MECANICA

1. UNIDAD II
Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas y
calcula esfuerzos y deformaciones por Torsión, esfuerzos
biaxiales y triaxiales además calcula los desplazamientos
de los nudos de las estructuras.

2. TORSIÓN
Ahora consideramos un tipo de comportamiento ligeramente
más complejo conocido como torsión, la cual se refiere al
torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o
pares de torsión) que tienden a producir rotación con respecto al
eje longitudinal de la barra.
Por ejemplo, cuando usted gira un destornillador (figura a), su
mano aplica un par de torsión T al mango (figura b) y tuerce el
vástago del destornillador.

3. Un caso ideal de carga torsional se representa en
la figura (a), donde se muestra una barra recta
soportada en un extremo y cargada por dos pares de
fuerzas iguales y opuestas. El primer par consiste en
las fuerzas 𝑃1, que actúan cerca del punto medio de
la barra, y el segundo par consiste en las fuerzas 𝑃2,
que actúan en el extremo.
Cada par de fuerzas forma un par de torsión que
tiende a torcer la barra con respecto a su eje
longitudinal. Como sabemos por la estática, el
momento de un par de torsión es igual al
producto de una de las fuerzas y la distancia
perpendicular entre las líneas de acción de las
fuerzas; por tanto, el primer par de torsión tiene un
momento 𝑇1 = 𝑃1𝑑1 y el segundo un momento
𝑇2 = 𝑃2𝑑2.
Los momentos que producen el torcimiento de una
barra, como los marcados 𝑇1 y 𝑇2 en la figura, se
llaman pares de torsión o momentos de torsión.

4. El momento de un par de torsión se puede representar
por un vector en la forma de una flecha con cabeza
doblada (figura b).
La flecha es perpendicular al plano que contiene el
par de torsión y, por lo tanto, en este caso las dos
flechas son paralelas al eje de la barra.
Una representación alterna de un momento es una
flecha curva que actúa en el sentido de la rotación
(figura c). La flecha curva y las representaciones
vectoriales son de uso común, y en este libro
emplearemos las dos. La elección depende de la
conveniencia y preferencia personales.
La dirección (o sentido) del momento se indica mediante la regla de la
mano derecha para vectores momento: empleando su mano derecha,
permita que los dedos se curven en el sentido del momento, y entonces su
dedo pulgar apuntará en la dirección del vector.

5. DEFORMASIONES TORSIONALES DE UNA BARRA CIRCULAR
Para ayudar a visualizar la
deformación de la barra, imagine que
el extremo izquierdo de la misma
(figura a) está fijo. Luego, ante la
acción del par de torsión T, el extremo
derecho girará (con respecto al
extremo izquierdo) en un ángulo
pequeño f, conocido como ángulo de
torsión (o ángulo de rotación).
Debido a esta rotación, una recta
longitudinal pq en la superficie de la
barra se convertirá en la curva
helicoidal pq′, donde q′ es la posición
del punto q después de que la sección
transversal extrema ha girado en el
ángulo f (figura b).
Dado que cada sección transversal de la barra es idéntica, y puesto
que cada sección transversal se somete al mismo par de torsión interno
T, se dice que la barra está en torsión pura.

6. El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra, y en
secciones transversales intermedias tendrá un valor de ∅ 𝒙 que está
entre cero en el extremo izquierdo y ∅ en el extremo derecho.
Si cada sección transversal de la barra tiene el mismo radio y se somete
al mismo par de torsión (torsión pura), el ángulo φ(x) variará
linealmente entre los extremos.

7. Ahora considere un elemento de la barra entre dos secciones transversales separadas una distancia dx (figura a).
Deformaciones unitarias por cortante en la superficie exterior
Este elemento se muestra agrandado en la (figura b). En su superficie exterior identificamos un elemento pequeño abcd, con
lados ab y cd que al inicio son paralelos al eje longitudinal.
Durante el torcimiento de la barra, la sección transversal derecha gira con respecto a la sección transversal
izquierda un ángulo pequeño de torsión dφ, de manera que los puntos b y c se mueven a b′ y c′

8. 𝜸𝒎á𝒙 se mide en radianes, bb′ es la distancia que se desplaza el punto b y
ab es la longitud del elemento (igual a dx). Si r denota el radio de la
barra, podemos expresar la distancia bb′ como rdφ, donde dφ también se
mide en radianes. Así, la ecuación anterior se convierte en:
Sin embargo, los ángulos en las esquinas del elemento (figura b) ya no son
iguales a 90°. Por lo tanto, el elemento está en un estado de cortante puro, lo
cual significa que está sometido a deformaciones por cortante pero no a
deformaciones normales
La magnitud de la deformación por cortante en la superficie exterior
de la barra, que se denota 𝛾𝑚á𝑥.
Esta ecuación relaciona la
deformación unitaria por cortante en
la superficie exterior de la barra con
el ángulo de torsión.

