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- 1. 1 Gobierno Bolivariano de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Unidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Conjuntos Matemáticos Integrante: Carlos Camacaro CI: 12.850.973 Sección: 0173
- 2. 2 Es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él. CONJUNTO: Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves, A = { 1,2,3,4,5 },A={1,2,3,4,5}, o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el conjunto, A = { text{números naturales del }1text{ al }5}.A={nuˊmeros naturales del 1 al 5}.
- 3. 3 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 1. UNIÓN: El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
- 4. 4 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 2. Intersección: El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B. Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la Disjuntividad Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B=
- 5. 5 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 3. Diferencia: El símbolo de esta operación es: . La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B. También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A. 1. La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}. 2.La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol. Ejemplo:
- 6. 6 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 4. Complemento: El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. 1.El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números impares 2.El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan. 3.El complementario del conjunto de todos los números positivos mayores de 5 incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4} Ejemplo:
- 7. 7 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 5. Diferencia Simétrica: El símbolo de esta operación es: Δ. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene 1.La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez. Ejemplo:
- 8. 8 OPERACIONES CON CONJUNTOS: 6. Producto Cartesiano: El símbolo de esta operación es: × El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B. 1.El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)} Ejemplo:
- 9. 9 NUMEROS REALES: Se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. Donde a su vez, los números racionales se clasifican en: a) Números Naturales (N) , los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, … b) Números Enteros (Z) , son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… c) Números Fraccionarios , son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b≠0. d)Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, 2x+3x+x e) Números Trascendentales no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
- 10. 10 DESIGUALDADES: Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. • La notación a < b significa a es menor que b; • La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" • La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; • La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). • La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; • La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. • La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
- 11. 11 PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD: Propiedad de Tricotomía ENUNCIADO: Si a y b son dos números reales cualesquiera, se cumple SÓLO UNA de las siguientes relaciones EXPLICACIÓN: Si a mi me dan dos números cualquiera, sólo puede existir una forma de relacionar esos dos números… que sean iguales… que el primero sea mayor que el segundo… o que el primero sea menor que el segundo. Ejemplo: Si tengo los números 8 y 5, sólo los puedo relacionar de una de las tres formas posibles: Propiedad Transitiva Si a, b y c son números reales tal que a > b y b > c, se cumple entonces que a > c EXPLICACIÓN: Vamos a analizarlo con los personales de Dragon Ball Z. Si Piccolo es más alto que Goku, Y Goku es más alto que Vegeta Por PROPIEDAD TRANSITIVA podemos deducir que lógicamente Piccolo es más alto que Vegeta. Hagamos un ejemplo con números: Propiedad Aditiva Si a, b y c son números reales tal que a > b, entonces EXPLICACIÓN: Si por ejemplo yo peso 80 kg y mi hermano pesa 60 kg , es obvio que yo peso más que él. Ahora bien, si yo subo 5 kg… es decir 80+5 kg y mi hermano también sube 5 kg… es decir 60+5 kg, se sigue manteniendo que yo peso más que él. Pasa lo mismo con la resta, si yo pierdo 5 kg… es decir 80-5 kg y mi hermano también pierde 5 kg… es decir 60-5 kg, se sigue manteniendo que yo peso más que él. Hagamos un ejemplo con números: Propiedad Multiplicativa ENUNCIADO: Si a, b y c son números reales tal que a > b, entonces EXPLICACIÓN: Si por ejemplo yo peso 80 kg y mi hermano pesa 60 kg , es obvio que yo peso más que él. Ahora bien, si yo duplico mi peso… es decir 80×2 kg y mi hermano también duplica su peso… es decir 60×2 kg, se sigue manteniendo que yo peso más que él. Pasa lo mismo con la división, si yo pierdo la mitad de mi peso… es decir 80/2 kg y mi hermano también pierde la mitad de su peso… es decir 60/2 kg, se sigue manteniendo que yo peso más que él. Hagamos un ejemplo con números: Excepción: Si c es un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia
- 12. 12 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene. Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene. Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD:
- 13. 13 VALOR ABSOLUTO: La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes: • El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19. • El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. • Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. • El valor absoluto de una división es igual al cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. |x+y|≤|x|+|y| |xy|=|x|.|y| |x/y|=|x|/|y| el valor absoluto de un número es la distancia de un valor desde el origen sin importar la dirección. El valor absoluto está denotado por dos líneas verticales que encierran al número o expresión
- 14. 14 DESIGUALDADS CON VALOR ABSOLUTO: Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la expresión es una desigualdad con valor absoluto que contiene un signo “mayor que”. Tenemos cuatro símbolos de desigualdades diferentes: mayor que (>), menor que(<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). ∣x+5∣>2 La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .