(1) La forma de la curva que adopta una cadena que cuelga libremente de sus extremos se llama catenaria. Esta curva representa la trayectoria de energía potencial mínima. (2) Se demuestra matemáticamente que la ecuación diferencial que representa esta trayectoria es y''/(1+(y')^2)=1/y. (3) Resolviendo esta ecuación diferencial, se obtiene que la ecuación de la catenaria es y=a*cosh(x/a), donde a es una constante.

1. [1]
Trayectoria de Energía Potencial Mínima
Catenaria
Introducción.- La forma catenaria es la curva que toda cadena o cuerda, lazo, adquiere cuando cuelga
libremente de sus extremos, es una línea de energía potencial mínima; y este artículo trata de la demostración
utilizando el cálculo de variaciones.
Ep = ∫ghdm = ρg ∫hds donde h=y(x) ; ds=
√1+
dy
dx
2
dx Entonces
; llamando a la funcional
D
el cálculo de variaciones conduce a:
(4)
(1)
Derivando aparte respecto de x de ec.(1)
Sustituyendo (2) en (1)
(3)
Sustituyendo (3) y (4) en la funcional (5)
obtenemos luego
; de donde resulta: (6)

2. [2]
Trayectoria de Energía Potencial Mínima
Despejando, y, al lado derecho de (6):
y ' '
1+ y '
2 =
1
y (7) ; para resolver (7)
multiplicando primeramente (7) por y’, se resuelve primeramente el lado izquierdo
llamando p=y’
Multiplicación de ambos miembros de (7);
y ' '
1+ y '
2 y’ =
1
y y’ (8)
¿Qué pasa si no multiplicamos ambos miembros de (7)
por y’ ?
En el lado derecho no tendríamos un elemento diferencial acorde con y, para poder
integrar el lado derecho teniendo como variable a y , no a x; cancelando así dx en
ambos lados de (8) de manera momentánea.
entonces la ec.diferencial (7) transformada es:
pdp
1+ p
2 =
dy
y ; integrando;
1
2
∫
2 pdp
1+ p
2 = ∫
dy
y que conduce a:
1
2
ln ⁡(1+p
2
) = ln ( y)+ln ⁡(A) ; donde A es una primer constante de
integración; la ecuación anterior es equivalente a: ln (1+ p
2
)=2 ln( yA) ; o sea que
1+p
2
=y
2
A
2
; entonces p= √A
2
y
2
−1 ahora si es el tiempo de devolver
a “p” su valor inicial para obtener la función final y=y(x)
de donde despejando;
dy
√A
2
y
2
−1 = dx; integrando
(9) ; para integrar el lado izquierdo de (9) se hace la
sustitución siguiente: yA = sec ϕ , la cual conduce a:

3. [3]
Trayectoria de Energía Potencial Mínima
(10)
Elevando al cuadrado ambos lados de (10)
simplificando, despejando
; o sea:
así pues
o lo que es lo mismo:
Entonces la catenaria minimiza la energía potencial de
la cadena cuando ésta cuelga de sus extremos.