9. Razón de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud:
Con esta notación ahora podemos escribir la ecuación para la
deformación unitaria por cortante en la superficie exterior :
Sólo para torsión pura, se obtiene:

10. Deformaciones unitarias por cortante dentro de la barra
Las deformaciones unitarias por cortante en el interior de la
barra se pueden determinar mediante el mismo método
empleado para encontrar la deformación unitaria por cortante
𝛾𝑚á𝑥 en la superficie.
Esta ecuación muestra que las deformaciones unitarias cortantes en una barra
circular varían linealmente con la distancia radial ρ desde el centro, siendo
cero la deformación unitaria en el centro y alcanzando un valor máximo de
𝛾𝑚á𝑥 en la superficie exterior.
En tubos circulares

11. Si el material es linealmente elástico, podemos utilizar la ley de Hooke en cortante.
donde G es el módulo de elasticidad en cortante y γ es la
deformación unitaria por cortante en radianes.
Al combinar esta ecuación con las ecuaciones para las deformaciones unitarias por cortante
[ecuaciones, se obtiene:
donde 𝝉𝒎á𝒙 es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra (radio r),
𝝉 es el esfuerzo cortante en un punto interior (radio 𝝆) y 𝜽 es la razón de torsión.
(En estas ecuaciones, 𝜽 tiene unidades de radianes por unidad de longitud.)
Las ecuaciones muestran que los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia desde el centro
de la barra, como se ilustra por el diagrama triangular de esfuerzo en la figura c. Esta variación lineal
del esfuerzo es una consecuencia de la ley de Hooke. Si la relación esfuerzo-deformación unitaria no es
lineal, los esfuerzos no variarán linealmente y se necesitarán otros métodos de análisis.

12. La fórmula de la torsión
La distribución de los esfuerzos cortantes
que actúan sobre una sección transversal se
representa en las figuras.
Debido a que dichos esfuerzos actúan continuamente alrededor de la sección transversal, tienen una resultante en la
forma de un momento, que es igual al par de torsión T que actúa sobre la barra.
▪ La fuerza cortante que actúa sobre este elemento es igual a 𝝉𝒅𝑨, donde 𝝉 es el esfuerzo cortante a un radio ρ.
▪ El momento de esta fuerza con respecto al eje de la barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el
centro, o 𝝉𝝆𝒅𝑨.
momento polar de inercia:
El momento resultante (igual al par de torsión T) es la suma a lo largo de toda el área de la sección transversal de
todos los momentos elementales:
Es posible obtener una expresión para el esfuerzo cortante máximo:
BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES LINEALMENTE ELÁSTICOS

13. Ángulo de torsión
BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES LINEALMENTE ELÁSTICOS
El ángulo de torsión de una barra de material linealmente elástico
en la cual θ tiene unidades
de radianes por unidad de
longitud.
T es inversamente proporcional al producto 𝑮𝑰𝑷, conocido como rigidez
torsional de la barra.
❑ Para una barra en torsión pura, el ángulo de torsión φ total
en la cual ∅ se mide en radianes.
❑ La cantidad 𝑮𝑰𝑷/𝑳, llamada rigidez torsional
❑ La flexibilidad torsional

14. EJERCICIO:
a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión. b) Par de torsión máximo. El par de torsión máximo se determina
mediante el esfuerzo cortante permisible, o bien por el ángulo de
torsión permisible. Iniciando con el esfuerzo cortante,
Cualquier par de torsión mayor que este valor resultará en un esfuerzo cortante
que rebasará el esfuerzo permisible de 6000 psi.
El par de torsión máximo es el menor entre T1 y T2:
Cualquier par de torsión mayor que 𝑇2 dará por resultado un ángulo de torsión mayor
que el permisible.
Solución

15. Ahora consideraremos los ejes prismáticos de longitud L sobre los cuales actúan momentos
torsionales T en cualquiera de los extremos, pero que tienen secciones transversales que no son
circulares.

