t(años) después de la fecha de
compra:
a) y = 6000t + 59000
b) y = 6000t − 59000
c) y = 5000t − 59000
d) y = 5900t + 59000
17. Una maquinaria agrícola, cuyo valor inicial era de $80 000, se deprecia
sobre su tiempo de vida útil de 10 años. Al final de los 10 años, el equipo
tiene un valor de $2 000. Exprese y($) como una función de x(años).
18. En el problema anterior, el valor de la maquinaria para cuando el tiempo
de vida útil sea de 5 años, es:
a) $40 000
b) $41 000
c) $52 000
d) $35 000
e) $21 000
21. Si el punto P(3/2, 1/2) pertenece a la recta cuya distancia desde su
punto de intersección con el eje X al origen es 2 veces su distancia desde
su punto de intersección con el eje Y al origen, entonces determine la
ecuación de dicha recta.
15. El gráfico adjunto representa a una recta cuya ecuación es:
a) y = 6x+2
b) y = -3x+6
c) y = 2x+6
d) y = 6x-3
e) y = 4x+6
y
x-3
6
4. 872pág.
22. Calcule la distancia entre las rectas cuyas ecuaciones son 3x - 4y = 1 y
3x - 4y = 10.
23. Determine las ecuaciones de las rectas que tienen pendientes de -2 y
equidistan 4 unidades del punto (-2, 3).
31. De acuerdo a la posición de la recta 2x-y+3=0respecto de la circunferencia
x2
+ y2
- 3x - 4y + 3 = 0, se puede afirmar que:
a. La recta es secante a la circunferencia.
b. La recta es tangente a la circunferencia.
c. La recta es externa a la circunferencia.
d. La intersección entre la recta y la circunferencia tiene tres puntos.
24. Considere la recta cuya ecuación es x+2y+k =0. Determine k ∈ para que
la recta forme con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea de 16
unidades cuadradas.
25. Considere la recta cuya ecuación es L: 3x+ky-2=0. Determine k ∈ para
que la distancia del punto (1, 1) a L sea:
a. Igual a 2 unidades.
b. Menor que 5 unidades.
c. Mayor que 1 unidad.
10.2 Secciones cónicas
26. La ecuación x2
+ y2
- 4x + 6y - 3 = 0 representa en el plano 2
:
a) Un punto con coordenadas (2, -3).
b) Una circunferencia con centro en (-2, 3) y radio 2.
c) Una circunferencia con centro en (2, -3) y radio 16.
d) Una circunferencia con centro en (2, -3) y radio 4.
e) Un conjunto vacío.
27. Se conoce que una circunferencia tiene como extremos de uno de sus
diámetros, los puntos (5, -2) y (-3, -2). Determine su radio y su ecuación
canónica.
28. Dadas dos circunferencias cuyas ecuaciones son x2
+ y2
- 2x + 6y + 9 = 0
y x2
+ y2
- 4x - 4y + 4 = 0, entonces es verdad que:
a) La distancia mínima entre ellas es 1.
b) La distancia máxima entre ellas es 26 + 5.
c) Las dos circunferencias son tangentes al eje Y.
d) El diámetro de una de ellas tiene longitud 1.
e) Las dos circunferencias son tangentes entre sí.
29. Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia
(x + 1)2
+ (y - 9)2
= 3 y que es perpendicular a la recta 3x - 6y + 1= 0.
30. Una circunferencia se ubica en el I Cuadrante, de tal forma que es tangente a los
ejes coordenados. Su centro es el punto (2, 2). Determine su ecuación canónica.
32. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (4, 1) y
que es tangente a la recta L: 2x - 3y = 15.
5. 873pág.
36. Calcule la menor distancia que hay entre la recta4x+3y=15y la circunferencia
de ecuación x2 + y2 = 1.
33. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene el mismo centro de
la circunferencia x2
+ y2
- 6x + 2y - 5 = 0 y que contiene al origen de
coordenadas.
34. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva x2
+ y2
= 4 en el
punto ( 2, 2).
35. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2
+ y2
= 2
en el punto (1, 1).
37. Encuentre la ecuación canónica y general de una parábola que tiene foco
en (2, 3) y su directriz es y = -1.
38. Determine la ecuación de la parábola de eje vertical, que tiene su vértice
en el punto (1, 0) y que contiene al punto (-3, 2).
42. Encuentre, de ser posible, la intersección entre la recta y = -x - 1 y la cónica:
a) (x + 2)2
+ (y + 1)2
= 4 b) (x - 2)2
= y - 1 c) -(y + 1)2
= x
41. Una circunferencia C tiene por ecuación general x2
+ y2
+ 2x - 8y + 9 = 0. Una
parábola tiene como vértice el centro de C y su directriz es paralela al eje X. Si
la parábola contiene al punto (1, 2), entonces las coordenadas de su foco son:
a) 1, 7
2
b) 1, 9
2
c) -1, 7
2
d) -1, 9
2
e) -1,- 7
2
40. Determinelascoordenadasdelfocodelaparáboladeecuación2x2
-4x+y+4=0.
39. La altura h de un punto Q que pertenece a un arco parábolico de 18m de
altura máxima y 24m de base, situado a una distancia de 8m del centro
de la base del arco, es:
a) 8 b) 10 c) 12 d) 26 e) 14
y
x
Q
h
(0, 18)
8 (12, 0)
6. 874pág.
48. El conjunto de puntos del plano, tales que su distancia al punto (1, 1) es
el doble de su distancia al eje X, corresponde a:
a) Una elipse con centro en el punto (1, 1).
b) Una hipérbola con centro en el punto (1, -1/3).
c) Una parábola cuya recta directriz es y = 1.
d) Una circunferencia de radio 2.
e) Una elipse cuyo eje mayor tiene una longitud de 4.
44. Determine la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V1(0, 2),
V2(4, 2) y cuyo eje menor tiene longitud 2.
45. Si una elipse tiene centro en el punto (2, 3), su eje mayor es paralelo
al eje X, la longitud del eje menor es 4 y la distancia desde uno de los
vértices al centro es 13 entonces es VERDAD que uno de los siguientes
puntos pertenece a la elipse:
a) (4, 5) b) (3, 0) c) (2, 1) d) (5, 3) e) (4, 10)
46. La ecuación 3x2
- 4y2
+ 16y - 18 = 0 representa:
a) Una elipse con centro en (0, -2).
b) Una hipérbola con centro en (0, 2).
c) Ningún lugar geométrico real.
d) Un punto en el plano.
e) Una parábola con vértice en el punto (-1/2, 2).
47. Determine los vértices, los focos, asíntotas, excentricidad, dimensiones
del rectángulo auxiliar y centro de la hipérbola 6y2
-4x2
+12y+16x-34=0.
Dibuje la hipérbola con todos los elementos encontrados.
50. Determine la ecuación que describe los puntos en el plano, tales que su distancia
al punto (2, 1) es igual al doble de la distancia a la recta L: y + 1 = 0.
49. Determine el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x, y), tales que su
distancia al eje X es el triple que su distancia al punto P(2, -1).
43. Escriba la ecuación canónica y la ecuación general para las cónicas cuyas
gráficas se muestran en la siguiente figura, respectivamente:
1
1
0-1
-1
2
2
-2
-2
3
3
-3
-3
4
4
-4
-4
5-5 6-6 7-7