16. En el siguiente análisis se presentarán sólo las relaciones básicas entre el momento torsional aplicado
T y tres elementos fundamentales de interés para una variedad de secciones transversales no
circulares:
1. La ubicación y valor del esfuerzo cortante máximo 𝜏𝑚á𝑥 en la sección transversal.
2. La rigidez torsional GJ.
3. El ángulo de torsión φ de una barra prismática de longitud L.
La constante G es el módulo de elasticidad en cortante del material y la variable J
la constante de torsión para la sección transversal. Observe que sólo en una
sección transversal circular la constante de torsión J se convierte en el momento
polar de inercia 𝐼𝑃.
Secciones transversales elíptica
El esfuerzo cortante máximo se
da en los extremos del eje
menor y puede calcularse con
la expresión:
área A = πab
El ángulo de torsión φ de un
eje prismático de longitud L
la constante de torsión 𝐽𝑒
TORSIÓN DE EJES PRISMÁTICOS NO CIRCULARES

17. Secciones transversales triangular equilátera Secciones transversales triangular rectangular
(b × t, b/t ≥ 1)
TORSIÓN DE EJES PRISMÁTICOS NO CIRCULARES

18. a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión de cada segmento.
Ambos segmentos del eje tienen par de torsión interno igual al par de
torsión aplicado T. Para el segmento cuadrado AB, obtenemos los
coeficientes de torsión 𝑘1 y 𝑘2 de la tabla,
El segmento BC es una sección transversal circular
sólida.
El esfuerzo cortante máximo en AB se produce en el punto
medio de cada lado de la sección transversal cuadrada.
Si se comparan los valores del esfuerzo cortante y el ángulo
de torsión del segmento cuadrado AB y el segmento circular
BC, se observa que el tubo de acero BC tiene un esfuerzo
cortante máximo 6% mayor, pero 20% menos de rotación de
torsión que la barra de bronce AB.
EJERCICIO:
Solución

19. Cuando analizamos barras en tensión y en compresión, ejes en torsión y vigas en flexión, son ejemplos de un
estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano
Cuando el material está en esfuerzo plano en
el plano xy, sólo las caras x y y del elemento
están sometidas a esfuerzos y todos actúan
paralelos a los ejes x y y, como se muestra en
la figura a.
La convención de signos para los esfuerzos normales es la usual, es
decir, la tensión es positiva y la compresión es negativa.

20. Un esfuerzo cortante 𝝉 tiene dos subíndices; el
primero denota la cara sobre la cual actúa el
esfuerzo y el segundo da la dirección sobre esa
cara. Así entonces, el esfuerzo 𝜏𝑥𝑦 actúa sobre
la cara 𝒙 en la dirección del eje 𝒚 (figura a) y el
esfuerzo 𝜏𝑦𝑥 actúa sobre la cara y en la
dirección del eje x.
La convención de signos para los esfuerzos
cortantes establece que un esfuerzo cortante es
positivo cuando actúa sobre una cara positiva de un
elemento en la dirección positiva de un eje, y negativo
cuando actúa sobre una cara positiva de un elemento
en la dirección negativa de un eje.

21. • Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano se pueden representar gráficamente mediante un trazo
conocido como círculo de Mohr.
• Esta representación gráfica es muy útil, ya que permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y
cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.
• También proporciona un medio para calcular esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y esfuerzos
sobre planos inclinados.
• Además, el círculo de Mohr es válido no sólo para esfuerzos, también para otras cantidades de naturaleza
matemática similar, incluidas deformaciones y momentos de inercia

22. Esfuerzos sobre secciones inclinadas
Para representar los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada, consideramos un nuevo elemento de esfuerzo
(figura c) que se ubica en el mismo punto en el material que el elemento original (figura b).

23. Ecuaciones de transformación para esfuerzo plano
Introduciendo las siguientes identidades trigonométricas:
Al realizar estas sustituciones, las ecuaciones se transforman en
ecuaciones de
transformación
para esfuerzo
plano
sustituyendo 𝜃 con 𝜃 + 90°. El resultado es la ecuación siguiente para 𝜎𝑦1
:
Al sumar las ecuaciones para 𝜎𝑥1
y 𝜎𝑦1
, se obtiene:
Esta ecuación muestra que la suma de los esfuerzos normales que actúan
sobre caras perpendiculares de elementos de esfuerzo (en un punto dado en
un cuerpo sometido a esfuerzo) es constante e independiente del ángulo 𝜃.

24. Casos especiales de esfuerzo plano
Para esfuerzo uniaxial:
Otro caso especial es el cortante puro:
Por último, se observa el caso especial de esfuerzo biaxial: Se obtienen de las ecuaciones al eliminar simplemente los términos que
contienen 𝜏𝑥𝑦, como se muestra:
Elemento en esfuerzo biaxial

25. Ecuaciones de transformación. Para determinar los
esfuerzos que actúan sobre un elemento inclinado
elemento C en esfuerzo plano
Al sustituir estos valores en las ecuaciones
EJERCICIO:
Solución

26. • En el diseño y el análisis del esfuerzo, en general se requieren los esfuerzos máximos para garantizar la seguridad del miembro de
carga.
• Se desarrollarán las ecuaciones del esfuerzo principal máximo, el esfuerzo principal mínimo y el esfuerzo cortante máximo.
• Ambos esfuerzos principales son esfuerzos normales, ya sea de tensión o de compresión
Esfuerzos principales.
• Por el estudio del cálculo, sabemos que el valor del ángulo 𝜙 al cual ocurre el esfuerzo normal máximo o mínimo se determina
diferenciando la función e igualando el resultado a cero y luego resolviendo para 𝜙
• El ángulo que localiza el esfuerzo principal máximo, 𝜙 es por tanto:
• Podemos desarrollar una ecuación para el esfuerzo normal máximo que actúa en el elemento y también, podemos desarrollar la
ecuación para el esfuerzo normal mínimo.
• Estos dos esfuerzos se llaman esfuerzos principales y 𝜎1 denota el esfuerzo principal máximo y 𝜎2 el esfuerzo principal mínimo

27. • Y sus respectivas ecuaciones son las siguientes:
• Esfuerzo principal máximo 𝜎1:
• Esfuerzo principal mínimo 𝜎2 :
• En el elemento en el cual actúan los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es cero
Esfuerzo cortante máximo.
La ecuación del esfuerzo cortante máximo es la siguiente:
En el elemento en el cual ocurre el esfuerzo cortante máximo, también habrá un esfuerzo normal igual al promedio de los esfuerzos
normales iniciales.
Ángulos principales:

28. EJERCICIO:
Solución
a) Esfuerzos principales. Los ángulos principales 𝜃𝑝 que
pueden ubicar los planos principales :

29. b) Esfuerzos cortantes máximos.

30. Las ecuaciones del círculo de Mohr se pueden deducir a partir de ecuaciones de transformación para esfuerzo plano:
Para eliminar el parámetro 2𝜃, elevamos al cuadrado los dos lados de cada ecuación y luego sumamos
las dos ecuaciones. La ecuación que resulta es:
Esta ecuación se puede escribir de forma más simple:
La ecuación se convierte en:

31. • El círculo de Mohr se puede trazar de diversas formas,
dependiendo de cuáles esfuerzos se conozcan y cuáles se deban
determinar.
• Suponga, que se conocen los esfuerzos 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 𝑦 𝜏𝑥𝑦, y que
actúan sobre los planos 𝑥 y 𝑦 de un elemento en esfuerzo plano.
Como se verá, esta información es suficiente para trazar el
círculo. Luego, ya con el trazo del círculo podemos determinar
los esfuerzos 𝜎𝑥1, 𝜎𝑦1 𝑦 𝜏𝑥𝑦1 que actúan sobre un elemento
inclinado.
• También podemos obtener los esfuerzos principales y los
esfuerzos cortantes máximos a partir del círculo. Si se conocen
𝜎𝑥, 𝜎𝑦 𝑦 𝜏𝑥𝑦.
Trazo del círculo de Mohr

33. • En un punto en la superficie de un cilindro hidráulico sobre una pieza de equipo de construcción (figura a), el material está sometido a esfuerzos biaxiales
𝜎𝑥 = 90 MPa y 𝜎𝑦 = 20 MPa, como se muestra sobre el elemento de esfuerzo de la figura. Utilice el círculo de Mohr para determinar los esfuerzos que
actúan sobre un elemento inclinado a un ángulo θ = 30°. (Considere sólo los esfuerzos en el plano y muestre los resultados en un diagrama de un elemento
orientado de forma apropiada.)
Trazo del círculo de Mohr. Comenzamos por establecer los ejes para los esfuerzos normales y cortantes, con 𝜎𝑥1 positivo
hacia la derecha y 𝜏𝑥1𝑦1 positivo hacia abajo, como se muestra en la figura. Luego colocamos el centro C del círculo en el
eje 𝜎𝑥1 en el punto donde el esfuerzo es igual al esfuerzo normal promedio.
El punto A, que representa los esfuerzos sobre la cara x del elemento (θ = 0), tiene las coordenadas
De forma similar, las coordenadas del punto B, que representan los esfuerzos sobre la cara y (θ = 90°), son
EJERCICIO:
Solución

34. • Ahora trazamos el círculo por los puntos A y B con centro en C y radio R igual a:
b) Elemento en cilindro
hidráulico en esfuerzo plano
c) círculo de Mohr
correspondiente
• Esfuerzos sobre un elemento inclinado a θ = 30°. Los esfuerzos que actúan sobre un plano orientado a un ángulo θ = 30° están dados
por las coordenadas del punto D, que está a un ángulo 2θ = 60° desde el punto A (figura c). Por inspección del círculo, se observa que
las coordenadas del punto D son

35. De manera similar, podemos encontrar los esfuerzos representados por el punto D′, que corresponde a un ángulo θ = 120°
(o 2θ = 240°):
Estos resultados se muestran en la figura siguiente en un diagrama de un elemento orientado a un ángulo θ = 30°, con todos los esfuerzos
mostrados en sus direcciones verdaderas. Observe que la suma de los esfuerzos normales sobre el elemento inclinado es igual a 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦, o
110 MPa.
Esfuerzos que actúan sobre un elemento
orientado a un ángulo θ = 30°

36. Ahora, en esta sección, investigaremos las deformaciones en el material, lo que significa que se deben
considerar sus propiedades.
Sin embargo, el análisis se limitará a materiales que cumplan dos condiciones importantes:
❑ La primera, el material es uniforme en todo el cuerpo y tiene las mismas
propiedades en todas las direcciones (material homogéneo e isotrópico).
❑ La segunda, el material sigue la ley de Hooke (material linealmente
elástico).
Iniciemos por considerar las deformaciones unitarias normales
𝜀𝑥, 𝜀𝑦 y 𝜀𝑧 en esfuerzo plano.

37. La deformación por cortante 𝜸𝒙𝒚 es el decremento en el ángulo entre las caras 𝒙 y 𝒚 del
elemento y se relaciona con el esfuerzo cortante por la ley de Hooke en cortante
donde G es el módulo de elasticidad en cortante.
Observe que los esfuerzos normales 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 no tienen efecto en la deformación normal 𝛾𝑥𝑦. En
consecuencia,

38. En el caso especial de esfuerzo biaxial (figura b), tenemos τxy = 0, y por lo tanto, la ley de Hooke
para esfuerzo plano se simplifica a:

39. Un elemento de material sometido a
esfuerzos normales 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 y 𝜎𝑧 que actúan
en tres direcciones mutuamente
perpendiculares se dice que se encuentra en
un estado de esfuerzo triaxial (figura a).
Como no hay esfuerzos cortantes sobre las
caras x, y y z, los esfuerzos 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 y 𝜎𝑧 son
los esfuerzos principales en el material.
Si se corta un plano inclinado paralelo al eje z
a través del elemento (figura b), los únicos
esfuerzos sobre la cara inclinada son el
esfuerzo normal 𝝈 y el esfuerzo cortante 𝝉,
que actúan paralelos al plano xy.

40. Esfuerzos cortantes máximos
sabemos que los esfuerzos cortantes máximos ocurren en planos orientados a 45° con
respecto a los planos principales.
Los esfuerzos que actúan sobre
elementos orientados a varios ángulos
con respecto a los ejes x, y y z se
pueden visualizar con la ayuda de
círculos de Mohr.
rotación de 45° con respecto al eje z rotaciones de ángulos de 45° con respecto a los ejes x y y

41. Ley de Hooke para esfuerzo triaxial
Si el material sigue la ley de Hooke, podemos obtener las relaciones entre los esfuerzos normales y las
deformaciones normales al emplear el mismo procedimiento que para el esfuerzo plano
Las ecuaciones anteriores se pueden resolver de manera simultánea para los esfuerzos en términos de las
deformaciones:

42. Desplazamiento: Cambio de posición.
Desplazamientos pequeños:
• Son magnitudes despreciables con relación a las dimensiones del
sólido.
• No afectan la geometría inicial del sólido.
Desplazamiento y deformación:
Son producidos por las solicitaciones (cargas, etc.) que actúan sobre el
cuerpo.
Consideración geométrica para desplazamientos pequeños:
• Si los desplazamientos son pequeños ⟹ los giros también son
pequeños ⟹ los desplazamientos son perpendiculares a la línea que une
la partícula con el centro de rotación.

43. Relación entre los desplazamientos pequeños de dos puntos de un
sólido rígido (Teorema de Mohr):
• En un sólido rígido el desplazamiento de un punto B es igual al
desplazamiento del punto A más el desplazamiento producido por un
giro del punto B en torno al punto A.
Desplazamiento A = traslación (desplazamiento de B) + rotación (giro en
torno a B)
Movimiento Plano
• Todas las partículas del sólido se desplazan en planos
paralelos. Se forma una placa plana en la sección del
sólido paralela a los desplazamientos de sus partículas.